2020中考数学二轮复习专题训练7——圆的证明与计算

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（1）求证：PB 为⊙O的切线；
（2）若PA＝eq \f(4,5)PO，⊙O的半径为10，求线段 PD 的长.
第1题图
(1)证明：如解图，连接OA、OB，

第1题解图
∵PA＝PB，OA＝OB，OP＝OP，
∴△OAP≌△OBP(SSS)，
∴∠OAP＝∠OBP，
∵PA为⊙O的切线，
∴∠OAP＝90°，
∴∠OBP＝90°，
∵OB为⊙O的半径，
∴PB为⊙O的切线；
(2)解：∵PA＝eq \f(4,5)PO，⊙O的半径为10，
∴在Rt△AOP中，OA＝eq \r(PO2－（\f(4,5)PO）2)＝10，
解得PO＝eq \f(50,3)，
∴cs∠AOP＝eq \f(AO,OP)＝eq \f(OD,AO)，
∴OD＝6，
∴PD＝PO－OD＝eq \f(32,3).
2. 如图，在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，且AD＝DC，过A，B，D三点作⊙O，AE是⊙O的直径，连接DE.
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若cs C＝eq \f(3,5)，AC＝24，求直径AE的长.
第2题图
(1)证明：∵AB＝AC，AD＝DC，
∴∠C＝∠B，∠DAC＝∠C，
∴∠DAC＝∠B，
又∵∠E＝∠B，
∴∠DAC＝∠E，
∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠E＋∠EAD＝90°，
∴∠DAC＋∠EAD＝90°，
即∠EAC＝90°，
∴AE⊥AC，
∵OA是⊙O的半径，
∴AC是⊙O的切线；
(2)解：如解图，过点D作DF⊥AC于点F，
第2题解图
∵DA＝DC，
∴CF＝eq \f(1,2)AC＝12，
在Rt△CDF中，∵cs C＝eq \f(CF,CD)＝eq \f(3,5)，
∴DC＝20，
∴AD＝20，
在Rt△CDF中，由勾股定理得，
∵∠ADE＝∠DFC＝90°，∠E＝∠C，
∴△ADE∽△DFC，
∴eq \f(AE,DC)＝eq \f(AD,DF)，
即eq \f(AE,20)＝，解得AE＝25，
即⊙O的直径AE为25.
3．如图，在△ABC中，AB=BC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点E，过点E作⊙O的切线EF，交BC于点F．
（1）求证：EF⊥BC；
（2）若CD=2，tan C=2，求⊙O的半径．
第3题图
（1）证明：如解图，连接BE，OE．
第3题解图
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°．
∵AB=BC，
∴点E是AC的中点，
∵点O是AB的中点，
∴OE∥BC，
∵EF是⊙O的切线，
∴EF⊥OE．
∴EF⊥BC；
（2）解：如解图，连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∵CD=2，tan C=2，
∴AD=4．
设AB=x，
则BD=x－2．
在Rt△ABD中，
由勾股定理得AB2=AD2+BD2，
即x2=42+（x－2）2，
解得x=5，即AB=5，
∴⊙O的半径为．
4.如图，已知⊙O是以AB为直径的△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线交OC的延长线于点D，交BC的延长线于点E.
（1）求证：∠DAC＝∠DCE；
（2）若AB＝2， sin D＝eq \f(1,3)，求AE的长.
第4题图
(1)证明：∵AD是⊙O的切线，
∴∠DAB＝90°.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°.
∵∠DAC＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠ABC＝90°，
∴∠DAC＝∠ABC.
∵OC＝OB，
∴∠ABC＝∠OCB，
又∵∠DCE＝∠OCB，
∴∠DAC＝∠DCE；
(2)解：∵AB＝2，
∴AO＝1.
∵sin D＝eq \f(AO,OD)＝eq \f(1,3)，
∴OD＝3，DC＝2，
在Rt△DAO中，
由勾股定理得AD＝eq \r(OD2－OA2)＝2eq \r(2)，
∵∠DAC＝∠DCE，∠D＝∠D，
∴△DEC∽△DCA，
∴eq \f(DC,DA)＝eq \f(DE,DC)，
即eq \f(2,2\r(2))＝eq \f(DE,2)，
解得DE＝eq \r(2)，
∴AE＝AD－DE＝eq \r(2).
5.如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过点D作CD⊥OA交弦AB于点E，交⊙O 于点F，且BC是⊙O的切线.
（1）求证：CE＝CB；
（2）连接AF，BF，求∠ABF的度数；
（3）若CD＝15， BE＝10，eq \f(DE,AE)＝eq \f(5,13)，求⊙O的半径.
第5题图
(1)证明：如解图，连接OB，

第5题解图
∵BC是⊙O的切线，
∴OB⊥BC，即∠OBC＝90°，
∴∠OBA＋∠CBE＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA，
∴∠OAB+∠CBE＝90°，
又∵CD⊥OA，
∴∠OAB＋∠DEA＝90°，
又∵∠CEB＝∠DEA，
∴∠CBE＝∠CEB，
∴CE＝CB；
(2)解：如解图，连接OF，
∵DA＝DO，CD⊥OA，∴AF＝OF，
又∵OA＝OF，
∴△AOF是等边三角形，∴∠AOF=60°，
∴∠ABF＝eq \f(1,2)∠AOF＝30°；
(3)解：如解图，过点C作CG⊥AB于点G，
∵CD⊥OA，
∴∠ADE＝∠CGE＝90°，
又∵∠AED＝∠CEG，
∴△ADE∽△CGE，
∴eq \f(DE,AE)＝eq \f(EG,CE)＝eq \f(5,13)，
∵CE＝BC，
∴BG＝EG＝eq \f(1,2)BE＝5，
∴CE＝13，
∴DE＝CD－CE＝2，∴AE＝eq \f(26,5)，
∴在Rt△ADE中，由勾股定理得AD＝eq \f(24,5)，
∴OA＝2AD＝eq \f(48,5)，
∴⊙O的半径为eq \f(48,5).
6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AD＝DC，分别延长BA，CD交于点E，作BF⊥EC，交EC的延长线交于点F，连接BD.
（1）求证：△BFC∽△BDA；
（2）若AE＝AO，求cs∠ADE；
（3）在（2）的条件下，若BC＝6，求BF的长.
第6题图
(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°.
∵BF⊥EC，
∴∠BFC＝90°，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BCF＝∠BAD，
∴△BFC∽△BDA；
(2)解：如解图，连接OD，AC，

第6题解图
∵△BFC∽△BDA，
∴eq \f(BF,BD)＝eq \f(BC,AB)，
∵OD是⊙O的半径，AD＝CD，
∴OD垂直平分AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴OD∥BC，
∴△EOD∽△EBC，
∴eq \f(OE,BE)＝eq \f(OD,BC)，
∵AE＝AO，即OE＝2OB，BE＝3OB，
∴eq \f(OD,BC)＝eq \f(2,3)，
∴BC＝eq \f(3,2)OD，
∴eq \f(BF,BD)＝eq \f(BC,AB)＝eq \f(\f(3,2)OD,2OD)＝eq \f(3,4)，
∵∠ADB＝90°，
∴∠ADE＋∠BDF＝90°，
∵∠BDF＋∠DBF＝90°，
∴∠ADE＝∠DBF，
在Rt△BDF中，cs∠DBF＝eq \f(BF,BD)＝eq \f(3,4)，
∴cs∠ADE＝eq \f(3,4)；
(3)解：∵BC＝eq \f(3,2)OD，BC＝6，
∴OD＝4，
∴AE＝4，BE＝12，
∵△EOD∽△EBC，
∴eq \f(DE,CE)＝eq \f(OD,BC)，
∴CE＝eq \f(3,2)DE，
又∵∠EDA＝∠EBC，∠E＝∠E，
∴△AED∽△CEB，
∴eq \f(AE,CE)＝eq \f(DE,BE)，
∴DE·CE＝AE·BE，
∴DE·eq \f(3,2)DE＝4×12，
∴DE＝4eq \r(2)(负值舍去)，
∴CD＝2eq \r(2)，∴AD＝2eq \r(2)，
∵△BFC∽△BDA，
∴eq \f(CF,BC)＝eq \f(AD,AB)，∴eq \f(CF,6)＝eq \f(2\r(2),8)，
∴CF＝eq \f(3\r(2),2)，
在Rt△BCF中，根据勾股定理得，
BF＝eq \r(BC2－CF2)＝eq \f(3\r(14),2).
7.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为H，连接
AC，过上一点E作EG∥AC交CD的延长线于点G，连
接AE交CD于点F，且EG=FG，连接CE．
（1）求证：△ECF∽△GCE；
（2）求证：EG是⊙O的切线；
（3）延长AB交GE的延长线于点M，若tan∠G=，AH=3，
求EM的值．
第7题图
（1）证明：∵AC∥EG，
∴∠G=∠ACG，
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴=，
∴∠CEF=∠ACD，
∴∠G=∠CEF，
∵∠ECF=∠ECG，
∴△ECF∽△GCE；
（2）证明：如解图，连接OE，
第7题解图
∵GF=GE，
∴∠GFE=∠GEF=∠AFH，
∵OA=OE，
∴∠OAE=∠OEA，
∵∠AFH+∠FAH=90°，
∴∠GEF+∠AEO=90°，
∴∠GEO=90°，
∴GE⊥OE，
∵OE是⊙O的半径，
∴EG是⊙O的切线；
（3）解：如解图，连接OC，
设⊙O的半径为r．
在Rt△AHC中，
tan∠ACH=tan∠G==，
∵AH=3，
∴HC=4．
在Rt△HOC中，∵OC=r，OH=r－3，HC=4，
∴（r－3）2+42=r2，
解得r=，
∵GM∥AC，
∴∠CAH=∠M，
∵∠OEM=∠AHC=90°，
∴△AHC∽△MEO，
∴，
即，
∴．
8．如图，AB为⊙O的直径，C、G是⊙O上两点，过点C的直线CD⊥BG交BG的延长线于点D，交BA的延长线于点E，连接BC，交OD于点F，且BC平分∠ABD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若，求∠E的度数；
（3）连接AD，在（2）的条件下，若CD=2，求AD的长．
第8题图
（1）证明：如解图，连接OC，
第8题解图
∵OC=OB，BC平分∠ABD，
∴∠OCB=∠OBC，∠OBC=∠DBC，
∴∠DBC=∠OCB，
∴OC∥BD，
∴∠BDC=∠ECO，
∵CD⊥BD，
∴∠BDC=90°，
∴∠ECO=90°，
∵OC是⊙O的半径，
∴CD是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知，OC∥BD，
∴∠OCF=∠DBF，∠COF=∠BDF，
∴△OCF∽△DBF，
∴，
∵，
∴，
∵OC∥BD，
∴△EOC∽△EBD，
∴，
∴，
设OE=2a，则EB=3a，
∴OB=a，
∴OC=a，
∵∠OCE=90°，OC=OE，
∴∠E=30°；
（3）解：∵∠E=30°，∠BDE=90°，
∴∠EBD=60°，
∵BC平分∠DBE，
∴∠OBC=∠DBC==30°，
∵CD=2，
∴BC=4，BD=6，
∵，
∴OC=4，
如解图，过点D作DM⊥AB于点M，
∴∠DMB=90°，
∵BD=6，∠DBM=60°，
∴BM=3，DM=3，
∵OC=4，
∴AB=8，
∴AM=AB－BM=5，
∵∠DMA=90°，DM=3，
∴AD=．
9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O与BC相交于点D，与AB交于点E，AD平分∠FAB，连接ED并延长交AC的延长线于点F．
（1）求证：BC为⊙O的切线；
（2）求证：AE=AF；
（3）若DE=3，sin∠BDE=，求AC的长．
第9题图
（1）证明：如解图，连接OD．
第9题解图
∵AD平分∠FAB，
∴∠CAD=∠DAB，
∵OA=OD，
∴∠DAB=∠ODA，
∴∠CAD=∠ODA，
∴AC∥OD，
∴∠ODB=∠ACB=90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为⊙O的半径，
∴BC为⊙O的切线；
（2）证明：由（1）知OD∥AC，
∴∠ODE=∠F．
∵OD=OE，
∴∠OED=∠ODE，
∴∠OED=∠F．
∴AE=AF；
（3）解：∵AE是⊙O的直径，
∴∠ADE=90°．
∴∠DAF+∠F=90°，
∵AE=AF，
∴DF=DE=3．
∵∠ACB=90°，
∴∠CDF+∠F=90°，
∴∠DAF=∠CDF=∠BDE．
在Rt△ADF中，
，
∴AF=3DF=9．
在Rt△CDF中，
，
∴．
∴AC=AF－CF=8．
10．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，分别交BC于点D，交CA的延长线于点E，过点D作DH⊥AC于点H，连接DE交线段OA于点F．
（1）求证：DH是⊙O的切线；
（2）若AE=AH，求的值；
（3）若EA=EF=1，求⊙O的半径．
第10题图
证明：如解图，连接OD，
第10题解图
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∴∠ODB=∠ACB，
∴OD∥AC，
∵DH⊥AC，
∴DH⊥OD，
∵OD是⊙O的半径，
∴DH是⊙O的切线；
（2）解：∵∠E=∠B，AB=AC，
∴∠E=∠B=∠C，
∴ED=DC，
∵DH⊥EC，
∴EH=CH，
∵AE=AH，
∴AE=AC，
∵AO=BO，OD∥AC，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=AC，
∴，
∵AE∥OD，
∴△AEF∽△ODF，
∴；
（3）解：设⊙O的半径为r，即OD=OB=r，
∵EF=EA，
∴∠EFA=∠EAF，
∵OD∥EC，
∴∠FOD=∠EAF，
则∠FOD=∠EAF=∠EFA=∠OFD，
∴DF=OD=r，
∴DE=DF+EF=r+1，
∴BD=CD=DE=r+1，
在⊙O中，∵∠BDE=∠EAB，
∴∠BFD=∠EFA=∠EAB=∠BDE，
∴BF=BD=r+1，
∴AF=AB－BF=2OB－BF=2r－（1+r）=r－1，
∵∠BFD=∠EFA，∠B=∠E，
∴△BFD∽△EFA，
∴，
∴，
解得r=（负值已舍），
∴⊙O的半径为．