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数学：湖北省武汉市东西湖区2023-2024学年七年级下学期期中试题（解析版）
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这是一份数学：湖北省武汉市东西湖区2023-2024学年七年级下学期期中试题（解析版），共15页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答卷上将正确答案的代号涂黑.
1. 在下列图形中，与是对顶角的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】利用对顶角的定义可得出：符合条件的只有B，
故选B．
2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】在平面直角坐标系中，点横坐标为正数，纵坐标为负数，
∴点位于第四象限，
故选：D．
3. 若是方程的一个解，则a的值是（ ）
A 8B. 4C. 3D. 0
【答案】A
【解析】∵是方程的一个解，
∴，
∴，
故选：A．
4. 如图，直线，相交于点，于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，
，
．
故选：B．
5. 东西湖区几处景点分布如图所示．若分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，表示极地海洋世界的点的坐标是，表示五环体育中心的点的坐标是，则表示园博园的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】表示极地海洋世界的点的坐标是，表示五环体育中心的点的坐标是，
建立如图所示的平面直角坐标系，
，
表示园博园的点的坐标是，
故选：C．
6. 在实数，3.14159265，，，，0，，中，无理数有（ ）个
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】，
在，3.14159265，，，，0，，中，，和是无理数，共3个，故C正确．
故选：C．
7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由平行线的性质可得，
，，
，
，
故选B．
8. 大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚．问笼中各有多少只鸡和兔？设鸡有x只，兔有y只，列方程组得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设鸡有x只，兔有y只，
由题意得：，
故选A．
9. 若实数满足，则，，和的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
，，
，，
，
，
故选：A．
10. 2024年2月，“顺遂安康 龙腾盛世”长江主题灯光秀在武汉展演，两条笔直且平行的景观道、上放置两盏激光灯（如图所示），灯发出的光线自按逆时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；灯发出的光线自按逆时针方向以每秒的速度旋转至就停止旋转.两灯不间断照射；灯先转动2秒，灯才开始转动，当两灯的光线互相平行时灯旋转的时间是（ ）
A. 1或6秒B. 8.5秒C. 3或6秒D. 1或8.5秒
【答案】D
【解析】设灯旋转的时间秒，
灯光束第一次达到需要（秒），
，即，
由题意，满足以下条件时，两灯的光速能互相平行，
如图，，
此时，
解得：；
如图，，
此时，
解得：；
综上所述，当两灯的光线互相平行时灯旋转的时间是1或8.5秒，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. ________．
【答案】9
【解析】．
12. 在方程中，用含有的式子表示，则_______．
【答案】
【解析】在方程中，用含有的式子表示，则，．
13. 点到轴的距离是__________．
【答案】3
【解析】点（2，-3）到x轴的距离为|-3|=3．
14. 如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置，若，则A，D两点之间的距离为_________．
【答案】4
【解析】由平移的性质得：，
，
，
∴，
即A，D两点之间的距离为4．
故答案为：4．
15. 三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定规律，可以试试”；丙说“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以7，通过换元法来解决”．参考他们的讨论，该方程组的解是__________.
【答案】
【解析】，
方程组中两个方程的两边都除以7，得，
∵方程组的解是，
∴，∴，
故答案为．
16. 任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1，现对72进行如下操作：72[]=8[]=2[]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．
【答案】255
【解析】.
；
；
；
；
∵只需进行3次操作后变为1的所有正整数，
∴最大的数是255.
故答案为：255.
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 计算或解方程
（1）计算：；
解：（1）；
（2），
，
．
18. 解下列二元一次方程组.
（1）；（2）.
解：（1），
把方程①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
方程组的解是；
（2），
由②得：，
把③代入①，得：，
解得：，
把代入③，得：，
方程组的解是；
19. 如图,在三角形ABC中,D是AB上一点,E是AC上一点, ∠ADE=60°, ∠B=60°，
∠AED=40°；
(1)求证:DE//BC;(2)求∠C的度数；
解：（1）∵∠ADE=∠B=60°，∴DE∥BC.
（2）∵DE∥BC，∴∠C=∠AED，
又∵∠AED =40°，∴∠C=40°．
20. 如图，于点，于点，如果，那么和相等吗?请阅读以下证明过程，并补全所空内容．
证明：，理由如下.
，（已知）
_______（___________________）
（___________________）
________（___________________）
又（已知）
________（同位角相等，两直线平行）
________（___________________）
（等量代换）
证明：，理由如下.
，（已知）
（垂线的定义）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
又（已知）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换），
故答案为：；垂线的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等．
21. 如图，三角形中任意一点经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形
（1）画出平移后的三角形，写出，，的坐标；
（2）求三角形的面积；
（3）若点M在y轴上，且三角形的面积等于三角形的面积，则点M的坐标为________.
解：（1）点经平移后对应点为，
向右平移4个单位、向上平移3个单位即可得到，
即为所求，
，，；
（2）三角形的面积；
（3）设点M坐标，
，，
，
解得：或．
22. 【问题背景】2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷.
【建立模型】设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦公顷和公顷.
（1）用的式子表示2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦___公顷；3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦___公顷；
（2）建立模型，解决实际问题.求1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷?
【方案决策】
（3）随着天气的变化，为了“颗粒归仓”、“抢收抢种”，某乡镇准备引进上述型号的收割机若干台，每台收割机每天工作，连续土作20天，共收割小麦420公顷.为了完成任务，问有多少种引进收割机的方案.
解：（1）由题意得：2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦公顷；3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦公顷，
故答案为：，；
（2）由题意得：，
解得：，
1台大收割机每小时各收割小麦公顷，1台小收割机每小时收割小麦公顷；
（3）设引进台大收割机，台小收割机，
由题意得：，
整理得：，
，均为非负整数，
或或或，
共有种引进收割机的方案．
23. ，点E、F分别在、上；点O在直线、之间，且
（1）如图1，①若，求的度数；
②若，请你直接写出________；
（2）如图2，直线分别交、的角平分线于点M、N，求的值
（3）如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点M、N，且，直接写出m的值
解：（1）如图1，过点作，
，
，
，
①，
，
，
，
；
②，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）如图2，过点作，过点作，
，
，
，，，
，
平分，平分，
，，
又由（1）得，
，
．
（3）如图3，设直线交于点，与相交于点，
，
，
，
，
，
，
即，
，在内，，
，
，
，
，
，
即，
，
解得．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位得到点，将线段向上平移个单位，再向右移1个单位得到线段（点与点对应，点与点对应）且四边形的面积为8．
（1）直接写出的值及点的坐标；
（2）连接与轴交于点，求的值；
（3）如图2，若点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，当点到达点后停止运动．若射线交轴于点．设与的面积差为，问：是否为定值?如果是定值，请求出它的值：如果不是定值，请说明理由．
解：（1）点向右平移4个单位得到点，
点的坐标为，
，，
，
，
由平移的性质可得：，
点的坐标为；
（2），
，即，
解得：，
，；
（3）的值是定值，
理由如下：
①如图，当点在线段上时，连接，
设运动时间为秒，
由题意得：，，
，，
，
，
；
②如图，当点在上时，连接，
由①可得，
；
综上所述，的值是定值．
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中均有四个备选答案，其中有且只有一个正确，请在答卷上将正确答案的代号涂黑.
1. 在下列图形中，与是对顶角的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】利用对顶角的定义可得出：符合条件的只有B，
故选B．
2. 在平面直角坐标系中，点位于（ ）
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
【答案】D
【解析】在平面直角坐标系中，点横坐标为正数，纵坐标为负数，
∴点位于第四象限，
故选：D．
3. 若是方程的一个解，则a的值是（ ）
A 8B. 4C. 3D. 0
【答案】A
【解析】∵是方程的一个解，
∴，
∴，
故选：A．
4. 如图，直线，相交于点，于点．若，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，
，
．
故选：B．
5. 东西湖区几处景点分布如图所示．若分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，表示极地海洋世界的点的坐标是，表示五环体育中心的点的坐标是，则表示园博园的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】表示极地海洋世界的点的坐标是，表示五环体育中心的点的坐标是，
建立如图所示的平面直角坐标系，
，
表示园博园的点的坐标是，
故选：C．
6. 在实数，3.14159265，，，，0，，中，无理数有（ ）个
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】，
在，3.14159265，，，，0，，中，，和是无理数，共3个，故C正确．
故选：C．
7. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的大小是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由平行线的性质可得，
，，
，
，
故选B．
8. 大约在1500年前，《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题．书中是这样叙述的：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头，从下面数，有94只脚．问笼中各有多少只鸡和兔？设鸡有x只，兔有y只，列方程组得（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】设鸡有x只，兔有y只，
由题意得：，
故选A．
9. 若实数满足，则，，和的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】，
，，
，，
，
，
故选：A．
10. 2024年2月，“顺遂安康 龙腾盛世”长江主题灯光秀在武汉展演，两条笔直且平行的景观道、上放置两盏激光灯（如图所示），灯发出的光线自按逆时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；灯发出的光线自按逆时针方向以每秒的速度旋转至就停止旋转.两灯不间断照射；灯先转动2秒，灯才开始转动，当两灯的光线互相平行时灯旋转的时间是（ ）
A. 1或6秒B. 8.5秒C. 3或6秒D. 1或8.5秒
【答案】D
【解析】设灯旋转的时间秒，
灯光束第一次达到需要（秒），
，即，
由题意，满足以下条件时，两灯的光速能互相平行，
如图，，
此时，
解得：；
如图，，
此时，
解得：；
综上所述，当两灯的光线互相平行时灯旋转的时间是1或8.5秒，
故选：D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11. ________．
【答案】9
【解析】．
12. 在方程中，用含有的式子表示，则_______．
【答案】
【解析】在方程中，用含有的式子表示，则，．
13. 点到轴的距离是__________．
【答案】3
【解析】点（2，-3）到x轴的距离为|-3|=3．
14. 如图，将三角形沿方向平移到三角形的位置，若，则A，D两点之间的距离为_________．
【答案】4
【解析】由平移的性质得：，
，
，
∴，
即A，D两点之间的距离为4．
故答案为：4．
15. 三个同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解”提出各自的想法．甲说：“这个题目条件不够，不能求解”；乙说：“它们的系数有一定规律，可以试试”；丙说“能不能把第二个方程组的两个方程的两边都除以7，通过换元法来解决”．参考他们的讨论，该方程组的解是__________.
【答案】
【解析】，
方程组中两个方程的两边都除以7，得，
∵方程组的解是，
∴，∴，
故答案为．
16. 任何实数a，可用[a]表示不超过a的最大整数，如[4]=4，[]=1，现对72进行如下操作：72[]=8[]=2[]=1，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________．
【答案】255
【解析】.
；
；
；
；
∵只需进行3次操作后变为1的所有正整数，
∴最大的数是255.
故答案为：255.
三、解答题（共8小题，共72分）
17. 计算或解方程
（1）计算：；
解：（1）；
（2），
，
．
18. 解下列二元一次方程组.
（1）；（2）.
解：（1），
把方程①代入②得：，
解得：，
把代入①得：，
方程组的解是；
（2），
由②得：，
把③代入①，得：，
解得：，
把代入③，得：，
方程组的解是；
19. 如图,在三角形ABC中,D是AB上一点,E是AC上一点, ∠ADE=60°, ∠B=60°，
∠AED=40°；
(1)求证:DE//BC;(2)求∠C的度数；
解：（1）∵∠ADE=∠B=60°，∴DE∥BC.
（2）∵DE∥BC，∴∠C=∠AED，
又∵∠AED =40°，∴∠C=40°．
20. 如图，于点，于点，如果，那么和相等吗?请阅读以下证明过程，并补全所空内容．
证明：，理由如下.
，（已知）
_______（___________________）
（___________________）
________（___________________）
又（已知）
________（同位角相等，两直线平行）
________（___________________）
（等量代换）
证明：，理由如下.
，（已知）
（垂线的定义）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，同位角相等）
又（已知）
（同位角相等，两直线平行）
（两直线平行，内错角相等）
（等量代换），
故答案为：；垂线的定义；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；；两直线平行，内错角相等．
21. 如图，三角形中任意一点经平移后对应点为，将三角形作同样的平移得到三角形
（1）画出平移后的三角形，写出，，的坐标；
（2）求三角形的面积；
（3）若点M在y轴上，且三角形的面积等于三角形的面积，则点M的坐标为________.
解：（1）点经平移后对应点为，
向右平移4个单位、向上平移3个单位即可得到，
即为所求，
，，；
（2）三角形的面积；
（3）设点M坐标，
，，
，
解得：或．
22. 【问题背景】2台大收割机和5台小收割机同时工作2小时共收割小麦3.6公顷，3台大收割机和2台小收割机同时工作5小时共收割小麦8公顷.
【建立模型】设1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦公顷和公顷.
（1）用的式子表示2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦___公顷；3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦___公顷；
（2）建立模型，解决实际问题.求1台大收割机和1台小收割机每小时各收割小麦多少公顷?
【方案决策】
（3）随着天气的变化，为了“颗粒归仓”、“抢收抢种”，某乡镇准备引进上述型号的收割机若干台，每台收割机每天工作，连续土作20天，共收割小麦420公顷.为了完成任务，问有多少种引进收割机的方案.
解：（1）由题意得：2台大收割机和5台小收割机同时工作共收割小麦公顷；3台大收割机和2台小收割机同时工作共收割小麦公顷，
故答案为：，；
（2）由题意得：，
解得：，
1台大收割机每小时各收割小麦公顷，1台小收割机每小时收割小麦公顷；
（3）设引进台大收割机，台小收割机，
由题意得：，
整理得：，
，均为非负整数，
或或或，
共有种引进收割机的方案．
23. ，点E、F分别在、上；点O在直线、之间，且
（1）如图1，①若，求的度数；
②若，请你直接写出________；
（2）如图2，直线分别交、的角平分线于点M、N，求的值
（3）如图3，在内，；在内，，直线分别交、分别于点M、N，且，直接写出m的值
解：（1）如图1，过点作，
，
，
，
①，
，
，
，
；
②，
，
，
，
，
；
故答案为：；
（2）如图2，过点作，过点作，
，
，
，，，
，
平分，平分，
，，
又由（1）得，
，
．
（3）如图3，设直线交于点，与相交于点，
，
，
，
，
，
，
即，
，在内，，
，
，
，
，
，
即，
，
解得．
24. 如图1，在平面直角坐标系中，将点向右平移4个单位得到点，将线段向上平移个单位，再向右移1个单位得到线段（点与点对应，点与点对应）且四边形的面积为8．
（1）直接写出的值及点的坐标；
（2）连接与轴交于点，求的值；
（3）如图2，若点从点出发，以每秒个单位的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒个单位的速度向左平移运动，当点到达点后停止运动．若射线交轴于点．设与的面积差为，问：是否为定值?如果是定值，请求出它的值：如果不是定值，请说明理由．
解：（1）点向右平移4个单位得到点，
点的坐标为，
，，
，
，
由平移的性质可得：，
点的坐标为；
（2），
，即，
解得：，
，；
（3）的值是定值，
理由如下：
①如图，当点在线段上时，连接，
设运动时间为秒，
由题意得：，，
，，
，
，
；
②如图，当点在上时，连接，
由①可得，
；
综上所述，的值是定值．
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