数学：山东省威海市2022-2023学年高二下学期期末试题（解析版）

这是一份数学：山东省威海市2022-2023学年高二下学期期末试题（解析版），共15页。试卷主要包含了 函数在区间的最小值为， 已知函数，若，，，则， 下列求导运算正确的是， 在的展开式中等内容，欢迎下载使用。

1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由，
解得或，所以，
所以，所以.
故选：C
2. 若随机变量，且，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】因为，，
所以，解得.
故选：A.
3. 某杂交水稻种植研究所调查某水稻的株高，得出株高（单位：）服从正态分布，其概率分布密度函数为，，若，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】依题意得，该正态曲线的对称轴是，根据正态曲线的对称性，
故.
故选：B
4. 函数在区间的最小值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】，
所以在区间递减，
在区间递增，
所以在区间的最小值为.
故选：D
5. 某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第年的生产利润为（单位：亿元），现统计前年的数据为，，，，根据该组数据可得关于的回归直线方程为，且，预测改进后该企业第年的生产利润为（ ）
A. 亿元B. 亿元
C. 亿元D. 亿元
【答案】D
【解析】，，
所以，所以，
当时，亿元.
故选：D
6. 从正六边形的六个顶点中任取三个顶点，则这三个顶点可以构成直角三角形的概率为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】如图，在六个顶点中任取三个顶点，有
，共20种情况，
因为在正六边形中，过中心的对角线所对的角为直角，所以有
，
共12种情况，
故所求概率．
故选：C.

7. 已知函数及其导函数的定义域均为，则“为奇函数”是“为偶函数”的（ ）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】当为奇函数时，则与的定义域关于原点对称，
且，
两边同时求导，即，
得，即，所以为偶函数；
反之，当为偶函数时，取，
则，显然满足条件，但显然不是奇函数，
所以“为奇函数”是“为偶函数”的充分不必要条件.
故选：A.
8. 已知函数，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】 ，
由于，，
，所以，
，
所以，
因为函数在上为增函数，
则，
所以.
故选：A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列求导运算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】A选项，，A错误；
B选项，，B正确；
C选项，，C错误；
D选项，，D正确.
故选：BD
10. 在的展开式中（ ）
A. 常数项为B. 各项二项式系数的和为
C. 各项系数的和为D. 各项系数的绝对值之和为
【答案】ACD
【解析】的展开式通项为，
其中，
对于A选项，令，可得，则展开式中的常数项为，
A对；
对于B选项，各项二项式系数的和为，B错；
对于C选项，各项系数的和为，C对；
对于D选项，令，则，
因此，各项系数的绝对值之和为，D对.
故选：ACD.
11. 已知实数，满足，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】AC
【解析】依题意，，
A选项，，A选项正确.
B选项，函数在上单调递增，
所以，B选项错误.
C选项，设，
，所以在区间上，
递增，所以当时，，
即，
所以，由于函数在上单调递增，
所以，则，所以C选项正确.
D选项，当时，，
，所以D选项错误.
故选：AC
12. 已知函数，则（ ）
A. 存在，使不存在极小值
B. 当时，在区间单调递减
C. 当时，在区间单调递增
D. 当时，关于的方程实数根的个数不超过
【答案】ACD
【解析】对于选项A：当时，则，
可知在上单调递增，所以不存在极小值，故A正确；
因为，
对于选项B：若为负偶数，则为奇数，
因为，则，可得，
所以在区间单调递增，故B错误；
对于选项C：当时，则，
因为，则，可得，
所以在区间单调递增，故C正确；
对于选项D：因为，则有：
当时，则，即为方程实数根；
当时，则可得，
令，则，
令，解得或，
即至多有2个零点，则至多有三个单调区间，
故至多有三个零点，即实数根至多有三个根；
综上所述：当时，关于的方程实数根的个数不超过.
故答案为：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数是偶函数，则实数_________.
【答案】
【解析】，
由题意该二次函数是偶函数，则对称轴为轴，
即对称轴方程，解得.
故答案为：
14. 有甲、乙、丙、丁、戊名同学站成一排合影留念，若甲和乙相邻，则不同的排法共有_____种（用数字作答）.
【答案】
【解析】依题意，不同的排法有种.
故答案为：
15. 写出曲线过坐标原点的一条切线方程_________.
【答案】或（任写一个即可）
【解析】，设切点为，
故切线方程为，
由于切线过原点，故，
整理得，解得或.
当时，切线方程为，即.
当时，切线方程为，
即.
故答案为：或（任写一个即可）
16. 已知函数，的定义域均为，为奇函数，为偶函数，，，则________.
【答案】2023
【解析】因为为偶函数，则，
又因为，则，，
即，可得，
因为为奇函数，则，且，
可得，即，则，
可得，
所以函数是以4为周期的周期函数，
由，可得，，
则，
即，
所以.
故答案为：2023.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17. 已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若关于的方程有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
解：（1）由题意知，，可得，
即，解得，
所以不等式的解集为.
（2），可得，
即有两个不相等的实数根，
令，则有两个不相等正实数根，
所以，可得，
解得.
18. 某大学在一次调查学生是否有自主创业打算的活动中，获得了如下数据.
（1）若，，根据调查数据判断，是否有的把握认为该校学生有无自主创业打算与性别有关；
（2）若，，从这些学生中随机抽取一人.
（ⅰ）若已知抽到的人有自主创业打算，求该学生是男生的概率；
（ⅱ）判断“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”是否独立.
附：.
解：（1），
所以有的把握认为该校学生有无自主创业打算与性别有关
（2）（ⅰ）记为“抽到的人有自主创业打算”，为“抽到的人是男生”.
，，
所以(或).
（ⅱ）记为“抽到的人无自主创业打算”，为“抽到的人是男生”，
法一：，又，所以，
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立.
法二：，又，所以，
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立.
法三：，，
，所以，
所以，
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立.
法四：，
所以该校学生有无自主创业打算与性别无关，
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”独立.
19. 根据《国家学生体质健康标准》，六年级男生和女生一分钟跳绳等级如下（单位：次）.
从某学校六年级男生和女生中各随机抽取名进行一分钟跳绳测试，将他们的成绩整理如下：
（1）从这名男生中任取名，求取到的名男生成绩都优秀的概率；
（2）若以成绩优秀的频率代替成绩优秀的概率，且每名同学的测试相互独立.从该校全体六年级学生中随机抽取名男生和名女生，设为这名学生中一分钟跳绳成绩优秀的人数，求的概率分布与期望.
解：（1）由题意知，名男生中一分钟跳绳成绩优秀的有名，
记“抽到的名男生成绩都优秀”为事件，则.
（2）由题意知，从该校六年级学生中任取一名男生，一分钟跳绳成绩优秀的概率为；
任取一名女生，一分钟跳绳成绩优秀的概率为.
的可能取值有、、、，
则，
，
，
，
所以的概率分布为
所以，.
20. 已知函数.
（1）当时，求在区间的最大值；
（2）若存在唯一的零点，且，求实数的取值范围.
解：（1）当时，，
则，
由，可得或，，可得，
因此在区间单调递增，在区间单调递减，在区间单调递增，
所以在区间的最大值为、中较大者，
因为，，
所以在区间的最大值为；
（2）法一：，
①当时，，
令，可得，不合题意；
②当时，解不等式，可得，
解不等式，可得或，
所以在单调递减，在单调递增，在单调递减，
又因为，所以在存在零点，不合题意；
③当时，解不等式，可得或，
解不等式，可得，
所以在单调递增，在单调递减，在单调递增，
又因为，所以在存在零点，
若存在唯一的零点，且，则，
可得，即，解得或，所以.
综上，.
法二：依题意知方程有唯一的负根，
即有唯一负根，
所以与的图象有唯一交点且位于轴左侧，
令，则，，
解不等式，可得，
解不等式，可得或，
所以在单调递减，在，单调递增，在单调递减，
所以，
又，所以.
21. 在信道内传输，信号，信号的传输相互独立.发送时，收到的概率为，收到的概率为；发送时，收到的概率为，收到的概率为.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送次，三次传输是指每个信号重复发送次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到，，，则译码为）.
（1）当，时，
（ⅰ）采用单次传输方案，若依次发送，，，求依次收到，，的概率；
（ⅱ）采用三次传输方案，若发送，求译码为的概率；
（2）若发送，采用三次传输方案译码为的概率大于采用单次传输方案译码为的概率，求的取值范围.
解：（1）（ⅰ）记“采用单次传输方案，依次发送，，，依次收到，，”为事件，则.
（ⅱ）记“采用三次传输方案，发送，译码为”为事件，
则；
（2）记“发送，采用三次传输方案译码为”为事件，
记“发送，采用单次传输方案译码为”为事件，
则，
，所以，
因为，整理得，
解得.
22. 已知函数.
（1）若在区间上单调递减，求实数的取值范围；
（2）若存在两个极值点，.
（ⅰ）求实数的取值范围；
（ⅱ）证明：.
解：（1）法一：，
若函数在上单调递减，则对任意恒成立，
即对任意恒成立，
令，，
因为，所以在上单调递增，
所以，所以.
法二：，
若函数在上单调递减，则对任意恒成立，
即对任意恒成立，
所以对任意恒成立，
令，，则，
可得在上单调递增，在上单调递减，
①当时，在上单调递增，
所以，可得，解得，
所以；
②当时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，所以，所以
综上，.
（2）（ⅰ），令，若存在两个极值点，
则为的两个变号零点，，
①当时，，在单调递减，
所以不可能存在两个变号零点，不合题意；
②当时，可得在上单调递增，在上单调递减，
若存在两个变号零点，则，解得，
又，令，
当时，，
所以在上单调递增，
所以，
又，
所以当时，存在两个极值点.
（ⅱ）不妨设，则，，
要证，即证，
因为，，在上单调递减，
即证，又因为，
即证，
令，，
，
所以，
所以在上单调递增，
所以，因为，所以，
即.
综上，.
男生/人
女生/人
有自主创业打算
无自主创业打算
一分钟跳绳等级
六年级男生
六年级女生
优秀
及以上
及以上
良好
及格
不及格
及以下
及以下
男生/次
女生/次