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2023_2024学年吉林长春朝阳区长春市第五中学高一下学期期中数学试卷（第二学程）
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这是一份2023_2024学年吉林长春朝阳区长春市第五中学高一下学期期中数学试卷（第二学程），共6页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
2023~2024学年吉林长春朝阳区长春市第五中学高一下学期期中数学试卷（第
二学程）
一、单选题
1.设i为虚数单位，则复数
A.
的共轭复数为（
）
B.
B.
C.
D.
D.
2.已知向量
A.
，
，若
，则
（
）
C.
3.某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：
则这组数据的 分位数、 分位数分别为（
）
A.
B.
C.
C.
D.
D.
4.在
中，a=15,b=10,A=60°，则
B.
=
A.
－
－
5.在正方体
A.
中， 为棱
的中点，则异面直线
C.
与
所成角的正切值为
D.
B.
6.设m、n是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（
）
. .
A. 若
C. 若
，则
B. 若
D. 若
，则
，则
，则
7.设 ， 为正三角形
A.
中
B.
边上的两个三等分点，且
C.
，则
D.
8.在
A.
中，内角
的对边分别为
）
．若
的面积为 ，且
，
D.
，则
外接圆的面积为（
B.
C.
二、多选题
9.已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是（
）
（千克）
甲
乙
（天）
A. 甲组数据的极差大于乙组数据的极差
C. 若甲、乙两组数据的方差分别为
B. 若甲、乙两组数据的平均数分别为
，则
，则
D. 甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数
10.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，
现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B=“抽取的两
个小球标号之积大于8”，则（
）
A. 事件A与事件B的样本点数分别为12，8
B. 事件A，B间的关系为
D. 事件 发生的概率为
C. 事件
发生的概率为
11.在
A.
中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ．下面四个结论正确的是（
）
，
，则
，则
的外接圆半径是4
一定是钝角三角形
B. 若
D. 若
，则
C. 若
，则
12.如图，四棱锥
的底面为菱形，
，
底面
，P是
上
任意一点（不含端点），则下列结论中正确的是（
）
A. 若
平面
，则
B.
B到平面
的距离为
中点时，
C. 当P为
中点时，过P、A、B的截面为直角梯形
D. 当P为
有最小值
三、填空题
13.给3个人写3封内容不同的信，写好后将它们随意装入写好地址与收信人的3个信封，每个信封装一封信，则
全部装错的概率为
.
.
14.已知圆锥的表面积为
，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为
．
15.已知四面体P－ABC中，PA＝PB＝4，PC＝2，AC＝2 ，PB⊥平面PAC，则四面体P－ABC外接球的体积
为
．
16.降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：mm）.气象学中，把24小时内的降雨量叫作日
降雨量.等级划分如下表：
日降雨量/mm
等级
小雨
中雨
大雨
暴雨
某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若在一次降雨过程中用此桶
接了24小时的雨水恰好是桶深的 ，则当日的降雨量等级为
.
四、解答题
17.某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组
，第二组
，第三组
，第四组
，第五组
，绘制成如图所示的频率分布直方
图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
(1)求 、 的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和中位数（精确到0.1）；
(3)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组
的概率.
18.2021年12月8日召开的中央经济工作会议，总结了2021年经济工作，分析了当前经济形势，并对2022年经
济工作做出部署，其中强调加大对科技创新等领域的支持．现国家支持甲、乙、丙三家公司同时对某一科技产
品进行攻坚研发，已知每一轮研发中满足：甲公司研发成功的概率为 ，甲、乙两公可都研发成功的概率为
，乙、丙两家公司都研发不成功的概率为 ，各公司是否研发成功互不影响．
(1)求乙、丙两家公司各自研发成功的概率；
(2)若至少有一家公司研发成功，则称作实现了“取得重大突破”的目标，如果没有实现目标，则三家公司都进
行第二轮研发，求不超过两轮研发就能实现“取得重大突破”目标的概率．
19.已知三棱柱
点，若
，
，
平面
，
，
为棱
上一
.
（1）求证：
平面
；
（2）求三棱锥
的体积.
20.已知
的内角
所对的边分别为
，向量
，
且
．
(1)求角 的大小；
(2)若
，
，求
的面积．
21.如图，已知正方体
的棱长为 .
(1)求证：
平面
；
(2)求点 到平面
的距离.
22.如图，已知三棱锥
分别是PB、AB的中点．
，
平面
，
，
，
，M、N
(1)求证：
(2)求直线
//平面
与平面
；
所成角的正弦值．
2023~2024学年吉林长春朝阳区长春市第五中学高一下学期期中数学试卷（第
二学程）
一、单选题
1.设i为虚数单位，则复数
A.
的共轭复数为（
）
B.
B.
C.
D.
D.
2.已知向量
A.
，
，若
，则
（
）
C.
3.某校高一年级15个班参加朗诵比赛的得分如下：
则这组数据的 分位数、 分位数分别为（
）
A.
B.
C.
C.
D.
D.
4.在
中，a=15,b=10,A=60°，则
B.
=
A.
－
－
5.在正方体
A.
中， 为棱
的中点，则异面直线
C.
与
所成角的正切值为
D.
B.
6.设m、n是两条不同的直线， 、 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（
）
. .
A. 若
C. 若
，则
B. 若
D. 若
，则
，则
，则
7.设 ， 为正三角形
A.
中
B.
边上的两个三等分点，且
C.
，则
D.
8.在
A.
中，内角
的对边分别为
）
．若
的面积为 ，且
，
D.
，则
外接圆的面积为（
B.
C.
二、多选题
9.已知甲、乙两个水果店在“十一黄金周”七天的水果销售量统计如图所示，则下列说法正确的是（
）
（千克）
甲
乙
（天）
A. 甲组数据的极差大于乙组数据的极差
C. 若甲、乙两组数据的方差分别为
B. 若甲、乙两组数据的平均数分别为
，则
，则
D. 甲组数据的中位数大于乙组数据的中位数
10.已知甲罐中有四个相同的小球，标号为1，2，3，4；乙罐中有五个相同的小球，标号为1，2，3，5，6，
现从甲罐、乙罐中分别随机抽取1个小球，记事件A=“抽取的两个小球标号之和大于5”，事件B=“抽取的两
个小球标号之积大于8”，则（
）
A. 事件A与事件B的样本点数分别为12，8
B. 事件A，B间的关系为
D. 事件 发生的概率为
C. 事件
发生的概率为
11.在
A.
中，角 、 、 的对边分别是 、 、 ．下面四个结论正确的是（
）
，
，则
，则
的外接圆半径是4
一定是钝角三角形
B. 若
D. 若
，则
C. 若
，则
12.如图，四棱锥
的底面为菱形，
，
底面
，P是
上
任意一点（不含端点），则下列结论中正确的是（
）
A. 若
平面
，则
B.
B到平面
的距离为
中点时，
C. 当P为
中点时，过P、A、B的截面为直角梯形
D. 当P为
有最小值
三、填空题
13.给3个人写3封内容不同的信，写好后将它们随意装入写好地址与收信人的3个信封，每个信封装一封信，则
全部装错的概率为
.
.
14.已知圆锥的表面积为
，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积为
．
15.已知四面体P－ABC中，PA＝PB＝4，PC＝2，AC＝2 ，PB⊥平面PAC，则四面体P－ABC外接球的体积
为
．
16.降雨量是指降落在水平地面上单位面积的水层深度（单位：mm）.气象学中，把24小时内的降雨量叫作日
降雨量.等级划分如下表：
日降雨量/mm
等级
小雨
中雨
大雨
暴雨
某数学建模小组为了测量当地某日的降雨量，制作了一个圆台形水桶，如图所示，若在一次降雨过程中用此桶
接了24小时的雨水恰好是桶深的 ，则当日的降雨量等级为
.
四、解答题
17.某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组
，第二组
，第三组
，第四组
，第五组
，绘制成如图所示的频率分布直方
图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.
(1)求 、 的值；
(2)估计这100名候选者面试成绩的平均数和中位数（精确到0.1）；
(3)在第四、五两组志愿者中，按比例分层抽样抽取5人，然后再从这5人中选出2人，求选出的两人来自同一组
的概率.
18.2021年12月8日召开的中央经济工作会议，总结了2021年经济工作，分析了当前经济形势，并对2022年经
济工作做出部署，其中强调加大对科技创新等领域的支持．现国家支持甲、乙、丙三家公司同时对某一科技产
品进行攻坚研发，已知每一轮研发中满足：甲公司研发成功的概率为 ，甲、乙两公可都研发成功的概率为
，乙、丙两家公司都研发不成功的概率为 ，各公司是否研发成功互不影响．
(1)求乙、丙两家公司各自研发成功的概率；
(2)若至少有一家公司研发成功，则称作实现了“取得重大突破”的目标，如果没有实现目标，则三家公司都进
行第二轮研发，求不超过两轮研发就能实现“取得重大突破”目标的概率．
19.已知三棱柱
点，若
，
，
平面
，
，
为棱
上一
.
（1）求证：
平面
；
（2）求三棱锥
的体积.
20.已知
的内角
所对的边分别为
，向量
，
且
．
(1)求角 的大小；
(2)若
，
，求
的面积．
21.如图，已知正方体
的棱长为 .
(1)求证：
平面
；
(2)求点 到平面
的距离.
22.如图，已知三棱锥
分别是PB、AB的中点．
，
平面
，
，
，
，M、N
(1)求证：
(2)求直线
//平面
与平面
；
所成角的正弦值．
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