广东省河源市部分学校2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试卷（Word版附解析）

这是一份广东省河源市部分学校2023-2024学年高一下学期5月期中联考数学试卷（Word版附解析），共12页。试卷主要包含了选择题的作答，非选择题的作答，已知，则正整数的最小值为，已知，则，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.
2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.
4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则（ ）
A.3 B.-2 C.2 D.-3
3.在正三棱锥中，顶点在底面的射影为点，则（ ）
A. B. C. D.
4.已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
5.设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6.已知，则正整数的最小值为（ ）（参考数据：取）
A.8 B.9 C.10 D.11
7.已知，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数在上单调递减，且在中满足，则下列情况中，能唯一确定该三角形形状的是（ ）
A.角取最大值 B.角取最大值
C.取最小值 D.取最小值
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.下列说法正确的是（ ）
A.复数的虚部为
B.若为纯虚数，则为实数
C.若为实数，则
D.复数在复平面内对应的点位于第二象限
10.已知圆锥的顶点为，底面圆心为为底面直径，，点在底面圆周上，且二面角为，则（ ）
A.该圆锥的体积为
B.该圆锥的侧面积为
C.
D.的面积为4
11.设平面内共起点的向量的终点分别为，且满足，记与的夹角为，则（ ）
A.
B.最大值为
C.若，则三点共线
D.若，当取得最大值时，
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则__________.
13.科学家研究发现，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震里氏震级之间的关系为，则根据以上信息可得里氏9.0级地震释放的能量是8.0级地震所释放能量的__________倍.
14.已知函数，如图是直线与曲线的两个交点，若，则__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知在中，.
（1）求；
（2）设，求的长.
16.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面是棱的中点，.
（1）证明：平面；
（2）若二面角为，求异面直线与所成角的正切值.
17.（本小题满分15分）
已知复数的实部分别为，虚部分别为，其中.
（1）求的取值范围；
（2）能否为纯虚数，若能，求；若不能，请说明理由.
18.（本小题满分17分）
阅读材料：材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜､中斜和大斜，记小斜为，中斜为，大斜为，则三角形的面积为.这个公式称之为秦九韶公式；材料二：古希腊数学家海伦在其所著的《度量论》或称《测地术》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式；请你结合阅读材料解答下面的问题：
（1）证明秦九韶公式与海伦公式的等价性；
（2）已知的面积为24，其内切圆半径为，求.
19.（本小题满分17分）
已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2），将的图象向右平移个单位后得到函数.若对任意的，都有，求实数的取值范围.
2023—2024学年度高一年级5月联考
数学参考答案及解析
一､选择题
1.B 【解析】由题意可得.故选B.
2.D 【解析】因为，则.故选D.
3.D 【解析】正三棱锥中，点在平面的射影是点，即为的重心，已知，可得，则高.故选D.
4.D 【解析】由，即，又，所以，故，故选D.
5.D 【解析】函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减，则有函数在区间上单调递减，因此，解得，所以实数的取值范围是.故选.
6.A 【解析】由，则，
因为，
即，又，所以的最小值为8.故选A.
7.B 【解析】由题意可得
，所以.故选B.
8.A 【解析】由得，考虑在上单调递减，故当角取最大值时，取最小值，，当且仅当，即时取等，此时即，故此时三角形为等边三角形，形状唯一确定；同理，，设单调递减，故不存在最小值与最大值，故B不正确，D不正确；由于，故，则取最小值时，取最大值，，无法取得最大值.故选A.
二､选择题
9.BD 【解析】对于，复数的虚部为1，故错误；对于B，设，则，故B正确；对于C，当为负数时，，故C错误；对于，因为，在复平面内对应的点坐标为，位于第二象限，故D正确.故选BD.
10.AC 【解析】依题意，，所以选项，圆锥的体积为选项正确；选项，圆锥的侧面积为，B选项错误；C选项，设是的中点，连接，则，所以是二面角的平面角，则，所以，故，则，C选项正确；D选项，，所以，D选项错误.故选AC.
11.BC 【解析】由题意，故在以为圆心，1为半径的圆上，在以为圆心，1为半径的圆上，故点覆盖的范围为以为圆心，2为半径的整个圆面.对于选项，设在的投影为（为共起点），则，故A错误；对于B选项，如图1当位于时有与圆相切，此时夹角最大为，由题意，，故最大值为正确；
对于C选项，如图2，由向量的平行四边形法则可知，，则为中点，故三点共线，C正确；对于D选项，若，则，故均在以为圆心，1为半径的圆上，且为等边三角形，如图2，当运动至于与圆相切时，取得最大值，记作切点为，不妨取进行计算，则，此时画出的两种位置，，不妨取进行计算，此时，设为在上的投影向量，所以错误.故选BC.
三､填空题
12. 【解析】因为是两个不共线的向量，，若与是共线向量，设，则，所以
，解得.故答案为.
13.100 【解析】由题意得，所以，即里氏9.0级地震释放的能量是8.0级地震所释放能量的100倍.故答案为100.
14. 【解析】设，，由可得，由可知，或，由图可知，又，即，所以.因为，又在单调递增区间内，所以，即.所以，所以.故答案为.
四､解答题
15.解：（1）由题意得，，
，
，
即.
（2）由（1）知，.
由
，
由正弦定理，，可得.
16.解：（1）因为底面为矩形，所以，
又因为侧面底面，侧面底面平面，
所以平面.
又平面，所以.
又侧面是正三角形，是的中点，所以.
又平面，所以平面.
（2）如图
过点作，垂足为，易得为的四等分点，.
由于侧面底面，交线为，
所以底面，过作，垂足为，连接，
则即为二面角的平面角，其大小为.
在Rt中，，所以，所以.
因为，所以四边形为平行四边形，从而.
因为，所以（或其补角）为异面直线与所成角.由（1）知平面，所以为直角三角形，所以.
17.解：（1）
，
因此的取值范围是.
（2）因为
所以，因此，且，化简得，即，，
此时，故不能为纯虚数.
18.解：（1）证明：
设，
所以
，
上述每一步均为等价变形，所以秦九韶公式与海伦
公式是等价的.
（2）设内切圆半径为，
因为，
代入，可得，
又由，
由海伦公式，
可得，
化简得，即
，
由，得.
19.解：（1）因为，
所以，
解得：，
所以，
所以不等式的解集为.
（2）由题意可得，
因为，所以，
所以.
又因为对任意的，都有成立，
所以，
+1，
因为，所以，
设，可设，
则的图象为开口向下，对称轴为的抛物线，
当时，在上单调递增，
所以，所以，解得，所以
当时，在上单调递减，
所以，所以，解
得，故；
当时，，
故，解得，所以，
综上所述：实数的取值范围为.