2024年辽宁省沈阳市中考数学调研试卷（二模）

这是一份2024年辽宁省沈阳市中考数学调研试卷（二模），共29页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.的倒数是( )
A. B. 2024C. D.
2.下列图形由正多边形和圆弧组成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
3.“白日不到处，青春恰自来.苔花如米小，也学牡丹开.”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值.苔花也被称为“坚韧之花”.袁枚所写的“苔花”很可能是苔类孢子体的苞荫，某孢子体的苞荫直径约为，将数据用科学记数法表示为( )
A. B. C. D.
4.下列运算结果正确的是( )
A. B. C. D.
5.下图是上海今年春节七天最高气温的统计结果：
这七天最高气温的众数和中位数是( )
A. 15，17B. 14，17C. 17，14D. 17，15
6.在我国古典数学著作《孙子算经》中有这样一道题：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”翻译成现代汉语就是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，问长木多少尺？如果设长木长x尺、绳长y尺，则可以列出方程组( )
A. B. C. D.
7.如图所示，AB为的直径，点C在上，且，过点C的弦CD与线段OB相交于点E，满足，连接AD，则等于( )
A.
B.
C.
D.
8.如图，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，把绕点A顺时针旋转后得到，则点的坐标是( )
A.
B.
C.
D.
9.如图．在平面直角坐标系中，的面积为，BA垂直x轴于点A，OB与双曲线相交于点C，且BC：：则k的值为( )
A.
B.
C. 3
D.
10.函数和是常数，且在同一平面直角坐标系中的图象可能是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：______.
12.如图，在中，，AD平分交BC于点D，点E在AC上，以AE为直径的⨀O经过点若，且，则阴影部分的面积是______.
13.二次函数为常数，函数图象与x轴有______个交点.
14.如图，在四边形ABCD中，，，，，点E和点F分别是AC和CD的中点，连接BE，EF，BF，若，则的面积是______.
15.如图，函数的图象的顶点为，下列判断正确个数为①；②；③；④点和点都在此函数图象上，则；⑤以上结论正确的是______填序号
16.一个不透明立方体的6个面上分别写有数字1、2、3、4、5、6，任意两对面上所写的两个数字之和为7，将这样的几个立方体按照相接触两个面上的数字之和为8，摆放成一个几何体，这个几何体的三视图如图所示，图中所标注的是部分面上所见的数字，则★所代表的数是______.
三、解答题：本题共10小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题4分
小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A、B、C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．请你帮小明把花坛的位置画出来尺规作图，不写作法，保留作图痕迹
18.本小题8分
解不等式组：；
19.本小题8分
第31届世界大学生夏季运动会简称“大运会”将于2023年7月28日至8月8日在成都举行.某高校为了了解学生对“大运会”的关注度，设置了非常关注、比较关注、很少关注、没有关注四个选项，随机抽取了部分学生进行了问卷调查，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.根据图中所提供的信息，解答下列问题：
本次调查共抽取了______名学生，并补全条形统计图；
求A所在扇形的圆心角度数；
学校将在A选项中的甲、乙、丙、丁四人里随机选取两人参加志愿者服务，用画树状图或列表法，列举出所有可能的结果，并求出甲、乙同时被选中的概率.
20.本小题6分
某临街店铺在窗户上方安装如图1所示的遮阳棚，其侧面如图2所示，遮阳棚展开长度，遮阳棚前端自然下垂边的长度，遮阳棚固定点A距离地面高度，遮阳棚与墙面的夹角
如图2，求遮阳棚前端B到墙面AD的距离；
如图3，某一时刻，太阳光线与地面夹角，求遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长结果精确到参考数据：，，，
21.本小题6分
如图，在中，，以AB为直径的交BC于点D，，垂足为
求证：DE是的切线；
若，，直接写出BD的长______.
22.本小题6分
某家具商场计划购进某种餐桌、餐椅进行销售，有关信息如表：已知用600元购进的餐桌数量与用160元购进的餐椅数量相同.
求表中a的值；
若该商场购进餐椅的数量比餐桌数量的5倍还多20张，且餐桌和餐椅的总数量不超过260张，该商场计划将一半的餐桌成套一张餐桌和四张餐椅配成一套销售，其余餐桌、餐椅以零售方式销售.请问怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？
23.本小题8分
如图，▱ABCD的对角线AC、BD交于点O，点E是OC上一点，点F在BE延长线上，且，EF与CD交于点
求证：；
连结DE、CF，如果，且G恰好是CD的中点，求证：四边形CFDE是矩形.
24.本小题6分
如图1，在中，，，，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接将绕点C逆时针方向旋转，记旋转角为
问题发现：①当时______；
②当时，______.
拓展探究：试判断当时，的大小有无变化？以下是就图2的情形给出的证明过程，请你补全：
∽，
③______.
又旋转，
∽，
______.
用以上结论解决问题：当绕点C逆时针旋转至A，B，E三点在同一条直线上时，请在备用图中画出图形，并写出求线段BD的长______.
25.本小题8分
某工厂生产一种产品，经市场调查发现，该产品每月的销售量件与售价万元/件之间满足一次函数关系，部分数据如表：
该产品今年三月份的售价为35万元/件，利润为450万元.
求：三月份每件产品的成本是多少万元？
四月份工厂为了降低成本，提高产品质量，投资了450万元改进设备和革新技术，使每件产品的成本比三月份下降了14万元.若四月份每件产品的售价至少为25万元，且不高于30万元，求这个月获得的利润万元关于售价万元/件的函数关系式，并求最少利润是多少万元.
26.本小题12分
菱形ABCD中，对角线，，动点P、Q分别从点C、O同时出发，运动速度都是，点P由C向D运动；点Q由O向B运动，当Q到达B时，P、Q两点运动停止，设时间为t妙连接AP，AQ，
当t为何值时，；
设的面积为，请写出y与t的函数关系式；
当t为何值时，的面积是四边形AQPD面积的？
是否存在t值，使得线段PQ经过CO的中点M？若存在，求出t值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：，
故选：
根据题意利用倒数定义即可得出本题答案．
本题考查倒数定义，解题的关键是掌握倒数的定义．
2.【答案】D
【解析】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不合题意；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不合题意；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
故选：
根据中心对称图形，轴对称图形的定义一一判断即可．
本题考查利用旋转设计图案，利用轴对称设计图案等知识，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的定义，属于中考常考题型．
3.【答案】B
【解析】解：用科学记数法表示为
故选：
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．解题关键是正确确定a的值以及n的值．
本题主要考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法求解即可．
4.【答案】C
【解析】解：，故此选项不合题意；
B.，故此选项不合题意；
C.，故此选项符合题意；
D.，故此选项不合题意．
故选：
直接利用合并同类项法则以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算，进而得出答案．
此题主要考查了合并同类项以及积的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
5.【答案】C
【解析】解：出现了2次，最多，故众数为；
共7个数据，从小到大排列为8，9，11，14，15，17，第4个数为14，
故中位数为
故选
根据中位数和众数的概念求解．把数据按大小排列，第4个数为中位数；出现的次最多，为众数．
本题为统计题，考查了众数与中位数的意义．中位数是将一组数据从小到大或从大到小重新排列后，最中间的那个数或最中间两个数的平均数，叫做这组数据的中位数；众数为数据中出现次数最多的数．
6.【答案】D
【解析】解：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺，
；
将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺，
根据题意可列方程组
故选：
根据“用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：连接OD，
，
，
，
，
，
，
，
，
由圆周角定理得：，
故选：
连接OD，根据三角形内角和定理求出，根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，求出，再根据圆周角定理求出即可．
本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理和圆周角定理等知识点，能求出的度数是解此题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：直线与x轴，y轴分别交于，两点．
旋转前后三角形全等．
由图易知点的纵坐标为OA长，即为3，
横坐标为
故选：
旋转不改变图形的大小和性质，所得图形与原图形全等，根据全等三角形的性质，即可得到相应线段的长．
要注意，解题的关键是：旋转前后线段的长度不变．
9.【答案】A
【解析】解：过C作轴于D，
，
，
轴，
，
∽，
，
，
，
双曲线在第二象限，
，
故选：
过C作轴于D，可得∽，根据相似三角形的性质求出，由反比例函数系数k的几何意义即可求得
本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的性质和判定，根据相似三角形的性质和判定求出是解决问题的关键．
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．
【解答】
解：A、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，和x轴的正半轴相交，故选项错误；
B、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，对称轴，和x轴的负半轴相交，故选项正确；
C、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向下，故选项错误；
D、由一次函数的图象可得：，此时二次函数的图象应该开口向上，故选项错误．
故选：
11.【答案】
【解析】解：
，
故答案为：
先化简，再计算加减法即可．
本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
12.【答案】
【解析】解：连接OD，连接DE、OD、DF、OF，设圆的半径为R，
是的平分线，
，
，
，
则，
，而，
，
，，
，
，
，
，
，
，
、是等边三角形，
，
故答案为：
证明、是等边三角形，，即可求解．
本题考查了扇形的面积，等边三角形的判定，圆周角定理，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题．
13.【答案】两
【解析】解：由题意可得，
又，
函数图象与x轴有两个交点．
故答案为：两．
依据题意可得，，又，从而，进而可以判断得解．
本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用根的判别式进行分析是关键．
14.【答案】
【解析】解：过点E作于
，，，
，
，
，，
，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，，
，
故答案为：
过点E作于利用三角形的中位线定理以及直角三角形斜边中线定理证明是顶角为的等腰三角形即可解决问题．
本题考查三角形中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15.【答案】②④⑤
【解析】解：抛物线的开口向下，因此，对称轴在y轴的左侧，则a、b同号，则，
，
因此①不正确；
抛物线的顶点坐标为，
对称轴是直线，
，
即，
因此②正确；
函数的图象与y轴交点坐标为，
，
抛物线的顶点坐标为，
函数的最大值为，
即，
即，
因此③不正确；
由于抛物线的对称轴是直线，而，
点和点都在此函数图象上，
，
因此④正确；
函数的图象的顶点为，
，
即，
而
，
即，
因此⑤正确；
综上所述，正确的结论有②④，
故答案为：②④⑤．
根据二次函数的图象与系数的关系，即抛物线的开口方向，对称轴、顶点坐标，与x轴、y轴的交点坐标与系数a、b、c的关系进行判断的即可．
本题考查二次函数的图象与系数的关系，掌握抛物线的开口方向，对称轴、顶点坐标，与x轴、y轴的交点坐标与系数a、b、c的关系是正确判断的关键．
16.【答案】3
【解析】解：这个几何体有5个小正方体组成，
从正面看，第一层有3个，第二和三层各有一个，并且都在最右端，
从主视图上看，最右端，最下面的前面是6，
则第一层下面最右边一列为5或2，
当第一层下面最右边一列为5时，
任意两对面上所写的两个数字之和为7，接触的两个面上的数字之和为8，
第二层下面为6，
第三层下面为不合题意舍去；
当第一层下面为2时，
任意两对面上所写的两个数字之和为7，接触的两个面上的数字之和为8，
第二层下面为3，
第三层下面为4，
第三层上面为3，
所代表的数为
故答案为：
根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形，进而得出物体的形状，即可得出★所代表的数．
本题考查了由三视图判断几何体，以及考查学生对三视图掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．
17.【答案】解：①分别以A、B为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于D、E两点，连接DE；
②分别以A、C为圆心，以大于为半径画圆，两圆相交于G、F两点，连接GF；
③直线DE与GF相交于点O，以O为圆心，以OA的长为半径画圆，则此圆即为花坛的位置．
【解析】要使三棵树都在花坛的边上则应使花坛为的外接圆，故只要作出三角形两边垂直平分线的交点即为的外接圆圆心，再以此点为圆心，以此点到点A的长度为半径画圆，此圆即为花坛的位置．
本题考查的是三角形外接圆的作法，解答此题的关键是熟知三角形外接圆的圆心即为三角形三边垂直平分线的交点．
18.【答案】解：，
解不等式①，得，
解不等式②，得，
该不等式组的解集为；

【解析】先分别解两不等式，再求它们解集的公共部分；
先将整式部分看作分母为1的分数，再通分计算、化简．
此题考查了一元一次不等式组和分式加减混合运算的求解能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，进行正确地计算．
19.【答案】500
【解析】解：本次调查共抽取了名学生．
故答案为：
选项B的人数为人
补全条形统计图如图所示．
所在扇形的圆心角度数为
列表如下：
由表格可知，共有12种等可能的结果，
其中甲、乙同时被选中的结果有2种，
甲、乙同时被选中的概率为
用条形统计图中D的人数除以扇形统计图中D的百分比可得本次调查共抽取的学生人数；用本次调查共抽取的学生人数分别减去条形统计图中A，C，D的人数，求出B的人数，补全条形统计图即可．
用乘以本次调查中选择A的学生所占的百分比即可．
列表即可得出所有等可能的结果，以及甲、乙同时被选中的结果，再利用概率公式可得出答案．
本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．
20.【答案】解：如图，作于E，
，
在中，，即，
，
答：遮阳棚前端B到墙面AD的距离约为；
解：如图3，作于E，于H，延长BC交DG于K，则，
四边形BEHC，四边形HDKC是矩形，
由得，
，
在中，，即，
，
由题意得：，
，
，
在中，，即，
，
，
答：遮阳棚在地面上的遮挡宽度DF的长约为
【解析】作于E，在中，根据列式计算即可；
作于E，于H，延长BC交DG于K，则，可得四边形BEHC，四边形HDKC是矩形，解直角三角形求出AE，可得，然后在中，解直角三角形求出FK，进而可得DF的长．
本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质，作出合适的辅助线，构造出直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
21.【答案】
【解析】证明：连接OD，则，
，
，
，
，
，
于点E，
，
是的半径，，
是的切线．
解：连接AD，如图，
是的直径，
，
，
，，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，
的长是，
故答案为：
连接OD，则，所以，由，得，则，所以，则，即可证明DE是的切线；
连接AD，由AB是的直径，得，则，因为，，所以，可求得，再证明是等边三角形，则，而，根据弧长公式求出的长即可．
此题重点考查等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、切线的判定定理等知识，证明是解题的关键．
22.【答案】解：根据题意得：，
解得：，
经检验，a是原分式方程的解．
答：表中a的值为
设购进餐桌x张，则购进餐椅张，
根据题意得：，
解得：
设销售利润为y元，
根据题意得：
，
当时，y取最大值，最大值为
答：当购进餐桌40张、餐椅220张时，才能获得最大利润，最大利润是10400元．
【解析】根据数量=总价单价，即可得出结论，解之经检验后即可得出a值；
设购进餐桌x张，则购进餐椅张，由餐桌和餐椅的总数量不超过260张，可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，设销售利润为y元，根据销售方式及总利润=单件单套利润销售数量，即可得出y关于x的函数关系式，利用一次函数的性质即可解决最值问题．
本题考查了分式方程的应用、一次函数的性质以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出分式方程；利用一次函数的性质解决最值问题．
23.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
是的中位线，
，
即；
证明：如图所示：连接DE，
由得：，
，，
是CD的中点，
，
在和中，
，
≌，
，
四边形CFDE是平行四边形，
四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
又，
，
平行四边形CFDE是矩形．
【解析】连接BD，交AC于点O，证出OE是的中位线，得即可；
先证≌，得，则四边形CFDE是平行四边形，再证，即可得出结论．
本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形中位线定理，熟练掌握矩形的判定和全等三角形的判定与性质是解题的关键．
24.【答案】
【解析】解：①当时，
在中，，，，
，
点D，E分别是边BC，AC的中点，
，，
故答案为：；
②如图1，
点D，E分别是边BC，AC的中点，，，，
，；
如图，当时，
由旋转的性质得：的大小不变，仍等于，DE长度不变，仍等于2，CE的长度不变，仍等于；
，，
，
，
故答案为：；
当时，，大小没有变化；
证明：由旋转的性质得：，
，
又，
∽，
，
故答案为：；；
①如图2，当点E在AB的延长线上时，
在中，，，
，
，
，
；
②如图3，当点E在线段AB上时，
在中，，，
，
，
，
，
综上，线段BD的长为
①先利用勾股定理可得，再根据线段中点的定义可得，，由此即可得；
②先画出图形，根据旋转的性质可得，，再利用勾股定理可得，然后根据线段和差分别求出AE，BD的长，由此即可得；
根据相似三角形的判定证出∽，再根据相似三角形的性质即可得；
分①点E在AB的延长线上和②点E在线段AB上，利用勾股定理求出，从而可得AE的长，再根据求解即可得．
本题考查了旋转的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识点，较难的是题，正确分两种情况讨论是解题关键．
25.【答案】解：设三月的成本为m万元，
当时，，
由题意得：，
解得：，
即三月份每件产品的成本是20万元；
四月份每件产品的成本比三月份下降了14万元，则此时的成本为，
由题意得：，
则抛物线的对称轴为，
则时，w取得最小值，
此时，，
即四月份最少利润是500万元．
【解析】设三月的成本为m万元，当时，，由题意得：，即可求解；
由题意得：，即可求解．
本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，明确二次函数的相关性质，是解题的关键．
26.【答案】解：如图3中，作于H交BD于
易知，，
，，
∽，
，
，
，
，，
，
，
，
，
时，
如图1中，作于M，于
四边形ABCD是菱形，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图2中，
的面积是四边形AQPD面积的，
，
，
解得或舍弃，
时，的面积是四边形AQPD面积的
如图4中，作于
，，
，
，
，
时，PQ经过线段OC的中点
【解析】如图3中，作于H交BD于由，可得，由此构建方程即可解决问题；
如图1中，作于M，于根据，计算即可解决问题；
由的面积是四边形AQPD面积的，推出，由此构建方程即可解决问题；
如图4中，作于由，，可得，由此构建方程即可解决问题；
本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，平行线分线段成本定理定理，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题．原进价元/张
零售价元/张
成套售价元/套
餐桌
a
270
500
餐椅
70
每件售价万元
…
24
26
28
30
32
…
月销售量件
…
52
48
44
40
36
…
甲
乙
丙
丁
甲
甲，乙
甲，丙
甲，丁
乙
乙，甲
乙，丙
乙，丁
丙
丙，甲
丙，乙
丙，丁
丁
丁，甲
丁，乙
丁，丙