天津市河北区2022-2023学年高一下学期期末数学试题(无答案)

河北区2022～2023学年度第二学期期末高一年级质量检测

数学

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．下列事件中，是随机事件的为（    ）．

①明天本市会下雨；

②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14；

③抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上；

④13个人中至少有2个人的生日在同一个月．

A．①③ B．③④ C．①④ D．②③

2． i是虚数单位，若是纯虚数，则实数k的值为（    ）．

A．0或2 B．2 C． D．2或

3．已知向量，，若，则的值为（    ）．

A． B．6 C． D．2

4．若一个圆锥的底面半径为2，母线长为3，则该圆锥的侧面积为（    ）．

A． B． C． D．

5．如图，已知中，D为的中点，，若，则的值为（    ）．

A． B． C． D．

6．设A，B，C，D是某长方体四条棱的中点，则直线和的位置关系是（    ）．

A．相交 B．平行 C．异面 D．无法确定

7．设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（    ）．

A．若，，，则

B．若，，，则

C．若，，，则

D．若，，，则

8．从集合中随机地取一个数a，从集合中随机地取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（    ）．

A． B． C． D．

9．一度跌入低谷的中国电影市场终于在兔年春节迎来了大爆发．2023年春节档（除夕至大年初六），在《满江红》《流浪地球2》《熊出没·伴我“熊芯”》《无名》《深海》《交换人生》等电影的带动下，全国票房累计67.59亿，超越2022年同期票房成绩，仅次于2021年成为史上第二强春节档．以下是历年的观影数据，下列选项正确的是（    ）．

历年春节档观影人数（万） 历年春节档场次（万）

历年春节档上映新片数量 历年春节档票房（亿元）

A．2022年春节档平均每场观影人数比2023年春节档平均每场观影人数多

B．这4年中，每年春节档上映新片数量的众数为10

C．这4年中，每年春节档票房的极差为29.38亿元

D．这4年春节档中，平均每部影片的观影人数最多的是2023年

10．如图，在三棱锥中，，平面，，O为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为（    ）．

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案填在题中横线上．

11．i是虚数单位，化简的结果为__________．

12．某同学进行投篮训练，在甲、乙两个不同的位置投中的概率分别为，p，该同学站在这两个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则p的值为__________．

13．某校举行演讲比赛，10位评委对一名选手的评分数据如下：

8.0    7.7    8.1    8.2    7.6    7.8    7.9    8.7    8.8    7.5

根据以上数据，估计该选手得分的样本数据的第75百分位数是__________．

14．在正方体中，异面直线与所成角的大小为__________．

15．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西、北偏东方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西方向，则A，B两处岛屿间的距离为__________海里．

三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．（本小题满分8分）

一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．

（Ⅰ）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；

（Ⅱ）写出事件R与G，M与N之间的关系；

（Ⅲ）写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系．

17．（本小题满分10分）

已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，．

（Ⅰ）求a的值；

（Ⅱ）求的值和的面积．

18．（本小题满分10分）

某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，．

（Ⅰ）求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；

（Ⅱ）试估计该校学生满意度打分的众数、中位数（中位数保留小数点后2位）；

（Ⅲ）若采用分层随机抽样的方法，从打分在的学生中随机抽取5人了解情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人打分都在的概率．

19．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是菱形，点O是对角线与的交点，，，M是的中点，连接．

（Ⅰ）证明：平面；

（Ⅱ）证明：平面平面；

（Ⅲ）当三棱锥的体积等于时，求的长．