2024年辽宁省沈阳市中考数学调研二模试题（学生版+教师版）

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1. 的倒数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了倒数定义，根据题意利用倒数定义（互为倒数的两个数乘积为1）即可得出本题答案．
【详解】解：
∴的倒数为，
故选：C．
2. 下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据中心对称图形的定义（在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形）和轴对称图形的定义（如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形）逐项判断即可得．
【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，则此项不符合题意；
C、是轴对称图形，但不是中心对称图形，则此项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，则此项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形，熟记定义是解题关键．
3. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．苔花也被称为“坚韧之花”．袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为0.0000084m，将数据0.0000084用科学记数法表示为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
【详解】0.0000084用科学记数法表示为．
故选：B．
4. 下列运算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据积的乘方，同底数幂的乘法，除法法则，合并同类项法则，逐一进行计算即可得出结论．
【详解】解：A、，选项计算错误，不符合题意；
B、，选项计算错误，不符合题意；
C、，选项计算正确，符合题意；
D、，选项计算错误，不符合题意；
故选C．
【点睛】本题考查积的乘方，同底数幂的乘法，除法，合并同类项．熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．
5. 下图是我国南方某市今年春节七天最高气温的统计结果：
这七天最高气温的众数和中位数是（ ）
A. 15，17B. 14，17C. 17，14D. 17，15
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了求中位数和众数，众数是一组数据中出现次数最多的数据，中位数是一组数据中处在最中间的那个数据或处在最中间的两个数据的平均数，据此求解即可．
【详解】解：把这组数据按照温度从低到高排列为8，9，11，14，15，17，17，处在最中间的数据为14，出现次数最多的数据为17，
∴这七天最高气温的众数和中位数是17，14，
故选C．
6. 在我国古典数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”翻译成现代汉语就是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，问长木多少尺？如果设长木长尺、绳长尺，则可以列出方程组（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查二元一次方程组应用．根据题意设长木长尺、绳长尺，再利用二元一次方程知识即可得到本题答案．
【详解】解：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，
∴，
将绳子对折再量长木，长木还剩余尺，
∴
根据题意可列方程组，
故选：D．
7. 如图所示，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，且OC⊥AB，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足∠AEC＝65°，连接AD，则∠BAD等于( )
A. 20°B. 25°C. 30°D. 32.5°
【答案】A
【解析】
【分析】连接OD，根据三角形内角和定理和等边对等角求出∠DOB＝40°，再根据圆周角定理即可求出∠BAD的度数．
【详解】解：连接OD，
∵OC⊥AB，
∴∠COB＝90°，
∵∠AEC＝65°，
∴∠OCE＝180°﹣90°﹣65°＝25°，
∵OD＝OC，
∴∠ODC＝∠OCD＝25°，
∴∠DOC＝180°﹣25°﹣25°＝130°，
∴∠DOB＝∠DOC﹣∠BOC＝130°﹣90°＝40°，
∴由圆周角定理得：∠BAD＝∠DOB＝20°，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆和三角形的问题，掌握三角形内角和定理、等边对等角、圆周角定理是解题的关键．
8. 如图，直线与轴、轴分别交于两点，把绕点顺时针旋转后得到，则点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质，作轴，证是解题关键．
【详解】解：作轴，如图所示：
令，则；令，则；
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴点的坐标是
故选：D
9. 如图．在平面直角坐标系中，△AOB的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线y＝相交于点C，且BC∶OC＝1∶2，则k的值为（ ）
A. ﹣3B. ﹣C. 3D.
【答案】A
【解析】
【分析】过C作CD⊥x轴于D，可得△DOC∽△AOB，根据相似三角形的性质求出S△DOC，由反比例函数系数k的几何意义即可求得k．
【详解】解：过C作CD⊥x轴于D，
∵＝，
∴＝，
∵BA⊥x轴，
∴CD∥AB，
∴△DOC∽△AOB，
∴＝（）2＝（）2＝，
∵S△AOB＝，
∴S△DOC＝S△AOB＝×＝，
∵双曲线y＝第二象限，
∴k＝﹣2×＝﹣3，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质和判定求出S△DOC是解决问题的关键．
10. 函数和（a是常数，且）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出二次函数对称轴，再分和两种情况，分别得出函数和的图象的大致形状，即可作答．
【详解】根据可得：函数的对称轴为：，
当时，
二次函数的图象开口向上，抛物线在y轴左侧，
一次函数的图象交于y轴的负半轴，图象经过第一、三、四象限；
当时，
二次函数的图象开口向下，抛物线在y轴右侧，
一次函数的图象交于y轴的正半轴，图象经过第一、二、四象限；
根据上述结果：可知A、C、D三项所画图象均有相互矛盾的地方，只有选项B符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴符号与系数符号的关系等．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
11. 计算：______．
【答案】##
【解析】
【分析】本题主要考查了二次根式的加减计算，零指数幂，负整数指数幂，先化简二次根式，计算零指数幂，负整数指数幂，再计算加减法即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
12. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⨀O经过点D．若∠C＝30°，且CD＝3，则阴影部分的面积是 _________________．
【答案】##
【解析】
【分析】证明△OFD、△OFA是等边三角形，S阴影＝S扇形DFO，即可求解．
【详解】解：连接OD，连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠DAB＝∠DAO，
∵OD＝OA，
∴∠DAO＝∠ODA，
则∠DAB＝∠ODA，
∴DO AB，而∠B＝90°，
∴∠ODB＝90°，
∵∠C＝30°，CD＝3，
∴OD＝CD•tan30°＝3×＝3，
∵∠DAB＝∠DAE＝30°，
∴，
∵∠DOE＝60°，
∴∠DOF＝60°，
∴∠FOA＝60°，
∴△OFD、△OFA是等边三角形，
∴DFAC，
∴S阴影＝S扇形DFO＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形．
13. 二次函数（为常数），函数图象与x轴有______个交点．
【答案】两
【解析】
【分析】依据题意可得，，又，从而，进而可以判断得解．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用根的判别式进行分析是关键．
【详解】解：由题意可得，，
又∵，
∴，
∴函数图象与x轴有两个交点．
故答案为：两．
14. 如图，在四边形中，，，，，点和点分别是和的中点，连接，，，若，则的面积是________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据三角形的中位线定理与直角三角形的性质，可得，然后过点作于，根据等腰三角形性质与直角三角形性质可得和的长度，再根据三角形面积公式求解即可．
【详解】解：如图，过点作于．
，，，
，
点和点分别是和的中点，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题考查了三角形中位线定理、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质与三角形面积公式等知识，熟练掌握相关的定理、性质与公式是解题的关键．
15. 如图，函数的图象的顶点为，下列判断正确个数为①；②；③；④点和点都在此函数图象上，则；⑤．以上结论正确的是______．（填序号）
【答案】②④⑤
【解析】
【分析】本题主要考查二次函数图象与系数之间的关系、二次函数的图象与性质．根据抛物线的开口方向得，由顶点坐标可得，，以此可判断①②；再根据二次函数的性质可得当时，取得最大值为，以此可判断③；根据离抛物线对称轴距离相等点的函数值相等可判断④；将顶点坐标代入函数解析式中，化简即可判断⑤．
【详解】解：抛物线开口向下，
，
函数的图象的顶点为，
抛物线的对称轴为直线，
，
，故①错误；
由上述可知，，
，故②正确；
抛物线开口向下，
当时，取得最大值为，
无论取何值都有，
，故③错误；
抛物线的对称轴为直线，，
，故④正确；
函数的图象的顶点为，
，
整理得：，
，
，
，故⑤正确．
综上，正确的结论有②④⑤，共3个．
故答案为：②④⑤．
16. 一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则★所代表的数是______．
【答案】3
【解析】
【分析】本题考查了由三视图判断几何体．根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，从三视图中2开始，结合主视图可得到下层正面为6的正方体左右两面的数字为3与4，进而可确定此正方体上下两面是2与5，再底面是5与2两种情况考虑，从下往上即可得出★所代表的数．
【详解】解：由题意可以还原这个立体图形的形状，
左视图中2的对面是5；紧临的是3，其对面是4；再接下来是4，其对面是3；
主视图中小正方体正面是6，后面是1；左面是是4，右面是是3；上下两面就是2、5相对；
当底面是5，上面为2，紧临的是6，其对面是1；接触的两个面上的数字之和为8，则★应为7，不可能；
故底面只能是2，上面是5，紧临的是3，其对面是4；接下来紧临的还是4，★为其对面， 所以是3；
故答案为：3．
三、解答题：本题共10小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17. 小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）．

【答案】见解析
【解析】
【分析】分别作边AB,AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为花坛的圆心O，从而以OA为半径画圆可确定花坛的位置．
【详解】如图，分别作边AB,AC的垂直平分线，两条垂直平分线的交点即为花坛的圆心O，再以OA为半径画圆，则此圆即为花坛的位置．
【点睛】本题主要考查垂直平分线的尺规作图，掌握垂直平分线的作法是解题的关键．
18. （1）解不等式组：；
（2）计算：．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】（1）先分别解两不等式，再求它们解集的公共部分；
（2）先将整式部分看作分母为1的分数，再通分计算、化简，即可求解．
此题考查了一元一次不等式组和分式加减混合运算的求解能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，进行正确地计算．
【详解】解：（1），
解不等式①，得，
解不等式②，得，
该不等式组的解集为；
（2）
．
19. 第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行．某高校为了了解学生对“奥运会”的关注度，设置了A（非常关注）、B（比较关注）、C（很少关注）、D（没有关注）四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中所提供的信息，解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了 名学生，并补全条形统计图；
（2）求A所在扇形的圆心角度数；
（3）学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率．
【答案】（1）500，统计图见解析
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率：
（1）用A的人数除以其人数占比即可求出参与调查的总人数，进而求出B的人数，最后补全统计图即可；
（2）用360度乘以A的人数占比即可得到答案；
（3）先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到甲、乙同时被选中的结果数，最后依据概率计算公式求解即可．
【小问1详解】
解：名，
∴本次调查共抽取了500名学生，
∴B选项的学生人数为名，
补全统计图如下：
【小问2详解】
解：，
∴A所在扇形的圆心角度数为；
【小问3详解】
解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有12种等可能性的结果数，其中甲、乙同时被选中的结果数有2种，
∴甲、乙同时被选中的概率为．
20. 某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角．

（1）如图2，求遮阳棚前端B到墙面的距离；
（2）如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长（结果精确到）．（参考数据：）
【答案】（1）遮阳棚前端B到墙面的距离约为
（2）遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为
【解析】
【分析】（1）作于E，在中，根据列式计算即可；
（2）作于E，于H，延长交于K，则，可得四边形，四边形是矩形，解直角三角形求出，可得，然后中，解直角三角形求出，进而可得的长．
【小问1详解】
解：如图3，作于E，
在中，，即，
∴，
答：遮阳棚前端B到墙面的距离约为；
【小问2详解】
解：如图3，作于E，于H，延长交于K，则，

∴四边形，四边形是矩形，
由（1）得，
∴，
在中，，即，
∴，
由题意得：，
∴，
∴，
在中，，即，
∴，
∴，
答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度的长约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21. 如图，在中，，以为直径的交于点D，，垂足为E．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）见解析；
（2）．
【解析】
【分析】（1）如图：，然后根据等边对等角可得、即，再根据可得，进而得到即可证明结论；
（2）如图：连接，有圆周角定理可得，再解直角三角形可得，进而得到，然后说明，最后根据弧长公式即可解答．
【小问1详解】
证明：如图：连接

∵，
∴,
∵，
∴,
∴,
∴,
∴。
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线．
【小问2详解】
解：如图：连接
∵是的直径，
∴,
在中，，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了圆的切线证明、圆周角定理、解直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，灵活运用相关知识是解答本题的关键．
22. 某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同．
（1）求表中a的值；
（2）若该商场购进餐椅的数量比餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过260张，该商场计划将一半的餐桌成套（一张餐桌和四张餐椅配成一套）销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售．请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】（1）表中a的值为
（2）当购进餐桌40张、餐椅220张时，才能获得最大利润，最大利润是10400元
【解析】
【分析】（1）根据数量总价单价，即可得出结论，解之经检验后即可得出a值；
（2）设购进餐桌x张，则购进餐椅张，由餐桌和餐椅的总数量不超过260张，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设销售利润为y元，根据销售方式及总利润单件单套利润销售数量，即可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）利用一次函数的性质解决最值问题．
【小问1详解】
根据题意得：，
解得：，
经检验，a是原分式方程的解．
答：表中a的值为．
【小问2详解】
设购进餐桌x张，则购进餐椅张，
根据题意得：，
解得：，
设销售利润为y元，
根据题意得：
，
∵，
∴当时，y取最大值，最大值为
答：当购进餐桌40张、餐椅220张时，才能获得最大利润，最大利润是10400元．
23. 如图，的对角线AC、BD交于点O，点E是OC上一点，点F在BE延长线上，且，EF与CD交于点G．

（1）求证：；
（2）连接DE、CF，如果，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】（1）利用平行四边形对角线的性质得：，再根据题意得到OE为的中位线，利用三角形中位线性质即可求证；
（2）由（1）知得，根据题意证明，利用三角形全等的性质即可求证．
【小问1详解】
证明：对角线AC、BD交于点O，
，
，
OE为的中位线，
．
【小问2详解】
如图，连接、，

，
，
G是CD的中点，
，
在和中，，
，
，
四边形是平行四边形，
，
，
∵，
，
∴，
四边形是矩形．
【点睛】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，掌握三角形全等的判定及平行四边形的性质运用是解题的关键．
24. 如图1，在中，，，，点，分别是边，的中点，连接将绕点逆时针方向旋转，记旋转角为．
（1）问题发现：①当时______；
②当时，______．
（2）拓展探究：试判断当时，的大小有无变化？以下是就图2的情形给出的证明过程，请你补全：
∵，
③ ．
又∵旋转，
∴，
．
（3）用以上结论解决问题：当绕点逆时针旋转至，，三点在同一条直线上时，请在备用图中画出图形，并写出求线段的长 ．
【答案】（1）①；②
（2），
（3）或
【解析】
【分析】（1）①先利用勾股定理可得，再根据线段中点的定义可得，，由此即可得；
②先画出图形，根据旋转的性质可得，，再利用勾股定理可得，然后根据线段和差分别求出，的长，由此即可得；
（2）根据相似三角形的判定证出，再根据相似三角形的性质即可得；
（3）分①点在的延长线上和②点在线段上，利用勾股定理求出，从而可得的长，再根据求解即可得．
【小问1详解】
解：①当时，
中，，，，
，
点D，E分别是边BC，AC的中点，
，，
故答案为：；
②如图1，
点，分别是边，的中点，，，，
，；
如图，当时，
由旋转的性质得：的大小不变，仍等于，长度不变，仍等于，的长度不变，仍等于；
，，
，
，
故答案为：；
【小问2详解】
解：当时，，大小没有变化；
证明：，
，
又∵旋转，
，
，
故答案为：；；
【小问3详解】
①如图，当点在的延长线上时，
在中，，，
，
，
，
；
②如图，当点线段上时，
在中，，，
，
，
，
，
综上，线段的长为或．
【点睛】本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识点，正确分两种情况讨论是解题关键．
25. 某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月销售量y（件）与售价x（万元/件）之间满足一次函数关系，部分数据如表：
该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元．
（1）求：三月份每件产品的成本是多少万元？
（2）四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元．若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润w（万元）关于售价x（万元/件）的函数关系式，并求最少利润是多少万元．
【答案】（1）三月份每件产品的成本是20万元；
（2），四月份最少利润是500万元．
【解析】
【分析】本题考查一次函数、二次函数的实际应用，解题的关键是根据利润、销量、成本、售价之间的关系正确列出函数关系式．
（1）从表格中任选两组数据，利用待定系数法求得y与x的函数关系式；再求出3月份销量，根据利润、销量、成本、售价之间的关系列方程，求解即可；
（2）列关于x的二次函数关系式，结合自变量的取值范围求出函数的最值即可．
【小问1详解】
解：设y与x的函数关系式为，将，代入，得：
，
解得，
∴y与x的函数关系式为；
将代入，得（件），
设三月份每件产品的成本是a万元，
由题意得，
解得，
即三月份每件产品的成本是20万元；
【小问2详解】
解：四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为，
由题意得：
，
则抛物线的对称轴为，且，开口向下，
则时，取得最小值，
此时，，
即四月份最少利润是500万元．
26. 菱形ABCD中，对角线AC=6cm，BD=8cm，动点P、Q分别从点C、O同时出发，运动速度都是1cm/s，点P由C向D运动；点Q由O向B运动，当Q到达B时，P、Q两点运动停止，设时间为t妙（0＜t＜4）．连接AP，AQ，PQ．
（1）当t为何值时，PQ⊥AB；
（2）设△APQ的面积为y（cm2），请写出y与t的函数关系式；
（3）当t为何值时，△APQ的面积是四边形AQPD面积的？
（4）是否存在t值，使得线段PQ经过CO的中点M？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）t=1s时，PQ⊥AB；（2）y=-t2+t（0＜t≤4）;(3) t=15-时，△APQ的面积是四边形AQPD面积的(4)存在，t=时，PQ经过线段OC的中点N，理由见解析
【解析】
【分析】（1）如图3中，作CH⊥AB于H交BD于M．由PQ∥CM，可得 ，由此构建方程即可解决问题；
（2）如图1中，作AM⊥CD于M，PH⊥BD于H．根据y=S△ADQ+S△PDQ-S△ADP，计算即可解决问题；
（3）由△APQ的面积是四边形AQPD面积的 ，推出S△APQ=2S△APD，由此构建方程即可解决问题；
（4）如图4中，作PH⊥AC于H．由OQ∥PH，ON=NC= ，可得，由此构建方程即可解决问题；
【详解】解：（1）如图3中，作CH⊥AB于H交BD于M．
易知CH=，AH==，
∵∠MCO=∠ACH，∠COM=∠CHA=90°，
∴△COM∽△CHA，
∴=，
∴=，
∴OM=，
∵PQ⊥AB，CH⊥AB，
∴PQ∥CM，
∴=，
∴=，
∴t=1，
∴t=1s时，PQ⊥AB．
（2）如图1中，作AM⊥CD于M，PH⊥BD于H．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA=OC=3，OB=OD=4，
∴∠COD=90°，
∴CD==5，
∵•AC•OD=•CD•AM，
∴AM=，
∵OQ=CP=t，
∴DQ=4+t．PD=5-t．
∵PH∥OC，
∴=，
∴=，
∴PH=（5-t），
∴y=S△ADQ+S△PDQ-S△ADP=•（4+t）•3+•（4+t）•（5-t）-•（5-t）•=-t2+t（0＜t≤4）．
（3）如图2中，
∵△APQ的面积是四边形AQPD面积的，
∴S△APQ=2S△APD，
∴-t2+t=2••（5-t）•，
解得t=15-或15+（舍弃），
∴t=15-时，△APQ的面积是四边形AQPD面积的．
（4）如图4中，作PH⊥AC于H．
∵OQ∥PH，ON=NC=，
∴=，
∴=，
∴t=，
∴t=时，PQ经过线段OC的中点N．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，平行线分线段成本定理定理，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题．原进价（元/张）
零售价（元/张）
成套售价（元/套）
餐桌
a
270
500
餐椅
70
每件售价x/万元
…
24
26
28
30
32
…
月销售量y/件
…
52
48
44
40
36
…