天津市河北区2022-2023学年高一数学下学期期末试题（Word版附解析）

河北区2022～2023学年度第二学期期末高一年级质量检测

数学

一、选择题：本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 下列事件中，是随机事件的是（    ）

①明天本市会下雨

②投掷2颗质地均匀的骰子，点数之和为14

③抛掷一枚质地均匀的硬币，字朝上

④13个人中至少有2个人的生日在同一个月

A. ①③ B. ③④ C. ①④ D. ②③

【答案】A

【解析】

【分析】由随机事件，不可能事件和必然事件的定义判断.

【详解】由题可知，①③可能发生，也可能不发生，是随机事件；

②不可能发生，是不可能事件；

④一定发生，是必然事件.

故选：A

2. 若是纯虚数，则实数的值等于（    ）

A. 0或2 B. 2或 C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】根据纯虚数的定义计算得解.

【详解】因为是纯虚数，所以，解得；

故选：C.

3. 已知向量，，若，则（    ）

A. －1 B. 6 C. －6 D. 2

【答案】B

【解析】

【分析】利用向量线性运算的坐标表示，和向量共线的坐标表示，求解参数.

【详解】向量，，则，

由，得，解得.

故选：B

4. 若一个圆锥的底面半径为2，母线长为3，则该圆锥的侧面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据圆锥的侧面积公式计算出答案即可.

【详解】该圆锥的侧面积为.

故选：B.

5. 如图，已知中，为的中点，，若，则

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】

利用向量的线性运算将用表示，由此即可得到的值，从而可求的值.

【详解】因为，

所以，.故.

故选：C.

【点睛】本题考查向量的线性运算以及数乘运算在几何中的应用，难度一般.向量在几何中的应用可通过基底的表示形式进行分析.

6. 设是某长方体四条棱的中点，则直线和直线的位置关系是（    ）.

A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 无法确定

【答案】A

【解析】

【分析】在长方体中，延长，，，即会得到直线和直线的位置关系.

【详解】

如图，延长使，因为，，，为棱的中点，所以延长，都会交中点处，所以直线和直线的位置关系为相交.

故选：A.

7. 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题中正确的为（    ）

A. 若，则

B. 若，则

C. 若，则∥

D. 若，则

【答案】D

【解析】

【分析】由线面平行，面面平行，线面垂直的判定和性质逐个分析判断即可

【详解】对于A，当时，可能平行，也可能相交，所以A错误，

对于B，当时，可能平行，可能异面，所以B错误，

对于C，当时，∥或，所以C错误，

对于D，当时，由面面平行的性质可得，所以D正确，

故选：D

8. 从集合中随机地取一个数a，从集合中随机地取一个数b，则向量与向量垂直的概率为（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】利用列举法求出向量的所有结果，再利用垂直关系的坐标表示求出所求概率的事件的结果数即可作答.

【详解】依题意，向量的不同结果有：，共12个，

由，得，则的事件有，共2个，

所以向量与向量垂直的概率为.

故选：D

9. 一度跌入低谷的中国电影市场终于在兔年春节迎来了大爆发.2023年春节档（除夕至大年初六），在《满江红》《流浪地球2》《熊出没·伴我“熊芯”》《无名》《深海》《交换人生》等电影的带动下，全国票房累计67.59亿，超越2022年同期票房成绩，仅次于2021年成为史上第二强春节档.以下是历年的观影数据，下列选项正确的是（    ）

A. 2022年春节档平均每场观影人数比2023年春节档平均每场观影人数多

B. 这4年中，每年春节档上映新片数量的众数为10

C. 这4年中，每年春节档票房的极差为29.38亿元

D. 这4年春节档中，平均每部影片的观影人数最多的是2023年

【答案】D

【解析】

【分析】计算2022年，2023年春节档平均每场观影人数可判断A；求得这4年中，每年春节档上映新片的数量的众数可判断B；求出这4年中，每年春节档票房的极差可判断C；求出这4年平均每部影片的观影人数可判断D.

【详解】对于A，2022年春节档平均每场观影人数为，

2023年春节档平均每场观影人数为，故A错误；

对于B，这4年中，每年春节档上映新片的数量从小到大排列为7，8，8，10，所以众数为8，故B错误；

对于C，这4年中，每年春节档票房的极差为亿元，故C错误；

对于D，这4年平均每部影片的观影人数依次为万，万，万，万，故D正确.

故选：D.

10. 如图，在三棱锥中，，平面，，为的中点，则直线与平面所成角的余弦值为

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】取PC的中点为E，连接EO，易证OE⊥平面PAC，即∠OCE为直线与平面所成角.

【详解】取PC的中点为E，连接EO，可得OE∥BC，

∵平面，平面ABC，

∴又AC⊥BC，AC∩BC=C，

∴BC⊥平面PAC，又OE∥BC，

∴OE⊥平面PAC，

∴∠OCE直线与平面所成角，

设，OE=1.，OC=

∴cos∠OCE=

故选B

【点睛】本题考查了直线与平面所成的角的作法和求法，解题时要按作、证、算三步规范解题，要能熟练的将空间问题转化为平面问题加以解决

二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案填在题中横线上．

11. i是虚数单位，化简的结果为__________．

【答案】

【解析】

【分析】利用复数的除法运算求解作答.

【详解】依题意，.

故答案为：

12. 某同学进行投篮训练，在甲、乙两个不同的位置投中的概率分别为，p，该同学站在这两个不同的位置各投篮一次，至少投中一次的概率为，则p的值为__________．

【答案】

【解析】

【分析】利用对立事件及相互独立事件的概率公式计算作答.

【详解】依题意，投篮两次都不中的概率为，解得，

所以p的值为.

故答案为：

13. 某校举行演讲比赛，10位评委对一名选手的评分数据如下：8.0，7.7，8.1，8.2，7.6，7.8，7.9，8.7，8.8，7.5，根据以上数据，估计该选手得分的样本数据的第75百分位数是__________．

【答案】8.2

【解析】

【分析】把给定数据由小到大排列，再根据第p百分位数的意义求解作答.

【详解】依题意，评分数据由小到大排列为：7.5，7.6，7.7，7.8，7.9，8.0，8.1，8.2，8.7，8.8，

而，所以该选手得分的样本数据的第75百分位数是8.2.

故答案为：8.2

14. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，异面直线A1B与AD1所成角的大小为______

【答案】

【解析】

【分析】先通过平行寻找线线角，再根据解三角形得结果

【详解】因为A1B//D1C,所以∠AD1C为异面直线A1B与AD1所成角的平面角,

因为△AD1C为正三角形，所以∠AD1C，即异面直线A1B与AD1所成角的大小为

【点睛】本题考查异面直线所成角，考查基本分析求解能力，属基础题.

15. 如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测，A，B分别在D处的北偏西15°、北偏东45°方向，再往正东方向行驶40海里至C处，观测B在C处的正北方向，A在C处的北偏西60°方向，则A，B两处岛屿间的距离为______海里.

【答案】

【解析】

【分析】分别在和中利用正弦定理计算，，再在中利用余弦定理计算．

【详解】连接，

由题意可知，，，，，

，，

在中，由正弦定理得，，

在中，

，，．

在中，由余弦定理得．

故答案为：

三、解答题：本大题共4个小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16. 一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红球（标号为1和2），2个绿球（标号为3和4），从袋中不放回地依次随机摸出2个球．设事件R＝“两次都摸到红球”，G＝“两次都摸到绿球”，M＝“两个球颜色相同”，N＝“两个球颜色不同”．

（1）用集合的形式分别写出试验的样本空间以及上述各事件；

（2）写出事件R与G，M与N之间关系；

（3）写出事件R与事件G的并事件与事件M的关系．

【答案】（1）答案见解析；   

（2）事件互斥；事件互为对立事件；   

（3）事件是事件与事件并事件.

【解析】

【分析】（1）利用列举法列出试验的样本空间，再分别列出各事件的基本事件作答.

（2）利用互斥事件与对立事件的定义逐个判断作答.

（3）根据事件分析事件的并事件及关系作答.

【小问1详解】

用数组表示可能的结果，是第一次摸到的球的标号，是第二次摸到的球的标号，

所以试验的样本空间，

事件，事件，事件，

事件.

【小问2详解】

由（1）知，，而，所以事件互斥，不对立；

，所以事件互为对立事件.

小问3详解】

由（1）知，，所以事件是事件与事件的并事件.

17. 的内角的对边分别为，若，求：

（1）的值；

（2）和的面积．

【答案】（1）   

（2），三角形面积为

【解析】

【分析】（1）应用余弦定理列方程求值即可；

（2）由同角三角函数平方关系求，应用正弦定理求，三角形面积公式求的面积.

【小问1详解】

由余弦定理得：，解得．

【小问2详解】

由，则，

由正弦定理得，又，则，

．

18. 某学校有学生1000人，为了解学生对本校食堂服务满意程度，随机抽取了100名学生对本校食堂服务满意程度打分，根据这100名学生的打分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为，，，，，．

（1）求频率分布直方图中a的值，并估计该校学生满意度打分不低于70分的人数；

（2）试估计该校学生满意度打分的众数、中位数（中位数保留小数点后2位）；

（3）若采用分层随机抽样的方法，从打分在的学生中随机抽取5人了解情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求这2人打分都在的概率．

【答案】（1）;不低于70分的人数为.   

（2）众数：75;中位数：   

（3）.

【解析】

【分析】（1）由频率分布直方图的概率和为1求出a的值，再由频数=频率×概率得出打分不低于70分的人数；

（2）由众数、中位数的定义求解；

（3）先由分层抽样，找到每一组抽取的人数，再根据古典概型求出概率即可.

【小问1详解】

由频率分布直方图可知，

，解得.

该校学生满意度打分不低于70分的人数为：.

【小问2详解】

众数：75；

，所以中位数为：.

【小问3详解】

由频率分布直方图可知，打分在和内的频率分别为0.04和0.06，分层抽样抽取5人，则打分在和内分别抽取2人和3人，

从5人中选取2人进行跟踪分析，这2人打分都在的概率.

19. 如图，在四棱锥中，平面，底面四边形是菱形，点O是对角线与的交点，，M是的中点，连接．

（1）证明：平面；

（2）证明：平面平面；

（3）当三棱锥的体积等于时，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

【分析】（1）由题意结合平面几何的知识可得，再由线面平行的判定即可得证；

（2）由题意结合平面几何的知识、线面垂直的性质可得、，再由线面垂直的判定、面面垂直的判定即可得证；

（3）由题意，利用三棱锥的体积公式即可得解.

【详解】（1）证明：因为底面四边形是菱形，所以O是的中点，

又M是的中点，所以，

因为平面，平面，所以平面；

（2）证明：因为底面四边形是菱形，所以，

因为平面，平面，所以，

又，所以平面，

又平面，所以平面平面；

（3）因为底面四边形是菱形，且，，

所以，

又，三棱锥的高为，

所以，解得．

【点睛】本题考查了线面平行、线面垂直的判定与性质、面面垂直的判定及棱锥体积的求解，考查了空间思维能力与逻辑推理能力，属于中档题.