数学：天津市河北区2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版）

这是一份数学：天津市河北区2022-2023学年高一下学期期末试题（解析版），共10页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列事件中，是随机事件的是（ ）
①明天本市会下雨；
②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14；
③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上；
④13个人中至少有2个人的生日在同一个月.
A. ①③B. ③④C. ①④D. ②③
【答案】A
【解析】由题可知，①③可能发生，也可能不发生，是随机事件；
②不可能发生，是不可能事件；④一定发生，是必然事件.
故选：A.
2. 若是纯虚数，则实数的值等于（ ）
A. 0或2B. 2或C. D. 2
【答案】C
【解析】因为是纯虚数，
所以，解得.
故选：C.
3. 已知向量，，若，则（ ）
A. －1B. 6C. －6D. 2
【答案】B
【解析】向量，，则，
由，得，解得.
故选：B.
4. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为3，则该圆锥的侧面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】该圆锥的侧面积为.
故选：B.
5. 如图，已知中，为的中点，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为
，
所以，.故.
故选：C.
6. 设是某长方体四条棱的中点，则直线和直线的位置关系是（ ）
A. 相交B. 平行C. 异面D. 无法确定
【答案】A
【解析】如图，延长使，因为，，，为棱的中点，
所以延长，都会交中点处，所以直线和直线的位置关系为相交.
故选：A.
7. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的为（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则∥
D. 若，则
【答案】D
【解析】对于A，当时，可能平行，也可能相交，所以A错误；
对于B，当时，可能平行，可能异面，所以B错误；
对于C，当时，∥或，所以C错误；
对于D，当时，由面面平行的性质可得，所以D正确.
故选：D.
8. 从集合中随机地取一个数a，从集合中随机地取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】依题意，向量的不同结果有：
，共12个，
由，得，则的事件有，共2个，
所以向量与向量垂直的概率为.
故选：D.
9. 一度跌入低谷的中国电影市场终于在兔年春节迎来了大爆发.2023年春节档（除夕至大年初六），在《满江红》《流浪地球2》《熊出没·伴我“熊芯”》《无名》《深海》《交换人生》等电影的带动下，全国票房累计67.59亿，超越2022年同期票房成绩，仅次于2021年成为史上第二强春节档.以下是历年的观影数据，下列选项正确的是（ ）
A. 2022年春节档平均每场观影人数比2023年春节档平均每场观影人数多
B. 这4年中，每年春节档上映新片数量的众数为10
C. 这4年中，每年春节档票房的极差为29.38亿元
D. 这4年春节档中，平均每部影片的观影人数最多的是2023年
【答案】D
【解析】对于A，2022年春节档平均每场观影人数为，
2023年春节档平均每场观影人数为，故A错误；
对于B，这4年中，每年春节档上映新片的数量从小到大排列为7，8，8，10，
所以众数为8，故B错误；
对于C，这4年中，每年春节档票房的极差为亿元，故C错误；
对于D，这4年平均每部影片的观影人数依次为万，万，
万，万，故D正确.
故选：D.
10. 如图，在三棱锥中，，平面，，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】取PC的中点为E，连接EO，可得OE∥BC，
∵平面，平面ABC，
∴又AC⊥BC，AC∩BC=C，
∴BC⊥平面PAC，又OE∥BC，
∴OE⊥平面PAC，
∴∠OCE为直线与平面所成角，
设，OE=1，，OC=，
∴cs∠OCE=.
故选：B.
二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案填在题中横线上．
11. i是虚数单位，化简的结果为__________．
【答案】
【解析】依题意，.
故答案为：.
12. 某同学进行投篮训练，在甲、乙两个不同的位置投中的概率分别为，p，该同学站在这两个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则p的值为__________．
【答案】
【解析】依题意，投篮两次都不中的概率为，解得，
所以p的值为.
故答案为：.
13. 某校举行演讲比赛，10位评委对一名选手的评分数据如下：8.0，7.7，8.1，8.2，7.6，7.8，7.9，8.7，8.8，7.5，根据以上数据，估计该选手得分的样本数据的第75百分位数是__________．
【答案】8.2
【解析】依题意，评分数据由小到大排列为：7.5，7.6，7.7，7.8，7.9，8.0，8.1，8.2，8.7，8.8，
而，所以该选手得分的样本数据的第75百分位数是8.2.
故答案为：8.2.
14. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为______.
【答案】
【解析】因为A1B//D1C，所以∠AD1C为异面直线A1B与AD1所成角的平面角，
因为△AD1C为正三角形，所以∠AD1C，即异面直线A1B与AD1所成角的大小为.
故答案为：60°.
15. 如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为______海里.
【答案】
【解析】连接，
由题意可知，，，，，
，，
在中，由正弦定理得，，
中，
，，，
在中，由余弦定理得．
故答案为：.
三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．
（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；
（2）写出事件R与G，M与N之间的关系；
（3）写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系．
解：（1）用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，
是第二次摸到的球的标号，所以试验的样本空间
，
事件，事件，事件，
事件.
（2）由（1）知，，而，所以事件互斥，不对立；
，所以事件互为对立事件.
（3）由（1）知，，所以事件是事件与事件的并事件.
17. 的内角的对边分别为，若，求：
（1）的值；
（2）和的面积．
解：（1）由余弦定理得：，
解得．
（2）由，则，
由正弦定理得，
又，则，
．
18. 某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，．
（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；
（2）试估计该校学生满意度打分的众数、中位数（中位数保留小数点后2位）；
（3）若采用分层随机抽样方法，从打分在的学生中随机抽取5人了解情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人打分都在的概率．
解：（1）由频率分布直方图可知，
，解得，
该校学生满意度打分不低于70分的人数为：.
（2）众数：75；
，所以中位数为：.
（3）由频率分布直方图可知，打分在和内的频率分别为0.04和0.06，
分层抽样抽取5人，则打分在和内分别抽取2人和3人，
从5人中选取2人进行跟踪分析，
这2人打分都在的概率.
19. 如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是菱形，点O是对角线与的交点，，M是的中点，连接．
（1）证明：平面；
（2）证明：平面平面；
（3）当三棱锥的体积等于时，求的长．
解：（1）证明：因为底面四边形是菱形，所以O是的中点，
又M是的中点，所以，
因为平面，平面，
所以平面.
（2）证明：因为底面四边形是菱形，所以，
因为平面，平面，所以，
又，所以平面，
又平面，所以平面平面.
（3）因为底面四边形是菱形，且，，
所以，
又，三棱锥的高为，
所以，解得．