数学：山东省济南市天桥区2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版）

这是一份数学：山东省济南市天桥区2023-2024学年八年级下学期期中试题（解析版），共17页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题
1. 下列四个图形分别是四届国际数学家大会的会标，其中不属于中心对称图形的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】选项B、C、D均能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
选项A不能找到这样一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
故选：A．
2. 下列变形是因式分解的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】A.中，是整式乘法，故本选项不符合题意；
B.不是把多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意；
C.不是把多项式转化成几个整式积的形式，故本选项不符合题意；
D.，故本选项符合题意．
故选：D．
3. 下列各式中最简分式是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】A：，能化简不是最简分式，故选项A错误；
B：不能化简是最简分式，故选项B正确；
C：，能化简不是最简分式，故选项C错误；
D：，能化简不是最简分式，故选项D错误.
故答案选择B.
4. 若分式的值为0，则x的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】∵分式的值为0，
∴且，
解得：．故选：C.
5. a、b都是实数，且，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】A. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；
B. ∵，∴ ，故该选项正确，不符合题意；
C. ∵，∴，故该选项正确，不符合题意；
D. ∵，∴只有当x<0时，故该选项错误，符合题意；故选：D．
6. 当（ ）时，解分式方程会出现增根（ ）
A. 5B. 2C. ﹣2D. 3
【答案】B
【解析】，
两边同乘，去分母得：，
移项，合并同类项得：，
∵原方程有增根，
∴，
解得：，
故选：B．
7. 自11月以来，万州疫情越来越严峻.万州二中决定分高中部和初中部同时开展全员核酸检测，初中部比高中部每小时少检测300人，高中部检测800人所用时间是初中部检测600人所用时间的一半．设高中部每小时检测人，根据题意，可列方程为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设高中部每小时检测人，则初中部每小时检测人，
高中部检测完需要：小时，初中部检测完需要：，
又高中部检测800人所用时间是初中部检测600人所用时间的一半，
则，故选：A．
8. 在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别是：，，将线段平移后，若点A的新坐标为，点的新坐标为，则的值为（ ）
A. B. 1C. 5D.
【答案】A
【解析】，，将线段平移后，点A的新坐标为，点的新坐标为，
线段向右平移个单位，向上平移个单位，
，，
，故选：A．
9. 若a为整数，关于x的不等式组有解，且关于x的分式方程
有正整数解，则满足条件的a的个数（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】不等式组，
解①得：，
解②得：，
且不等式组有解，

解关于x的分式方程得：，
分式方程有正整数解，a为整数，
方程产生增根，舍去，
符合条件的a的值有1个，为0，故选：A．
10. 如图，在中，，，，P是BC边上一动点，连接AP，把线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ，连接CQ，则线段CQ长度的最小值为（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，在AB上取一点E，使，连接PE，过点E作EF⊥BC于点F，
根据题意得：AQ=AP，∠PAQ=60°，
∵∠ABC=30°，
∴∠EAC=60°，
∴∠PAQ=∠EAC，
∴∠CAQ=∠EAP，
∴△CAQ≌△EAP（SAS），
∴CQ=EP，
要使CQ最小，则有EP最小，而点E是定点，点P是BC上的动点，当EF⊥BC（点P和点F重合）时，EP最小，即：点P与点F重合，CQ最小，最小值为EF，
∵∠ACB=30°，
∴AB=2AC，BE=2EF，
∵，∴，
∵，
∴，
∴，
∴线段CQ长度的最小值为．
故选：D
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题
11. 分解因式：=______．
【答案】x（x+2）（x﹣2）
【解析】=
=x（x+2）（x﹣2）．
故答案为：x（x+2）（x﹣2）．
12. 若分式有意义，则的取值范围是________
【答案】
【解析】∵分式有意义，
∴，
∴，
故答案为：．
13. 如图，在一块长为，宽为的长方形草地上，有两条宽都为的纵，横相交的小路，这块草地的面积为______．
【答案】200
【解析】由平移得到，草地的长为，宽为，
∴这块草地的面积为，故答案：200．
14. 已知，则__________．
【答案】3
【解析】∵，
∴，
故答案为：3．
15. 如图，直线经过点和点，直线经过点，则不等式组的解集是______．
【答案】
【解析】根据题意得到y=kx+b与y=2x交点为A（-1，-2），
解不等式2x＜kx+b＜0的解集，就是指函数图象在A，B之间的部分，
又B（-2，0），
此时自变量x的取值范围，是-2＜x＜-1．
即不等式2x＜kx+b＜0的解集为：-2＜x＜-1．故答案为-2＜x＜-1．
16. 如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，进行如下操作：将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段，如此重复操作下去，得到线段，则落在轴正半轴上的点坐标是______．
【答案】（，，，的整数）
【解析】，，，，，
，
通过旋转最后落在轴正半轴上，而每次旋转，
需要旋转次才能落在轴正半轴上，并且每旋转一次扩大一倍，
旋转到点的坐标为，其中满足的条件是（，，的整数），
故答案为：（，，，的整数）．
三、解答题
17 因式分解：．
解：．
18. 解方程+1＝．
解：，
方程两边乘 （x﹣2）（2x+1），得，
（2x+1）+（x﹣2）（2x+1）＝2x（x﹣2），
解得 x＝，检验：当x＝时，（x﹣2）（2x+1）≠0，
所以，原分式方程的解为x＝．
19. 解不等式组并求出它的所有整数解．
解：，
解不等式①，得：，解不等式②，得：，
∴该不等式组的解集是，
∴该不等式组的整数解是0，1，2，3．
20. 化简求值：，其中a＝2．
解：原式= .
当时，原式
21. 如图，P是等边三角形内一点，将线段绕点A顺时针旋转得到线段，连接．

（1）求证：
（2）若．求四边形的面积．
（1）证明：如图1中，

是等边三角形，
，
，
，
，
在和中，
，
∴，
；
（2）解：如图2中，连接，

，
是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
是直角三角形，
．
22. 已知，求的值．
解：∵x²+y²−4x+6y+13=(x−2)²+(y+3)²=0，
∴x−2=0，y+3=0，即x=2，y=−3，
则原式=(x−3y)²=11²=121．
23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标为，，，将绕原点逆时针旋转，得到；将向右平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度得到．
（1）分别画出和；
（2）经旋转后点的对应点分别为是的边上一点，经旋转、平移后点的对应点分别为，请写出点的坐标．
（1）解：如图所示，为所求；
（2）解：如图所示，为所求；
由图可得：，
由旋转和平移的性质可得：．
24. 初夏的青岛，迎来了“樱珠季”，某大型超市看好樱珠的市场价值．购进红灯和黄蜜两个品种的樱珠，已知用1000元购进红灯的数量和用1400元购进黄蜜的数量相同，且每千克红灯的进价比每千克黄蜜的进价少8元．
（1）求红灯和黄蜜每千克的进价各是多少元？
（2）该超市总店决定每天购进红灯和黄蜜共1000千克进行销售，但投入资金不超过24000元，假定该超市将红灯和黄蜜的售价分别定为每千克26元和每千克38元，请问如何进货，该超市总店将获得最大利润？最大利润是多少？
解：（1）设红灯每千克的进价是x元，则黄蜜每千克的进价是元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
∴，
∴红灯每千克的进价是20元，黄蜜每千克的进价是28元；
（2）设每天购进红灯m千克，则每天购进黄蜜千克，
∵投入资金不超过24000元，
∴，
解得，
设总店获得利润为w元，
根据题意得：，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴时，w取最大值，
最大值为（元），
此时，
∴每天购进红灯500千克，购进黄蜜500千克，该超市总店将获得最大利润8000元．
25. 阅读以下材料：
目前我们掌握的因式分解方法有提取公因式法和公式法．对于，它不是完全平方式，所以无法用公式法进行因式分解．现在介绍一种“凑数法”对此类代数式在有理数范围内因式分解：
第一步，因式分解是整式乘法的逆过程，最高含有的二次项，所以看作由得到；
第二步，去括号，和对比发现，
二次项系数为1，二次项由和相乘得出，所以（为了计算简便，往往取整数）；
第三步，继续把和对比，发现，两数之积为2，和为3，就不难凑出，，检验一下：，换个方向写就是因式分解了．
请使用上述方法回答下列问题：
（1）因式分解：
①；
②；
（2）对关于的多项式因式分解：．
解：（1）①由题意得，，，，
所以可凑数，，
故；
②由题意得，，，，
所以可凑数，，
则，，
又可凑数，，
故；
（2）设，
则，
凑数，，
，
，，
分四种情况讨论：
当，时，代入，
不成立，舍去；
当，时，代入，
不成立，舍去；
当，时，代入，
成立，符合题意；
当，时，代入，
不成立，舍去；
所以只有，，
故．
26. 【问题探究】
如图1，锐角△ABC中，分别以AB、AC为边向外作等腰直角△ABE和等腰直角△ACD，使AE＝AB，AD＝AC，∠BAE＝∠CAD＝90°，连接BD，CE交于点F，试猜想BD与CE的大小关系及位置关系，并说明理由；
【拓展应用】
（1）在【问题探究】的条件下，连接DE，若AE=5，AD=3，则=______；
（2）如图2，在△ABC中，∠ACB＝45°，以AB为直角边，A为直角顶点向外作等腰直角△ABD，连接CD，若AC＝，BC＝3，则CD长为_______；
（3）如图3，已知在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，A（0，3）、P（3，0），过点P作直线l⊥x轴，点B是直线l上的一个动点，线段AB绕点A按逆时针方向旋转30°得到线段AC，则AC+PC的最小值为_______．
【问题探究】解：结论：BD＝CE，BDCE
理由如下：如图1中，
∵∠BAE=∠CAD=90°，
∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD，
在△EAC和△BAD中，
，
∴（SAS），
∴BD=CE．∠AEF=∠ABD
∵∠BAE＝90°
∴∠AEF+∠BEF+∠ABE=90°
∴∠BEF+∠ABD+∠ABE=90°
即∠BEF+∠FBE=90°
∴∠BFE=90°，∴BDCE
∴BD与CE的大小关系及位置关为：BD＝CE，BDCE．
【拓展应用】
解：（1）如图，连接DE，由[问题探究]知，BD＝CE，BDCE
∴在RtBCF中，BF2+CF2=BC2，
在RtDEF中，EF2+DF2=DE2
∴BF2+CF2+EF2+DF2=BC2+DE2
∵在RtBEF中，BF2+EF2+=BE2
在RtCDF中，CF2+DF2=CD2，
∴BC2+DE2=BE2+CD2
在RtABE中，AE=AB=5，
∴BE2=AE2+AB2=52+52=50，
在RtCAD中，AC=AD=3，
∴CD2=AC2+AD2=32+32=18
∴BC2+DE2=BE2+CD2
=50+18
=68．
故答案为：68．
（2）如图，在AC的上方作等腰直角△ACE，使得∠CAE=90°，AC=AE，连接BE．
∵∠ACB=45°，∠ACE=45°
∴∠BCE=90°
∵AC=，
∴AE=，EC=2，
在Rt△BCE中，BE===．
∵∠BAD=∠CAE=90°，
∴∠BAE=∠DAC，
∵AB=AD，AE=AC，
∴（SAS），
∴BE=CD，
∴CD=．
故答案为：．
（3）如图，在射线AO上截取AD=AP，连接BD，作点D关于直线l的对称点D′，连接BD′
∵∠CAP=∠BAD，CA=AB，AP=AD，
∴（SAS），
∴PC=BD=DB′，
∴AC+CP的最小值=AB+DB′=，
∵A（0，3）、P（3，0），
∴AD=AP==6，
在Rt中，
===6，
∴AC+CP的最小值为6，
故答案为：6．