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2023-2024学年北师版七年级数学成都地区寒假专题作业 第1节 数式与方程复习（含答案）
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这是一份2023-2024学年北师版七年级数学成都地区寒假专题作业 第1节 数式与方程复习（含答案），共69页。试卷主要包含了概念及分类，下列说法中错误的是，下列选项中，比-3℃低的温度是，把下列各数填入相应的大括号内，若，，则值为，40，按一定规律排列的单项式，计算等内容，欢迎下载使用。
课中讲解
一．有理数
内容讲解
（一）有理数的概念
1．概念及分类
例1．下列各式中，一定是负数的是（ ）
A．﹣aB．﹣|a|C．﹣a3D．﹣a2﹣1
例2．下列说法中错误的是（ ）
A．0既不是正数，也不是负数 B．0是最小的整数
C．0的相反数是0 D．0的绝对值是0
例3．下列选项中，比-3℃低的温度是（ ）
A．-4℃ B．-2℃ C．-1℃ D．0℃
例4．把下列各数填入相应的大括号内：
，0.1，，，0，，，，，
正数集｛ ｝，负数集｛ ｝，
分数集｛ ｝，非负整数集｛ ｝．
过关检测
1．下列各式的值一定为正数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下面的说法正确的是（ ）
A．有理数的绝对值一定比0大 B．有理数的相反数一定比0小
C．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 D．互为相反数的两个数的绝对值相等
3．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入80元记作+80元，则﹣50元表示（ ）
A．收入50元B．收入30元C．支出50元D．支出30元
4．把下列各数填在相应的大括号里，，，0，，，，，，0.252525…．
自然数集合：｛ ｝正数集合：｛ ｝
非正整数集合：｛ ｝分数集合：｛ ｝
2．倒数、相反数、绝对值
例1．﹣的倒数是（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
例2．﹣|﹣|的相反数是 ．
例3．若互为相反数，则下列等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
例4．若，则= ．
例5．若，，则值为（ ）
A．±7或±1 B．7或-7 C．7 D．-7
例6．已知a、b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，那么（a+b）m3+5m+2023cd的值为 ．
过关检测
1．的相反数是 ，的倒数是 ．
2．的相反数是（ ）
A．3 B．-3 C． D．
3．若m+1与-3互为相反数，则m的值为 ．
4．已知，则 ．
5．已知两个有理数满足条件：，，＞0，＜0，求的值．
6．若互为相反数，c与d互为负倒数，，求代数式的值．
（二）有理数的大小比较
例1．比较大小： ； ； ．
例2．已知，，，则，，，的大小关系正确的是
A．B．C．D．
例3．已知实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是
A．B．C．D．
例4．画出数轴，在数轴上表示下列有理数，并用“”号连接起来．
，，0，，，．
过关检测
1．比较每组数的大小： ； 2.3．
2．如果，且，则，，，0的大小顺序用符号连接是 ．
3．有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是
A．B．C．D．
4．把下列各数，，，0，，表示的点
（1）画在数轴上；
（2）用把这些数连接起来；
（三）有理数的计算
1．有理数的混合运算
例1．有理数的计算：
（1）（2）
（3）（4）
过关检测
（1）（2） （3）（4）
2．绝对值化简
例1．已知、、在数轴上的位置如图所示，化简： ．
例2．当，，且，则的值为
A．B．或C．2D．
例3．已知有理数，，满足，则 ．
例4．若，，是非零有理数，，，则的值为 ．
过关检测
1．已知有理数，，在数轴上的对应位置如图所示，则化简后的结果是 ．
2．已知，，，且，，求的值．
3．阅读下列材料完成相关问题：已知，、是有理数
（1）当，时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）当，，的值．
（四）科学计数法
例1．共享单车为市民短距离出行带来了极大便利．据“深圳互联网自行车发展评估报告”披露，深圳市日均使用共享单车2590000人次，则其中2590000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
例2．国庆假期，各地旅游市场总体实现了“安全、有序、优质、高效、文明”目标．经中国旅游研究院（文化和旅游部数据中心）测算，全国共接待国内游客约7．26亿人次．数据7．26亿表示为科学记数法是
A．B．C．D．
过关检测
1．港珠澳大桥正式开通，它是中国乃至当今世界规模最大、标准最高、最具挑战性的跨海桥梁工程，被誉为桥梁界的“珠穆朗玛峰”，仅主体工程的主梁钢板用量就达42000万千克，相当于60座埃菲尔铁塔的重量．这里的数据42000万可用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
2．中央财政安排农村义务教育营养膳食补助资金共150．5亿元，150．5亿元用科学记数法表示为
A．元B．元C．元D．元
二．整式及整式加减
内容讲解
（一）单项式、多项式
例1．下列关于单项式的说法中，正确的是
A．系数是3，次数是3B．系数是，次数是3
C．系数是，次数是2D．系数是，次数是3
例2．多项式是
A．二次三项式B．三次二项式C．四次三项式D．五次三项式
例3．若关于、的多项式化简后不含二次项，则 ．
过关检测
1．对单项式说法正确的是
A．的系数是，次数是2 B．的系数是，次数是3
C．的系数是2，次数是2 D．的系数是，次数是3
2．多项式的项数和次数分别为
A．3，3B．4，3C．3，4D．3，6
3．当 时，代数式中不含项．
（二）同类项与合并同类项
例1．已知和是同类项，则的值是
A．6B．5C．4D．2
例2．已知代数式合并同类项得到，则的值是 ．
过关检测
1．若单项式与是同类项，则这两个单项式的和是 ．
2．如果单项式与的差仍然是一个单项式，则 ．
（三）整式的加减
例1．下列计算正确的是
A．B．
C．D．
例2．下列添括号正确的是
A． B．
C． D．
例3．化简：
（1）； （2）
例4．已知代数式，
（1）求；
（2）若的值与的取值无关，求的值．
过关检测
1．下列运算正确的是
A．B．C．D．
2．下列多项式中添括号错误的是
A．B．
C．D．
3．化简：
（1） （2）
4．已知，．
（1）求；
（2）如果，那么的表达式是什么？
（四）代数式求值
例1．如果与互为相反数，则的值是
A．B．10C．7D．6
例2．若，则代数式的值是
A．0B．2C．5D．8
例3．已知，则代数式的值为 ．
例4．当时，代数式的值为9，那么，当时代数式的值为 ．
例5．按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是 ．
例6．先化简，再求值：，其中，．
过关检测
1．若，则式子的值为
A．B．C．11D．1
2．若，则的值为
A．1B．C．2D．
3．已知，，则代数式的值为 ．
4．如果代数式的值为8，那么代数式的值是 ．
难4．当时，代数式的值为2009，当时，的值为
A．B．C．D．2007
5．如图，是一个数值转换机的示意图，若输入的值为3，的值为时，则输出的结果为： ．若输入的值为，的值为2时，则输出的结果为： ．
6．先化简，再求值，其中，．
（五）规律
例1．有一组单项式如下：，，，，则第100个单项式是
A．B．C．D．
例2．观察下列各式：
；
；
；
；
，
根据上述规律计算：
A．B．C．D．
例3．如图，图1是“杨辉三角”数阵；图2是的展开式（按的升幂排列）．若的展开式按的升幂排列得：，则 ．
例4．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，，依次规律，第6个图形的小圆个数是
A．56B．54C．44D．42
过关检测
1．一组按规律排列的单项式：，，，，．则第为正整数）个式子表示最恰当的是
A．B． C．D．
2．观察下列各式及其展开式
请你猜想的展开式中含项的系数是
A．224B．180C．112D．48
3．公元1261年，我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出了“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则 ．
4．下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形有5个小圆，第②个图形有9个小圆，第③个图形有13个小圆，，按此规律排列，则第10个图形中小圆的个数为
．37．40．41．42
三．方程的解及相关应用
内容讲解
（一）一元一次方程的定义
例1．已知是关于的一元一次方程，则的值为 ．
例2．下列等式中不是一元一次方程的是
A．B．
C．D．
过关检测
1．若是关于的一元一次方程，则的值为
A．5B．C．5 或D．4 或
2．下列方程中是一元一次方程的是
A．B．C．D．
（二）解方程
例1．（1） （2）
（3） （4）
过关检测
1．计算下列各式
（1）（2）
（3）（4）
（三）一元一次方程的含参问题
例1．对于，为常数），表述正确的是
A．当时，方程的解是B．当，时，方程有无数解
C．当，，方程无解D．以上都不正确
例2．若是关于的方程的解，则的值等于 ．
例3．27．关于的方程与的解相同，则的值是 ．
例4．李老师在给张欣同学评讲作业时说：“解方程去分母时，方程右边的忘记乘以6．因而求得方程的解为．”根据以上信息，试求的值，并解方程．
例5．为何值时，关于的方程的解是的解的2倍．
例6．若为整数，关于的一元一次方程的解是正整数，求的值．
例7．对任意四个有理数，，，定义新运算：，已知，则
A．B．2C．3D．4
过关检测
1．已知是方程的解，则的值是
A．2B．3C．7D．8
2．已知关于的方程，在解这个方程时，粗心的小伟误将看成了，从而解得，请你帮他求出正确的解．
3．如果关于的方程的解与关于的方程的解相同，求代数式的值．
4．已知代数式的值与的取值无关，求的值.
5．，当取什么整数时，方程的解为正整数？并求出这些正整数．
6．如果对于任意非零的有理数，定义运算如下：．已知，则的值为 ．
（四）一元一次方程的应用题
例1．欣欣服装店某天用相同的价格卖出了两件服装，其中一件盈利，另一件亏损，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是
亏损B．盈利C．不盈不亏D．与进价有关
例2．学校安排学生住宿，若每室住8人，则有12人无法安排；若每室住9人，可空出2个房间．这个学校的住宿生有多少人？宿舍有多少房间？
例3．某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题：
（1）求小明原计划购买文具袋多少个？
（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元．问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？
例4．从锦江区社保局获悉，我区范围内已经实现了全员城乡居民新型社会合作医疗保险制度，享受医保的城乡居民可在规定的医院就医并按规定标准报销部分医疗费用，下表是住院费用报销的标准：
（说明：住院费用的报销采取分段计算方式，如：某人一年住院费用共30000元，则5000元按报销．15000元按报销，余下的10000元按报销：实际支付的住院费住院费用按标准报销的金额）
（1）若我区居民张大哥一年住院费用为20000元，则按标准报销的金额为 元，张大哥实际支付了 元的住院费．
（2）若我区居民王大爷一年内本人实际支付的住院费用为21000元，则王大爷当年的住院费用为多少元？
过关检测
1．某商店出售两件衣服，每件卖了200元，其中一件赚了，而另一件赔了．那么商店在这次交易中
A．亏了10元钱B．赚了10钱C．赚了20元钱D．亏了20元钱
2．某公司销售甲、乙两种运动鞋，2022年这两种鞋共卖出11000双．2023年甲种运动鞋卖出的数量比2022年增加，乙种运动鞋卖出的数量比2022年减少，且这两种鞋的总销量增加了．
（1）求2022年甲、乙两种运动鞋各卖了多少双？
（2）某制鞋厂组织工人生产甲、乙两种运动鞋．原计划安排的工人生产甲种运动鞋，现抽调其中的16人去生产乙种运动鞋，已知每位工人一天可生产甲种运动鞋6双或乙种运动鞋4双，若调配后制成的两种运动鞋数量相等，求该鞋厂工人的人数．
3．某学校班主任暑假带领该班三好学生去旅游，甲旅行社说：“如果教师买全票一张，其余学生享受半价优惠；”乙旅行社说：“教师在内全部按票价的6折优惠；”若全部票价是240元；
（1）如果有10名学生，应参加哪个旅行社，并说出理由；
（2）当学生人数是多少时，两家旅行社收费一样多？
4．成都华联商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价150元，售价200元；乙种商品每件进价350元，售价450元．
（1）该商场在“十一”黄金周期间销售甲、乙两种商品共100件，销售额为35000元，求甲、乙两种商品各销售了多少件？
（2）假若该商场在“十一”黄金周期间销售甲、乙两种商品进行如表优惠活动：
按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款2000元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款3240元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
学习任务
1.下列说法正确的是（ ）
A．正整数和负整数统称为整数 B．0既不是正数也不是负数
C．绝对值最小的有理数为1 D．正数和负数统称为有理数
2.若， ，且 ＞0，则 ．
3．多项式是 ， ， 三项的和，其中次数最高项的系数是 ．
4．若单项式与之和仍为单项式，则 ．
5．已知，则代数式的值为
A．10B．12C．D．14
6．当时，二次三项式的值等于18，那么当时，该代数式的值等于 ．
7．数学课上，老师给同学们编了如图所示的计算程序，请大家计算：当输入的值是时，输出的值是 ．
8．按一定规律排列的单项式：，，，，，，，第个单项式是
A．B．C．D．
9．计算：（1） （2）
10．化简：
（1）； （2）
11．解方程
（1） （2）
（3） （4）
12．已知，，若，求．
13．（1）已知关于的方程和方程的解相同，求的值．
（2）设，，若，且，求的值．
14．在我们身边有一些股民，在每一次的股票交易中或盈利或亏损．某股民将甲，乙两种股票卖出，甲种股票卖出1500元，盈利，乙种股票卖出1500元，但亏损，该股民在这次交易中是
A．盈利125元B．亏损125元C．不赔不赚D．亏损625元
15．目前，成都市城市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下：
（1）若我市某户12月用电量为300度，求该户应交电费多少？
（2）若我市某户12月用电量为度．请用含的代数式表示该户12月应交电费多少？
（3）若我市某户12月电费平均为每度0.615元，求该户12月用电量为多少？
家长签字：____________
第1节 数式与方程（教师版）
目标层级图
课中讲解
一．有理数
内容讲解
有理数的概念
1．概念及分类
例1．下列各式中，一定是负数的是（ D ）
A．﹣aB．﹣|a|C．﹣a3D．﹣a2﹣1
例2．下列说法中错误的是（ B ）
A．0既不是正数，也不是负数 B．0是最小的整数
C．0的相反数是0 D．0的绝对值是0
例3．下列选项中，比-3℃低的温度是（A）
A．-4℃ B．-2℃ C．-1℃ D．0℃
例4．把下列各数填入相应的大括号内：
，0.1，，，0，，，，，
正数集｛0.1, ,｝，负数集｛,,,,｝，
分数集｛0.1,,,,,｝，非负整数集｛,0｝．
过关检测
1．下列各式的值一定为正数的是（D）
A． B． C． D．
2．下面的说法正确的是（D）
A．有理数的绝对值一定比0大 B．有理数的相反数一定比0小
C．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 D．互为相反数的两个数的绝对值相等
3．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入80元记作+80元，则﹣50元表示（C ）
A．收入50元B．收入30元C．支出50元D．支出30元
4．把下列各数填在相应的大括号里，，，0，，，，，，．
自然数集合：｛ 0, ｝正数集合：｛,,,,,｝
非正整数集合：｛,0,｝分数集合：｛,,,｝
2．倒数、相反数、绝对值
例1．﹣的倒数是（C ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
例2．﹣|﹣|的相反数是 4/5 ．
例3．若互为相反数，则下列等式不一定成立的是（A）
A． B． C． D．
例4．若，则=1 ．
例5．若，，则值为（A）
A．±7或±1 B．7或-7 C．7 D．-7
例6．已知a、b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，那么（a+b）m3+5m+2023cd的值为 2029或2009 ．
过关检测
1．的相反数是 -2/5 ，的倒数是 5/2 ．
2．的相反数是（D）
A．3 B．-3 C． D．
3．若m+1与-3互为相反数，则m的值为 2 ．
4．已知，则 -1 ．
5．已知两个有理数满足条件：，，＞0，＜0，求的值．
答：11
6．若互为相反数，c与d互为负倒数，，求代数式的值．
答：18或-14
（二）有理数的大小比较
例1．比较大小： ； ； ＜ ．
例2．已知，，，则，，，的大小关系正确的是 A
A．B．C．D．
例3．已知实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是 A
A．B．C．D．
例4．画出数轴，在数轴上表示下列有理数，并用“”号连接起来．
，，0，，，．
过关检测
1．比较每组数的大小： ＜ ； ＞ 2.3．
2．如果，且，则，，，0的大小顺序用符号连接是 ．
3．有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是 B
A．B．C．D．
4．把下列各数，，，0，，表示的点
（1）画在数轴上；
（2）用把这些数连接起来；
（三）有理数的计算
1．有理数的混合运算
例1．有理数的计算：
（1）（2）
3-2
（3）（4）
-751/6
过关检测
（1）（2）
-2/51
（3）（4）
-18
2．绝对值化简
例1．已知、、在数轴上的位置如图所示，化简： -2a+c-1 ．
例2．当，，且，则的值为B
A．B．或C．2D．
例3．已知有理数，，满足，则 -1 ．
例4．若，，是非零有理数，，，则的值为 0 ．
过关检测
1．已知有理数，，在数轴上的对应位置如图所示，则化简后的结果是 2c-b-1 ．
2．已知，，，且，，求的值．
7或11
3．阅读下列材料完成相关问题：已知，、是有理数
（1）当，时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）当，，的值．
（四）科学计数法
例1．共享单车为市民短距离出行带来了极大便利．据“深圳互联网自行车发展评估报告”披露，深圳市日均使用共享单车2590000人次，则其中2590000用科学记数法表示为C
A．B．C．D．
例2．2022年国庆假期，各地旅游市场总体实现了“安全、有序、优质、高效、文明”目标．经中国旅游研究院（文化和旅游部数据中心）测算，全国共接待国内游客约7．26亿人次．数据7．26亿表示为科学记数法是 B
A．B．C．D．
过关检测
1．2022年10月23日，港珠澳大桥正式开通，它是中国乃至当今世界规模最大、标准最高、最具挑战性的跨海桥梁工程，被誉为桥梁界的“珠穆朗玛峰”，仅主体工程的主梁钢板用量就达42000万千克，相当于60座埃菲尔铁塔的重量．这里的数据42000万可用科学记数法表示为（ B ）
A．42×107B．4.2×108C．4.2×109D．0.42×109
2．中央财政安排农村义务教育营养膳食补助资金共150．5亿元，150．5亿元用科学记数法表示为 B
A．元B．元C．元D．元
二. 整式及整式加减
内容讲解
（一）单项式、多项式
例1．下列关于单项式的说法中，正确的是
A．系数是3，次数是3B．系数是，次数是3
C．系数是，次数是2D．系数是，次数是3
【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，据此解答可得．
【解答】解：单项式的系数是，次数是3，
故选：．
例2．多项式是
A．二次三项式B．三次二项式C．四次三项式D．五次三项式
【分析】直接利用多项式的次数与项数确定方法分析得出答案．
【解答】解：多项式是五次三项式．
故选：．
例3．若关于、的多项式化简后不含二次项，则 ．
【分析】首先合并同类项，不含二次项，说明项的系数是0，由此进一步计算得出结果即可．
【解答】解：，
因为化简后不含二次项，
所以，
解得．
故答案为：．
过关检测
1．对单项式说法正确的是
A．的系数是，次数是2
B．的系数是，次数是3
C．的系数是2，次数是2
D．的系数是，次数是3
【分析】根据单项式系数和次数的概念解答即可，单项式中的数字因数是单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫单项式的次数．
【解答】解：的系数是，次数是3．
故选：．
2．多项式的项数和次数分别为
A．3，3B．4，3C．3，4D．3，6
【分析】利用几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，分别判断即可．
【解答】解：多项式的项数和次数分别为：3，4．
故选：．
3．当 时，代数式中不含项．
【分析】多项式中不含项，即项合并以后的系数是0，据此即可求解．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
（二）同类项与合并同类项
例1．已知和是同类项，则的值是
A．6B．5C．4D．2
【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得，的值，根据代数式求值，可得答案．
【解答】解：根据题意得，，
解得，
则．
故选：．
例2．已知代数式合并同类项得到，则的值是 9 ．
【分析】由代数式合并同类项得到，再根据同类项的定义及合并同类项的法则求出与的值，代入代数式即可解答．
【解答】解：因为代数式合并同类项得到，
所以，，，
解得：，，，
所以，
故答案为：9．
过关检测
1．若单项式与是同类项，则这两个单项式的和是 ．
【分析】由题意知道，它们是同类项，由同类项的定义可先求得和的值，从而求出它们的和．
【解答】解：单项式与是同类项，
，，
，．
代入
．
故答案为：．
2．如果单项式与的差仍然是一个单项式，则 ．
【分析】根据两单项式差为单项式，得到两单项式为同类项，即可求出的值．
【解答】解：单项式与的差仍然是一个单项式，
，
解得：．
故答案为：
（三）整式的加减
例1．下列计算正确的是
A．B．
C．D．
【分析】依据合并同类项的法则、去括号的法则即可解决．
【解答】解：、应为，故选项错误；
、应为，故选项错误；
、应为，故选项错误；
、，故选项正确．
故选：．
例2．下列添括号正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号可得答案．
【解答】解：、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项正确；
、，故此选项错误．
故选：．
例3．化简：
（1）；
（2）
【分析】（1）先去括号再合并同类项即可；
（2）先去括号再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
难例3．整式的化简：
（1）
（2）
【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可解答本题；
（2）先去小括号，再去中括号，然后合并同类项即可解答本题．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
例4．已知代数式，
（1）求；
（2）若的值与的取值无关，求的值．
【分析】（1）把与代入中，去括号合并即可得到结果；
（2）由与取值无关，确定出的值即可．
【解答】解：（1）
；
（2），且其值与无关，
，
解得．
难例4．已知，．
（1）化简：；
（2）当时，求的值．
【分析】（1）把、的值代入，去括号、合并同类项即可；
（2）把的值代入，即可求出答案．
【解答】解：（1），，
；
（2）当时，．
难例5．有这样一道题：“计算的值，其中”．甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果．
【分析】首先将原代数式去括号，合并同类项，化为最简整式为，与无关；所以甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的．
【解答】解：
，
当时，原式．
因为化简的结果中不含，所以原式的值与值无关．
过关检测
1．下列运算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据合并同类项、去括号法则即可求解．
【解答】解：、和不是同类项不能合并，故选项错误；
、，故选项正确；
、，故选项错误；
、，故选项错误．
故选：．
2．下列多项式中添括号错误的是
A．B．
C．D．
【分析】根据添括号的法则对每一项进行判断即可．
【解答】解：、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项符合题意；
、，故本选项不符合题意．
故选：．
3．化简：
（1）
（2）
【分析】（1）根据合并同类项法则合并即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可得．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式．
难3．计算题
（1）
（2）
【分析】（1）原式去括号合并即可得到结果；
（2）原式去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
4．已知，．
（1）求；
（2）如果，那么的表达式是什么？
【分析】（1）将，整体代入后化简即可．
【解答】解：（1），
（2），
难5．小明在求一个多项式减去时，误认为加上，得到的答案是，则正确的答案是多少？
【分析】根据题意列出正确的算式，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：．
（四）代数式求值
例1．如果与互为相反数，则的值是
A．B．10C．7D．6
【分析】利用互为相反数两数之和为0列出关系式，根据非负数的性质求出与的值，原式去括号合并后代入计算即可求出值．
【解答】解：与互为相反数，即，
，，
则原式，
故选：．
例2．若，则代数式的值是
A．0B．2C．5D．8
【分析】原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：，
原式，
故选：．
例3．已知，则代数式的值为 ．
【分析】把，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：原式，
故答案为：．
例4．当时，代数式的值为9，那么，当时代数式的值为 ．
【分析】把代入代数式，使其值为9确定出的值，再将及的值代入计算即可求出值．
【解答】解：根据题意得：，即，
则当时，原式，
故答案为：
难例4．当时，代数式的值是2010，当时，代数式的值为
A．B．C．D．2008
【分析】先求得当时的值，然后可得到当时，的值，最后整体代入求解即可．
【解答】解：当时，代数式的值是2010，
当时，代数式．
当时，．
当时，代数式．
故选：．
例5．按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是 231 ．
【分析】根据程序可知，输入，计算出的值，若，然后再把作为，输入，再计算的值，直到，再输出．
【解答】解：，
，
，
当时，，
当时，，
则最后输出的结果是 231，
故答案为：231．
例6．先化简，再求值：，其中，．
【分析】首先去括号，然后合并同类项即可化简，然后代入数值计算即可．
【解答】解：原式
，
当、时，
原式
．
难例6．先化简，再求值：
已知，其中，满足．
【分析】首先利用去括号法则去括号，进而合并同类项，再利用非负数的性质得出，的值，进而求出即可．
【解答】解：原式
，，
原式
．
过关检测
1．若，则式子的值为
A．B．C．11D．1
【分析】利用非负数的性质求出与的值，原式去括号合并后代入计算即可求出值．
【解答】解：原式，
，
，，
则原式，
故选：．
2．若，则的值为
A．1B．C．2D．
【分析】将代入原式，计算可得．
【解答】解：，
原式
，
故选：．
3．已知，，则代数式的值为 22 ．
【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：
当，时，原式，
故答案为：22．
4．如果代数式的值为8，那么代数式的值是 ．
【分析】观察题中的两个代数式和，可以发现，因此由的值为8，求得，再代入代数式求值．
【解答】解：，
，
，故本题答案为：．
5．如图，是一个数值转换机的示意图，若输入的值为3，的值为时，则输出的结果为： 5 ．若输入的值为，的值为2时，则输出的结果为： ．
【分析】根据题意可知，该程序是先计算和，然后将两项相加，最后除以2，得到结果．
【解答】解：输入，，
，，
，
；
输入，，
，，
，
．
故答案为5、．
6．先化简，再求值，其中，．
【分析】做题时，注意按题目的要求：先化简再代入求值，化简时先去括号，合并同类项，计算时注意符号的处理．
【解答】解：
当，时，
原式．
难6．先化简，再求值：，其中， 满足．
【分析】利用整式的加减混合运算法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出、，代入计算即可．
【解答】解：
，
由题意得，，，
解得，，，
则原式．
（五）规律
例1．有一组单项式如下：，，，，则第100个单项式是
A．B．C．D．
【分析】由单项式的系数，字母的指数与序数的关系求出第100个单项式为．
【解答】解：由，，，得，
单项式的系数的绝对值为序数加1，
系数的正负为，字母的指数为，
第100个单项式为，
故选：．
例2．观察下列各式：
；
；
；
；
，
根据上述规律计算：
A．B．C．D．
【分析】先由规律，得到的结果，令得结论．
【解答】解：有上述规律可知：
当时，
即
．
故选：．
难例1．按一定规律排列的一列数依次是、1、、、、按此规律，这列数中第100个数是
A．B．C．D．
【分析】观察发现，这一列数都可以写成分数形式，把1改写成，则不难发现分子、分母的变化规律．
【解答】解：由、、、、、、可得第个数为．
，
第100个数为：
故选：．
难例2．观察等式：；；；若，则用含的式子表示的结果是
A．B．C．D．
【分析】由已知规律可先求得和，再求两者的差，对其差进行因式分解，与已知联系起来进行解答．
【解答】解：由已知可得，
，
，
，
，
故选：．
简单、难例3．如图，图1是“杨辉三角”数阵；图2是的展开式（按的升幂排列）．若的展开式按的升幂排列得：，则 990 ．
【分析】根据图形中的规律即可求出的展开式中第三项的系数为前44个数的和，计算得到结论．
【解答】解：由图2知：的第三项系数为0，
的第三项的系数为：1，
的第三项的系数为：，
的第三项的系数为：，
发现的第三项系数为：；
的第三项系数为；
的第三项系数为；
不难发现的第三项系数为，
，则；
故答案为：990．
例4．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，，依次规律，第6个图形的小圆个数是
A．56B．54C．44D．42
【分析】由题意可知：第一个图形有个小圆，第二个图形有个小圆，第三个图形有个小圆，第四个图形有个小圆由此得出，第7个图形的小圆个数为，由此得出答案即可．
【解答】解：第一个图形有个小圆，
第二个图形有个小圆，
第三个图形有个小圆，
第四个图形有个小圆，
第六个图形的小圆个数为，
故选：．
难例4．如图所示，用围棋子摆放正方形，要求每条边上的围棋子数相同，第1个正方形需要4颗围棋子，第2个正方形需要8颗围棋子，按照这个规律，则第5个正方形需要 20 颗围棋子，若第个正方形需要2036颗围棋子（其中，为自然数）则 ．
【分析】观察图形可得到第1个图形每条边上有2个棋子，则需要的棋子颗数为；第2个图形每条边上有3个棋子，则需要的棋子颗数为；第3个图形每条边上有4个棋子，则需要的棋子颗数为，于是得到每个图形所需要的棋子颗数等于这个图形的序号数的4倍．
【解答】解：第1个图形需要的棋子颗数为，
第2个图形需要的棋子颗数为，
第3个图形需要的棋子颗数为，
所以第个图形需要的棋子颗数为．
时，需要20颗围棋子，
由题意，解得，
故答案为20，509．
过关检测
1．一组按规律排列的单项式：，，，，．则第为正整数）个式子表示最恰当的是
A．B．
C．D．
【分析】从已知单项式的系数符号、系数绝对值、字母指数三个方面寻找其与序数间的关系，从而得出答案．
【解答】解：第1个单项式，
第2个单项式，
第3个单项式，
第4个单项式，
第为正整数）个单项式为，
故选：．
2．观察下列各式及其展开式
请你猜想的展开式中含项的系数是
A．224B．180C．112D．48
【分析】观察数字规律，发现各组数据的首尾均为1，中间数字分别为上一组数据相邻两个数字之和，分别写出左边式子的指数分别为6，7，8的等式右边各项的系数，结合括号内含项的系数为2，可得答案．
【解答】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为：
1，6，15，20，15，6，1；
1，7，21，35，35，21，7，1；
1，8，28，56，70，56，28，8，1；
故含项的系数为：．
故选：．
难1．一列数按某规律排列如下，若第个数为，则 50 ．
【分析】根据题目中的数据可以发现，分子变化是1，，，2，，，分母变化是1，，，2，，，从而可以求得第个数为时的值即可．
【解答】解：，
可写成，，，，，，，，，，
分母为10开头到分母为1的数有10个，分别为，
第个数为，则，
故答案为：50．
难2．观察等式：；；；若，则用含的式子表示的结果是
A．B．C．D．
【分析】由已知规律可得：，再由已知，可求．
【解答】解：由已知可得，
，
，
，
，
故选：．
简单、难3．公元1261年，我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出了“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则 1800 ．
【分析】根据图形中数字规模：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可得、、的值．
【解答】解：根据图形得：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，
，，，
，
故答案为：1800．
4．下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形有5个小圆，第②个图形有9个小圆，第③个图形有13个小圆，，按此规律排列，则第10个图形中小圆的个数为
．37．40．41．42
【分析】由图形可知：第①个图形有5个小圆，第②个图形有个小圆，第③个图形有个小圆，，由此得出第个图形中小圆的个数为，由此进一步代入求得答案即可．
【解答】解：第①个图形有5个小圆，
第②个图形有个小圆，
第③个图形有个小圆，
，
第个图形中小圆的个数为，
第10个图形中小圆的个数为．
故选：．
难4．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，，以此类推，解决以下问题：则 48 ，若第幅图中“●”的个数为 ．（用含的代数式表示）
【分析】由点的分布情况得出，据此求解可得．
【解答】解：由图知，，，，，
，
当时，，
三．方程的解及相关应用
内容讲解
（一）一元一次方程的定义
例1．已知是关于的一元一次方程，则的值为 1 ．
例2．下列等式中不是一元一次方程的是
A．B．
C．D．
过关检测
1．若是关于的一元一次方程，则的值为
A．5B．C．5 或D．4 或
2．下列方程中是一元一次方程的是
A．B．C．D．
（二）解方程
例1．（1），得：； （1）；得：；
（3）．得：． （4）解得：．
过关检测
1．计算下列各式
（1），得：．（2）解得：；
（3）解得：；（4）解得：．
（三）一元一次方程的含参问题（解、同解、取值无关、解的关系、定义新运算）
例1．对于，为常数），表述正确的是
A．当时，方程的解是B．当，时，方程有无数解
C．当，，方程无解D．以上都不正确
【解答】解：、当时，方程的解是，故错误；
、当，时，方程无解，故错误；
、当，，方程有无数解，故错误；
、以上都不正确．
故选：．
例2．若是关于的方程的解，则的值等于 ．
例3．27．关于的方程与的解相同，则的值是 4 ．
例4．李老师在给张欣同学评讲作业时说：“解方程去分母时，方程右边的忘记乘以6．因而求得方程的解为．”根据以上信息，试求的值，并解方程．
【解答】解：根据题意得：，
把代入得：，
解得：，
方程为，
解得：．
例5．为何值时，关于的方程的解是的解的2倍．
【解答】解：解方程，
得：，
解得：，
关于的方程的解是的解的2倍，
，
解得：．
例6．若为整数，关于的一元一次方程的解是正整数，求的值．
【解答】（2），
，
方程的解是正整数，
也是正整数，
为整数，
，
．
例7．对任意四个有理数，，，定义新运算：，已知，则
A．B．2C．3D．4
过关检测
1．已知是方程的解，则的值是
A．2B．3C．7D．8
2．已知关于的方程，在解这个方程时，粗心的小伟误将看成了，从而解得，请你帮他求出正确的解．
【解答】解：是的解，
；
解得：．
则原方程可化为：
即
．
3．如果关于的方程的解与关于的方程的解相同，求代数式的值．
【解答】（2），
，
把代入，
可得：，
解得：，
所以
4．已知代数式的值与的取值无关．
（1）求的值；
【解答】解：（1）．
代数式的值与的取值无关，
，，
解得，．
；
5．，当取什么整数时，方程的解为正整数？并求出这些正整数．
【解答】解：移项，得：，
即，
则或2或3或6．
解得：或4或5或8．
6．如果对于任意非零的有理数，定义运算如下：．已知，则的值为 0．6 ．
（四）一元一次方程的应用题
例1．欣欣服装店某天用相同的价格卖出了两件服装，其中一件盈利，另一件亏损，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是
亏损B．盈利C．不盈不亏D．与进价有关
例2．学校安排学生住宿，若每室住8人，则有12人无法安排；若每室住9人，可空出2个房间．这个学校的住宿生有多少人？宿舍有多少房间？
【解答】解：设宿舍有间房，则：
，
解得，
．
答：这个学校的住宿生有252人，宿舍有30个房间．
例3．某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题：
（1）求小明原计划购买文具袋多少个？
（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元．问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？
【解答】解：（1）设小明原计划购买文具袋个，则实际购买了个，
由题意得：．
解得：；
答：小明原计划购买文具袋17个；
（2）设小明可购买钢笔支，则购买签字笔支，
由题意得：，
解得：，
则：．
答：小明购买了钢笔20支，签字笔30支．
例4．从锦江区社保局获悉，我区范围内已经实现了全员城乡居民新型社会合作医疗保险制度，享受医保的城乡居民可在规定的医院就医并按规定标准报销部分医疗费用，下表是住院费用报销的标准：
（说明：住院费用的报销采取分段计算方式，如：某人一年住院费用共30000元，则5000元按报销．15000元按报销，余下的10000元按报销：实际支付的住院费住院费用按标准报销的金额）
（1）若我区居民张大哥一年住院费用为20000元，则按标准报销的金额为 9500 元，张大哥实际支付了 元的住院费．
（2）若我区居民王大爷一年内本人实际支付的住院费用为21000元，则王大爷当年的住院费用为多少元？
【解答】解：（1）由题意可得，
按标准报销的金额为：（元，
张大哥实际支付了：（元，
故答案为：9500，10500；
（2）设王大爷当年的住院费用为元，
，
解得，
答：王大爷当年的住院费用为46250元．
过关检测
1．某商店出售两件衣服，每件卖了200元，其中一件赚了，而另一件赔了．那么商店在这次交易中
A．亏了10元钱B．赚了10钱C．赚了20元钱D．亏了20元钱
2．某公司销售甲、乙两种运动鞋，2022年这两种鞋共卖出11000双．2023年甲种运动鞋卖出的数量比2022年增加，乙种运动鞋卖出的数量比2022年减少，且这两种鞋的总销量增加了．
（1）求2022年甲、乙两种运动鞋各卖了多少双？
（2）某制鞋厂组织工人生产甲、乙两种运动鞋．原计划安排的工人生产甲种运动鞋，现抽调其中的16人去生产乙种运动鞋，已知每位工人一天可生产甲种运动鞋6双或乙种运动鞋4双，若调配后制成的两种运动鞋数量相等，求该鞋厂工人的人数．
【解答】解：（1）设2022年甲种运动鞋卖了双，则乙种运动鞋卖了双，
由题意，得：，
解得：，
答：2022年甲种运动鞋卖了7000双，则乙种运动鞋卖了4000双．
（2）设该厂有名工人，
则生产甲种运动鞋的人数为，生产乙种运动鞋的人数为，
由题意得：，
解得：，
答：该鞋厂有工人60人．
3．某学校班主任暑假带领该班三好学生去旅游，甲旅行社说：“如果教师买全票一张，其余学生享受半价优惠；”乙旅行社说：“教师在内全部按票价的6折优惠；”若全部票价是240元；
（1）如果有10名学生，应参加哪个旅行社，并说出理由；
（2）当学生人数是多少时，两家旅行社收费一样多？
【解答】解：（1）甲旅行社的收费为：元；
乙旅行社的收费为：元；
，
选择甲旅社合适．
答：如果有10名学生，应参加甲旅行社．
（2）设当学生人数为人时，两家旅行社收费一样多，则可得：
，
解得：．
答：当学生人数是4人时，两家旅行社收费一样多．
4．成都华联商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价150元，售价200元；乙种商品每件进价350元，售价450元．
（1）该商场在“十一”黄金周期间销售甲、乙两种商品共100件，销售额为35000元，求甲、乙两种商品各销售了多少件？
（2）假若该商场在“十一”黄金周期间销售甲、乙两种商品进行如表优惠活动：
按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款2000元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款3240元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
【解答】解：（1）设甲种商品销售了件，则乙种商品销售了件，
依题意，得：，
解得：，
．
答：甲种商品销售了40件，乙种商品销售了60件．
（2）设小王在该商场购买甲种商品件，购买乙种商品件，
依题意，得：，或，
解得：，或，
或19．
答：这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共18件或19件．
学习任务
1.下列说法正确的是（B ）
A．正整数和负整数统称为整数 B．0既不是正数也不是负数
C．绝对值最小的有理数为1 D．正数和负数统称为有理数
2.若， ，且 ＞0，则 ．
3．多项式是 2 ， ， 三项的和，其中次数最高项的系数是 ．
【分析】根据多项式的定义以及多项式的次数进行填空即可．
【解答】解：多项式的项是2，，，单项式的次数是．
故答案为2，，，．
4．若单项式与之和仍为单项式，则 9 ．
【分析】根据题意可知与是同类项，根据同类项的定义得到，，先求得、的值，然后再计算即可．
【解答】解：单项式与之和仍为单项式，
与是同类项．
，．
，．
．
故答案为：9．
5．已知，则代数式的值为
A．10B．12C．D．14
【分析】将代数式中的变为，将，整体代入即得代数式的值为14．
【解答】解：
，
将代入，
得原式．
故选：．
6．当时，二次三项式的值等于18，那么当时，该代数式的值等于 6 ．
【分析】对题意进行分析，，，可求出的值，然后将代入，即可求得结果．
【解答】解：当，，则，
将，代入，可得：，
故答案为：6．
7．数学课上，老师给同学们编了如图所示的计算程序，请大家计算：当输入的值是时，输出的值是 4 ．
【分析】将代入计算程序得到结果为，判断结果小于0，再代入计算程序计算，得到结果大于0时，输出即可．
【解答】解：若时，得到，
若时，得到，
则输出的结果为4．
故答案为：4．
8．按一定规律排列的单项式：，，，，，，，第个单项式是
A．B．C．D．
【分析】根据题意，找出规律：单项式的系数为的幂，其指数为比序号数少1，字母为．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
由上规律可知，第个单项式为：．
故选：．
9．（1） （2）
37/8-23/4
10．化简：
（1）；
（2）
【分析】（1）根据合并同类项的方法可以解答本题；
（2）根据单项式乘多项式和合并同类项的方法可以解答本题．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
11．（1）：．
（2）解得：．
（3）解方程：．解得：；
（4）解方程：解得：．
12．已知，，若，求．
【分析】将与代入中求出，将，及代入所求式子中，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：，，，
，
则原式
．
13．（1）已知关于的方程和方程的解相同，求的值．
（2）设，，若，且，求的值．
【解答】解：（1）方程，
解得：，
方程，
解得：，
根据题意得：，
去分母得：，
解得：；
（2），
，，
，，且，
，即，
把，代入得：，
解得：．
14．在我们身边有一些股民，在每一次的股票交易中或盈利或亏损．某股民将甲，乙两种股票卖出，甲种股票卖出1500元，盈利，乙种股票卖出1500元，但亏损，该股民在这次交易中是
A．盈利125元B．亏损125元C．不赔不赚D．亏损625元
15．目前，成都市城市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下：
（1）若我市某户12月用电量为300度，求该户应交电费多少？
（2）若我市某户12月用电量为度．请用含的代数式表示该户12月应交电费多少？
（3）若我市某户12月电费平均为每度0.615元，求该户12月用电量为多少？
【解答】解：（1）（元，
答：该户应交电费166元．
（2）设该户12月应交电费元，
当时，；
当时，；
当时，．
．
（3），
该户12月用电量超过280度．
依题意，得：，
解得：．
答：该户12月用电量为400度．
家长签字：____________
住院费用（元
每年报销比例
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过3000元
不优惠
超过3000元且不超过4000元
总售价打九折
超过4000元
总售价打八折
一户居民一个月用电量（单位：度）
电价（单位：元度）
第1档
不超过180度的部分
0.5
第2档
超过180度但不超过280度的部分
0.6
第3档
超过280度的部分
0.8
住院费用（元
每年报销比例
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过3000元
不优惠
超过3000元且不超过4000元
总售价打九折
超过4000元
总售价打八折
一户居民一个月用电量（单位：度）
电价（单位：元度）
第1档
不超过180度的部分
0.5
第2档
超过180度但不超过280度的部分
0.6
第3档
超过280度的部分
0.8
课中讲解
一．有理数
内容讲解
（一）有理数的概念
1．概念及分类
例1．下列各式中，一定是负数的是（ ）
A．﹣aB．﹣|a|C．﹣a3D．﹣a2﹣1
例2．下列说法中错误的是（ ）
A．0既不是正数，也不是负数 B．0是最小的整数
C．0的相反数是0 D．0的绝对值是0
例3．下列选项中，比-3℃低的温度是（ ）
A．-4℃ B．-2℃ C．-1℃ D．0℃
例4．把下列各数填入相应的大括号内：
，0.1，，，0，，，，，
正数集｛ ｝，负数集｛ ｝，
分数集｛ ｝，非负整数集｛ ｝．
过关检测
1．下列各式的值一定为正数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下面的说法正确的是（ ）
A．有理数的绝对值一定比0大 B．有理数的相反数一定比0小
C．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 D．互为相反数的两个数的绝对值相等
3．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入80元记作+80元，则﹣50元表示（ ）
A．收入50元B．收入30元C．支出50元D．支出30元
4．把下列各数填在相应的大括号里，，，0，，，，，，0.252525…．
自然数集合：｛ ｝正数集合：｛ ｝
非正整数集合：｛ ｝分数集合：｛ ｝
2．倒数、相反数、绝对值
例1．﹣的倒数是（ ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
例2．﹣|﹣|的相反数是 ．
例3．若互为相反数，则下列等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
例4．若，则= ．
例5．若，，则值为（ ）
A．±7或±1 B．7或-7 C．7 D．-7
例6．已知a、b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，那么（a+b）m3+5m+2023cd的值为 ．
过关检测
1．的相反数是 ，的倒数是 ．
2．的相反数是（ ）
A．3 B．-3 C． D．
3．若m+1与-3互为相反数，则m的值为 ．
4．已知，则 ．
5．已知两个有理数满足条件：，，＞0，＜0，求的值．
6．若互为相反数，c与d互为负倒数，，求代数式的值．
（二）有理数的大小比较
例1．比较大小： ； ； ．
例2．已知，，，则，，，的大小关系正确的是
A．B．C．D．
例3．已知实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是
A．B．C．D．
例4．画出数轴，在数轴上表示下列有理数，并用“”号连接起来．
，，0，，，．
过关检测
1．比较每组数的大小： ； 2.3．
2．如果，且，则，，，0的大小顺序用符号连接是 ．
3．有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是
A．B．C．D．
4．把下列各数，，，0，，表示的点
（1）画在数轴上；
（2）用把这些数连接起来；
（三）有理数的计算
1．有理数的混合运算
例1．有理数的计算：
（1）（2）
（3）（4）
过关检测
（1）（2） （3）（4）
2．绝对值化简
例1．已知、、在数轴上的位置如图所示，化简： ．
例2．当，，且，则的值为
A．B．或C．2D．
例3．已知有理数，，满足，则 ．
例4．若，，是非零有理数，，，则的值为 ．
过关检测
1．已知有理数，，在数轴上的对应位置如图所示，则化简后的结果是 ．
2．已知，，，且，，求的值．
3．阅读下列材料完成相关问题：已知，、是有理数
（1）当，时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）当，，的值．
（四）科学计数法
例1．共享单车为市民短距离出行带来了极大便利．据“深圳互联网自行车发展评估报告”披露，深圳市日均使用共享单车2590000人次，则其中2590000用科学记数法表示为
A．B．C．D．
例2．国庆假期，各地旅游市场总体实现了“安全、有序、优质、高效、文明”目标．经中国旅游研究院（文化和旅游部数据中心）测算，全国共接待国内游客约7．26亿人次．数据7．26亿表示为科学记数法是
A．B．C．D．
过关检测
1．港珠澳大桥正式开通，它是中国乃至当今世界规模最大、标准最高、最具挑战性的跨海桥梁工程，被誉为桥梁界的“珠穆朗玛峰”，仅主体工程的主梁钢板用量就达42000万千克，相当于60座埃菲尔铁塔的重量．这里的数据42000万可用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
2．中央财政安排农村义务教育营养膳食补助资金共150．5亿元，150．5亿元用科学记数法表示为
A．元B．元C．元D．元
二．整式及整式加减
内容讲解
（一）单项式、多项式
例1．下列关于单项式的说法中，正确的是
A．系数是3，次数是3B．系数是，次数是3
C．系数是，次数是2D．系数是，次数是3
例2．多项式是
A．二次三项式B．三次二项式C．四次三项式D．五次三项式
例3．若关于、的多项式化简后不含二次项，则 ．
过关检测
1．对单项式说法正确的是
A．的系数是，次数是2 B．的系数是，次数是3
C．的系数是2，次数是2 D．的系数是，次数是3
2．多项式的项数和次数分别为
A．3，3B．4，3C．3，4D．3，6
3．当 时，代数式中不含项．
（二）同类项与合并同类项
例1．已知和是同类项，则的值是
A．6B．5C．4D．2
例2．已知代数式合并同类项得到，则的值是 ．
过关检测
1．若单项式与是同类项，则这两个单项式的和是 ．
2．如果单项式与的差仍然是一个单项式，则 ．
（三）整式的加减
例1．下列计算正确的是
A．B．
C．D．
例2．下列添括号正确的是
A． B．
C． D．
例3．化简：
（1）； （2）
例4．已知代数式，
（1）求；
（2）若的值与的取值无关，求的值．
过关检测
1．下列运算正确的是
A．B．C．D．
2．下列多项式中添括号错误的是
A．B．
C．D．
3．化简：
（1） （2）
4．已知，．
（1）求；
（2）如果，那么的表达式是什么？
（四）代数式求值
例1．如果与互为相反数，则的值是
A．B．10C．7D．6
例2．若，则代数式的值是
A．0B．2C．5D．8
例3．已知，则代数式的值为 ．
例4．当时，代数式的值为9，那么，当时代数式的值为 ．
例5．按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是 ．
例6．先化简，再求值：，其中，．
过关检测
1．若，则式子的值为
A．B．C．11D．1
2．若，则的值为
A．1B．C．2D．
3．已知，，则代数式的值为 ．
4．如果代数式的值为8，那么代数式的值是 ．
难4．当时，代数式的值为2009，当时，的值为
A．B．C．D．2007
5．如图，是一个数值转换机的示意图，若输入的值为3，的值为时，则输出的结果为： ．若输入的值为，的值为2时，则输出的结果为： ．
6．先化简，再求值，其中，．
（五）规律
例1．有一组单项式如下：，，，，则第100个单项式是
A．B．C．D．
例2．观察下列各式：
；
；
；
；
，
根据上述规律计算：
A．B．C．D．
例3．如图，图1是“杨辉三角”数阵；图2是的展开式（按的升幂排列）．若的展开式按的升幂排列得：，则 ．
例4．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，，依次规律，第6个图形的小圆个数是
A．56B．54C．44D．42
过关检测
1．一组按规律排列的单项式：，，，，．则第为正整数）个式子表示最恰当的是
A．B． C．D．
2．观察下列各式及其展开式
请你猜想的展开式中含项的系数是
A．224B．180C．112D．48
3．公元1261年，我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出了“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则 ．
4．下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形有5个小圆，第②个图形有9个小圆，第③个图形有13个小圆，，按此规律排列，则第10个图形中小圆的个数为
．37．40．41．42
三．方程的解及相关应用
内容讲解
（一）一元一次方程的定义
例1．已知是关于的一元一次方程，则的值为 ．
例2．下列等式中不是一元一次方程的是
A．B．
C．D．
过关检测
1．若是关于的一元一次方程，则的值为
A．5B．C．5 或D．4 或
2．下列方程中是一元一次方程的是
A．B．C．D．
（二）解方程
例1．（1） （2）
（3） （4）
过关检测
1．计算下列各式
（1）（2）
（3）（4）
（三）一元一次方程的含参问题
例1．对于，为常数），表述正确的是
A．当时，方程的解是B．当，时，方程有无数解
C．当，，方程无解D．以上都不正确
例2．若是关于的方程的解，则的值等于 ．
例3．27．关于的方程与的解相同，则的值是 ．
例4．李老师在给张欣同学评讲作业时说：“解方程去分母时，方程右边的忘记乘以6．因而求得方程的解为．”根据以上信息，试求的值，并解方程．
例5．为何值时，关于的方程的解是的解的2倍．
例6．若为整数，关于的一元一次方程的解是正整数，求的值．
例7．对任意四个有理数，，，定义新运算：，已知，则
A．B．2C．3D．4
过关检测
1．已知是方程的解，则的值是
A．2B．3C．7D．8
2．已知关于的方程，在解这个方程时，粗心的小伟误将看成了，从而解得，请你帮他求出正确的解．
3．如果关于的方程的解与关于的方程的解相同，求代数式的值．
4．已知代数式的值与的取值无关，求的值.
5．，当取什么整数时，方程的解为正整数？并求出这些正整数．
6．如果对于任意非零的有理数，定义运算如下：．已知，则的值为 ．
（四）一元一次方程的应用题
例1．欣欣服装店某天用相同的价格卖出了两件服装，其中一件盈利，另一件亏损，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是
亏损B．盈利C．不盈不亏D．与进价有关
例2．学校安排学生住宿，若每室住8人，则有12人无法安排；若每室住9人，可空出2个房间．这个学校的住宿生有多少人？宿舍有多少房间？
例3．某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题：
（1）求小明原计划购买文具袋多少个？
（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元．问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？
例4．从锦江区社保局获悉，我区范围内已经实现了全员城乡居民新型社会合作医疗保险制度，享受医保的城乡居民可在规定的医院就医并按规定标准报销部分医疗费用，下表是住院费用报销的标准：
（说明：住院费用的报销采取分段计算方式，如：某人一年住院费用共30000元，则5000元按报销．15000元按报销，余下的10000元按报销：实际支付的住院费住院费用按标准报销的金额）
（1）若我区居民张大哥一年住院费用为20000元，则按标准报销的金额为 元，张大哥实际支付了 元的住院费．
（2）若我区居民王大爷一年内本人实际支付的住院费用为21000元，则王大爷当年的住院费用为多少元？
过关检测
1．某商店出售两件衣服，每件卖了200元，其中一件赚了，而另一件赔了．那么商店在这次交易中
A．亏了10元钱B．赚了10钱C．赚了20元钱D．亏了20元钱
2．某公司销售甲、乙两种运动鞋，2022年这两种鞋共卖出11000双．2023年甲种运动鞋卖出的数量比2022年增加，乙种运动鞋卖出的数量比2022年减少，且这两种鞋的总销量增加了．
（1）求2022年甲、乙两种运动鞋各卖了多少双？
（2）某制鞋厂组织工人生产甲、乙两种运动鞋．原计划安排的工人生产甲种运动鞋，现抽调其中的16人去生产乙种运动鞋，已知每位工人一天可生产甲种运动鞋6双或乙种运动鞋4双，若调配后制成的两种运动鞋数量相等，求该鞋厂工人的人数．
3．某学校班主任暑假带领该班三好学生去旅游，甲旅行社说：“如果教师买全票一张，其余学生享受半价优惠；”乙旅行社说：“教师在内全部按票价的6折优惠；”若全部票价是240元；
（1）如果有10名学生，应参加哪个旅行社，并说出理由；
（2）当学生人数是多少时，两家旅行社收费一样多？
4．成都华联商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价150元，售价200元；乙种商品每件进价350元，售价450元．
（1）该商场在“十一”黄金周期间销售甲、乙两种商品共100件，销售额为35000元，求甲、乙两种商品各销售了多少件？
（2）假若该商场在“十一”黄金周期间销售甲、乙两种商品进行如表优惠活动：
按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款2000元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款3240元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
学习任务
1.下列说法正确的是（ ）
A．正整数和负整数统称为整数 B．0既不是正数也不是负数
C．绝对值最小的有理数为1 D．正数和负数统称为有理数
2.若， ，且 ＞0，则 ．
3．多项式是 ， ， 三项的和，其中次数最高项的系数是 ．
4．若单项式与之和仍为单项式，则 ．
5．已知，则代数式的值为
A．10B．12C．D．14
6．当时，二次三项式的值等于18，那么当时，该代数式的值等于 ．
7．数学课上，老师给同学们编了如图所示的计算程序，请大家计算：当输入的值是时，输出的值是 ．
8．按一定规律排列的单项式：，，，，，，，第个单项式是
A．B．C．D．
9．计算：（1） （2）
10．化简：
（1）； （2）
11．解方程
（1） （2）
（3） （4）
12．已知，，若，求．
13．（1）已知关于的方程和方程的解相同，求的值．
（2）设，，若，且，求的值．
14．在我们身边有一些股民，在每一次的股票交易中或盈利或亏损．某股民将甲，乙两种股票卖出，甲种股票卖出1500元，盈利，乙种股票卖出1500元，但亏损，该股民在这次交易中是
A．盈利125元B．亏损125元C．不赔不赚D．亏损625元
15．目前，成都市城市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下：
（1）若我市某户12月用电量为300度，求该户应交电费多少？
（2）若我市某户12月用电量为度．请用含的代数式表示该户12月应交电费多少？
（3）若我市某户12月电费平均为每度0.615元，求该户12月用电量为多少？
家长签字：____________
第1节 数式与方程（教师版）
目标层级图
课中讲解
一．有理数
内容讲解
有理数的概念
1．概念及分类
例1．下列各式中，一定是负数的是（ D ）
A．﹣aB．﹣|a|C．﹣a3D．﹣a2﹣1
例2．下列说法中错误的是（ B ）
A．0既不是正数，也不是负数 B．0是最小的整数
C．0的相反数是0 D．0的绝对值是0
例3．下列选项中，比-3℃低的温度是（A）
A．-4℃ B．-2℃ C．-1℃ D．0℃
例4．把下列各数填入相应的大括号内：
，0.1，，，0，，，，，
正数集｛0.1, ,｝，负数集｛,,,,｝，
分数集｛0.1,,,,,｝，非负整数集｛,0｝．
过关检测
1．下列各式的值一定为正数的是（D）
A． B． C． D．
2．下面的说法正确的是（D）
A．有理数的绝对值一定比0大 B．有理数的相反数一定比0小
C．如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等 D．互为相反数的两个数的绝对值相等
3．《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是：今有两数若其意义相反，则分别叫做正数与负数．若收入80元记作+80元，则﹣50元表示（C ）
A．收入50元B．收入30元C．支出50元D．支出30元
4．把下列各数填在相应的大括号里，，，0，，，，，，．
自然数集合：｛ 0, ｝正数集合：｛,,,,,｝
非正整数集合：｛,0,｝分数集合：｛,,,｝
2．倒数、相反数、绝对值
例1．﹣的倒数是（C ）
A．3 B． C．﹣3 D．﹣
例2．﹣|﹣|的相反数是 4/5 ．
例3．若互为相反数，则下列等式不一定成立的是（A）
A． B． C． D．
例4．若，则=1 ．
例5．若，，则值为（A）
A．±7或±1 B．7或-7 C．7 D．-7
例6．已知a、b互为相反数，c，d互为倒数，m的绝对值为2，那么（a+b）m3+5m+2023cd的值为 2029或2009 ．
过关检测
1．的相反数是 -2/5 ，的倒数是 5/2 ．
2．的相反数是（D）
A．3 B．-3 C． D．
3．若m+1与-3互为相反数，则m的值为 2 ．
4．已知，则 -1 ．
5．已知两个有理数满足条件：，，＞0，＜0，求的值．
答：11
6．若互为相反数，c与d互为负倒数，，求代数式的值．
答：18或-14
（二）有理数的大小比较
例1．比较大小： ； ； ＜ ．
例2．已知，，，则，，，的大小关系正确的是 A
A．B．C．D．
例3．已知实数，在数轴上的位置如图所示，下列结论错误的是 A
A．B．C．D．
例4．画出数轴，在数轴上表示下列有理数，并用“”号连接起来．
，，0，，，．
过关检测
1．比较每组数的大小： ＜ ； ＞ 2.3．
2．如果，且，则，，，0的大小顺序用符号连接是 ．
3．有理数、在数轴上的位置如图所示，则下列结论中错误的是 B
A．B．C．D．
4．把下列各数，，，0，，表示的点
（1）画在数轴上；
（2）用把这些数连接起来；
（三）有理数的计算
1．有理数的混合运算
例1．有理数的计算：
（1）（2）
3-2
（3）（4）
-751/6
过关检测
（1）（2）
-2/51
（3）（4）
-18
2．绝对值化简
例1．已知、、在数轴上的位置如图所示，化简： -2a+c-1 ．
例2．当，，且，则的值为B
A．B．或C．2D．
例3．已知有理数，，满足，则 -1 ．
例4．若，，是非零有理数，，，则的值为 0 ．
过关检测
1．已知有理数，，在数轴上的对应位置如图所示，则化简后的结果是 2c-b-1 ．
2．已知，，，且，，求的值．
7或11
3．阅读下列材料完成相关问题：已知，、是有理数
（1）当，时，求的值；
（2）当时，求的值；
（3）当，，的值．
（四）科学计数法
例1．共享单车为市民短距离出行带来了极大便利．据“深圳互联网自行车发展评估报告”披露，深圳市日均使用共享单车2590000人次，则其中2590000用科学记数法表示为C
A．B．C．D．
例2．2022年国庆假期，各地旅游市场总体实现了“安全、有序、优质、高效、文明”目标．经中国旅游研究院（文化和旅游部数据中心）测算，全国共接待国内游客约7．26亿人次．数据7．26亿表示为科学记数法是 B
A．B．C．D．
过关检测
1．2022年10月23日，港珠澳大桥正式开通，它是中国乃至当今世界规模最大、标准最高、最具挑战性的跨海桥梁工程，被誉为桥梁界的“珠穆朗玛峰”，仅主体工程的主梁钢板用量就达42000万千克，相当于60座埃菲尔铁塔的重量．这里的数据42000万可用科学记数法表示为（ B ）
A．42×107B．4.2×108C．4.2×109D．0.42×109
2．中央财政安排农村义务教育营养膳食补助资金共150．5亿元，150．5亿元用科学记数法表示为 B
A．元B．元C．元D．元
二. 整式及整式加减
内容讲解
（一）单项式、多项式
例1．下列关于单项式的说法中，正确的是
A．系数是3，次数是3B．系数是，次数是3
C．系数是，次数是2D．系数是，次数是3
【分析】单项式中的数字因数叫做单项式的系数，一个单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，据此解答可得．
【解答】解：单项式的系数是，次数是3，
故选：．
例2．多项式是
A．二次三项式B．三次二项式C．四次三项式D．五次三项式
【分析】直接利用多项式的次数与项数确定方法分析得出答案．
【解答】解：多项式是五次三项式．
故选：．
例3．若关于、的多项式化简后不含二次项，则 ．
【分析】首先合并同类项，不含二次项，说明项的系数是0，由此进一步计算得出结果即可．
【解答】解：，
因为化简后不含二次项，
所以，
解得．
故答案为：．
过关检测
1．对单项式说法正确的是
A．的系数是，次数是2
B．的系数是，次数是3
C．的系数是2，次数是2
D．的系数是，次数是3
【分析】根据单项式系数和次数的概念解答即可，单项式中的数字因数是单项式的系数，单项式中所有字母的指数和叫单项式的次数．
【解答】解：的系数是，次数是3．
故选：．
2．多项式的项数和次数分别为
A．3，3B．4，3C．3，4D．3，6
【分析】利用几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数，分别判断即可．
【解答】解：多项式的项数和次数分别为：3，4．
故选：．
3．当 时，代数式中不含项．
【分析】多项式中不含项，即项合并以后的系数是0，据此即可求解．
【解答】解：根据题意得：，
解得：．
故答案是：．
（二）同类项与合并同类项
例1．已知和是同类项，则的值是
A．6B．5C．4D．2
【分析】根据同类项是字母相同且相同字母的指数也相同，可得，的值，根据代数式求值，可得答案．
【解答】解：根据题意得，，
解得，
则．
故选：．
例2．已知代数式合并同类项得到，则的值是 9 ．
【分析】由代数式合并同类项得到，再根据同类项的定义及合并同类项的法则求出与的值，代入代数式即可解答．
【解答】解：因为代数式合并同类项得到，
所以，，，
解得：，，，
所以，
故答案为：9．
过关检测
1．若单项式与是同类项，则这两个单项式的和是 ．
【分析】由题意知道，它们是同类项，由同类项的定义可先求得和的值，从而求出它们的和．
【解答】解：单项式与是同类项，
，，
，．
代入
．
故答案为：．
2．如果单项式与的差仍然是一个单项式，则 ．
【分析】根据两单项式差为单项式，得到两单项式为同类项，即可求出的值．
【解答】解：单项式与的差仍然是一个单项式，
，
解得：．
故答案为：
（三）整式的加减
例1．下列计算正确的是
A．B．
C．D．
【分析】依据合并同类项的法则、去括号的法则即可解决．
【解答】解：、应为，故选项错误；
、应为，故选项错误；
、应为，故选项错误；
、，故选项正确．
故选：．
例2．下列添括号正确的是
A．
B．
C．
D．
【分析】根据添括号法则：添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如果括号前面是负号，括号括号里的各项都改变符号可得答案．
【解答】解：、，故此选项错误；
、，故此选项错误；
、，故此选项正确；
、，故此选项错误．
故选：．
例3．化简：
（1）；
（2）
【分析】（1）先去括号再合并同类项即可；
（2）先去括号再合并同类项即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
难例3．整式的化简：
（1）
（2）
【分析】（1）先去括号，然后合并同类项即可解答本题；
（2）先去小括号，再去中括号，然后合并同类项即可解答本题．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
例4．已知代数式，
（1）求；
（2）若的值与的取值无关，求的值．
【分析】（1）把与代入中，去括号合并即可得到结果；
（2）由与取值无关，确定出的值即可．
【解答】解：（1）
；
（2），且其值与无关，
，
解得．
难例4．已知，．
（1）化简：；
（2）当时，求的值．
【分析】（1）把、的值代入，去括号、合并同类项即可；
（2）把的值代入，即可求出答案．
【解答】解：（1），，
；
（2）当时，．
难例5．有这样一道题：“计算的值，其中”．甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果．
【分析】首先将原代数式去括号，合并同类项，化为最简整式为，与无关；所以甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的．
【解答】解：
，
当时，原式．
因为化简的结果中不含，所以原式的值与值无关．
过关检测
1．下列运算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据合并同类项、去括号法则即可求解．
【解答】解：、和不是同类项不能合并，故选项错误；
、，故选项正确；
、，故选项错误；
、，故选项错误．
故选：．
2．下列多项式中添括号错误的是
A．B．
C．D．
【分析】根据添括号的法则对每一项进行判断即可．
【解答】解：、，故本选项不符合题意；
、，故本选项不符合题意；
、，故本选项符合题意；
、，故本选项不符合题意．
故选：．
3．化简：
（1）
（2）
【分析】（1）根据合并同类项法则合并即可；
（2）先去括号，再合并同类项即可得．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式．
难3．计算题
（1）
（2）
【分析】（1）原式去括号合并即可得到结果；
（2）原式去括号合并即可得到结果．
【解答】解：（1）原式；
（2）原式．
4．已知，．
（1）求；
（2）如果，那么的表达式是什么？
【分析】（1）将，整体代入后化简即可．
【解答】解：（1），
（2），
难5．小明在求一个多项式减去时，误认为加上，得到的答案是，则正确的答案是多少？
【分析】根据题意列出正确的算式，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：．
（四）代数式求值
例1．如果与互为相反数，则的值是
A．B．10C．7D．6
【分析】利用互为相反数两数之和为0列出关系式，根据非负数的性质求出与的值，原式去括号合并后代入计算即可求出值．
【解答】解：与互为相反数，即，
，，
则原式，
故选：．
例2．若，则代数式的值是
A．0B．2C．5D．8
【分析】原式变形后，将已知等式代入计算即可求出值．
【解答】解：，
原式，
故选：．
例3．已知，则代数式的值为 ．
【分析】把，代入代数式进行计算即可．
【解答】解：原式，
故答案为：．
例4．当时，代数式的值为9，那么，当时代数式的值为 ．
【分析】把代入代数式，使其值为9确定出的值，再将及的值代入计算即可求出值．
【解答】解：根据题意得：，即，
则当时，原式，
故答案为：
难例4．当时，代数式的值是2010，当时，代数式的值为
A．B．C．D．2008
【分析】先求得当时的值，然后可得到当时，的值，最后整体代入求解即可．
【解答】解：当时，代数式的值是2010，
当时，代数式．
当时，．
当时，代数式．
故选：．
例5．按如图所示的程序流程计算，若开始输入的值为，则最后输出的结果是 231 ．
【分析】根据程序可知，输入，计算出的值，若，然后再把作为，输入，再计算的值，直到，再输出．
【解答】解：，
，
，
当时，，
当时，，
则最后输出的结果是 231，
故答案为：231．
例6．先化简，再求值：，其中，．
【分析】首先去括号，然后合并同类项即可化简，然后代入数值计算即可．
【解答】解：原式
，
当、时，
原式
．
难例6．先化简，再求值：
已知，其中，满足．
【分析】首先利用去括号法则去括号，进而合并同类项，再利用非负数的性质得出，的值，进而求出即可．
【解答】解：原式
，，
原式
．
过关检测
1．若，则式子的值为
A．B．C．11D．1
【分析】利用非负数的性质求出与的值，原式去括号合并后代入计算即可求出值．
【解答】解：原式，
，
，，
则原式，
故选：．
2．若，则的值为
A．1B．C．2D．
【分析】将代入原式，计算可得．
【解答】解：，
原式
，
故选：．
3．已知，，则代数式的值为 22 ．
【分析】先去括号，再合并同类项，最后代入求出即可．
【解答】解：
当，时，原式，
故答案为：22．
4．如果代数式的值为8，那么代数式的值是 ．
【分析】观察题中的两个代数式和，可以发现，因此由的值为8，求得，再代入代数式求值．
【解答】解：，
，
，故本题答案为：．
5．如图，是一个数值转换机的示意图，若输入的值为3，的值为时，则输出的结果为： 5 ．若输入的值为，的值为2时，则输出的结果为： ．
【分析】根据题意可知，该程序是先计算和，然后将两项相加，最后除以2，得到结果．
【解答】解：输入，，
，，
，
；
输入，，
，，
，
．
故答案为5、．
6．先化简，再求值，其中，．
【分析】做题时，注意按题目的要求：先化简再代入求值，化简时先去括号，合并同类项，计算时注意符号的处理．
【解答】解：
当，时，
原式．
难6．先化简，再求值：，其中， 满足．
【分析】利用整式的加减混合运算法则把原式化简，根据非负数的性质分别求出、，代入计算即可．
【解答】解：
，
由题意得，，，
解得，，，
则原式．
（五）规律
例1．有一组单项式如下：，，，，则第100个单项式是
A．B．C．D．
【分析】由单项式的系数，字母的指数与序数的关系求出第100个单项式为．
【解答】解：由，，，得，
单项式的系数的绝对值为序数加1，
系数的正负为，字母的指数为，
第100个单项式为，
故选：．
例2．观察下列各式：
；
；
；
；
，
根据上述规律计算：
A．B．C．D．
【分析】先由规律，得到的结果，令得结论．
【解答】解：有上述规律可知：
当时，
即
．
故选：．
难例1．按一定规律排列的一列数依次是、1、、、、按此规律，这列数中第100个数是
A．B．C．D．
【分析】观察发现，这一列数都可以写成分数形式，把1改写成，则不难发现分子、分母的变化规律．
【解答】解：由、、、、、、可得第个数为．
，
第100个数为：
故选：．
难例2．观察等式：；；；若，则用含的式子表示的结果是
A．B．C．D．
【分析】由已知规律可先求得和，再求两者的差，对其差进行因式分解，与已知联系起来进行解答．
【解答】解：由已知可得，
，
，
，
，
故选：．
简单、难例3．如图，图1是“杨辉三角”数阵；图2是的展开式（按的升幂排列）．若的展开式按的升幂排列得：，则 990 ．
【分析】根据图形中的规律即可求出的展开式中第三项的系数为前44个数的和，计算得到结论．
【解答】解：由图2知：的第三项系数为0，
的第三项的系数为：1，
的第三项的系数为：，
的第三项的系数为：，
发现的第三项系数为：；
的第三项系数为；
的第三项系数为；
不难发现的第三项系数为，
，则；
故答案为：990．
例4．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，第1个图形有4个小圆，第2个图形有8个小圆，第3个图形有14个小圆，，依次规律，第6个图形的小圆个数是
A．56B．54C．44D．42
【分析】由题意可知：第一个图形有个小圆，第二个图形有个小圆，第三个图形有个小圆，第四个图形有个小圆由此得出，第7个图形的小圆个数为，由此得出答案即可．
【解答】解：第一个图形有个小圆，
第二个图形有个小圆，
第三个图形有个小圆，
第四个图形有个小圆，
第六个图形的小圆个数为，
故选：．
难例4．如图所示，用围棋子摆放正方形，要求每条边上的围棋子数相同，第1个正方形需要4颗围棋子，第2个正方形需要8颗围棋子，按照这个规律，则第5个正方形需要 20 颗围棋子，若第个正方形需要2036颗围棋子（其中，为自然数）则 ．
【分析】观察图形可得到第1个图形每条边上有2个棋子，则需要的棋子颗数为；第2个图形每条边上有3个棋子，则需要的棋子颗数为；第3个图形每条边上有4个棋子，则需要的棋子颗数为，于是得到每个图形所需要的棋子颗数等于这个图形的序号数的4倍．
【解答】解：第1个图形需要的棋子颗数为，
第2个图形需要的棋子颗数为，
第3个图形需要的棋子颗数为，
所以第个图形需要的棋子颗数为．
时，需要20颗围棋子，
由题意，解得，
故答案为20，509．
过关检测
1．一组按规律排列的单项式：，，，，．则第为正整数）个式子表示最恰当的是
A．B．
C．D．
【分析】从已知单项式的系数符号、系数绝对值、字母指数三个方面寻找其与序数间的关系，从而得出答案．
【解答】解：第1个单项式，
第2个单项式，
第3个单项式，
第4个单项式，
第为正整数）个单项式为，
故选：．
2．观察下列各式及其展开式
请你猜想的展开式中含项的系数是
A．224B．180C．112D．48
【分析】观察数字规律，发现各组数据的首尾均为1，中间数字分别为上一组数据相邻两个数字之和，分别写出左边式子的指数分别为6，7，8的等式右边各项的系数，结合括号内含项的系数为2，可得答案．
【解答】解：由所给四组式子的系数规律可得左边式子的指数分别为 6，7，8 的等式，右边各项的系数分别为：
1，6，15，20，15，6，1；
1，7，21，35，35，21，7，1；
1，8，28，56，70，56，28，8，1；
故含项的系数为：．
故选：．
难1．一列数按某规律排列如下，若第个数为，则 50 ．
【分析】根据题目中的数据可以发现，分子变化是1，，，2，，，分母变化是1，，，2，，，从而可以求得第个数为时的值即可．
【解答】解：，
可写成，，，，，，，，，，
分母为10开头到分母为1的数有10个，分别为，
第个数为，则，
故答案为：50．
难2．观察等式：；；；若，则用含的式子表示的结果是
A．B．C．D．
【分析】由已知规律可得：，再由已知，可求．
【解答】解：由已知可得，
，
，
，
，
故选：．
简单、难3．公元1261年，我国南宋数学家杨辉在他的著作《详解九章算法》中提出了“杨辉三角”，请观察图中的数字排列规律，则 1800 ．
【分析】根据图形中数字规模：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，可得、、的值．
【解答】解：根据图形得：每个数字等于上一行的左右两个数字之和，
，，，
，
故答案为：1800．
4．下列图形都是由同样大小的圆按照一定规律摆放而成，其中第①个图形有5个小圆，第②个图形有9个小圆，第③个图形有13个小圆，，按此规律排列，则第10个图形中小圆的个数为
．37．40．41．42
【分析】由图形可知：第①个图形有5个小圆，第②个图形有个小圆，第③个图形有个小圆，，由此得出第个图形中小圆的个数为，由此进一步代入求得答案即可．
【解答】解：第①个图形有5个小圆，
第②个图形有个小圆，
第③个图形有个小圆，
，
第个图形中小圆的个数为，
第10个图形中小圆的个数为．
故选：．
难4．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形．第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，，以此类推，解决以下问题：则 48 ，若第幅图中“●”的个数为 ．（用含的代数式表示）
【分析】由点的分布情况得出，据此求解可得．
【解答】解：由图知，，，，，
，
当时，，
三．方程的解及相关应用
内容讲解
（一）一元一次方程的定义
例1．已知是关于的一元一次方程，则的值为 1 ．
例2．下列等式中不是一元一次方程的是
A．B．
C．D．
过关检测
1．若是关于的一元一次方程，则的值为
A．5B．C．5 或D．4 或
2．下列方程中是一元一次方程的是
A．B．C．D．
（二）解方程
例1．（1），得：； （1）；得：；
（3）．得：． （4）解得：．
过关检测
1．计算下列各式
（1），得：．（2）解得：；
（3）解得：；（4）解得：．
（三）一元一次方程的含参问题（解、同解、取值无关、解的关系、定义新运算）
例1．对于，为常数），表述正确的是
A．当时，方程的解是B．当，时，方程有无数解
C．当，，方程无解D．以上都不正确
【解答】解：、当时，方程的解是，故错误；
、当，时，方程无解，故错误；
、当，，方程有无数解，故错误；
、以上都不正确．
故选：．
例2．若是关于的方程的解，则的值等于 ．
例3．27．关于的方程与的解相同，则的值是 4 ．
例4．李老师在给张欣同学评讲作业时说：“解方程去分母时，方程右边的忘记乘以6．因而求得方程的解为．”根据以上信息，试求的值，并解方程．
【解答】解：根据题意得：，
把代入得：，
解得：，
方程为，
解得：．
例5．为何值时，关于的方程的解是的解的2倍．
【解答】解：解方程，
得：，
解得：，
关于的方程的解是的解的2倍，
，
解得：．
例6．若为整数，关于的一元一次方程的解是正整数，求的值．
【解答】（2），
，
方程的解是正整数，
也是正整数，
为整数，
，
．
例7．对任意四个有理数，，，定义新运算：，已知，则
A．B．2C．3D．4
过关检测
1．已知是方程的解，则的值是
A．2B．3C．7D．8
2．已知关于的方程，在解这个方程时，粗心的小伟误将看成了，从而解得，请你帮他求出正确的解．
【解答】解：是的解，
；
解得：．
则原方程可化为：
即
．
3．如果关于的方程的解与关于的方程的解相同，求代数式的值．
【解答】（2），
，
把代入，
可得：，
解得：，
所以
4．已知代数式的值与的取值无关．
（1）求的值；
【解答】解：（1）．
代数式的值与的取值无关，
，，
解得，．
；
5．，当取什么整数时，方程的解为正整数？并求出这些正整数．
【解答】解：移项，得：，
即，
则或2或3或6．
解得：或4或5或8．
6．如果对于任意非零的有理数，定义运算如下：．已知，则的值为 0．6 ．
（四）一元一次方程的应用题
例1．欣欣服装店某天用相同的价格卖出了两件服装，其中一件盈利，另一件亏损，那么该服装店卖出这两件服装的盈利情况是
亏损B．盈利C．不盈不亏D．与进价有关
例2．学校安排学生住宿，若每室住8人，则有12人无法安排；若每室住9人，可空出2个房间．这个学校的住宿生有多少人？宿舍有多少房间？
【解答】解：设宿舍有间房，则：
，
解得，
．
答：这个学校的住宿生有252人，宿舍有30个房间．
例3．某校开展校园艺术节系列活动，派小明到文体超市购买若干个文具袋作为奖品．这种文具袋标价每个10元，请认真阅读结账时老板与小明的对话图片，解决下面两个问题：
（1）求小明原计划购买文具袋多少个？
（2）学校决定，再次购买钢笔和签字笔共50支作为补充奖品，其中钢笔标价每支8元，签字笔标价每支6元．经过沟通，这次老板给予8折优惠，合计272元．问小明购买了钢笔和签字笔各多少支？
【解答】解：（1）设小明原计划购买文具袋个，则实际购买了个，
由题意得：．
解得：；
答：小明原计划购买文具袋17个；
（2）设小明可购买钢笔支，则购买签字笔支，
由题意得：，
解得：，
则：．
答：小明购买了钢笔20支，签字笔30支．
例4．从锦江区社保局获悉，我区范围内已经实现了全员城乡居民新型社会合作医疗保险制度，享受医保的城乡居民可在规定的医院就医并按规定标准报销部分医疗费用，下表是住院费用报销的标准：
（说明：住院费用的报销采取分段计算方式，如：某人一年住院费用共30000元，则5000元按报销．15000元按报销，余下的10000元按报销：实际支付的住院费住院费用按标准报销的金额）
（1）若我区居民张大哥一年住院费用为20000元，则按标准报销的金额为 9500 元，张大哥实际支付了 元的住院费．
（2）若我区居民王大爷一年内本人实际支付的住院费用为21000元，则王大爷当年的住院费用为多少元？
【解答】解：（1）由题意可得，
按标准报销的金额为：（元，
张大哥实际支付了：（元，
故答案为：9500，10500；
（2）设王大爷当年的住院费用为元，
，
解得，
答：王大爷当年的住院费用为46250元．
过关检测
1．某商店出售两件衣服，每件卖了200元，其中一件赚了，而另一件赔了．那么商店在这次交易中
A．亏了10元钱B．赚了10钱C．赚了20元钱D．亏了20元钱
2．某公司销售甲、乙两种运动鞋，2022年这两种鞋共卖出11000双．2023年甲种运动鞋卖出的数量比2022年增加，乙种运动鞋卖出的数量比2022年减少，且这两种鞋的总销量增加了．
（1）求2022年甲、乙两种运动鞋各卖了多少双？
（2）某制鞋厂组织工人生产甲、乙两种运动鞋．原计划安排的工人生产甲种运动鞋，现抽调其中的16人去生产乙种运动鞋，已知每位工人一天可生产甲种运动鞋6双或乙种运动鞋4双，若调配后制成的两种运动鞋数量相等，求该鞋厂工人的人数．
【解答】解：（1）设2022年甲种运动鞋卖了双，则乙种运动鞋卖了双，
由题意，得：，
解得：，
答：2022年甲种运动鞋卖了7000双，则乙种运动鞋卖了4000双．
（2）设该厂有名工人，
则生产甲种运动鞋的人数为，生产乙种运动鞋的人数为，
由题意得：，
解得：，
答：该鞋厂有工人60人．
3．某学校班主任暑假带领该班三好学生去旅游，甲旅行社说：“如果教师买全票一张，其余学生享受半价优惠；”乙旅行社说：“教师在内全部按票价的6折优惠；”若全部票价是240元；
（1）如果有10名学生，应参加哪个旅行社，并说出理由；
（2）当学生人数是多少时，两家旅行社收费一样多？
【解答】解：（1）甲旅行社的收费为：元；
乙旅行社的收费为：元；
，
选择甲旅社合适．
答：如果有10名学生，应参加甲旅行社．
（2）设当学生人数为人时，两家旅行社收费一样多，则可得：
，
解得：．
答：当学生人数是4人时，两家旅行社收费一样多．
4．成都华联商场经销甲、乙两种商品，甲种商品每件进价150元，售价200元；乙种商品每件进价350元，售价450元．
（1）该商场在“十一”黄金周期间销售甲、乙两种商品共100件，销售额为35000元，求甲、乙两种商品各销售了多少件？
（2）假若该商场在“十一”黄金周期间销售甲、乙两种商品进行如表优惠活动：
按上述优惠条件，若小王第一天只购买甲种商品一次性付款2000元，第二天只购买乙种商品打折后一次性付款3240元，那么这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共多少件？
【解答】解：（1）设甲种商品销售了件，则乙种商品销售了件，
依题意，得：，
解得：，
．
答：甲种商品销售了40件，乙种商品销售了60件．
（2）设小王在该商场购买甲种商品件，购买乙种商品件，
依题意，得：，或，
解得：，或，
或19．
答：这两天他在该商场购买甲、乙两种商品一共18件或19件．
学习任务
1.下列说法正确的是（B ）
A．正整数和负整数统称为整数 B．0既不是正数也不是负数
C．绝对值最小的有理数为1 D．正数和负数统称为有理数
2.若， ，且 ＞0，则 ．
3．多项式是 2 ， ， 三项的和，其中次数最高项的系数是 ．
【分析】根据多项式的定义以及多项式的次数进行填空即可．
【解答】解：多项式的项是2，，，单项式的次数是．
故答案为2，，，．
4．若单项式与之和仍为单项式，则 9 ．
【分析】根据题意可知与是同类项，根据同类项的定义得到，，先求得、的值，然后再计算即可．
【解答】解：单项式与之和仍为单项式，
与是同类项．
，．
，．
．
故答案为：9．
5．已知，则代数式的值为
A．10B．12C．D．14
【分析】将代数式中的变为，将，整体代入即得代数式的值为14．
【解答】解：
，
将代入，
得原式．
故选：．
6．当时，二次三项式的值等于18，那么当时，该代数式的值等于 6 ．
【分析】对题意进行分析，，，可求出的值，然后将代入，即可求得结果．
【解答】解：当，，则，
将，代入，可得：，
故答案为：6．
7．数学课上，老师给同学们编了如图所示的计算程序，请大家计算：当输入的值是时，输出的值是 4 ．
【分析】将代入计算程序得到结果为，判断结果小于0，再代入计算程序计算，得到结果大于0时，输出即可．
【解答】解：若时，得到，
若时，得到，
则输出的结果为4．
故答案为：4．
8．按一定规律排列的单项式：，，，，，，，第个单项式是
A．B．C．D．
【分析】根据题意，找出规律：单项式的系数为的幂，其指数为比序号数少1，字母为．
【解答】解：，
，
，
，
，
，
由上规律可知，第个单项式为：．
故选：．
9．（1） （2）
37/8-23/4
10．化简：
（1）；
（2）
【分析】（1）根据合并同类项的方法可以解答本题；
（2）根据单项式乘多项式和合并同类项的方法可以解答本题．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
11．（1）：．
（2）解得：．
（3）解方程：．解得：；
（4）解方程：解得：．
12．已知，，若，求．
【分析】将与代入中求出，将，及代入所求式子中，去括号合并即可得到结果．
【解答】解：，，，
，
则原式
．
13．（1）已知关于的方程和方程的解相同，求的值．
（2）设，，若，且，求的值．
【解答】解：（1）方程，
解得：，
方程，
解得：，
根据题意得：，
去分母得：，
解得：；
（2），
，，
，，且，
，即，
把，代入得：，
解得：．
14．在我们身边有一些股民，在每一次的股票交易中或盈利或亏损．某股民将甲，乙两种股票卖出，甲种股票卖出1500元，盈利，乙种股票卖出1500元，但亏损，该股民在这次交易中是
A．盈利125元B．亏损125元C．不赔不赚D．亏损625元
15．目前，成都市城市“一户一表”居民用电实行阶梯电价，具体收费标准如下：
（1）若我市某户12月用电量为300度，求该户应交电费多少？
（2）若我市某户12月用电量为度．请用含的代数式表示该户12月应交电费多少？
（3）若我市某户12月电费平均为每度0.615元，求该户12月用电量为多少？
【解答】解：（1）（元，
答：该户应交电费166元．
（2）设该户12月应交电费元，
当时，；
当时，；
当时，．
．
（3），
该户12月用电量超过280度．
依题意，得：，
解得：．
答：该户12月用电量为400度．
家长签字：____________
住院费用（元
每年报销比例
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过3000元
不优惠
超过3000元且不超过4000元
总售价打九折
超过4000元
总售价打八折
一户居民一个月用电量（单位：度）
电价（单位：元度）
第1档
不超过180度的部分
0.5
第2档
超过180度但不超过280度的部分
0.6
第3档
超过280度的部分
0.8
住院费用（元
每年报销比例
打折前一次性购物总金额
优惠措施
不超过3000元
不优惠
超过3000元且不超过4000元
总售价打九折
超过4000元
总售价打八折
一户居民一个月用电量（单位：度）
电价（单位：元度）
第1档
不超过180度的部分
0.5
第2档
超过180度但不超过280度的部分
0.6
第3档
超过280度的部分
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