数学：广东省梅州市部分学校2023-2024学年高二下学期期中联考试题（解析版）

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注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
4．本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第二册第五章、选择性必修第三册第六章占80%，之前的占20%.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】B
【解析】由，，
得.
故选：B
2. 若复数，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为，所以.
故选：A
3. 肠粉是广东一种非常出名的传统小吃，属于粤菜系，源于唐朝时的泷州．已知广东一家肠粉店制作销售的肠粉时，先让顾客从“放青菜”“放鸡蛋”“青菜与鸡蛋都不放”“青菜与鸡蛋都放”中四选一，再让顾客从牛肉、虾仁、香菇等七种食材中选其一，则这家肠粉店的肠粉共有（ ）
A. 7种B. 11种C. 28种D. 32种
【答案】C
【解析】根据分步乘法原理这家肠粉店的肠粉有，
故选：C．
4. 已知函数，则（ ）
A. 有极小值，且极小值为0B. 有极小值，且极小值为
C. 有极大值，且极大值为0D. 有极大值，且极大值为
【答案】D
【解析】由，得，
令，
当时，，所以在单调递减，
当时，，所以在单调递增，
所以时，函数有极大值为
故选：D
5. 12名学生与4名老师站成一排拍照，要求4名老师两两不相邻，则不同的排法数为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】首先将12名学生全排列有种排法，
再将4名老师插入到12名学生所形成的个空（包括首、尾）中的个空中，有种排法，
按照分步乘法计数原理可知一共有种排法.故选：B
6. 若函数不存在极值，则的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】因为的定义域为，
且，又函数不存在极值，
则没有变号零点，
所以恒成立，则，解得，
即的取值范围是.
故选：D
7. 展开式的常数项为（ ）
A. B. C. 42D. 43
【答案】B
【解析】，
其中的常数项为，
的常数项，
所以展开式的常数项，
故选：B
8. 设，，，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，
所以，
且，
令，得或；
令，得，
所以在单调递增，在，单调递减，
，即，，即
由，所以，
故选：D
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 下列判断正确的是（ ）
A.
B. 由数字1，2，3，4可以组成24个无重复数字的四位数
C. 由数字0，1，2，3，4可以组成120个无重复数字的五位数
D. 若有4张参观券，要在8人中确定4人去参观，则有70种不同的方法
【答案】ABD
【解析】对于A：，故A正确；
对于B：由数字1，2，3，4可以组成个无重复数字的四位数，故B正确；
对于C：由数字0，1，2，3，4可以组成个无重复数字的五位数，故C错误；
对于D：有4张参观券，要在8人中确定4人去参观，则有种不同的方法，故D正确.
故选：ABD
10. 在空间直角坐标系中，已知，，，，，则（ ）
A.
B. 直线与平面所成角的正弦值为
C. 从，，，，，这个点中选个点确定一条直线，则有13条不同的直线
D. 从，，，，，这个点中选个点确定一个平面，则有20个不同的平面
【答案】AC
【解析】对于A：因为，，
所以，所以，即，故A正确；
对于B：因为，，
设平面的法向量为，则，取，
设直线与平面所成角为，则，故B错误；
对于C：因为，，三点共线，
所以从，，，，，这个点中选个点确定一条直线有条，故C正确；
对于D：因为，，，，五点共面，，，，四点共面，
从，，，，，这个点中选个点确定一个平面，
则有个不同的平面，故D错误.
故选：AC
11. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则（ ）
A. 的极大值点为
B. 函数的零点个数为3
C. 函数的零点个数为7
D. 的解集为
【答案】ABC
【解析】由题意得，
当时，，得，
令，得，
令，得；
所以在单调递减，在单调递增，
所以的极小值点为1，
又是定义在上的奇函数，所以的极大值点为，故A对；
当时，则，所以，
又是定义在上的奇函数，所以，所以

分别画出和图象，
得函数的零点个数为3，B对；
令，得或或，
令，得，或，
如图，分别画出的图象，

由图可知：函数的零点个数为7， C 对；
令，则，
故D错；
故选：ABC
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分
12. 小李想去他大伯家借书，他除了对经济类的书不感兴趣，对其他类别的书都感兴趣．他大伯家的书有四种，文学类的有15本，经济类的有10本，历史类的有16本，心理学与励志类的有9本，同一类的书每本都不相同，则他按照兴趣借1本书，共有___________种选择．
【答案】40
【解析】由题意小李借的书可分为3类，由分类加法原理得：，
故答案为：40.
13. 已知（）展开式中各二项式系数之和为，则___________．
【答案】36
【解析】因为二项式系数之和为，所以
故答案为：36
14. 已知函数，则_______________，的最小值为___________．
【答案】① ②
【解析】由已知得，所以，解得，
，
，，
时，，在上单调递减，
时，，在上单调递增，
所以的极小值也是最小值为，
故答案为：；．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 已知．
（1）求；
（2）求．
解：（1）令得，令得，
所以；
（2）展开式通项公式为，
因此，，
所以．
16. 已知函数．
（1）当时，求在上的值域；
（2）讨论的单调性．
解：（1）当时，则，
当时恒成立，
所以在上单调递增，
又，，
所以在上的值域为.
（2）函数的定义域为，
又，
当，即时恒成立，
所以在上单调递减；
当，即时，当时，
当时，
所以在上单调递减，在上单调递增；
综上可得：当时在上单调递减；
当时在上单调递减，在上单调递增.
17. 已知函数的图象在点处的切线经过点．
（1）当时，求的方程．
（2）证明：数列是等差数列．
（3）求数列的前项和．
解：（1）当时，则，
所以，又，
所以切点为，切线的斜率为，
则切线的方程为，即.
（2）因为，则，，
所以，则切线方程为，即，
令，解得，
所以，则，则，
又，
所以是以为首项，为公差的等差数列.
（3）由（2）可得，
所以，
所以，
则，
所以
，
所以.
18. 已知双曲线（，）的焦距为，且经过抛物线的焦点．记为坐标原点，过点的直线与相交于不同的两点，．
（1）求的方程；
（2）证明：“的面积为”是“轴”的必要不充分条件．
解：（1）设双曲线的焦距为，则，
解得，
又抛物线的焦点为，
所以，则，
所以的方程为.
（2）当轴时，不妨设在第一象限，
由，解得或，
则，，
所以，必要性得证；
依题意直线的斜率存在，设直线：，
由，消去整理得，
由且，
可得且，
设，，
所以，，
所以，
则，
即，即，
整理得，解得或（满足且），
所以当或均有面积为，故充分性不成立，
所以“的面积为”是“轴”的必要不充分条件.
19. 已知函数．
（1）若，证明：在上单调递减．
（2），，求的取值范围．
解：（1）当时，则，
当时，，
所以对恒成立，所以在上单调递减；
（2）因为，恒成立，
即，恒成立，
令，则，
若，则在上恒成立，所以在上单调递减，
则，符合题意；
当时，令，
则，
当时，，
所以在上恒成立，
则在上单调递减，
所以，
当，即时在上恒成立，
即在上恒成立，
即在上单调递减，则，符合题意；
当，即时，，，
所以，使得，
所以当时，即，所以在上单调递增，
则当时，不符合题意；
综上可得，的取值范围为.