2022-2023学年天津市河北区高一上学期期末数学试题含解析

2022-2023学年天津市河北区高一上学期期末数学试题

一、单选题

1．设全集，集合，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先求出，再根据交集的定义可求.

【详解】，故，

故选：A.

2．命题：“，”的否定为（    ）

A．，． B．，．

C．，． D．，．

【答案】D

【分析】利用全称命题的否定规则即可得到命题的否定

【详解】命题：“，”的否定为“，”

故选：D

3．（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】利用诱导公式将化成，即可得到答案.

【详解】.

故选：B

【点睛】本题考查诱导公式的应用，考查转化与化归思想的运用，求解时注意符号的正负.

4．已知，，，则，，的大小关系为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】根据对数函数及指数函数单调性，比较，，与0，1的大小关系即可得答案.

【详解】解：因为，，，

所以，，，

所以，

故选：A.

5．对数与互为相反数，则有（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】由题得，化简即可得答案.

【详解】解：由已知得，即，则.

故选：C.

【点睛】本题考查对数的运算性质，是基础题.

6．函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】应用排除法，结合奇偶性定义判断奇偶性，由解析式判断的符号，即可确定图象.

【详解】由且定义域为，函数为奇函数，排除A、C；

又，排除B.

故选：D.

7．函数的零点所在区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】本题考查函数零点存在性定理，满足，即零点在区间.

【详解】,

所以在单调递增，

因为

所以由零点存在性质定理知，的零点在.

故选：B

8．在中，A，B，C是其三个内角，下列关系成立的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】结合内角和定理和诱导公式依次讨论各选项即可得答案.

【详解】对于A选项，，故A选项错误；

对于B选项，，故B选项正确；

对于C选项，，故C选项错误；

对于D选项，，故D选项错误.

故选：B

【点睛】在中， ，，，.

9．为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上所有的点

①向左平移个单位，再把所有各点的横坐标缩短到原来的倍；

②向左平移个单位，再把所有各点的横坐标缩短到原来的倍；

③各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位:

④各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位

其中命题正确的为（    ）

A．①③ B．①④ C．②③ D．②④

【答案】B

【分析】利用三角函数图象变换可得出结论.

【详解】因为，

所以，为了得到函数的图象，只需要把函数的图象上所有的点向左平移个单位，再把所有各点的横坐标缩短到原来的倍，

或将函数的图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位.

故①④满足条件，

故选：B.

10．已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数a的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】画出函数 的图像，将方程恰有三个不同的实数根转化为函数与有3个不同的交点即可.

【详解】若方程恰有三个不同的实数根，

则函数与有3个不同的交点

如图与的图像

由图可得函数与有3个不同的交点，则

故选：A.

二、填空题

11．函数的最小正周期是________________．

【答案】

【分析】根据三角函数周期计算公式得出结果.

【详解】函数的最小正周期是

故答案为：

12．已知函数是定义在上周期为2的奇函数，若，则______．

【答案】

【分析】结合函数周期性及奇偶性特征即可求解.

【详解】∵函数是定义在上周期为2的奇函数,

∴,

故答案为：.

13．已知，则的最小值是______.

【答案】

【分析】利用基本不等式求得的最小值.

【详解】由于，所以，

所以，

当且仅当时等号成立.

故答案为：

14．已知函数的部分图象如图所示，则___________．

【答案】

【分析】由图象可得最小正周期的值，进而可得，又函数图象过点，

利用即可求解.

【详解】解：由图可知，因为，所以，解得，

因为函数的图象过点，

所以，又，

所以，

故答案为：.

15．下列命题中：

（1）与互为反函数，其图像关于对称；

（2）已知扇形的周长为2，扇形的圆心角为2，则扇形的面积是；

（3）已知角的终边经过点，则；

（4）被称为“天津之眼”的天津永乐桥摩天轮，是一座跨河建造、桥轮合一的摩天轮．假设“天津之眼”旋转一周需30分钟，且是匀速转动的，则经过5分钟，转过的角的弧度为．

上述命题中的所有正确命题的序号是______．

【答案】

【分析】根据反函数性质,扇形弧长及面积公式,三角函数的定义等逐项判断即可.

【详解】对于:根据反函数性质可知与互为反函数，其图像关于对称,故正确;

对于:扇形的周长为,又因为扇形的圆心角,所以,,

则扇形的面积,故错误;

对于:根据三角函数的定义, 角的终边经过点,则,故错误;

对于:“天津之眼”旋转一周需30分钟，且是匀速转动的，则经过5分钟，

转过的角度是一周的,则转过的角的弧度为,故正确;

故答案为: .

三、解答题

16．已知，

(1)求，；

(2)；

(3).

【答案】(1)，

(2)

(3)

【分析】（1）由三角函数的基本关系列式求解；（2）由两角和的正弦公式展开计算；（3）由二倍角公式计算.

【详解】（1）因为，，

所以，；

（2）

（3）.-

17．已知函数

(1)求与的值；

(2)若，求的取值范围；

(3)当时，，求的取值范围．

【答案】(1);

(2)

(3)

【分析】(1)根据分段函数求函数值即可；(2)分情况讨论解不等式即可；(3)解指数不等式即可求解.

【详解】（1）,.

（2）若，解得，

若，，即解得，

所以的取值范围为.

（3）当时，,

即解得，所以的取值范围为.

18．已知函数．

(1)求的最小正周期；

(2)求的最大值以及取得最大值时的集合；

(3)讨论在上的单调性．

【答案】(1)

(2)详见解析

(3)详见解析

【分析】（1）先化简函数的的解析式，再利用公式即可求得的最小正周期；

（2）先求得的最大值，再利用整体代入法即可求得取最大值时的集合；

（3）利用代入法即可求得在上的单调性

【详解】（1）

则的最小正周期

（2）由，得

则当，时，取得最大值

故的最大值为，取得最大值时的集合为；

（3）由，可得，

由，得，则在单调递增；

由，得，则在单调递减

故在上的单调递增区间为，单调递减区间为

19．已知二次函数只能同时满足下列三个条件中的两个：

①的解集为；

②的最小值为；

③在区间上是增函数．

(1)请写出满足题意的两个条件的序号，并求出，，的值；

(2)若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

(3)求关于的不等式的解集．

【答案】(1)

(2)

(3)答案见详解

【分析】（1）对①根据三个二次之间的关系分析运算；对②：根据二次函数的最值分析列式；对③：根据二次函数的对称性分析列式；结合题意可得应满足①②，运算求解；（2）根据题意参变分离可得当时恒成立，结合基本不等式运算求解；（3）根据一元二次不等式的解法分类讨论两根大小，运算求解.

【详解】（1）对①：若的解集为，即的解集为，则，可得；

对②：若的最小值为，则；

对③：在区间上是增函数，且的对称轴为，则；

故应满足①②：则，且，解得，

故.

（2）由（1）可得，

∵当时，不等式恒成立，即，

∴当时恒成立，

又∵，当且仅当，即时等号成立，

∴，即，

故实数的取值范围为.

（3）∵，即，则，

当时，不等式的解集为；

当时，不等式的解集为R；

当时，不等式的解集为.