山东省威海市2023届高三数学下学期一模（期末）试题（Word版附解析）

高三数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据集合补集的运算解答即可.

【详解】由题知，集合，

所以，或，即，

故选：A

2. 若是纯虚数，则a＝（    ）

A. －1 B. 1 C. －9 D. 9

【答案】A

【解析】

【分析】先将复数化简，再根据纯虚数列出方程组求解即可.

【详解】,

因为是纯虚数，故，得，

故选：A.

3. 已知等比数列的前三项和为84，，则的公比为（    ）

A.  B.  C. 2 D. 4

【答案】B

【解析】

【分析】根据已知结合等比数列的通项与前项和列式联立得出答案.

【详解】由可设的公比为，

等比数列前三项和为84，，

，解得，

故选：B.

4. 随着经济的发展和人民生活水平的提高，我国的旅游业也得到了极大的发展.据国家统计局网站数据显示，近十年我国国内游客人数（单位：百万）折线图如图所示，则下列结论不正确的是（    ）

A. 近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数

B. 近十年，城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差

C. 2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加

D. 近十年，农村居民国内游客人数的75%分位数为1535

【答案】D

【解析】

【分析】对于选项A：根据图分析得出近十年，每一年城镇居民国内游客人数都比农村居民国内游客人数多，即可判断；

对于选项B：根据图分析近十年，城镇居民国内游客人数的波动比农村居民国内游客人数的波动大，根据方差的意义即可判断；

对于选项C：根据图分析2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数每年都比农村居民国内游客人数增长多，即可判断；

对于选项D：根据分位数的求法得出近十年，农村居民国内游客人数的75%分位数即可判断.

【详解】对于选项A：由图得，近十年，每一年城镇居民国内游客人数都比农村居民国内游客人数多，

则近十年，城镇居民国内游客人数的平均数大于农村居民国内游客人数的平均数，

故A正确；

对于选项B：由图得，近十年，城镇居民国内游客人数的波动比农村居民国内游客人数的波动大，

根据方差的意义可得近十年，城镇居民国内游客人数的方差大于农村居民国内游客人数的方差，

故B正确；

对于选项C：由图得，2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数每年都比农村居民国内游客人数增长多，

则2012年到2019年，国内游客中城镇居民国内游客人数占比逐年增加，

故C正确；

对于选项D：近十年，农村居民国内游客人数的75%分位数为：，

故D错误；

故选：D.

5. 已知向量，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】由求得，再用倍角公式求即可.

【详解】因为，，，

所以，即，

所以，解得或（舍），

所以，

故选：B

6. 已知圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，则该圆锥的表面积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，可知底面圆的半径，再求的底面圆的面积和圆锥的侧面积，即可求得该圆锥的表面积.

【详解】由于圆锥的侧面展开图是一个半径为4，弧长为的扇形，

则圆锥底面圆的半径为，底面圆的面积为，

圆锥的表面积为.

故选：C.

7. 若函数与的图像有且仅有一个交点，则关于x的不等式的解集为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】将条件与只有1个交点转换为函数只有1个零点，参数分离求出a，再构造函数，利用其单调性求解即可.

【详解】与只有1个交点等价于函数 只有1个零点，

即只有1个解，

令，则，，

当时，单调递增，当时，单调递减，并且，

所以， ，函数的大致图像如下图：

，原不等式为： ，即，

令，显然在时是增函数，又，

的解集是.

故选：C.

8. 已知双曲线的左焦点为，M为C上一点，M关于原点的对称点为N，若，且，则C的渐近线方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由对称性知四边形为平行四边形，可求得及，在中，由余弦定理建立的关系，从而求得渐近线方程.

【详解】如图所示，不妨设在左支，

设右焦点为，连接，

由对称性知四边形为平行四边形，

由得，

由双曲线定义知：，

所以，

因为，所以

在中，由余弦定理得，

即，

整理得，即，所以，

则C的渐近线方程为.

故选：D

【点睛】求双曲线的渐近线就是求与的关系，通过可通过几何关系或代数式建立关于的一个齐次等式，求解均可得到渐近线方程.几何关系通过用到平面几何中的有关知识建立关系，甚至平面向量、正弦定理、余弦定理都可以用来建立关系式.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9. 已知事件A，B满足，，则（    ）

A. 若，则 B. 若A与B互斥，则

C. 若A与B相互独立，则 D. 若，则A与B相互独立

【答案】BD

【解析】

【分析】对于A，由题意可得，从而即可判断；

对于B，由互斥事件的概率计算公式计算即可；

对于C，先求得，再根据独立事件的计算公式计算即可；

对于D，判断是否成立即可.

【详解】解：对于A，因为，，，

所以，故错误；

对于B，因为A与B互斥，所以，故正确；

对于C，因为，所以，所以，故错误；

对于D，因为，即，所以，

又因为，所以，

所以A与B相互独立，故正确.

故选：BD

10. 已知函数的部分图像如图所示，则（    ）

A.  B.

C. 在上单调递增 D. 若偶函数，则

【答案】AC

【解析】

【分析】借助图像分别计算A=1，，，得，进而结合三角函数的奇偶性、单调性对选项逐一分析即可.

【详解】由图像可知A=1,,则，则，

故，且过点，则，

，因为，所以，

故，故A 正确，B错误；

，令，

在时单调递增，

则在上单调递增，故C正确；

为偶函数，则，

即，故D错误；

故选：AC.

11. 已知函数及其导函数的定义域均为，记，若为偶函数，为奇函数，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】对于ABD，利用已知条件与复合函数的求导法则，结合与的奇偶性，逐一分析判断即可；对于C，举反例排除即可.

【详解】对于A，因为为偶函数，所以，

所以，故A正确；

对于B，因为，左右两侧分别取导数可得，，

所以，故B正确；

对于D，因为，又为奇函数，则，

所以，即，则，故D正确；

对于C，令，则为偶函数，为奇函数，满足题干，

当时，，，

所以，即存在，使得不成立，故C错误.

故选：ABD.

12. 在棱长为1的正方体中，点P满足，，，则(    )

A. 当时，的最小值为

B. 当时，有且仅有一点P满足

C. 当时，有且仅有一点P满足到直线的距离与到平面ABCD的距离相等

D. 当时，直线AP与所成角的大小为定值

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于选项A，先判断P点的轨迹，再将问题平面化即可求解；对于选项BCD，建立空间直角坐标系，利用向量方法即可求解．

【详解】如图所示，以A为原点建立空间直角坐标系，

则，，，，，，，，

则，，，

则，∴．

选项A：当时，为线段上的点，

将平面和平面沿展开为同一个平面如图，

连接，则的最小值即为，故A正确；

选项B：当时，，，，

则，即，即满足条件的P点有无数个，故B错误；

选项C：当时，，

则，，，，

则在上的投影为，

则点P到直线的距离；

平面ABCD的一个法向量为，，

则点P到平面ABCD的距离为；

当点P到直线距离与到平面ABCD的距离相等时，

，∵，∴方程有一个解，

则，即仅存在一个点P满足条件，故C正确；

D选项：当时，，，

∵，故直线AP与所成角的大小为，为定值，故D正确．

故选：ACD．

【点睛】本题利用空间向量解决空间里面距离和夹角的计算，关键是熟练掌握点到直线距离、点到平面距离、直线夹角的向量求法．

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 在的展开式中的系数为，则_______．

【答案】2

【解析】

【分析】

首先求出的展开项中的系数，然后根据系数为即可求出的取值.

【详解】由题知，

当时有，

解得.

故答案为：.

【点睛】本题主要考查了二项式展开项的系数，属于简单题.

14. 在平面直角坐标系中，过四点的圆的方程为______.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，设圆的方程为，取三个点的坐标代入，得到方程组，求解即可得到结果.

【详解】设圆方程为，

将点的坐标分别代入可得，

，解得

则可得圆的方程为

故答案为:

15. 已知椭圆的右焦点为F，以F为焦点的抛物线与椭圆的一个交点为M，若MF垂直于x轴，则该椭圆的离心率为______.

【答案】##

【解析】

【分析】利用抛物线和椭圆交点及简单性质,列出关系式,求解椭圆离心率即可.

【详解】根据椭圆和抛物线对称性及轴，由在抛物线上得，在椭圆上得

.则由条件得：且

即得.

解得（舍去），所以

故答案为:

16. 若不等式对任意成立,则实数a的取值范围为______.

【答案】

【解析】

【分析】将不等式变形为的形式,构造,求导判断单调性后可知,只需即可,即成立,只需,构造新函数,求导求单调性,求出最值解出a的取值范围即可.

【详解】解:因为对任意成立,

不等式可变形为:,

即,

即对任意成立,

记,所以,

所以在上单调递增,

则可写为:,

根据单调性可知,只需对任意成立即可,

即成立,记,即只需,

因为,故在上,,单调递增,

在上,,单调递减,

所以,

所以只需即可,解得:.

故答案为:

【点睛】思路点睛:本题考查不等式恒成立问题，属于难题，关于恒成立问题的思路如下:

(1)若，恒成立，则只需;

(2) 若，恒成立，则只需;

(3) 若，恒成立，则只需;

(4) 若，恒成立，则只需;

(5) 若，恒成立，则只需;

(6) 若，恒成立，则只需;

(7) 若，恒成立，则只需;

(8) 若，恒成立，则只需.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且.

（1）求B；

（2）若，，求的面积.

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）利用三角恒等变换及正弦定理化简已知条件，即可得到答案；

（2）利用余弦定理求出，再代入三角形的面积公式，即可得到答案；

【小问1详解】

由，得，即，

所以，

由正弦定理得，

因为，所以.

因为，所以.

【小问2详解】

在中，因为，，，由余弦定理，得，

即，解得或（舍去）.

所以，

即的面积为.

18. 第五届中国国际进口博览会于2022年11月4日在上海开幕，本次进口博览会共有145个国家、地区和国际组织参展，企业商业展延续食品及农产品、汽车、技术装备、消费品、医疗器械及医药保健、服务贸易六大展区设置.进口博览会的举办向世界展示了中国扩大开放的决心与自信、气魄与担当.为调查上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况，从上海各高校抽取400名学生进行问卷调查，得到部分数据如下表：

（1）完成上述列联表，并判断是否有99.9%的把握认为上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况与性别有关；

（2）据调查，上海某高校学生会宣传部6人中有3人了解进口博览会展区设置情况，现从这6人中随机抽取4人参加进口博览会志愿服务，设抽取的人中了解进口博览会展区设置情况的人数为，求的分布列与数学期望.

参考公式：，.

参考数据：

【答案】（1）列联表见解析，有99.9%的把握   

（2）分布列见解析，数学期望

【解析】

【分析】（1）先根据已知完善列联表，再根据表中数据求出，从而比较与值查表得出答案；

（2）根据已知结合离散型随机分布的分布列与数学期望求法得出答案.

【小问1详解】

根据已知完成列联表如下，

则，

则，则有99.9%的把握认为上海地区大学生对进口博览会展区设置的了解情况与性别有关；

【小问2详解】

根据题意，的可能取值为1,2,3，

，

，

，

则的分布列为：

则.

19. 已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，且.

（1）求数列的通项公式；

（2）记，求数列的前n项和.

【答案】（1）   

（2）当为偶数时, ; 当为奇数时, ;

【解析】

【分析】（1）根据的关系可得，进而根据等差数列的性质即可求解，

(2)数列的前项的和分奇偶求和,先求，

又，，，是首项为2，公差为2的等差数列，再求奇数项和即可.

【小问1详解】

由得时，

两式相减得整理得

因为，所以,所以数列是以为公差的等差数列

在中令解得

所以.

【小问2详解】

当时

，

又，，...，是首项为2，公差为2的等差数列，

所以，

故．所以

当时

，

又，，...，是首项为2，公差为2的等差数列，

所以，

故．所以

当为偶数时, ; 当为奇数时, ;

20. 在如图所示的圆柱中，AB，CD分别是下底面圆O，上底面圆的直径，AD，BC是圆柱的母线，E为圆O上一点，P为DE上一点，且平面BCE.

（1）求证：；

（2）若，二面角的正弦值为，求三棱锥的体积.

【答案】（1）证明见解析   

（2）

【解析】

【分析】（1）先通过面面平行的判断证明平面平面，再由面面平行的性质证明，即是中位线，由此得到是的中点；

（2）设，通过勾股定理计算将到的距离和到平面的距离用表示，根据二面角的正弦值列方程求出，再代入体积公式计算即可.

【小问1详解】

如图，连接，，

因为为母线，

所以,

又平面，

所以平面.

因为平面，

所以平面平面.

又因为平面平面，平面平面，

所以，

因为是的中点，

所以是的中点，

即.

【小问2详解】

如下图，作，，.

设到的距离为，则到的距离为.

设，则有，，

，

，，

因为，

所以.

因为平面，

所以到平面的距离即是到平面的距离，即.

所以，

解得.

所以.

21. 已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，P为C上任意一点（异于A，B），直线AP，BP分别交直线于M，N两点.

（1）求证：；

（2）设直线BM交椭圆C于另一点Q，求证：直线PQ恒过定点.

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）设点，根据已知得出，直线的方程，直线的方程，分别令方程，即可得出M，N两点坐标，即可根据两点求出直线与的斜率，得出，即可证明；

（2）设直线的方程为，点，直线的方程与椭圆的方程联立，根据韦达定理得出，，再根据原方程得出，根据第一问求得的M，N两点坐标，得出，即可的，代入化简即可得出与的关系式，代回原直线的方程即可得出原方程恒过定点.

【小问1详解】

设点，，，

，即，且，

则直线的方程为，直线的方程为，

分别令，得，，

即，，

则，

则；

【小问2详解】

设直线的方程为，点，

由，消去，整理得：，

则，，

则，，

，

则，

则，

代入化简得：，

则或，

则直线的方程为或，

化为恒过点，不合题意，舍去，

化为恒过点，

则直线PQ恒过定点.

22. 已知函数有两个零点.

（1）求实数a的取值范围；

（2）设是的两个零点，求证：.

【答案】（1）   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）求出导函数，通过讨论，时，结合函数有两个零点，可知 ，利用函数单调性可知，当时，原函数才有两个零点，求解即可；

（2）要证，即证，方法一：不妨设，由在单调递减，得，构造函，求导，利用基本不等式可得，则，结合，所以，所以，命题得证；方法二：不妨设，由在上单调递减，得，结合和，得 ，构造函数，则，则函数在上单调递减，所以，所以，可得，则，命题得证.

【小问1详解】

，

当时，，所以在上单调递增，不满足题意；

当时，令，可得，令，可得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

当时，有，，

又因为函数有两个零点，

所以，即，

所以，可得，

所以，

故实数a的取值范围是.

【小问2详解】

要证，即证，

方法一：下证，即证，

不妨设，由（1）可知，所以，

因为在上单调递减，即证，

因为，所以，即证，

令，

，

所以在上单调递增，又因为，

所以，即，

可得，所以，

所以，即，

又因为在上单调递减，所以.

方法二：下证，即证，

不妨设，由（1）可知，所以，

因为在上单调递减，即证，

因为，即证，

，

因为，所以，所以，

因为且，所以，令，

，

所以在上单调递减，所以，

所以，所以，可得，

因为，所以，

所以，即，

又因为在上单调递减，所以.

【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调区间，以及利用导数研究函数零点个数的方法，属于难题.

方法点睛：导数中常用的两种转化方法：

一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题，注意分类讨论与数形结合思想的应用；

二是函数的零点，不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理.