2022-2023学年山东省威海市高二下学期期末数学试题（含解析）

这是一份2022-2023学年山东省威海市高二下学期期末数学试题（含解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|y=lg2(x2−x−2)}，则(∁RA)∩N=( )
A. { −1 , 0 , 1 , 2 }B. {−1, 1, 2}C. { 0 , 1 , 2 }D. { 1 , 2 }
2.若随机变量X∼B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=5，则p的值为
( )
A. 16B. 13C. 12D. 56
3.某杂交水稻种植研究所调查某水稻的株高，得出株高X(单位：cm)服从正态分布，其概率分布密度函数为f(x)=110 2πe−(x−110)2200，x∈(−∞ , +∞)，若P(X>130)=p，则P(90A. pB. 12−pC. 1−2pD. 2p
4.函数f(x)=x2−x+3x在区间(0,+∞)的最小值为
( )
A. 2 2B. 2 3C. 2 2−1D. 2 3−1
5.某新能源汽车企业基于领先技术的支持，从某年起改进并生产新车型，设改进后该企业第x年的生产利润为y(单位：亿元)，现统计前7年的数据为(1,y1)， (2,y2)，⋯，(7,y7)，根据该组数据可得y关于x的回归直线方程为y=0.5x+a，且i=17yi=30.1，预测改进后该企业第8年的生产利润为
( )
A. 10.8亿元B. 10.3亿元C. 6.8亿元D. 6.3亿元
6.从正六边形的六个顶点中任取三个顶点，则这三个顶点可以构成直角三角形的概率为
( )
A. 15B. 25C. 35D. 45
7.已知函数f(x)及其导函数f ′(x)的定义域均为R，则“f(x)为奇函数”是“f ′(x)为偶函数”的
( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
8.已知函数f(x)=3|x|，若a=f(lg52)，b=f(lg14)，c=f(lg2510)，则
( )
A. a二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列求导运算正确的是( )
A. csx′=sinxB. tanx′=1cs2x
C. 2x+1′=(x+1)2xD. e2x′=2e2x
10.在(2x2−1x)6的展开式中
( )
A. 常数项为60B. 各项二项式系数的和为32
C. 各项系数的和为1D. 各项系数的绝对值之和为729
11.已知实数m，n满足m>n>1，则
( )
A. m+1n+1C. lnm>1−1nD. mlnn>nlnm
12.已知函数f(x)=exxk(k∈Z)，则
( )
A. 存在k，使f(x)不存在极小值
B. 当k<0时，f(x)在区间(−∞,0)单调递减
C. 当k>0时，f(x)在区间(0,+∞)单调递增
D. 当k>0时，关于x的方程f(x)=mx实数根的个数不超过4
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知函数f(x)=(x−1)2+ax是偶函数，则实数a= ．
14.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排合影留念，若甲和乙相邻，则不同的排法共有 种(用数字作答)．
15.写出曲线y=2x+1ex过坐标原点的一条切线方程： ．
16.已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，f(x)为奇函数，g(x+1)为偶函数，f(−1)=2，g(x+2)−f(x)=1，则i=12023g(i)= ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(本小题10分)
已知函数f(x)=lg2(4x+1)．
(1)求不等式f(x2)−lg23>1的解集；
(2)若关于x的方程f(x)=lg2(m⋅2x−2)有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
某大学在一次调查学生是否有自主创业打算的活动中，获得了如下数据．
(1)若m=24，n=36，根据调查数据判断，是否有99%的把握认为该校学生有无自主创业打算与性别有关；
(2)若m=15，n=60，从这些学生中随机抽取一人．
(ⅰ)若已知抽到的人有自主创业打算，求该学生是男生的概率；
(ⅱ)判断“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”是否独立．
附：χ2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d),n=a+b+c+d．
19.(本小题12分)
根据《国家学生体质健康标准》，六年级男生和女生一分钟跳绳等级如下(单位：次)．
从某学校六年级男生和女生中各随机抽取10名进行一分钟跳绳测试，将他们的成绩整理如下：
(1)从这10名男生中任取2名，求取到的2名男生成绩都优秀的概率；
(2)若以成绩优秀的频率代替成绩优秀的概率，且每名同学的测试相互独立.从该校全体六年级学生中随机抽取1名男生和2名女生，设X为这3名学生中一分钟跳绳成绩优秀的人数，求X的概率分布与期望．
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=ax3−6x2+2．
(1)当a=1时，求f(x)在区间−1,5的最大值；
(2)若f(x)存在唯一的零点x0，且x0<0，求实数a的取值范围．
21.(本小题12分)
在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为α(0<α<1)，收到0的概率为1−α；发送1时，收到0的概率为β(0<β<1)，收到1的概率为1−β.考虑两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码(例如，若依次收到1，0，1，则译码为1).
(1)当α=12，β=13时，
(ⅰ)采用单次传输方案，若依次发送1，0，1，求依次收到1，0，1的概率；
(ⅱ)采用三次传输方案，若发送1，求译码为1的概率；
(2)若发送0，采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率，求α的取值范围．
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=lnxx−a ．
(1)若f(x)在区间0,a上单调递减，求实数a的取值范围；
(2)若f(x)存在两个极值点x1，x2．
(ⅰ)求实数a的取值范围；
(ⅱ)证明：x1+x2>2a．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查集合的交集和补集运算，对数函数的定义域，属于基础题．
求对数函数的定义域求得 A ，进而求得 (∁RA)∩N ．
【解答】
解：由 x2−x−2=x−2x+1>0 ，
解得 x<−1 或 x>2 ，所以 A=−∞,−1∪2,+∞ ，
所以 ∁RA=−1,2 ，所以 (∁RA)∩N=0,1,2 ．
故选：C
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查二项分布的均值、方差和标准差，属基础题．
根据二项分布的期望、方差的计算公式即可得答案．
【解答】
解：因为 EX=np=6 ， DX=np1−p=5 ，
所以 1−p=56 ，解得 p=16 ．
故选：A．
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查正态分布的概念与正态密度函数，属于基础题．
根据正态分布密度函数得出正态曲线的对称轴，然后由正态曲线的对称性求解．
【解答】
解：依题意得，该正态曲线的对称轴是 x=110 ，根据正态曲线的对称性，得P(90130)=12−p ．
故选：B
4.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查利用导数求函数的最值，属于基础题．
利用导数求得 fx 在区间 (0,+∞)的单调性，即可得最小值．
【解答】
解：由题得 f′(x)=(2x−1)x−(x2−x+3)x2
=x2−3x2=(x+ 3)(x− 3)x2 ，
所以 fx 在区间 0, 3,f′x<0,fx 单调递减，
在区间 3,+∞,f′x>0,fx 单调递增，
所以 fx 在区间 (0,+∞) 的最小值为 f 3=3− 3+3 3=6− 3 3=2 3−1 ．
故选：D．
5.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查回归直线方程，属于中档题．
根据样本中心点求得 a ，进而求得预测值．
【解答】
解： x=1+2+3+4+5+6+77=4 ， y=30.17=4.3 ，
所以 4.3=0.5×4+a,则a=2.3 ，所以 y=0.5x+2.3 ，
当 x=8 时， y=0.5×8+2.3=6.3 (亿元)．
故选：D
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查古典概型及其计算，属于中档题．
运用列举法根据古典概型概率公式可得答案．
【解答】
解：如图，在六个顶点中任取三个顶点，有 ABC,ABD,ABE,ABF,ACD,ACE,ACF,
ADE,ADF,AEF,BCD,BCE,BCF,BDE,
BDF,BEF,CDE,CDF,CEF,DEF ，共20种情况，
因为在正六边形中，过中心的对角线所对的角为直角，所以有ABD,ACD,ADF,ADE,ABE,BEF,
BDE,BCE,ACF,BCF,CEF,CDF ，共12种情况，
故所求概率 P=1220=35 ．
故选：C．

7.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查简单复合函数的导数，判断或证明函数的奇偶性，充分、必要、充要条件的判断，属于中档题．
由奇函数的定义并求导可判断充分性，反过来取特例即可．
【解答】
解：当 f(x) 为奇函数时，f(x)与f′(x) 的定义域关于原点对称，且 f(−x)=−f(x) ，
两边同时求导，即 (f(−x))′=(−f(x))′ ，
得 −f′(−x)=−f′(x) ，即 f′(−x)=f′(x) ，所以 f′(x) 为偶函数；
反之，当 f′(x) 为偶函数时，取 f(x)=x3+1 ，
则 f′(x)=3x2 ，显然满足条件，但 f(x) 显然不是奇函数，
所以“ f(x) 为奇函数”是“ f′(x) 为偶函数”的充分不必要条件．
故选：A．
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查利用指、对数函数的单调性比较大小，属于较难题．
根据对数函数的单调性和中间量比较出 0【解答】
解： 0=lg51由于 lg14=−lg4=lg4 ， lg4=lg 16>lg 10=12 ，
lg4=lg364 lg2510=lg2531000>lg253625=23 ，
所以 0因为函数 f(x)=3|x| 在 0,+∞ 上为增函数，
则 f(lg52)又flg4=flg14，
所以 f(lg52)故选：A
9.【答案】BD
【解析】【分析】
本题考查简单复合函数的导数，基本初等函数的导数公式，属于基础题．
利用导函数四则运算法则和简单复合函数求导法则计算出答案．
【解答】
解：A选项，(csx) ′=−sinx， A错误；
B选项，(tanx) ′=(sinxcsx) ′=(sinx) ′⋅csx−sinx⋅(csx) ′cs2x=cs2x+sin2xcs2x=1cs2x，
B正确；
C选项，2x+1′=2x+1⋅ln2， C错误；
D选项，e2x′=e2x⋅2x′=2e2x， D正确．
故选：BD
10.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查二项展开式及其通项，指定项的系数与二项式系数，二项展开式项的系数和与二项式系数的和，属于中档题．
利用展开式通项可判断A选项；利用二项式系数和可判断B选项；令x=1代入二项式，可判断C选项；转化为(2x2+1x)6的各项系数之和，可判断D选项．
【解答】
解：2x2−1x6的展开式通项为Tk+1=C6k⋅2x26−k⋅−1xk=C6k⋅26−k⋅−1k⋅x12−3k，
其中k∈0,1,2,3,4,5,6，
对于A选项，令12−3k=0，可得k=4，则展开式中的常数项为C64⋅22⋅−14=60，A对；
对于B选项，各项二项式系数的和为26=64，B错；
对于C选项，令x=1，代入(2x2−1x)6，可得各项系数的和为2−16=1，C对；
对于D选项，各项系数的绝对值之和，即为(2x2+1x)6的各项系数之和，
因此，令x=1，可得各项系数的绝对值之和为2+16=729，D对．
故选：ACD．
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查利用导数比较大小，考查利用作差法比较代数式的大小，考查利用指数函数的图象与性质比较大小，属于一般题．
利用作差比较法、函数的单调性、导数等知识确定正确答案．
【解答】
解：依题意，m>n>1，
A选项，m+1n+1−mn=n−mn(n+1)<0, 可得m+1n+1B选项，函数y=2x+3x在R上单调递增，
所以2m+3m>2n+3n,即2m−2n>3n−3m，B选项错误．
C选项，设f(x)=ln x+1x−1(x>1),f(1)=0，
f′x=1x−1x2=x−1x2，所以fx在区间1,+∞上f′x>0，fx 单调递增，所以当x>1时，fx>f1，
即lnx+1x−1>0,lnx>1−1x，
所以lnm>1−1m，由于函数y=1−1x在1,+∞上单调递增，
所以1−1m>1−1n，则lnm>1−1n，所以C选项正确．
D选项，当m=4,n=2时，mln n=4ln 2=ln 16,nln m=2ln 4=ln 16，
mlnn=nlnm，所以D选项错误．
故选：AC．
12.【答案】ACD
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的零点(或方程的根)，考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数研究函数的极值，题目较难．
对于A：取k=0，结合指数函数单调性分析判断；对于B：取k为负偶数，结合导数判断原函数单调性；对于C：利用导数判断原函数单调性；对于D：分x=0和x≠0两种情况，利用导数判断原函数单调性，结合单调性分析函数零点．
【解答】
解：对于选项A：当k=0时，则fx=exx0=exx≠0，
可知f(x)在−∞,0,0,+∞上单调递增，所以f(x)不存在极小值，故 A正确；
因为f′x=exxk+kexxk−1=exxk−1x+k，
对于选项B：若k为负偶数，则k−1为奇数，
因为x<0，则ex>0,xk−1<0,x+k<0，可得f′x=exxk−1x+k>0，
所以f(x)在区间(−∞,0)单调递增，故 B错误；
对于选项C：当k>0 ，k∈Z时，则k−1≥0，
因为x>0，则ex>0,xk−1>0,x+k>0，可得f′x=exxk−1x+k>0，
所以f(x)在区间(0,+∞)单调递增，故 C正确；
对于选项D：因为f(x)=exxk=mx，k>0,k∈Z，则有：
当x=0时，则0=0，即x=0为方程f(x)=mx实数根；
当x≠0时，则可得exxk−1−m=0，
令gx=exxk−1−m，则g′x=exxk−1+k−1exxk−2=exxk−2x+k−1，
令g′x=0，解得x=0或x=1−k，
即g′x至多有2个零点，则gx至多有三个单调区间，
故y=gx至多有三个零点，即f(x)=mx实数根至多有三个根；
综上所述：当k>0时，关于x的方程f(x)=mx实数根的个数不超过4．
故答案为：ACD．
13.【答案】2
【解析】【分析】
本题考查利用函数的奇偶性解决参数问题，属于基础题．
二次函数是偶函数，则对称轴方程是 x=0 ，据此求解即可．
【解答】
解： f(x)=(x−1)2+ax=x2+(a−2)x+1 ，
由题意该二次函数是偶函数，则对称轴为 y 轴，
即对称轴方程 x=−a−22=0 ，解得 a=2 ．
故答案为： 2
14.【答案】48
【解析】【分析】
本题考查相邻的排列问题，属于基础题．
利用捆绑法可求得正确答案．
【解答】
解：依题意，不同的排法有 A22A44=48 种．
故答案为： 48
15.【答案】y=4 ex 或 y=1ex (任写一个即可)
【解析】【分析】
本题考查求曲线外一点的切线方程，属于中档题．
设出切点坐标，利用导数列方程，求得切点和斜率，进而求得切线方程．
【解答】
解：y′=2x+3⋅ex ，设切点为 t,2t+1et ，
故切线方程为 y−2t+1et=2t+3⋅etx−t ，
由于切线过原点，故 0−2t+1et=2t+3⋅et0−t ，
整理得 2t2+t−1=t+12t−1=0 ，解得 t=−1 或 t=12 ．
当 t=−1 时，切线方程为 y+e−1=e−1x+1 ，即 y=1ex ．
当 t=12 时，切线方程为 y−2e12=4⋅e12x−12 ，即 y=4 ex ．
故答案为： y=4 ex 或 y=1ex (任写一个即可)
16.【答案】2023
【解析】【分析】
本题考查抽象函数的奇偶性，周期性，属于较难题．
根据题意分析可得 fx+2=−fx ，进而可得函数 f(x) 是以4为周期的周期函数，且 fx+fx+1+fx+2+fx+3=0 ，进而可得结果．
【解答】
解：因为 g(x+1) 为偶函数，则 g(x+1)=g(−x+1) ，
又因为 g(x+2)−f(x)=1 ，则 g(x+1)=f(x−1)+1 ， g(−x+1)=f(−x−1)+1 ，
即 f(x−1)+1=f(−x−1)+1 ，可得 f(x−1)=f(−x−1) ，
因为 f(x) 为奇函数，则 f(−x)=−f(x) ，且 f(0)=0 ，
可得 f(x−1)=−fx+1 ，即 fx+1=−fx−1 ，则 fx+2=−fx ，
可得 fx+4=−fx+2=−−fx=fx ，
所以函数 f(x) 是以4为周期的周期函数，
由 fx+2=−fx ，可得 fx+2+fx=0 ， fx+3+fx+1=0 ，
则 f−1+f1=0 ，fx+fx+1+fx+2+fx+3=0 ，
所以 i=12023g(i)=i=12023f(i−2)+1=i=12023f(i−2)+2023=f−1+f0+f1+2023=2023 ．
故答案为：2023．
17.【答案】解：(1)由题意知， lg2(2x+1)>lg26 ，可得 2x+1>6 ，
即 2x>5 ，解得 x>lg25 ，
所以不等式的解集为 xx>lg25 ．
(2)f(x)=lg2(m⋅2x−2) ，可得 4x+1=m⋅2x−2 ，
即 4x−m⋅2x+3=0 有两个不相等的实数根，
令 2x=t ，则 t2−m⋅t+3=0 有两个不相等的正实数根，
所以 Δ>0t1+t2>0t1⋅t2>0 ，可得 m2−12>0m>03>0 ，
解得 m>2 3 ．
所以实数m的取值范围是2 3,+∞．

【解析】本题考查利用对数函数的单调性解不等式，对数及对数方程，属于中档题．
(1)通过解对数不等式求得正确答案．
(2)通过解对数方程，利用换元法以及根与系数关系求得 m 的取值范围．
18.【答案】解：(1)零假设H0:该校学生有无自主创业打算与性别无关．
χ2=(16+64+24+36)(16×36−64×24)2(16+64)(24+36)(16+24)(64+36)=16825=6.72>6.635 ，
所以根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，则有 99% 的把握认为该校学生有无自主创业打算与性别有关；
(2)(ⅰ)记 A 为“抽到的人有自主创业打算”， B 为“抽到的人是男生”．
P(A)=16+1516+15+64+60=31155=15 ， P(AB)=1616+64+15+60=16155 ，
所以 P(B|A)=P(AB)P(A)=1631．
(ⅱ)记 C 为“抽到的人无自主创业打算”， D 为“抽到的人是男生”，
法一： P(D|C)=64124=1631 ，又 P(D)=64+1616+15+64+60=1631 ，所以 P(D)=P(D|C) ，
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”相互独立.
法二： P(C|D)=6480=45 ，又 P(C)=64+6016+15+64+60=45 ，所以 P(C)=P(C|D) ，
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”相互独立．
法三： P(CD)=6416+15+64+60=64155 ， P(C)=64+6016+15+64+60=45 ，
P(D)=64+1616+15+64+60=1631 ，所以 P(C)P(D)=1631×45=64155 ，所以 P(CD)=P(C)P(D) ，
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”相互独立．
法四： χ2=(16+64+15+60)(16×60−64×15)2(16+64)(15+60)(16+15)(64+60)=0 ，
所以该校学生有无自主创业打算与性别无关，
所以“抽到的人无自主创业打算”与“抽到的人是男生”相互独立．

【解析】本题考查独立性检验，条件概率的概念与计算，是中档题．
(1)计算卡方，与6.635比较后得到结论；
(2)(ⅰ)设出事件，利用条件概率公式进行求解；
(ⅱ)法一：计算出 P(D)=P(D|C) ，得到结论；法二：计算出 P(C)=P(C|D) ，得到结论；法三：计算得到 P(CD)=P(C)P(D) ，得到结论；法四：计算出卡方为0，从而得到结论．
19.【答案】解：(1)由题意知， 10 名男生中一分钟跳绳成绩优秀的有 6 名，
记“抽到的 2 名男生成绩都优秀”为事件 A ，则 P(A)=C62C102=1545=13 ．
(2)由题意知，从该校六年级学生中任取一名男生，一分钟跳绳成绩优秀的概率为 35 ；
任取一名女生，一分钟跳绳成绩优秀的概率为 12 ．
X 的可能取值有 0 、 1 、 2 、 3 ，则 P(X=0)=25×(1−12)2=110 ，
P(X=1)=35×(1−12)2+25×C21×12×(1−12)=720 ，
P(X=2)=35×C21×12×(1−12)+25×(12)2=25 ，
P(X=3)=35×(12)2=320 ，
所以 X 的概率分布为
所以， EX=0×110+1×720+2×25+3×320=85 ．

【解析】本题考查离散型随机变量的分布列和均值，古典概型及其计算，属于中档题．
(1)分析可知 10 名男生中一分钟跳绳成绩优秀的有 6 名，利用组合数结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；
(2)分析可知，随机变量 X 的可能取值有 0 、 1 、 2 、 3 ，计算出随机变量 X 在不同取值下的概率，可得出随机变量 X 的分布列，进而可求得 E(X) 的值．
20.【答案】解：(1)当 a=1 时， f(x)=x3−6x2+2 ，
则 f′(x)=3x2−12x=3x(x−4) ，
由 f′(x)>0 ，可得 x<0 或 x>4 ，由f′(x)<0 ，可得 0因此 f(x) 在区间 −1,0 单调递增，在区间 0,4 单调递减，在区间 4,5 单调递增，
所以 f(x) 在区间 −1,5 的最大值为 f(0) 、 f(5) 中较大者，
因为 f(0)=2 ， f(5)=−23 ，
所以 f(x) 在区间 −1,5 的最大值为 2 ；
(2)法一： f′(x)=3ax2−12x=3x(ax−4) ，
①当 a=0 时， f(x)=−6x2+2 ，令 f(x)=0 ，可得 x=± 33 ，不合题意；
②当 a<0 时，解不等式 f′(x)>0 ，可得 4a解不等式 f′(x)<0 ，可得 x<4a 或 x>0 ，
所以 f(x) 在 −∞,4a 单调递减，在 4a,0 单调递增，在 0,+∞ 单调递减，
又因为 f(0)=2>0 ，所以 f(x) 在 (0,+∞) 存在零点，不合题意；
③当 a>0 时，解不等式 f′(x)>0 ，可得 x<0 或 x>4a ，
解不等式 f′(x)<0 ，可得 0所以 f(x) 在 (−∞,0) 单调递增，在 0,4a 单调递减，在 4a,+∞ 单调递增，
又因为 f(0)=2>0 ，所以 f(x) 在 (−∞,0) 存在零点 x0 ，
若 f(x) 存在唯一的零点 x0 ，且 x0<0 ，则 f4a>0 ，
可得 64a2−96a2+2>0 ，即 a2>16 ，解得 a<−4 或 a>4 ，所以 a>4 ，
综上， a>4 ．
法二：依题意知方程 ax3−6x2+2=0 有唯一的负根，
即 a=6x−2x3 有唯一负根，
所以 y=a 与 y=6x−2x3 的图象有唯一交点且位于 y 轴左侧，
令 t=1x ，则 t≠0 ， g(t)=−2t3+6t ， g′(t)=−6t2+6=−6(t+1)(t−1)，
解不等式 g′(t)>0 ，可得 −1解不等式 g′(t)<0 ，可得 t<−1 或 t>1 ，
所以 g(t) 在 −∞,−1 单调递减，在 −1,0 ， 0,1 单调递增，在 1,+∞ 单调递减，
所以 a>g(1) ，
又 g1=4 ，所以 a>4 ．

【解析】本题考查利用导数研究函数的零点，利用导数求函数的最值，属于中档题．
(1)当 a=1 时， f(x)=x3−6x2+2 ，根据导数求得函数的单调性，进而求得函数的最大值，得到答案；
(2)法一：求得 f′x=3xax−4 ，分 a=0 、 a<0 、 a>0 讨论求得函数的单调区间，结合题意和函数零点的概念可求解；法二：由已知得 a=6x−2x3 有唯一负根，转化为 y=a 与 y=6x−2x3 的图象有唯一交点且位于 y 轴左侧，利用导数判断单调性结合函数零点的概念可得答案．
21.【答案】解：(1)(ⅰ)记“采用单次传输方案，依次发送 1 ， 0 ， 1 ，依次收到 1 ， 0 ， 1 ”为事件 A ，
则 PA=1−131−121−13=29 ．
(ⅱ)记“采用三次传输方案，发送 1 ，译码为 1 ”为事件 B ，
则 PB=1−133+C321−132×13=2027 ；
(2)记“发送 0 ，采用三次传输方案译码为 0 ”为事件 C ，
记“发送 0 ，采用单次传输方案译码为 0 ”为事件 D ，
则 PC=1−α3+C321−α2α=1−α21+2α ，
PD=1−α ，所以 1−α21+2α>1−α ，
因为 0<α<1 ，整理得 2α2−α<0 ，
解得 0<α<12 ．

【解析】本题考查相互独立事件的概率乘法公式，属于中档题．
(1)(ⅰ)记“采用单次传输方案，依次发送 1 ， 0 ， 1 ，依次收到 1 ， 0 ， 1 ”为事件 A ，利用相互独立事件的概率乘法公式计算可得 PA ；
(ⅱ)记“采用三次传输方案，发送 1 ，译码为 1 ”为事件 B ，利用相互独立事件的概率乘法公式计算可得 PB ；
(2)记“发送 0 ，采用三次传输方案译码为 0 ”为事件 C ，记“发送 0 ，采用单次传输方案译码为 0 ”为事件 D ，求出 PC 、 PD ，利用 PC> PD 可得答案．
22.【答案】解：(1)法一： f′(x)=1x⋅x−a−lnx(x−a)2=1−ax−lnx(x−a)2 ，
若函数 f(x) 在 (0,a) 上单调递减，则 f′(x)≤0 对任意 x∈0,a 恒成立，
即 1−ax−lnx≤0 对任意 x∈0,a 恒成立，
令 φ(x)=1−ax−lnx ， x∈0,a ，
因为 φ′(x)=ax2−1x=a−xx2>0 ，所以 φ(x) 在 0,a 上单调递增，
所以 φ(x)<φ(a)=−lna≤0 ，解得a≥1
所以实数a的取值范围为1,+∞ ．
法二： f′(x)=1x⋅x−a−lnx(x−a)2=1−ax−lnx(x−a)2 ，
若函数 f(x) 在 (0,a) 上单调递减，则 f′(x)≤0 对任意 x∈0,a 恒成立，
即 1−ax−lnx≤0 对任意 x∈0,a 恒成立，
所以 a≥x−xlnx 对任意 x∈0,a 恒成立，
令 g(x)=x−xlnx ， x∈(0,a) ，则 g′(x)=−lnx ，
可得 g(x) 在 0,1 上单调递增，在 1,+∞ 上单调递减，
①当 0所以 a≥g(a) ，可得 a≥a−alna ，解得 a≥1 ，
所以 a=1 ；
②当 a>1 时， g(x) 在 0,1 上单调递增，在 1,a 上单调递减，
所以 g(x)max=g(1)=1 ，所以 a≥1 ，所以 a>1 ．
综上，实数a的取值范围为1,+∞ ．
(2)(ⅰ) f′(x)=1−ax−lnx(x−a)2 ，令 h(x)=1−ax−lnx ，若 f(x) 存在两个极值点 x1 ， x2 ，
则 x1 ， x2 为 h(x) 的两个变号零点， h′(x)=−x+ax2 ，
①当 a≤0 时， h ′(x)<0 ， h(x) 在 0,+∞ 单调递减，
所以 h(x) 不可能存在两个变号零点，不合题意；
②当 a>0 时，可得 h(x) 在 0,a 上单调递增，在 a,+∞ 上单调递减，
若 h(x) 存在 两个变号零点，则 h(a)>0 ，解得 0又 h(a22)=1−aa22−lna22=1−2a−lna22 ，令 m(a)=1−2a−lna22 ，
当 00 ，
所以 m(a) 在 0,1 上单调递增，
所以 h(a22)=m(a)又 h(e)=1−ae−1=−ae<0 ，
所以当 0所以实数a的取值范围为0,1．
(ⅱ)不妨设 x1要证 x1+x2>2a ，即证 x2>2a−x1 ，
因为 2a−x1>a ， x2>a ， h(x) 在 a,+∞ 上单调递减，
即证 h(x2)即证 h(x1)令 k(x)=h(x)−h(2a−x) ， x∈0,a ，
k′(x)=h′(x)+h′(2a−x) ，
所以 k′(x)=−x+ax2+a+x−2a(2a−x)2=(x−a)(−1x2+1(x−2a)2)=4a(x−a)2x2(x−2a)2 >0 ，
所以 k(x) 在 (0,a) 上单调递增，
所以 k(x)即 h(x1)综上， x1+x2>2a ．

【解析】本题考查利用导数由函数的单调性求参，考查利用导数证明不等式，考查利用导数根据极值点求参，属于难题．
(1)利用多次求导的方法或分离参数法，结合导数求得 a 的取值范围．
(2)(ⅰ)利用多次求导的方法，结合对 a 进行分类讨论，由此来求得 a 的取值范围．
(ⅱ)转化要证明的不等式，利用构造函数法，结合导数来证得不等式成立．
男生/人
女生/人
有自主创业打算
16
m
无自主创业打算
64
n
α
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
xα
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
一分钟跳绳等级
六年级男生
六年级女生
优秀
147及以上
152及以上
良好
135−146
136−151
及格
65−134
66−135
不及格
64及以下
65及以下
男生/次
150
132
160
122
152
111
154
98
158
157
女生/次
151
162
143
100
168
166
158
170
122
100
X
0
1
2
3
P
110
720
25
320