2023-2024学年陕西省西安市高陵区九年级上学期数学第二次月考试题及答案

这是一份2023-2024学年陕西省西安市高陵区九年级上学期数学第二次月考试题及答案，共25页。试卷主要包含了选择题，四象限，一次函数的图象通过一，解答题等内容，欢迎下载使用。

第一部分（选择题，共24分）
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个选项是符合题意的）
1. 二次函数图象的顶点所在的象限是（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【分析】根据二次函数解析式的顶点式得出顶点坐标，即可作答．
【详解】二次函数图象顶点坐标为：，
∴顶点所在的象限是第一象限，
故选：A．
【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，正确写出二次函数图象的顶点坐标，是解答本题的关键．
2. 如图，要使成为矩形，则需添加一个条件是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据矩形的判定定理可进行求解．
【详解】解：当添加时，无法判定是矩形；故A选项不符合题意；
、是的性质，故B、C选项不符合题意；
当添加时，可根据对角线相等的平行四边形是矩形可得是矩形，故D选项符合题意；
故选D．
【点睛】本题主要考查矩形的判定，熟练掌握矩形的判定定理是解题的关键．
3. 如图，，，，则的长为（ ）．
A. 8B. 9C. 12D. 15
【答案】B
【解析】
【分析】根据，可得，再根据平行线分线段成比例，即可进行解答．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴，则，
解得：，
故选：B．
【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是掌握两条直线被一组平行线所截的线段成比例．
4. 大自然巧夺天工，一片树叶也蕴含着“黄金分割”．如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了黄金分割，根据黄金分割的定义得到，代入值即可求出．
【详解】解：∵P为的黄金分割点，的长度为，
∴，
故选：C．
5. 反比例函数与一次函数在同一坐标系的图象可能是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据反比例函数的性质、一次函数的性质即可判断反比例函数的图象和一次函数的图象所处的象限．
【详解】解：由反比例函数y=与一次函数y=kx+1可知，
当k＞0时，反比例函数的图象在二、四象限，一次函数的图象通过一、二、三象限，
当k＜0时，反比例函数的图象在一、三象限，一次函数的图象通过一、二、四象限，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握一次函数的性质和反比例函数的性质是解题的关键．
6. 如图，菱形中，，，，垂足为E，与交于点F，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据勾股定理求得菱形的边长，再根据“菱形的面积等于对角线乘积的一半”可以求得该菱形的面积．菱形的面积还等于底乘以高，求出DE的长度，根据三角函数的定义可求出结论．
【详解】解：∵四边形菱形，，，，
∴，
由勾股定理得到：，
又∵，
∴．
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、菱形面积的计算；根据菱形的面积求得的长度是解决问题的关键．
7. 如图，D、E分别是的边上的点，，若，则的值为（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由已知条件易求得，由可证，，可得的值，再利用相似三角形的性质即可解决问题．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了等高的两个三角形的面积之间的关系和相似三角形的判定和性质，属于基本题型，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键．
8. 已知抛物线，当时，，且当时，y的值随x值的增大而增大，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据二次函数的性质，列出关于m的不等式，即可求解．
【详解】解：∵抛物线，当时，，
∴，
∴，
∵当时，y的值随x值的增大而增大，
∴，
解得：，
∴m的取值范围是：．
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数性质，熟悉抛物线的对称性和增减性是解题的关键．
第二部分（非选择题，共96分）
二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
9. 已知抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，方向相反，且顶点坐标为，则该抛物线对应的函数表达式为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，先根据条件确定，设抛物线解析式为，把顶点坐标代入即可．
【详解】解：∵抛物线与二次函数的图象的开口大小相同，方向相反，
∴抛物线，
∴设抛物线解析式为，
把顶点坐标代入得：，
故答案为：．
10. 拦水坝的横断面如图所示，迎水坡AB的坡比是，坝高BC=8m，则坡面AB的长度是_______m.
【答案】16
【解析】
【分析】利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理求出的长．
【详解】解：∵迎水坡的坡比是，坝高，
∴，
解得：，
则（m）．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确利用坡比的定义求出的长是解题的关键．
11. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，那么csB的值是_____．
【答案】．
【解析】
【分析】在直角△ABC中利用勾股定理求得AB的长，然后利用三角函数的定义求解．
【详解】解：在直角△ABC中，AB＝=5,
则csB＝．
故答案是：．
【点睛】本题考查了余弦值的求解,勾股定理,熟练掌握余弦值的求解方法是解题关键.
12. 已知点，，在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数的增减性，根据题意可得反比例函数在二，四象限，y随x增大而增大，即可判断，，的大小关系．
【详解】解：由题意可得：，
∴反比例函数在二，四象限，在每一象限内y随x增大而增大，
∵，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
13. 如图，正方形的边长为4，点M在边上，，P为正方形内（含边上）一点，且，G为边上一动点，连接，则的最小值为 _____．

【答案】3
【解析】
【分析】先确定组成点P的所有点为过的中点E，F的线段，作点M关于的对称点，连接，证明的长为的最小值，因此求出的长即可．
【详解】解：过点P作，分别交于点E，F，
∵四边形是正方形，
∴四边形和四边形都是矩形，
∵，正方形的边长为4，
∴，
解得，
∴，

作点M关于的对称点，连接，
则，
∴，
∴的最小值为的长，
∵，
∴的最小值为3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，矩形的判定和性质，垂线段最短，能用一条线段的长表示两条线段和的最小值是解题的关键．
三、解答题（本大题共13小题，共81分．解答应写出过程）
14. 计算：．
【答案】4
【解析】
【分析】先利用负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根的性质化简，再合并，即可求解．
【详解】解：

．
【点睛】本题主要考查了负整数指数幂，特殊角锐角三角函数值，绝对值的性质，立方根的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键是解题的关键．
15. 已知在△ABC中，∠C= 90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，a=，c=，解这个直角三角形。
【答案】，∠A=60°，∠B=30°
【解析】
【分析】先根据勾股定理求出b，再根据正弦函数的定义求出∠A的度数，由两锐角互余求出∠B的度数.
【详解】如图所示，
由题意可知BC=a=，AB=c=，
则AC=b=，
∵sinA=，
∴∠A=60°
∴∠B=90°-∠A=30°
【点睛】本题考查解直角三角形，熟练掌握勾股定理和三角函数的定义以及特殊角度的三角函数值是解题的关键.
16. 如图，一抛物线形拱桥，桥顶离水面的距离为，水面宽度，现有一竹排运送一只货箱欲从桥下经过，已知货箱长，宽，高（竹排与水平面持平）．问该货箱是否能顺利通过该桥．
【答案】能，理由见详解
【解析】
【分析】由题意可设拱桥所在抛物线的解析式为，然后把点代入求解函数解析式，进而问题可求解．
【详解】解：设拱桥所在抛物线解析式为，将 代入计算，
解得 ．
．
货箱高 ，
货箱顶部离拱顶 ．
在抛物线 上取一点 ，使其纵坐标为 ．
，
，
货箱能顺利通过该桥．
【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键．
17. 已知抛物线y=ax2－2ax－3+2a2 （a<0）．
（1）求这条抛物线的对称轴；
（2）若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的函数解析式；
【答案】（1）x=1 （2）y=－x2+2x－1
【解析】
【分析】（1）将抛物线解析式化成顶点式即可得到对称轴；
（2）根据顶点在x轴上，可得，求出a的值即可解决问题．
【小问1详解】
解：∵抛物线，
∴抛物线的对称轴为直线x=1；
【小问2详解】
由（1）可得，
∵抛物线的顶点在x轴上，
∴，
解得，=－1，
∵a<0，
∴a=－1，
∴抛物线的解析式为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握抛物线的顶点式是解题的关键．
18. 数学兴趣小组为了实地测量两岸互相平行的一段河的宽度，在河的南岸点处测得河的北岸点在其北偏东方向，然后向西走80米到达点，测得点在点的北偏东方向，求河宽．（结果精确到，参考数据，，，，，）

【答案】米
【解析】
【分析】过作于，设米，则在中得到，在中，得到，则，解得分，即可得到答案．
【详解】解：过作于，设米，

中，
即，
，
在中，
，
即，
，
解得分，
（米）．
答：河宽大约为72.6米．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握方向角、准确计算是解题的关键．
19. 已知，如图，AB和DE是直立在地面上的两根立柱AB＝6m，某一时刻AB在太阳光下的投影BC＝3m．

（1）请你在图中画出此时DE在太阳光下的投影EF；
（2）在测量AB的投影时，同时测量出DE在太阳光下的投影EF长为6m，请你计算DE的长．
【答案】（1）见解析 （2）12m
【解析】
【分析】（1）连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影；
（2）通过证明从而求出DE的长度即可．
【小问1详解】
解：连接AC，过点D作DF∥AC，交直线BC于点F，线段EF即为DE的投影，如图；
【小问2详解】
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，即，
∴．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题的关键．相似三角形对应角相等，对应边成比例．
20. 二十四节气是中国古代一种用来指导农事的补充历法，在国际气象界被誉为“中国的第五大发明”，并位列联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．小明和小亮对二十四节气非常感兴趣，在课间玩游戏时，准备了四张完全相同的不透明卡片，卡片正面分别写有“A．惊蛰”“B．夏至”“C．白露”“D．霜降”四个节气，两人商量将卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，并讲述所抽卡片上的节气的由来与习俗．
（1）小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是________．
（2）小明先从四张卡片中随机抽取一张，小亮再从剩下的卡片中随机抽取一张，请用列表或画树状图的方法，求两人都没有抽到“B．夏至”的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，由概率的定义可得答案；
（2）用树状图列举出所有等可能出现的结果，再根据概率的定义进行计算即可．
【小问1详解】
解：共有4种等可能出现的结果，其中抽到“A．惊蛰”的只有1种，
所以小明从四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到“A．惊蛰”的概率是，
故答案为：；
【小问2详解】
解：用树状图表示所有等可能出现的结果如下：
共有12种等可能出现的结果，其中两人都没有抽到“B．夏至”的有6种，
所以两人都没有抽到“B．夏至”的概率为．
【点睛】本题考查列表法或树状图法，用树状图表示所有等可能的出现的结果是正确解答的关键．
21. 线上教学期间，很多同学采用笔记本电脑学习，九年级一班同学为保护眼睛，开展实践探究活动．如图，当张角时，顶部边缘处离桌面的高度的长为，此时用眼舒适度不太理想．小组成员调整张角大小继续探究，最后联系黄金比知识发现当张角时（点是的对应点），用眼舒适度较为理想．求此时顶部边缘处离桌面的高度的长．（结果精确到；参考数据：，，
【答案】
【解析】
【分析】利用平角定义先求出，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，再利用平角定义求出的度数，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【详解】解：，
，
在中，，
，
由题意得：
，
，
，
在中，，
此时顶部边缘处离桌面的高度的长约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
22. 某超市经销香米，进价为12元/千克．在确定售价时进行了市场调研，发现在盈利的前提下该香米的售价不高于19元/千克，且该香米每天的销售量（千克）与售价（元/千克）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示：
（1）求与之间的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围；
（2）当售价定为多少时，才能使当天的利润最大?最大利润是多少?
【答案】（1）与之间的函数解析式为
（2）当售价定为19元时，才能使当天的利润最大，最大利润是4900元
【解析】
【分析】（1）设与之间的函数解析式为：，利用待定系数法求解即可得到答案；
（2）设利润为，根据总利润＝每千克利润×销售量可得函数解析式，将其配成顶点式即可得最值情况．
【小问1详解】
解：设与之间的函数解析式为：，
将，代入得：
，
解得：，
与之间的函数解析式为；
【小问2详解】
解：设利润为，
根据题意可得：
，
，
当时，，为4900元，
答：当售价定为19元时，才能使当天的利润最大，最大利润是4900元．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，二次函数的性质．
23. 在边长为10的菱形中，对角线相交于点O，过点O作直线分别交的延长线于点E、F，连接．

（1）若，判断四边形的形状.并说明理由；
（2）若于H，，直接写出的长度．
【答案】（1）矩形，理由见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据菱形的性质，得，，则；根据全等三角形的判定，得，得；根据平行四边形的判定，矩形的判定即可得到结论；
（2）根据菱形的性质，，则，根据，得，根据等量代换，根据相似三角形的判定得；根据相似三角形的性质得到，求出，，即可得到答案．
【小问1详解】
四边形是矩形，理由如下：
∵四边形是菱形，
∴，，
∴，
∴在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是矩形．
【小问2详解】
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
∴，，
∴．
【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形得判定、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是掌握菱形的性质，矩形的判定，相似三角形的判定和性质．
24. 如图，一楼房后有一假山，的坡度为，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山山脚与楼房水平距离米，与亭子距离米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为．
（1）求点E到水平地面的距离．
（2）求楼房的高（精确到米．参考数据：，，）．
【答案】（1）8米 （2）米
【解析】
【分析】（1）过点E作交延长线于点F，根据的坡度为，可得，结合勾股定理可得的长，即可；
（2）过点E作于点G，则米，由（1）得：米，从而得到米，在中，根据，即可求解．
【小问1详解】
解：如图，过点E作交延长线于点F，
∵的坡度为，
∴，
∵，米，
∴，
解得：米，
即点E到水平地面的距离8米；
【小问2详解】
解：过点E作于点G，则米，
由（1）得：米，
∴米，
在中，，
∴米，
∴米，
即楼房的高米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角俯角问题和坡度坡角问题，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．
25. 如图，顶点在轴负半轴上的抛物线与直线相交于点，，连接.

（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）若将抛物线向下平移个单位长度，则在平移后的抛物线上，且在直线的下方，是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）存在一点，使得，或，理由见解析；
【解析】
【分析】（1）根据题意设设抛物线的解析式为利用待定系数法即可解答；
（2）根据平移规律得到平移后的抛物线为进而设，即可得到，最后利用即可解答．
【小问1详解】
解：∵由图象可知抛物线的对称轴为，
∴，
∴设抛物线的解析式为，
∵抛物线与直线相交于点，，
∴，
∴，
∴抛物线的解析式为，
【小问2详解】
解：存在一点，使得，理由如下：
∵将抛物线向下平移个单位长度，
∴平移后的抛物线为，
过点作轴，交于点，交轴于点，过点作轴交于点，
设，，
∴,
∵，
∴，
,
∴，
∵平移之前抛物线的解析式为，直线的解析式为，
∴，，
∴，
∴,
整理得到：,
∴,
∴,，
∴或，
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移规律，待定系数法二次函数的解析式，掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．
26. （1）如图1，已知正方形和正方形（其中），连接，交于点H，判断线段与的数量关系及位置关系；
（2）如图2，已知矩形和矩形，，，，将矩形绕点D逆时针旋转，连接，交于点H，（1）中线段数量关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段，的数量关系和位置关系，并说明理由．
【答案】（1），；（2）不成立，，
【解析】
【分析】（1）根据四边形和四边形都是正方形可证明，从而得到；根据全等三角形的性质得到即可证明；
（2）根据四边形和四边形都是矩形和，，，可证明，根据相似三角形的性质得到即可证明．
【详解】解：（1）
∵四边形和四边形都是正方形，
∴，，，
∴，即，
∴，
∴；，
∵，，
∴，
∴，
∴；
解：（2）不成立；
如图：
∵四边形和四边形都是矩形，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，，
∴，
∴，
∴；，
∵，，
∴，
∴，
∴；
【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，灵活运用所学知识和找到角之间的关系是关键．
售价/（元/千克）
16
18
销售量/千克
1000
800