47，陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试卷

这是一份47，陕西省西安市灞桥区铁一中滨河学校2023-2024学年九年级上学期第二次月考数学试卷，共25页。试卷主要包含了选择题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）tan30°的值等于（ ）
A．B．C．1D．
2．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）反比例函数一定经过的点是（ ）
A．（3，4）B．（3，﹣4）C．（4，3）D．（﹣4，﹣3）
4．（3分）抛物线y＝3（x﹣7）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（7，5）B．（7，﹣5）C．（﹣7，5）D．（﹣7，﹣5）
5．（3分）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（ ）
A．B．7C．D．8
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形您看到的资料都源自我们平台，20多万份试卷，家威杏 MXSJ663 每日最新，性比价最高AMEF．若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝（ ）
A．4B．8C．12D．16
7．（3分）如图，露在水面上的鱼线BC长为3m．钓鱼者想看看鱼钩上的情况把鱼竿AC提起到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C′长为4m，若BB′的长为1m，试问的鱼竿AC有多长？设AB′长xm，则下所列方程正确的是（ ）
A．x2+42＝（x+1）2+32B．x2+42＝（x+1）2﹣32
C．（x﹣1）2+42＝x2+32D．（x﹣1）2+32＝x2+42
8．（3分）如图，反比例函数的图象经过A（﹣1，﹣2），则以下说法错误的是（ ）
A．k＝2
B．x＞0，y随x的增大而减小
C．图象也经过点B（2，1）
D．当x＜﹣1时，y＜﹣2
9．（3分）如图，⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，过点O作OD∥BC，交⊙O于点D．若∠DOC＝∠BAC，则BC的长为（ ）
A．B．C．D．
10．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A．2B．m2C．4D．2m2
二.填空题（共6小题，，每小题3分，共计18分）
11．（3分）如图是某书店扶梯的示意图，扶梯AB的坡度，王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为 米．
12．（3分）方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，且，则m＝ ．
13．（3分）将抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度，再向右平移 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
14．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a为常数，且a＞0）的图象上有三点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 ．（用“＜”连接）
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 ．
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，在平面内有一点E，，过点E作FE⊥BE于点E，且EF＝3，连接BF、DE、DF，H为线段DF上一点，且，连接EH，则EH的最小值为 ．
三、解答题（共9小题，共计72分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）解方程：x（2x﹣5）＝4x﹣10．
19．（6分）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM．请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△DPA∽△ABM．（不写作法，保留作图痕迹）
20．（8分）垃圾分类工作是今年全国住房和城乡建设工作会议部署的重点工作之一，为营造人人参与垃圾分类的良好氛围，某市环保部门开展了“让垃圾分类成为低碳生活新时尚”宣传活动，决定从A，B，C三名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者到社区进行垃圾分类知识宣讲，抽签规则：将三名志愿者的名字分别写在三张完全相同且不透明卡片的正面，把三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的两张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字．
（1）从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”的概率是 ；
（2）按照抽签规则，请你用列表法或画树状图法表示出两次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者同时被抽中的概率．
21．（8分）新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他俩想利用测倾器和阳光下的影子来测量学校旗杆的高度PA．如图所示，旗杆直立于旗台上的点P处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端F处，此时，量得小华的影长FG＝2m，小华身高EF＝1.6m；然后，在旗杆影子上的点D处，安装测倾器CD，测得旗杆顶端A的仰角为49°，量得CD＝0.6m，DF＝6m，旗台高BP＝1.2m．已知在测量过程中，点B、D、F、G在同一水平直线上，点A、P、B在同一条直线上，AB、CD、EF均垂直于BG．求旗杆的高度PA．（参考数据：sin49°≈0.8，cs49°≈0.7，tan49°≈1.2）
22．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若AB＝5，AC＝8，求OE的长．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的直径为5，csC＝，求CF的长．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣1）三点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）在直线BC上是否存在点M，使得△BOM与△ABC相似．若存在，求出点M的坐标：若不存在，说明理由．
25．（12分）问题发现
（1）如图①，△ABC为边长为2的等边三角形，D是AB边上一点且CD平分△ABC的面积，则线段CD的长度为 ；
问题探究
（2）如图②，▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°点M在AD上，点N在BC上，若MN平分平行四边形ABCD的面积，且MN最短，请你画出符合要求的线段MN，并求出此时MN与AM的长度．
问题解决
如图③，某公园的一块空地由三条道路围成，即线段AB、BC、，已知AB＝160米，BC＝120米，∠ABC＝90°，的圆心在AB边上，现规划在空地上种植草坪，并从的中点P修一条直路PM（点M在AB上）．请问是否存在PM，使得PM平分该空地的面积？若存在，请求出此时AM的长度；若不存在，请说明理由．
参考答案与解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共计30分）
1．（3分）tan30°的值等于（ ）
A．B．C．1D．
【解答】解：tan30°＝．
故选：A．
2．（3分）某几何体的三视图如图所示，则该几何体为（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：由几何体的三视图可得该几何体是B选项，
故选：B．
3．（3分）反比例函数一定经过的点是（ ）
A．（3，4）B．（3，﹣4）C．（4，3）D．（﹣4，﹣3）
【解答】解：∵反比例函数y＝﹣，
∴k＝﹣12，
A、∵3×4＝12≠﹣12，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
B、∵3×（﹣4）＝﹣12，∴此点在函数图象上，故本选项符合题意；
C、∵4×3＝12≠﹣12，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意；
D、∵﹣4×（﹣3）＝12≠﹣12，∴此点不在函数图象上，故本选项不合题意．
故选：B．
4．（3分）抛物线y＝3（x﹣7）2+5的顶点坐标是（ ）
A．（7，5）B．（7，﹣5）C．（﹣7，5）D．（﹣7，﹣5）
【解答】解：抛物线y＝3（x﹣7）2+5的顶点坐标是（7，5），
故选：A．
5．（3分）如图，DE是△ABC的中位线，点F在DB上，DF＝2BF．连接EF并延长，与CB的延长线相交于点M．若BC＝6，则线段CM的长为（ ）
A．B．7C．D．8
【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC＝×6＝3，
∴△DEF∽△BMF，
∴＝＝＝2，
∴BM＝，
CM＝BC+BM＝．
故选：C．
6．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝4，点M是斜边BC的中点，以AM为边作正方形AMEF．若S正方形AMEF＝16，则S△ABC＝（ ）
A．4B．8C．12D．16
【解答】解：∵四边形AMEF是正方形，
又∵S正方形AMEF＝16，
∴AM2＝16，
∴AM＝4，
在Rt△ABC中，点M是斜边BC的中点，
∴，
即BC＝2AM＝8，
在Rt△ABC中，AB＝4，
∴，
∴，
故选：B．
7．（3分）如图，露在水面上的鱼线BC长为3m．钓鱼者想看看鱼钩上的情况把鱼竿AC提起到AC′的位置，此时露在水面上的鱼线B'C′长为4m，若BB′的长为1m，试问的鱼竿AC有多长？设AB′长xm，则下所列方程正确的是（ ）
A．x2+42＝（x+1）2+32B．x2+42＝（x+1）2﹣32
C．（x﹣1）2+42＝x2+32D．（x﹣1）2+32＝x2+42
【解答】解：设AB'＝x m，
∵AC'＝AC，
∴根据勾股定理得：AB'2+B'C'2＝AB2+BC2，
即x2+42＝（x+1）2+32．
故选：A．
8．（3分）如图，反比例函数的图象经过A（﹣1，﹣2），则以下说法错误的是（ ）
A．k＝2
B．x＞0，y随x的增大而减小
C．图象也经过点B（2，1）
D．当x＜﹣1时，y＜﹣2
【解答】解：把A（﹣1，﹣2）代入反比例函数的解析式得：k＝xy＝2，故A正确；
∵k＝2＞0，
∴y随x的增大而减小，
∴x＞0，y随x的增大而减小，故B正确；
∵反比例函数的解析式为y＝，
把x＝2代入求得y＝1，
∴图象也经过点B（2，1），故C正确；
由图象可知x＜﹣1时，则y＞﹣2，故D错误；
故选：D．
9．（3分）如图，⊙O的半径为2，△ABC内接于⊙O，过点O作OD∥BC，交⊙O于点D．若∠DOC＝∠BAC，则BC的长为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵OD∥BC，OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB＝∠DOC，
∵∠DOC＝∠BAC，
∴，
∴∠OBC+∠OCB+∠BOC＝4∠OBC＝180°，
∴∠OBC＝∠OCB＝∠DOC＝45°，
∴，
故选：C．
10．（3分）已知二次函数y＝﹣x2+m2x和y＝x2﹣m2（m是常数）的图象与x轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为（ ）
A．2B．m2C．4D．2m2
【解答】解：令y＝0，则﹣x2+m2x＝0和x2﹣m2＝0，
∴x＝0或x＝m2或x＝﹣m或x＝m，
∵这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，
若m＞0，则m2＝2m，
∴m＝2，
若m＜0时，则m2＝﹣2m，
∴m＝﹣2．
∵抛物线y＝x2﹣m2的对称轴为直线x＝0，抛物线y＝﹣x2+m2x的对称轴为直线x＝，
∴这两个函数图象对称轴之间的距离＝＝2．
故选：A．
二.填空题（共6小题，，每小题3分，共计18分）
11．（3分）如图是某书店扶梯的示意图，扶梯AB的坡度，王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，则王老师上升的铅直高度BC为 10 米．
【解答】解：∵扶梯AB的坡度，
∴可设BC＝x米，AC＝x米，
∵王老师乘扶梯从扶梯底端A以0.5米/秒的速度用时40秒到达扶梯顶端B，
∴AB＝0.5×40＝20（米），
在Rt△ABC中，
由勾股定理，得AC2+BC2＝AB2，
即（x）2+x2＝202，
解得x1＝10，x2＝﹣10（舍去），
即王老师上升的铅直高度BC为10米．
故答案为：10．
12．（3分）方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，且，则m＝ ﹣3 ．
【解答】解：∵方程x2+mx﹣1＝0的两根为x1，x2，
∴Δ＝m2﹣4×1×（﹣1）≥0，
m2+4＞0，
由题意得：x1•x2＝﹣1；x1+x2＝﹣m，
∵，
∴＝﹣3，
＝﹣3，m＝﹣3，
故答案为：﹣3．
13．（3分）将抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度，再向右平移 2或4 个单位长度后，得到的新抛物线经过原点．
【解答】解：抛物线y＝（x+3）2向下平移1个单位长度的解析式为y＝（x+3）2﹣1，
设抛物线向右平移h个单位长度后，得到的新抛物线经过原点，则新抛物线的解析式为y＝（x+3﹣h）2﹣1，
∵抛物线经过原点，
∴当x＝0时，y＝0，
∴（3﹣h）2﹣1＝0，
解得h＝2或4．
故答案为：2或4．
14．（3分）已知二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a为常数，且a＞0）的图象上有三点A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3），则y1，y2，y3的大小关系是 y2＜y1＜y3 ．（用“＜”连接）
【解答】解：∵二次函数y＝ax2﹣2ax+1（a为常数，且a＞0）开口向上、对称轴为x＝1，
∴A（﹣2，y1），B（1，y2），C（3，y3）到对称轴距离为3，0，2，
∵抛物线开口向上，确定点到对称轴距离越近函数值y越小，
∴y2＜y1＜y3，
故答案为：y2＜y1＜y3．
15．（3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，函数（k为大于0的常数，x＞0）图象上的两点A（x1，y1），B（x2，y2），满足x2＝2x1，△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是 2 ．
【解答】解：如图，延长CA交y轴于E，延长CB交x轴于点F，
∴CE⊥y轴，CF⊥x轴，
∴四边形OECF为矩形，
∵x2＝2x1，
∴点A为CE的中点，
由几何意义得，S△OAE＝S△OBF，
∴点B为CF的中点，
∴S△OAB＝S矩形OECF＝6，
∴S矩形OECF＝16，
∴S△ABC＝×16＝2．
故答案为：2．
2
16．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，在平面内有一点E，，过点E作FE⊥BE于点E，且EF＝3，连接BF、DE、DF，H为线段DF上一点，且，连接EH，则EH的最小值为 ．
【解答】解：由题意可知，由，EF＝3，FE⊥BE可知，
则点F为动点，轨迹是以B为圆心、为半径的圆上运动；
由，点F为主动点，轨迹是以B为圆心、为半径的圆上运动，点H为从动点，且在点H、F的运动过程中，（定比），∠HDF＝0°（定角），
根据瓜豆原理得到点H轨迹是以O为圆心、为半径的圆上运动；
点E为动点，轨迹是以B为圆心、为半径的圆上运动；
如图所示：
∴EH的最小值转化为定点B到定点D的距离减去（BE+DH），
∵，，
∴，即EH的最小值为，
故答案为：．
三、解答题（共9小题，共计72分）
17．（5分）计算：．
【解答】解：
＝
＝
＝．
18．（5分）解方程：x（2x﹣5）＝4x﹣10．
【解答】解：原方程可变形为：
x（2x﹣5）﹣2（2x﹣5）＝0，
（2x﹣5）（x﹣2）＝0，
2x﹣5＝0或x﹣2＝0；
解得x1＝，x2＝2．
19．（6分）如图，已知：在正方形ABCD中，M是BC边上一定点，连接AM．请用尺规作图法，在AM上作一点P，使△DPA∽△ABM．（不写作法，保留作图痕迹）
【解答】解：如图所示，点P即为所求：
∵DP⊥AM，
∴∠APD＝∠ABM＝90°，
∵∠BAM+∠PAD＝90°，∠PAD+∠ADP＝90°，
∴∠BAM＝∠ADP，
∴△DPA∽△ABM．
20．（8分）垃圾分类工作是今年全国住房和城乡建设工作会议部署的重点工作之一，为营造人人参与垃圾分类的良好氛围，某市环保部门开展了“让垃圾分类成为低碳生活新时尚”宣传活动，决定从A，B，C三名志愿者中通过抽签的方式确定两名志愿者到社区进行垃圾分类知识宣讲，抽签规则：将三名志愿者的名字分别写在三张完全相同且不透明卡片的正面，把三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，先从中随机抽取一张卡片，记下名字，再从剩余的两张卡片中随机抽取第二张卡片，记下名字．
（1）从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”的概率是 ；
（2）按照抽签规则，请你用列表法或画树状图法表示出两次抽签所有可能的结果，并求出A，B两名志愿者同时被抽中的概率．
【解答】解：（1）∵从三张卡片中随机抽取一张，恰好是“B志愿者”只有一种可能，
∴P（恰好是“B志愿者”）＝，
故答案为：；
（2）画出树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中A，B两名志愿者同时被抽中有2种可能的情况，
∴P（A，B两名志愿者同时被抽中）＝＝．
21．（8分）新学期，小华和小明被选为升旗手，为了更好地完成升旗任务，他俩想利用测倾器和阳光下的影子来测量学校旗杆的高度PA．如图所示，旗杆直立于旗台上的点P处，他们的测量方法是：首先，在阳光下，小华站在旗杆影子的顶端F处，此时，量得小华的影长FG＝2m，小华身高EF＝1.6m；然后，在旗杆影子上的点D处，安装测倾器CD，测得旗杆顶端A的仰角为49°，量得CD＝0.6m，DF＝6m，旗台高BP＝1.2m．已知在测量过程中，点B、D、F、G在同一水平直线上，点A、P、B在同一条直线上，AB、CD、EF均垂直于BG．求旗杆的高度PA．（参考数据：sin49°≈0.8，cs49°≈0.7，tan49°≈1.2）
【解答】解：过点C作CH⊥AB于点H，如图所示：
则CH＝BD，BH＝CD＝0.6．
在Rt△AHC中，tan49°＝，即1.2＝，
∴AH＝1.2BD．
∴AB＝AH+HB＝1.2BD+0.6．
连接AF、EG．
由题意得：△EFG∽△ABF．
∴＝，即＝．
解得BD＝10.5，
∴AB＝13.2．
∴PA＝AB﹣PB＝13.2﹣1.2＝12（m）．
∴旗杆的高度PA为12m．
22．（8分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．
（1）求证：四边形ABCD为菱形；
（2）若AB＝5，AC＝8，求OE的长．
【解答】（1）证明：在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB＝∠ACB，
∴BA＝BC，
∴平行四边形ABCD是菱形；
（2）解：在菱形ABCD中，AC⊥BD，OA＝OC，
∵AB＝5，AC＝8，
∴，
∵BE⊥AB，
∴∠BEA+∠EAB＝90°，∠BEA+∠EBO＝90°，
∴∠EAB＝∠EBO，
∴△BEO∽△ABO，
∴，即，
解得．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，连接OD，过点D作⊙O的切线DE，交AC于点E，延长CA交⊙O于点F，连接BF．
（1）求证：DE⊥AC；
（2）若⊙O的直径为5，csC＝，求CF的长．
【解答】（1）证明：∵DE为⊙O的切线，
∴OD⊥DE，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C，
∵OB＝OD，
∴∠ABC＝∠ODB，
∴∠ODB＝∠C，
∴OD∥AC，
∴DE⊥AC；
（2）解：连接AD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BDA＝90°，
∵AB＝5，
∴AC＝AB＝5，
在Rt△ADC中，csC＝＝，
∴CD＝4，
在Rt△CED中，csC＝＝，
∴CE＝，
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠BFA＝90°，
∵DE⊥AC，
∴DE∥BF，
∴EF＝CE＝，
∴CF＝．
24．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣1）三点．
（1）求该抛物线的表达式；
（2）在直线BC上是否存在点M，使得△BOM与△ABC相似．若存在，求出点M的坐标：若不存在，说明理由．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（3，0），
∴设y＝a（x+1）（x﹣3），
∵抛物线y＝ax2+bx+c过C（0，﹣1），
∴﹣1＝a×（0+1）×（0﹣3），
解得，
∴该抛物线的表达式为；
（2）如图1所示：
∵抛物线y＝ax2+bx+c过A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣1）三点，
∴在△ABC中，∠BAC＝45°，∠ABC＜45°，
若在直线BC上是否存在点M，使得△BOM与△ABC相似，必须在△BOM有一个角为45°，
当M在CB右侧上时，△BOM中没有角可以是45°，不存在点M，使得△BOM与△ABC相似；
当M在CB上时，若OM∥AC，∠BMO＝45°，则存在点M，使得△BOM∽△BAC，如图2所示：
∴，即，
∴，即；，即，
则；
当M在CB左侧时，∠BMO＝45°，则存在点M，使得△BMO∽△BAC，如图3所示：
∴，即，
∴＝，即|yM|＝＝；＝，即|xM|＝＝，
则；
综上所述，在直线BC上是否存在点或，使得△BOM与△ABC相似．
25．（12分）问题发现
（1）如图①，△ABC为边长为2的等边三角形，D是AB边上一点且CD平分△ABC的面积，则线段CD的长度为 ；
问题探究
（2）如图②，▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，∠B＝60°点M在AD上，点N在BC上，若MN平分平行四边形ABCD的面积，且MN最短，请你画出符合要求的线段MN，并求出此时MN与AM的长度．
问题解决
（3）如图③，某公园的一块空地由三条道路围成，即线段AB、BC、，已知AB＝160米，BC＝120米，∠ABC＝90°，的圆心在AB边上，现规划在空地上种植草坪，并从的中点P修一条直路PM（点M在AB上）．请问是否存在PM，使得PM平分该空地的面积？若存在，请求出此时AM的长度；若不存在，请说明理由．
【解答】解：（1）如图①中，
∵CD平分△ABC的面积，
∴AD＝DB，
∵CA＝CB＝2，
∴CD⊥AB，AD＝BD＝1，
∴CD＝＝＝．
故答案为：．
（2）如图②中，连接AC、BD，交于O，过O作直线MN，交AD于M，交BC于N，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∵∠AOM＝∠CON，
∴△AOM≌△CON（ASA），
∴S△AOM＝S△CON，
同理可得：△OMD≌△ONB，△AOB≌△COD，
∴S△OMD＝S△ONB，S△AOB＝S△COD，
∴S△AOM+S△AOB+S△BON＝S△CON+S△COD+S△OMD，
即MN将四边形ABCD分成面积相等的两部分，
当MN⊥BC时，MN是最短，如图②﹣1中，
过A作AE⊥BC于E，
在Rt△ABE中，∵∠ABC＝60°，
∴sin60°＝，
∴AE＝×6＝3，BE＝AB＝3，
∴EC＝BC﹣BE＝5，
∵OA＝OC，ON∥AE，
∴EN＝CN＝
∵AD∥BC，AE⊥BC，MN⊥BC，
∴MN＝AE＝3，AM＝EN＝
∴此时MN的长度为3，AM＝．
（3）如图③中，过点P作PO⊥AC交AC于H，交AB于O，作PQ⊥AB于Q，连接OC．
由题意，点O是所在圆的圆心，
∵＝，
∴OP⊥AC，AH＝HC，
在Rt△ABC中，AC＝＝＝200，
∵∠AOH＝∠POQ，∠AHO＝∠PQO，OA＝OP，
∴△OAH≌△OPQ（AAS），
∴AH＝PQ＝100，
∵＝，
∴S扇形OAP＝S扇形OPC，
∴当S△OPM＝S△OCB时，PM平分该空地的面积，
设OA＝OC＝x，
在Rt△OCB中，∵OC2＝BC2+OB2，
∴x2＝1202+（160﹣x）2，
解得x＝125，
设OM＝y，
则有•y•100＝×35×120，
解得y＝21，
∴OM＝21，AM＝OA+OM＝125+21＝146．