吉林省长春市第二实验中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题（Word版附答案）

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考生注意：
1.满分150分，考试时间120分钟.
2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
3.本卷命题范围：选择性必修二，一轮1.1集合，1.2常用逻辑用语，1.3等式和不等式，1.4基本不等式.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.命题任意圆的内接四边形是矩形，则为（ ）
A.每一个圆的内接四边形是矩形
B.有的圆的内接四边形不是矩形
C.所有圆的内接四边形不是矩形
D.存在一个圆的内接四边形是矩形
3.“”是“”的（ ）
A.必要不充分条件 B.充分不必要条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.已知实数，则下列结论一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
5.1696年，洛必达在他的著作《无限小分析》一书中创造了一种算法，用以寻找满足一定条件的两函数之商的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对分子､分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法.如：，按此法则有（ ）
A.2 B.1 C.0 D.-2
6.已知，则数列的偶数项中最大项为（ ）
A. B. C. D.
7.设数列的前项和为，已知，若，则正整数的值为（ ）
A.2021 B.2022 C.2023 D.2024
8.已知实数，且，则（ ）
A. B.
C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知正数满足，则下列说法一定正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10.在数列中，若对于任意，都有，则（ ）
A.当或时，数列为常数列
B.当时，数列为递减数列，且
C.当时，数列为单调数列
D.当时，数列为递增数列
11.已知函数，若方程有3个不同的实根，则的取值可以为（ ）
A.0 B. C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.设集合，则集合的非空真子集个数为__________.
13.已知数列的通项公式为，保持数列中各项先后顺序不变，在与之间插入个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列，记的前项和为，则的值为__________.
14.已知函数，且满足，则实数的值为__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知全集为，集合.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围.
16.（本小题满分15分）
甲､乙两个粮食经销商同时在某一个粮食生产基地按同一批发价购进粮食，他们每年都要购粮3次，由于季节因素，每次购粮的批发价均不相同.为了规避价格风险，甲每次购粮10000千克，乙每次购粮款为10000元.
（1）从平均价格角度比较甲､乙两个经销商哪种购粮方式更经济合算；
（2）请你把所得结论做一些推广.（直接写出推广结论即可）
17.（本小题满分15分）
已知函数.
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）讨论的单调性.
18.（本小题满分17分）
已知正项数列的前项和为，且满足.
（1）求的通项公式；
（2）令，记数列的前项和为，若对任意的，均有恒成立，求实数的取值范围.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）若的极小值为-4，求的值；
（2）若有两个不同的极值点，证明：.
长春二实验中学高二（下）期中测试卷•数学
参考答案､提示及评分细则
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
1.C 因为，所以.故选C.
2.B 全称量词命题的否定是存在量词命题，需要将全称量词换为存在量词，答案A､C不符合题意，同时对结论进行否定，所以有的圆的内接四边形不是矩形，故选B.
3.A 由解得或，故“”是“”的必要不充分条件.故选A.
4.D 由题可知，，
A项中，若，则，故A项错误；
B项中，若，则，故，故B项错误；
C项中，若，则，故C项错误；
D项中，，
因为，则，故正确，故D项正确.故选D.
5.A 由题意可得.
6.D 由题意可得，令，解得.所以当时，，即，同理当时，，即，而当时，，所以数列的偶数项中最大项为，故选D.
7.C ，又，所以是首项为1，公比为的等比数列，所以，故，令，由且，则，由，则，则，所以023，故，则正整数的值为2023.故选C.
8.B 构造函数，显然时，在上单调递增，当时，在上单调递减，故的最大值是，当时，的值域是，由题意，对于，
对于，即必然存在，使得，由于，即，由于是单调递增的，
，对于，即，同理，由于，即，故选B.
9.BCD 取，则，故A错误；
由题意可知（当且仅当时取等号），故B正确；
因为，所以（当且仅当时取等号），则（当且仅当时取等号），故C，D正确.故选BCD.
10.ABD 对于A选项，由得，
所以当时，，是常数列；
当时，，是常数列，故选项正确；
对于B选项，，
因为，所以当时，，即，
同理可得，所以，即，所以数列为递减数列，且，故B选项正确；
对于C选项，当时，由，即，
由得，符号不确定，所以符号不确定，所以当时，数列的单调性无法确定，故C选项错误；
对于D选项，当时，由得，即.由得，所以，同理可得，所以，即，所以数列为递增数列，故D选项正确；故选ABD.
11.CD ，当或时，；当时，，
所以在和上都递增，在上递减，
极小倠，
当时，时，，
所以当时，有3个不同的实根，
设3个不同的实根为，则.
.
设，则，
当时，单调递减；当时，单调递增，
所以，又，
所以的取值范围是，即为的取值范围.故选CD.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.6 由题知，故集合的非空真子集个数为.
13.130 因为与之间插入个1，所以在中对应的项数为，当时，，当时，，所以，且为前6项和，因此.
14.1 令，则为奇函数，且单调递增.由得，即，则.令，则，当时单调递减，当时，单调递增，故时取最小值0，故不等式的解为.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.
15.解：（1），
当时，，
所以或.
（2），
由“”是“”的充分不必要条件得⫋，
所以，解得，即的取值范围是.
16.解：（1）设3次购粮时每千克批发价分别为元，甲每次购10000克，三次购粮共元，
因此甲购粮每千克的平均价格为元；
乙每次购粮用10000元，3次共用去30000元，乙每次购粮分别为千克，乙购粮每千克的平均价格为.
由于，因为批发价均不相同，所以等号取不到，所以.乙购粮方式更经济合算.
（2）当次购买同一种商品时，按乙的购买方式比较经济.（其他合理的答案酌情赋分）
17.解：（1）由题意知时，，故曲线在处的切线方程为.
（2）的定义域为，且，
当时，则，
令，解得，令，解得，
可得在上单调递减，在上单调递增；
当时，则有：
若，则，令，则单调递增；
令，则或单调递减；
若，则，令，则单调递增；
令，则或单调递减；
若，则单调递减.
综上所述，当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减，在上单调递增；
当时，在上单调递减.
18.解：（1）因为，
当时，有，
两式相减得，
化简得.
因为，所以，
在中，当得，
所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列，故.
（2）由（1）知，
，
，
，
.
由题意，对任意的，均有恒成立，
，即恒成立.
设，
所以.
当时，，即
当时，，即，
所以的最大值为，
所以，故的取值范围是.
19.（1）解：，
当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增.
当时，取得极小值，
由，解得或（舍去）.
故的值为.
（2）证明：由题意可知，方程有两个不同的正实数根，即有两个不同的实数根.
令，则，
当时，，当时，，
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
验证可知，，
由得，所以.
当时，方程，即方程，则有两个不同的正实数根.
设，则，
所以在上单调递增，在上单调递减.
不妨设，则.
令，
则，
所以在上单调递增，则当时，，
所以
又，函数在上单调递减，
所以，则，
因为，故.题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
B
A
D
A
D
C
B
题号
9
10
11
答案
BCD
ABD
CD