数学：江西省南昌市2024年中考二模试题（解析版）

这是一份数学：江西省南昌市2024年中考二模试题（解析版），共21页。试卷主要包含了单项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 下列实数中，最小的是（ ）
A. B. 0C. D. 4
【答案】A
【解析】，最小的数是：．
故选：A．
2. 2023年江西省会南昌成功“出圈”，成为新晋“网红”旅游城市，全年共接待游客约1.9亿人次，将1.9亿用科学记数法表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】根据题意得1.9亿．
故选：C．
3. 下列运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】A、，故该选项是错误的；
B、，故该选项是错误的；
C、，故该选项是正确的；
D、，故该选项是错误的；
故选：C.
4. 实数，，，在数轴上的对应点的位置如图所示．若，则下列结论中，错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】∵，
∴原点在a，c的中间位置上，且，
∴，，
∴，
∴，
∴
故选D．
5. 如图，平面镜放在水平面上，光线，照射到镜面上，反射光线分别为，．若，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，，，
，
，
，，，
，
，
，
故选：B．
6. 如图，是等边三角形，点是边上的一个动点，点关于，的对称点分别是点，，连接．在点从点运动到点的过程中，的长度（ ）
A. 逐渐增大B. 逐渐减小
C. 先增大后减小D. 先减小后增大
【答案】D
【解析】∵是等边三角形，
∴，
∵点P关于的对称点分别为，，
∴，，
∴
，
∴，
过点作，
则，，
∴的长随着的变化而变化，
∵为上的一个动点，
∴当时，的长最小，此时点为的中点，
∴点P从点A运动到点B的过程中，的长先变小后变大，
故选：D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 单项式3a2b3的次数是_____．
【答案】5
【解析】根据单项式的次数的定义知：该单项式的次数为：5
故答案为:5.
8. 某招聘考试中，小慧的笔试成绩为80分，面试成绩为90分，然后按照笔试成绩占40%、面试成绩占60%，计算最终成绩，则小慧的最终成绩为_________分．
【答案】86
【解析】根据题意，小慧最终成绩为（分）．
故答案为：86．
9. 《九章算术》中记载：“今有甲乙二人持钱不知其数，甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十，问甲、乙持钱各几何？”译文是：今有甲、乙两人持钱不知道各有多少，甲若得到乙所有钱的，则甲有50钱，乙若得到甲所有钱的，则乙也有50钱，问甲、乙各持钱多少？设甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，列出关于x，y的二元一次方程组是______．
【答案】
【解析】设：甲持钱数为x钱，乙持钱数为y钱，
根据题意得：，
故答案为：．
10. 已知，为关于的方程的两个实数根，若，则_________．
【答案】
【解析】根据题意可知，即，解得．
∵，是方程的根，
∴，．
∵，
则，
解得．
故答案为：．
11. 如图，已知，以点为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于，两点，分别以点，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于内一点，作射线．以点为圆心，长为半径作圆弧，恰好经点，与射线交于点，连接，．若，则四边形的面积为_________．
【答案】
【解析】如图，连接交于点．
由作图可知，是等边三角形，
，
由作图可知平分，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形，
，，，
，
菱形的面积．
12. 如图，在中，，，，点在射线上，当为等腰三角形时，的度数为_________．
【答案】或或
【解析】∵四边形为平行四边形，
∴，
当为等腰三角形时，有以下三种情况：
①当时，过点A作于F，如图1所示：

在中，，
∴，
即平行线间的距离为，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②当时，又有两种情况：
（ⅰ）当点E在线段上时，过点D作交延长线于G，如图2所示：
由①可知：平行线间的距离为，即，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（ⅱ）当点E在的延长线上时，过点D作于M，如图3所示：

则，
在中，，
∴，
∴，
∵，
∴为等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴，
∴；
③当时，过点E作于H，如图4所示：
∵，
∴，
由①可知，
∴，
∴（此时点E与点C重合），
∴．
综上所述：的度数为：或或．
故答案为：或或．
三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）
13. （1）计算：；
（2）解不等式组：
解：（1）原式．
（2），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：．
14. 先化简，再求值：，其中．
解：原式
，
当时，原式．
15. “寻访非遗文化，感悟古色魅力”，为培养学生对非遗文化的保护与传承意识，南昌市某中学计划组织学生前往绳金塔历史文化街区开展活动，决定在A．宣纸刺绣、B．瓷板画、C．南昌轻音、D．竹篾编织四个艺术馆随机选择两个参观学习．
（1）选中“颖拓艺术馆” 事件；（填“必然”或“随机”或“不可能”）
（2）请用画树状图法或列表法，求出选中瓷板画和南昌轻音两个艺术馆的概率．
解：（1）根据题意，得选到“颖拓艺术馆”是不可能事件，
故答案为：不可能．
（2）根据题意，画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能的结果，其中选中瓷板画和南昌轻音两个艺术馆的有2种，
∴选中瓷板画和南昌轻音两个艺术馆的概率．
16. 为奖励在数学学科素养活动中表现突出的同学，学校准备购买甲，乙两种学具作为奖品，已知1件甲种学具比1件乙种学具的售价少10元，买3件甲种学具和4件乙种学具共需145元．
（1）甲，乙两种学具的单价分别是多少元？
（2）根据学校实际情况，需要购买甲，乙两种学具共60件，所需费用不超过1100元，那么甲种学具至少需要购买多少件？
解：（1）设甲种学具的单价是元．
依题意可列方程：，
解得：，，
答：甲种学具的单价是15元，乙种学具的单价是25元．
（2）设甲种学具需要购买件．
则，
解得：，
的最小值为40，
答：甲种学具至少需要购买40件．
17. 如图，是由边长为1的小正方形组成的的网格，点，均在格点上，以为直径画半圆，请仅用无刻度的直尺，按下列要求作图．（保留作图痕迹，不写作法）
（1）如图1，点在格点上，请在图1中过点作出半圆的切线；
（2）如图2，点在格点上，请在图2中作出，使得．
解：（1）如图，取格点E，过点E，C作直线l，直线即为所求；
设网格的每个小正方形边长为1，
则由勾股定理有，，
连结，
，，，
由网格特点知，，，
直线是的切线；
（2）如图，取（1）中的格点C，连接并延长与网格交于点D，连接，即为所求．
由（1）可知，，
，
由网格特点知，，垂直平分，，
，，
．
四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 为获得中学生对春节习俗的了解情况，某中学分别从八、九年级学生中随机抽取了20名学生进行测试（满分100分），并对数据（成绩，单位：分）进行整理、描述和分析．
部分信息如下：
八年级学生成绩的统计表和扇形统计图如下：
统计表
八年级学生成绩中C等级的数据分别是：72，75，77，74，75，78．
九年级学生成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）如下：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空： ， ；
（2）扇形统计图中C等级所对应圆心角的度数为 ；
（3）根据信息推断，哪个年级的学生对春节习俗了解得更好？并选择一个统计量说明理由；
（4）该中学八、九年级学生各有600名，估计八、九年级学生中对春节习俗的了解达到优秀的共有多少人？
解：（1），
，
故答案为：4，6；
（2）扇形统计图中C等级所对应圆心角的度数为，
故答案为：；
（3）九年级的学生对春节习俗了解得更好，理由如下：
八年级的中位数为分，低于九年级的中位数80分，
九年级的学生对春节习俗了解得更好；
（4）（人，
答：估计八、九年级学生中对春节习俗的了解达到优秀的共有450人．
19. 如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于点．四边形为矩形，与交于点，与相交于点．
（1）若点的纵坐标为2，求的值；
（2）连接，若，求的值（用含的式子表示）．
解：（1）设点坐标为
点在直线上，．
在的图象上，．
（2）点为直线上一点，
∴
又
等腰直角三角形，
．
，
∴
．
∵
∴
．
设点坐标为，，
．
点在反比例函数图象上，
化简得：，
．
20. 如图1是某品牌全电动家用升降机固定款，图2是其示意图，立柱垂直于地面，折线为吊臂，吊臂可绕点旋转，，为伸缩杆．经测量：，，，．（结果精确到小数点后一位）
（1）如图2，当时，求的度数；
（2）如图3，将吊臂绕点旋转使点的位置达到最高，此时，，三点共线，求点到地面的距离．（参考数据：，，，，）
解：（1），，，
．
．
．
（2）分别过点，作，的平行线，两条线相交于点．
，，
．
．
，，
，，
．
．
．
点到地面的距离为．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
21. 如图，是半圆的直径，点为圆心，，两点在半圆上，连接，．过点作半圆的切线交的延长线于点．
（1）证明：；
（2）若，，．
①求的长；
②求的值．
解：（1）连接．
为半圆的切线，
．
是半圆的直径，
，
．
，
，
．
（2）①设半圆的半径为．
为半圆的切线，
．
在中，．
，
解得，
．
②，，
．
．
，
．
是半圆的直径，
．
．
22. 已知抛物线的解析式：．
（1）若抛物线经过原点．
① ；
②将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线，则抛物线的解析式为 ；
（2）在（1）的条件下，将抛物线沿直线平移得到抛物线．抛物线与轴交于，两点，抛物线与轴交于，两点，若，求抛物线的解析式；
（3）设抛物线的顶点为点，抛物线与轴交于，两点，连接，，在围成的区域内（包含三条边），横、纵坐标都为整数的点恰好为4个，直接写出的取值范围．
解：（1）①抛物线经过原点，
将代入，
得到，
，
故答案为：；
②由①得抛物线解析式为，
抛物线的顶点为，
将抛物线先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到抛物线，
抛物线的顶点为，
抛物线的解析式为，
故答案为：．
（2）抛物线与轴交于，两点，
令，
解得或2，
，
，
抛物线的顶点在直线上，将抛物线沿直线平移得到抛物线，
设抛物线的顶点为，
设抛物线的解析式为，
令，整理为，
设，为的两个解，
则，，
抛物线与轴交于，两点，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（3）依题意抛物线解析式为，
点，
当围成区域内（包含三条边），横、纵坐标都为整数的点恰好为4个时，如图，由抛物线的对称性可知，抛物线有和两种临界情况，
当抛物线在处时，由（1）可知，
当抛物线在处时，抛物线经过点，代入，解得，
综上所述，当围成的区域内（包含三条边），横、纵坐标都为整数的点恰好为4个时，．
六、解答题（本大题共12分）
23. 某兴趣小组开展综合实践探究活动：
已知为等边三角形，点，分别在边，上，且，，相交于点，连接．探究过程如下：
【初步感知】
（1）①如图1，当点为中点时， ；
②如图2，当时， ；
（小智积极思考，提供如下解题思路：
延长至点，使得，连接，．
，，，．
．
又，
．
又，是等边三角形．……）
【类比探究】
（2）如图3，当时，求的值；
【拓展延伸】
（3）①当时，直接写出的值（用含的式子表示）；
②当点在延长线上，点在延长线上时，且，直线，相交于点，连接，请直接写出的值（用含的式子表示）．
解：（1）①∵是等边三角形，
∴，，
∵点为中点，，
∴，
∴，分别平分，，
∴平分，
∴，，
则，
故答案为：；
②延长至点，使得，连接，．
∵，，，
．
．
又，
，则．
又，
是等边三角形．
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，则，
∴，
∴，即：，
∵，，
∴，
又∵，
∴，，
∴，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：；
（2）延长至点，使得，连接，．
由（1）可知，，，，，，，，
∴，，
∴，
过点作，则，
∴，
∴，则，
∵，
∴，则，
∴，
∴；
（3）①类比（1）（2）延长至点，使得，连接，．
可知，，，，，，，，，
过点作，则，
类比（1）（2）可知，，，
∵，，
∴，则，
∴，
∴；
②在上截取点，使得，连接，．
∵，，，则，
．
．
又，，
，
又，
是等边三角形．
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
过点作，则，
设，
∵，
∴，
则，
∴，即：，
∵，
∴，，则，
∴，则，
，
∴．等级
成绩（分）
人数
A
2
B
C
6
D
E
60分以下
2
平均数
中位数
众数
优秀率
80
80
77