2023-2024学年第二学期北京市八年级数学期末模拟试卷解析

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1．下列几组数中，能构成直角三角形三边长的是（ ）
A．1，2，3B．2，3，4C．3，4，5D．4，5，6
【答案】C
【分析】利用勾股定理逆定理结合三角形三边关系，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、，不能构成三角形，更不能构成直角三角形，故A不符合题意；
B、，不能构成直角三角形，故B不符合题意；
C、，能构成直角三角形，故C符合题意；
D、，不能构成直角三角形，故D不符合题意．
故选：C．
2．下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用最简二次根式的定义对每个选项进行分析，即可得出答案．
【详解】解：A． ，故本选项不符合题意．
B．是最简二次根式，故本选项符合题意．
C．，故本选项不符合题意．
D．，故本选项不符合题意．
故选：B．
3．用配方法解方程，配方后的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将方程常数移到右边，再配方—方程两边同时加上4即可得到答案．
【详解】解：方程，
移项得：，
配方得：，
即，
故选：A．
4．已知一次函数 ，那么下列结论正确的是（ ）
A．y 的值随 x 的值增大而增大B．图象经过第一、二、三象限
C．图象必经过点D．当 时，y<0
【答案】C
【分析】根据一次函数的性质逐项进行分析即可．
【详解】解：A、由于一次函数y=-x+2的k=-1<0，所以y的值随x的值增大而减小，故该选项不符合题意；
B、一次函数y=-x+2的k=-1<0，b=2>0，所以该函数过一、二、四象限，故该选项不符合题意；
C、将（0,2）代入y=-x+2中得2=0+2，等式成立，所以（0,2）在y=-x+2上，故该选项符合题意；
D、一次函数y=-x+2的k=-1<0，所以y的值随x的值增大而减小，所以当x<2时，y>0，故该选项不符合题意．
故选：C．
5．某射击运动员在训练中射击了10次，成绩如图所示：下列结论正确的是（ ）
A．众数是8，中位数是8
B．众数是8，中位数是8.5
C．平均数是8.2，方差是1.2
D．平均数是8，方差是1.2
解：由图可得，数据8出现3次，次数最多，所以众数为8，
10次成绩排序后为：6，7，7，8，8，8，9，9，10，10，所以中位数是（8+8）＝8，
平均数为（6+7×2+8×3+9×2+10×2）＝8.2，
方差为[（6﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（7﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（8﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（9﹣8.2）2+（10﹣8.2）2+（10﹣8.2）2]＝1.56，
故选：A．
6．如图，下列条件之一能使是菱形的为（ ）

①；②平分；③；④；
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【答案】D
【分析】根据菱形的判定定理判断即可得解．
【详解】解：①，四边形是平行四边形，
∴四边形是矩形；
②平分，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
③，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形；
④，四边形是平行四边形，
∴四边形是菱形．
综上所述，由②③④可证得四边形是菱形．
故选：D．
《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是明代数学家程大位．
书中记载了一道“荡秋千”问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地；送行二步与人齐，五尺人高曾记；
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉；良工高士素好奇，算出索长有几？”
译文：“秋千静止的时候，踏板离地1尺，将它往前推送两步（两步10尺）时，
此时踏板升高离地5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问秋千绳索有多长？”

若设秋千绳索长为x尺，则可列方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设秋千的绳索长为 尺，根据题意可得 尺，利用勾股定理可得方程，即可求解．
【详解】解：设秋千的绳索长为尺，则尺
由题意可知：尺，尺，则尺，则尺，
由勾股定理可得：，
则可列方程为：．
故选：D．
8．按照如下方法分别在矩形ABCD（AB＞AD）中画四边形：
方法1：
1．如图1，取矩形ABCD各边的中点E，F，G，H；
2．连接各边的中点，得到四边形EFGH．
方法2：
1．如图2，连接AC；
2．分别作AB、DC关于AC的对称线段，交DC，AB于点N，M；
3．得到四边形ANCM．
结论一：方法1得到的四边形EFGH是矩形，方法2得到的四边形ANCM是菱形；
结论二：方法1得到的四边形EFGH与方法2得到的四边形ANCM周长相等．
下列判断正确的是（ ）
A．只有结论一正确
B．只有结论二正确
C．结论一和结论二都正确
D．结论一和结论二都不正确
解：如图1中，连接AC，BD．
∵AE＝ED，DH＝CH，AF＝FB，CG＝GB，
∴EH∥AC，FG∥AC，EHAC，FGAC，
∴EH＝FG，EH∥FG，
∴四边形EHFG是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，
∵GHBD，EHAC，
∴EH＝HG，
∴四边形EHFG是菱形．
如图2中，由作图可知∠MAC＝NAC，∠MCA＝∠NCA，
∵AC＝CA，
∴△AMC≌△ANC（ASA），
∴AM＝AN＝CN，
∵CN∥AM，
∴四边形AMCN是平行四边形，
∵AM＝AN，
∴四边形AMCN是菱形，故结论1错误．
∵图1中，四边形EFGH都是周长＝2AC，图2中，四边形AMCN的周长＝2（AM+MC）＞2AC，
∴方法1得到的四边形EFGH与方法2得到的四边形ANCM周长不相等，故结论2错误．
故选：D．
二．填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分，把答案直接填在答题卡相应位置上）
9.若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】x≥5
【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．
【详解】∵在实数范围内有意义，
∴x−5⩾0，解得x⩾5．
故答案为：x≥5
如图所示，某居民小区为了美化居住环境，要在一块三角形空地上围一个四边形花坛，
已知点E、F分别是边的中点，量得米，则的长是 米．

【答案】8
【分析】由题意知，是的中位线，根据，计算求解即可．
【详解】解：由题意知，是的中位线，
∴，
故答案为：8．
a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式2024﹣2a2+2a的值是 2022 ．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】先根据一元二次方程的定义得到a2﹣a﹣1＝0，
再把2024﹣2a2+2a＝2024﹣2（a2﹣a），然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：∵a是方程x2﹣x+1＝0的一个根，
∴a2﹣a﹣1＝0，
∴a2﹣a＝1，
∴2024﹣2a2+2a＝2024﹣2（a2﹣a）＝2024﹣2×1＝2022．
故答案为：2022．
12 .将直线向上平移个单位，得到的直线为 ．
【答案】
【分析】根据“上加下减”的平移规律填空．
【详解】解：将一次函数向上平移个单位，所得图象的函数解析式为：
，
故答案为：．
13．如图，菱形OABC的顶点O、A的坐标分别是（0，0）、（4，0），点B、C在第一象限，且∠C＝120°，则点B的坐标是 ．
解：过点B作BE⊥x轴，如图所示，
∵四边形OABC是菱形，顶点O、A的坐标分别是（0，0）、（4，0），
∴OA＝AB＝4，
∵∠C＝120°，
∴∠OAB＝120°，
∴∠EAB＝60°，
∴∠EBA＝30°，
∴，
∴，
∴OE＝OA+AE＝6，
∴点B的坐标是，
故答案为：（6，2）．
已知在矩形ABCD中，E、F分别为AB、CD的中点．G为AD上一点，将△ABG沿BG翻折，
使A点的对应点恰好落在EF上的N点，则∠ABG＝ ．
解：如图，连接AN，
由折叠可得，EF垂直平分AB，
∴NA＝NB，
由折叠可得，AB＝NB，∠ABG＝∠NBG，
∴AB＝BN＝AN，
∴△ABN是等边三角形，
∴∠ABN＝60°，
∴∠ABG∠ABN＝30°，
故答案为：30°．
小红和小明从甲地出发，骑自行车沿同一条路到距甲地24千米的乙地参加活动．
如图，折线和线段分别表示小红和小明离甲地的距离（单位：）与时间（单位：）
之间函数关系的图象．根据图中提供的信息，当小明到达乙地时，小红距乙地 千米．

【答案】 4
【分析】观察图象，由两人到达乙地时的横坐标即可求解；
可得小红在段的速度为，
根据路程速度时间可得此时小红行驶的路程，再求与乙地的差值即可．
【详解】解：由图象可知，当小明到达乙地时，
小红还有小时到达乙地，
由图象可得，小红在段的速度为：，
则此时小红距乙地，
故答案为：4．
如图，在边长为1的正方形ABCD中，E，F分别为线段BC，CD上的点，且△AEF为正三角形，
则△AEF的面积为 ．
解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B＝∠D＝90°，AB＝AD，
∵△AEF是等边三角形，
∴AE＝EF＝AF，
在Rt△ABE和Rt△ADF中，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），
∴BE＝DF，
∴CE＝CF，
设BE＝x，那么DF＝x，CE＝CF＝1﹣x，
在Rt△ABE中，AE2＝AB2+BE2，
在Rt△CEF中，FE2＝CF2+CE2，
∴AB2+BE2＝CF2+CE2，
∴x2+1＝2（1﹣x）2，
∴x2﹣4x+1＝0，
∴x＝2±，而x＜1，
∴x＝2，
即BE的长为＝2，
∴CE＝CF1．
∴△AEF的面积＝1×1﹣21×（2）（1）2＝23，
故答案为：23．
解答题（本大题共12小题，共68分．解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．
作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔。）
17．计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先利用二次根式的乘除法的法则运算，再将各项化简为最简二次根式即可．
（2）利用平方差公式和完全平方公式进行化简，再计算加减即可．
【详解】（1）解：原式
（2）解：原式
18．用适当的方法解一元二次方程．
(1)x（x－3）＝－（x－3）
(2)x2＋4x－3＝0
【答案】(1)x1=-1，x2=3
(2)x1=-2+，x2=-2-
【分析】（1）利用移项法则、提公因式法把方程的左边变形，进而解出方程；
（2）利用配方法解出方程．
【详解】（1）解：x(x-3)=-(x-3)
x(x-3)+(x-3)=0，
(x+1)(x-3)=0，
x1=-1，x2=3；
（2）解：x2+4x-3=0，
x2+4x=3，
x2+4x+4=7，
(x+2)2=7，
x+2=，
x1=-2+，x2=-2-．
19．已知：在下列平面直角坐标系中，点A在y轴上，位于原点上方，距离原点3个单位长度；点C在x轴上，位于原点右侧，距离原点4个单位长度；点B坐标（2，﹣1），
（1）在平面直角坐标系中分别描出A，B，C三个点，画出△ABC．
（2）求△ABC的面积：
（3）已知点P在x轴上，以A，C，P为顶点的三角形面积为3，请直接写出P点的坐标．
解：（1）如图：△ABC即为所求；
（2）△ABC的面积为：4×45；
（3）设P（x，0），
则：|x﹣4|×3＝6，
解得：x＝2或x＝6，
∴P点坐标为（2，0）或（6，0）．
已知：如图，点E，F是平行四边形中边上的点，且，连接．
求证：．
【答案】见解析
【分析】根据平行四边形的性质证得，根据等式的性质可得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可证得四边形是平行四边形，然后根据平行四边形的性质即可证得．
【详解】证明：∵四边形是平行四边形，
∴．
∵，
∴，即．
∴四边形是平行四边形．
∴．
某校为了了解A，B两个班的学生数学学习情况，对数学进行了一次测试，
获得了两个班的成绩（百分制），并对成绩进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
① A，B两班学生（两个班的人数相同）数学成绩不完整的频数分布直方图如图
（数据分成5组：x＜60，60≤x＜70，70≤x＜80，80≤x＜90，90≤x≤100）；

② A，B两班学生测试成绩在80≤x＜90这一组的数据如下：
A班：80 80 82 83 85 85 86 87 87 87 88 89 89
B班：80 80 81 81 82 82 83 84 84 85 85 86 86 86 87 87 87 87 87 88 88 89
A，B两班学生测试成绩的平均数、中位数、方差如表：
根据以上信息，回答问题：
（1）A班有 人，其中成绩在70≤x＜80这一组的有 人；
（2）表中m＝ ，n＝ ；
（3）从两个方面来分析A，B两班的成绩：
解：（1）由题意可知，A班有：5+2+3+22+8＝40（人）；
其中成绩在70≤x＜80这一组的有：40﹣（1+7+13+9）＝10（人），
故答案为：40；10；
（2）A班共40名同学，中位数落在80≤x＜90，中位数m81，
B班共40名同学，中位数落在80≤x＜90，中位数n85，
故m、n的值分别为81，85；
从平均分来看，A，B两班差不多；
从中位数来看，B班85分以上学生数比A班多；
从方差看，A班方差小，学生成绩差距较小，B班方差大，说明B班学生发展不均衡．（任选两点）．
故答案为：从平均分来看，A，B两班差不多；从中位数来看，B班85分以上学生数比A班多．
已知A、B两地相距4800米，甲从A地出发步行到B地，20分钟后乙从B地出发骑自行车到A地，
设甲步行的时间为x分钟，甲、乙两人离A地的距离分别为y1米、y2米，
y1、y2与x的函数关系图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）直接写出y1，y2与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）求甲出发后多少分钟两人相遇，相遇时乙离A地多少米？
解：（1）设y1＝k1x，由题意代入点（60，4800），得：
60k1＝4800，
解得：k1＝80，
∴y1＝80x，
设 y2＝k2x+b，由题意代入点（20，4800），（60，0），得：
，
解得：，
∴y2＝﹣120x+7200
答：y1＝80x，其中自变量x的取值范围是0≤x≤60，
y2＝﹣120x+7200，其中自变量x的取值范围是20≤x≤60；
（2）由题意可知：y1＝y2，即80x＝﹣120x+7200，
解得：x＝36，
∴y2＝﹣120×36+7200＝2880
答：甲出发后36分钟两人相遇，相遇时乙离A地2880米．
如图，在矩形中，，分别为，的中点，连接，，，，
与 交于点，与交于点．求证：四边形为菱形．

【答案】见解析
【分析】连接，先根据矩形的性质，得到四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质，得出，同理可得：，进而得出四边形为平行四边形，易知，且，再根据平行四边形的判定，得出四边形是平行四边形，再根据矩形的判定定理，得出四边形是矩形，再根据菱形的判定定理，即可得出四边形为菱形．
【详解】解：如图，连接，

四边形是矩形，
，且，
又∵，分别是，的中点，
，，
，且，
四边形是平行四边形，
，
同理可得：，
四边形是平行四边形．
易知，且，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形，
，
，
四边形是菱形．
某超市销售一种饮料，平均每天可售出80箱，每箱利润100元．天气渐热，为了扩大销售，
增加利润，超市准备适当降价，据测算，若每箱饮料每降价1元，每天可多售出2箱．
针对这种饮料的销售情况，请解答以下问题：
当每箱饮料降价10元时，这种饮料每天销售获利多少元？
为了尽可能地清理库存，并且要使每天销售饮料获利9600元，问每箱应降价多少元？
【答案】(1)9000元
(2)每箱饮料应降价40元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，有理数的混合运算的应用；
（1）根据题意列出算式，进行计算即可求解；
（2）设每箱饮料降价元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意得，每降价1元，可多售出2箱．
降价10元，可多售出20箱．
每天的利润元
（2）设每箱饮料降价元．
由题意得，
解得：，
要尽可能地清理库存
应舍去．
应该降价40元．
答：每箱饮料应降价40元．
25．如图，在平面直角坐标系xOy中，O是坐标原点，一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点A（﹣3，0），与y轴交于点B，且与正比例函数y＝x的图象的交点为C（m，4）．

（1）求一次函数y＝kx+b的解析式；
（2）D是平面内一点，以O、C、D、B四点为顶点的四边形是平行四边形，
直接写出点D的坐标．（不必写出推理过程）．
【答案】(1) y＝x+2;(2)（﹣3，﹣2）、（3，2）、（3，6）
【分析】（1）先把点C的坐标代入正比例函数关系式，可求出m的值，再把点A，C的坐标代入一次函数的解析式求出k，b即可．
（2）利用CD平行且等于OD，或BODC进而求解．
【详解】解：（1）把点C（m，4），代入正比例函数y＝x得，
4＝m，解得m＝3，
∴点C的坐标为（3，4），
∵A的坐标为（﹣3，0），
∴，
解得．
∴一次函数的解析式为：y＝x+2．
（2）∵O、C、D、B四点为顶点的四边形是平行四边形，
∴只要CO平行且等于BD，即BD＝5，
①当点D在点O的左边时，点D的坐标为（﹣3，﹣2），
②当点D在点O的右边时，点D的坐标为（3，2），
③当BO∥DC时，D（3，6）
∴点D的坐标为（﹣3，﹣2）、（3，2）、（3，6）．
26．在菱形ABCD中，对角线相交于点O，点E为AD的中点，连接OE，
分别过点E、O作AB的垂线，垂足为F、G．
（1）求证：四边形OEFG为矩形；
（2）若OE＝10，EF＝8，求△OGB的面积．

（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴OB＝OD，
∵点E为AD的中点，
∴OE是△ABD的中位线，
∴OE∥AB，
∵EF⊥AB，OG⊥AB，
∴∠EFG＝90°，EF∥OG，
∴四边形OEFG是平行四边形，
又∵∠EFG＝90°，
∴平行四边形OEFG为矩形；
（2）解：由（1）可知，OE是△ABD的中位线，四边形OEFG为矩形，
∴AB＝2OE＝2×10＝20，OG＝EF＝8，FG＝OE＝10，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝AB＝20，
∵点E为AD的中点，
∴AE＝10，
∵EF⊥AB，OG⊥AB，
∴∠EFA＝∠OGB＝90°，
∴AF6，
∴BG＝AB﹣AF﹣FG＝20﹣6﹣10＝4，
∴S△OGBBG•OG4×8＝16．
27 . 对于定点P和图形W，给出如下定义：若图形W上存在两个不同的点M，N，
使得四边形PMQN是平行四边形，则称点Q是点P关于图形W的衍生点．
特别地，当平行四边形PMQN的面积最大时，称点Q是点P关于图形W的最佳衍生点．
在平面直角坐标系xOy中，点A（0，1），B（1，1），C（0，2），D（0，3），E（，2）．
（1）点C，D，E中，点O关于线段AB的衍生点是 ；
（2）将点O关于线段AB的最佳衍生点记为T，
①直接写出点T的坐标；
②若直线y＝﹣x+b上存在点O关于四边形ABTC的衍生点，求b的取值范围．
解：（1）如图1，点C，D，E中，点O关于线段AB的衍生点是E；
答案：E；
（2）①如图2，∵点O关于线段AB的最佳衍生点记为T，
即▱OABT的面积最大，
∴T（1，2）；
②将直线y＝﹣x+b上存在的点O关于四边形ABTC的衍生点记为点H，
∵点A（0，1），B（1，1），C（0，2），T（1，2），
∴四边形ABTC是正方形，
考虑正方形ABTC及其内部的任意点K（除顶点A、B、T、C外），总能够在正方形ABTC上找到两点M，N，使
点K是MN的中点，
由题意可知：四边形OMHN是平行四边形，
∴由平行四边形的性质可知：K也是O，H的中点，
∴所有的点H组成正方形CB1C1D1和及其内部（边OD1上的点和B1，C1除外），如图3，将它记为图形G，
依题意：只需要直线y＝﹣x+b与图形G有一个公共点即可，
当直线y＝﹣x+b经过点C1（2，4）时，b＝6，
当直线y＝﹣x+b经过点C（0，2）时，b＝2，
∴b的取值范围是2＜b＜6．
28．已知正方形，P是对角线的延长线上一点．

(1)连接，过点作的垂线交的延长线于点E．
①依据题意，补全图形；
②判断线段与的数量关系，并证明；
在（1）的条件下，过点P分别作线段、射线的垂线，垂足分别为点F、点H，
线段与线段于点，连接．请你判断线段、和之间的数量关系，并证明．
【答案】(1)①见解析；②，证明见解析
(2)
【分析】（1）①根据题意补全图形即可；②过作，交延长线于，过作于，证明，即可得到．
（2）延长交于点N，设与的交点为M，证明是中位线，是直角三角形斜边上的中线，结合矩形的性质，证明即可．
【详解】（1）解：①补全图形如下：

②，证明如下：
过作，交延长线于，过作于，如图：

四边形是正方形，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
四边形是正方形，
，，
，
∵，
，
；
（2）线段、和之间的数量关系为．理由如下：
延长交于点N，设与的交点为M，
∵正方形，P是对角线的延长线上一点，，
∴，
∴，，
∴，，
∴四边形是正方形，四边形是矩形，
∴，，
延长交于点Q，
∴四边形是正方形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，

∴，又，
∴，
∴，
∴．
平均数
中位数
方差
A班
80.6
m
96.9
B班
80.8
n
153.3