天津市第一中学滨海学校2023-2024学年高一下学期第二次月考数学试题

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1．如图，在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，则复数z1•z2的虚部为（ ）
A．﹣iB．﹣1C．﹣3iD．﹣3
【解答】解：如图，在复平面内，复数z1，z2对应的点分别为Z1，Z2，
则Z1＝1+2i，Z2＝﹣2+i，
∴复数z1•z2＝（1+2i）（﹣2+i）＝﹣2﹣4i+i+2i2＝﹣4﹣3i，
∴复数z1•z2的虚部为﹣3．
故选：D．
2．采用简单随机抽样的方法，从含有5个个体的总体中抽取一个容量为2的样本，某个个体被抽到的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根据抽样原理知，每个个体被抽到的概率是相等的，
所以所求的概率值为P＝．
故选：D．
3．某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生800人，现在要用分层随机抽样的方法从三个年级中抽取m人参加表演，若高二年级被抽取的人数为20，则m＝（ ）
A．50B．60C．64D．75
【解答】解：根据分层随机抽样中抽取比例相同，
得＝，解得m＝60．
故选：B．
4．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ）
A．若m∥α，m∥β，α∩β＝n，则m∥n
B．若m∥n，n⊂α，则m∥α
C．若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β
D．若m⊥α，m⊥n，则n⊥α
【解答】解：对于A，若m∥α，m∥β，过m作平面与α，β分别交于直线a，b，
由线面平行的性质得m∥a，m∥b，
所以a∥b，
又b⊂β，a⊄β，
所以a∥β，
又n⊂α，α∩β＝n，
所以a∥n，
所以m∥n．故A正确；
对于B，若m∥n，n⊂α，则m∥α或m⊂a，故B错误；
对于C，由面面垂直的性质定理得当m⊂a时，m⊥β，否则可能不成立，故C错误；
对于D，若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n⊂α，故D错误．
故选：A．
5．为激发中学生对天文学的兴趣，某校举办了“2022～2023学年中学生天文知识竞赛”，并随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（ ）
A．直方图中x的值为0.035
B．估计全校学生的平均成绩不低于80分
C．估计全校学生成绩的样本数据的60百分位数约为60分
D．在被抽取的学生中，成绩在区间[60，70）的学生数为10
【解答】解：对于A，因为（0.005+0.010+0.015+x+0.040）×10＝1，
所以x＝0.03，故A错误；
对于B，估计全校学生的平均成绩为55×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4＝84＞80，故B正确；
对于C，因为0.05+0.1+0.15+0.3＝0.6，所以估计全校学生成绩的样本数据的60百分位数约为90分，故C错误；
对于D，在被抽取的学生中，成绩在区间[60，70）的学生数为0.010×10×200＝20，故D错误．
故选：B．
6．抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况，“既有正面向上，也有反面向上”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：抛掷三枚质地均匀的硬币，观察它们落地时朝上的面的情况：
（正，正，正），（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），
（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），（反，反，反），
共有8种不同的结果，
既有正面向上，也有反面向上情况：
（正，正，反），（正，反，正），（反，正，正），
（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），
有6种不同的结果，
所以，既有正面向上，也有反面向上的概率为．
故选：D．
7．如图，在直三棱柱ABD﹣A1B1D1中，AB＝AD＝AA1，∠ABD＝45°，P为B1D1的中点，则直线PB与AD1所成的角为（ ）
A．30°B．45°C．60°D．90°
【解答】解：取BD中点E，连接ED1，AE，
直三棱柱ABD﹣A1B1D1中，AB＝AD＝AA1，∠ABD＝45°，P为B1D1的中点，
∴PD1∥BE，PD1＝BE，∴四边形BED1P是平行四边形，
∴PB∥D1E，∴∠AD1E是直线PB与AD1所成的角（或所成角的补角），
令AB＝AD＝AA1＝2，则∠ADB＝45°，且AE⊥BD，∴AE＝，
∵AD1＝2，D1E＝，
∴cs∠AD1E＝＝，
∵∠AD1E∈（0，π），∴∠AD1E＝，
∴直线PB与AD1所成的角为．
故选：A．
8．已知向量，则向量在向量方向上的投影向量是（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：因为向量，
所以向量在向量方向上的投影向量是．
故选：A．
9．从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）
A．“至少有1个红球”与“都是黑球”
B．“恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”
C．“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”
D．“都是红球”与“都是黑球”
【解答】解：从装有2个红球和2个黑球的袋子内任取2个球，
对于A，“至少有1个红球”与“都是黑球”是对立事件，故A错误；
对于B，恰好有1个红球”与“恰好有1个黑球”能同时发生，不是互斥事件，故B错误；
对于C，“至少有1个黑球”与“至少有1个红球”，能同时发生，不是互斥事件，故C错误；
对于D，“都是红球”与“都是黑球”不能同时发生，但能同时不发生，是互斥而不对立的两个事件，故D正确．
故选：D．
10．若数据x1+m、x2+m、⋯、xn+m的平均数是5，方差是4，数据3x1+1、3x2+1、⋯、3xn+1的平均数是10，标准差是s，则下列结论正确的是（ ）
A．m＝2，s＝6B．m＝2，s＝36C．m＝4，s＝6D．m＝4，s＝36
【解答】解：根据题意，设数据x1、x2、⋯、xn的平均数为，标准差为σ，
数据3x1+1、3x2+1、⋯、3xn+1的平均数是10，
则，可得，
而数据x1+m、x2+m、⋯、xn+m的平均数是5，
则有，可得m＝2，
由方差公式可得
＝，
＝，解得s＝6．
故选：A．
11．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，下列说法中不正确的是（ ）
A．a＝2，A＝30°，则△ABC的外接圆半径是2
B．在锐角△ABC中，一定有sinA＞csB
C．若acsA＝bcsB，则△ABC一定是等腰直角三角形
D．若sinBcsA＞sinC，则△ABC一定是钝角三角形
【解答】解：对于A，在△ABC中，设△ABC的外接圆半径是R，
则根据正弦定理可得，故A正确；
对于B，若△ABC为锐角三角形，可得且，
可得，且，
根据正弦函数的单调性，可得，
所以sinA＞csB，故B正确；
对于C：因为acsA＝bcsB，由正弦定理得：sinAcsA＝sinBcsB，所以sin2A＝sin2B，
因为A，B为△ABC的内角，所以2A＝2B或2A+2B＝π，
所以A＝B或，
所以△ABC是等腰三角形或直角三角形，故C错误；
对于D，若sinBcsA＞sinC，则sinBcsA＞sin（A+B）＝sinAcsB+csAsinB，
所以sinAcsB＜0，又sinA＞0，所以csB＜0，
则△ABC一定是钝角三角形，故D正确．
故选：C．
12．已知正四棱锥P﹣ABCD的侧棱长为2，且二面角P﹣AB﹣C的正切值为，则它的外接球表面积为（ ）
A．B．6πC．8πD．
【解答】解：设正方形ABCD中心为O，取AB中点H，连接PO、PH、OH，
则PH⊥AB，OH⊥AB，PO⊥平面ABCD，
所以∠PHO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，即，
设正方形ABCD的边长为a（a＞0），则，
又，PA＝2，
所以PO2+AO2＝PA2，
即，解得或a＝﹣（负值舍去），
则，AO＝1，设球心为G，则球心在直线PO上，
设球的半径为R，
则，解得，
所以外接球的表面积．
故选：A．
二．多选题（共1小题）
（多选）13．在棱长为1正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P为线段CC1上异于端点的动点，（ ）
A．三角形D1BP面积的最小值为
B．直线D1B与DP所成角的余弦值的取值范围为
C．二面角A1﹣BD﹣P的正弦值的取值范围为
D．过点P作平面α，使得正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的取值范围为
【解答】解：对于A，要使三角形D1BP面积的最小，即要使得P到直线BD1距离最小，
这最小距离就是异面直线CC1和BD1的距离，也就是直线CC1到平面BDD1B1的距离，等于C到BD的距离为．
由于，∴三角形D1BP面积的最小值为，故A正确；
对于B，先证明一个引理：直线a在平面M中的射影直线为b，平面M中的直线c，
直线a，b，c所成的角的余弦值满足三余弦定理，直线a，b的角为α，直线b，c的角为β，直线a，c的角为γ，则csγ＝csαcsβ．
证明：如上图，在平面M内任意取一点O为原点，取两条射线分别为x，y轴，得到坐标平面xOy，
然后从O作与平面M垂直的射线作为z轴，建立空间直角坐标系，
设直线a的方向向量为（x1，y1，z1），则（x1，y1，0）为射影直线b的方向向量，
设直线c的方向向量坐标为（x2，y2，0），则，
，
∴，
＝，引理得证．
如上图所示，根据正方体的性质可知BD1在平面DC1中的射影为CD1，
设BD1与CD1所成的角为，
设直线DP与直线CD1所成的角为．
设直线D1B与DP所成角为γ，
根据上面的引理，可得，故B正确；
对于C，如上图所示，设AC、BD交点为M，连接A1M，PM，
由正方体性质易知BD⊥AC，BD⊥AA1，AC∩AA1＝A，AC，AA1⊂平面ACC1A1
∴BD⊥平面ACC1A1，故BD⊥A1M，BD⊥MP，∠A1MP为二面角A1﹣BD﹣P的平面角，
当P与C1重合时，∠A1MC1＝π﹣2∠A1MA，，
∴，∴，
P在C1C上从下往上移动时，∠A1MC1逐渐变大，
∠A1MC1是可以是直角，其正弦值为1，故C错误；
对于D，因为过正方体顶点与各棱所成的角都相等的直线是体对角线所在的直线，
∴过点P的平面与各棱所成的角相等必须且只需与某一条体对角线垂直，
过P与对角线BD1垂直的截面中，
当P为CC1中点时取得最大值，是一个边长为的正六边形，
如图所示，面积为，
不在区间内，故D不正确．
故选：AB．
三．填空题（共7小题）
14．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则b＝ ．
【解答】解：由正弦定理，即，解得．
故答案为：．
15．将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为a，b，则事件“|a﹣b|≤1”的概率为 ．
【解答】解：将一枚质地均匀的骰子连续抛掷2次，向上的点数分别记为a，b，
基本事件总数n＝6×6＝36，
事件“|a﹣b|≤1”包含的基本事件（a，b）有15个，分别为：
（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），（2，3），（3，2），（3，3），（3，4），（4，3），（4，4），（4，5），（5，4），（5，5），（5，6），（6，5），（6，6），
则事件“|a﹣b|≤1”的概率为P＝＝．
故答案为：．
16．某射击运动员在一次射击测试中，射靶10次，每次命中的环数如下：7，5，9，8，9，6，7，10，4，7，记这组数的众数为M，第75百分位数为N，则M+N＝ 16 ．
【解答】解：由已知数据可得众数为7，即M＝7，
将10个数据按从小到大排列可得4，5，6，7，7，7，8，9，9，10，
因为10×75%＝7.5，
所以第75百分位数为从小到大排列的第8个数，所以N＝9，
所以M+N＝7+9＝16，
故答案为：16．
17．在梯形ABCD中，AB∥DC，DC＝2AB，E为AD中点，若，则λ+μ＝ ．
【解答】解：因为AB∥DC，DC＝2AB，E为AD中点，
所以＝＝（+）＝﹣＝
若，
则λ＝﹣，μ＝﹣2，
所以λ+μ＝﹣．
故答案为：．
18．已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是，，1，则此三棱锥的外接球的体积为 ；此三棱锥的内切球的表面积为 ．
【解答】解：①已知三棱锥的三个侧面两两垂直，且三个侧面的面积分别是，，1，
如图所示：
即，S△BOC＝1，
故AO，BO，CO两两垂直；
所以BO＝CO，
故，整理得CO＝BO＝，
所以，解得AO＝，
所以三棱锥的外接球的半径满足，解得，即R＝，
故．
②首先利用OC＝OB＝，OA＝，
利用勾股定理，BC＝2，
所以，
利用等体积转换法，设内切球的半径为r，
所以，解得，
故．
19．如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱长为1，底面ABC为直角三角形，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°．则二面角B1﹣AC﹣B的大小为 45° ；点A到平面BCC1B1的距离等于 ．
【解答】解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵∠BAC＝90°，∴CA⊥平面ABB1A1，∴∠B1AB就是二面角B1﹣AC﹣B的平面角．
Rt△B1AB中，tan∠B1AB＝＝＝1，∴∠B1AB＝45°．
取等腰直角三角形ABC的斜边BC的中点D，则AD⊥平面BCC1B1，故AD即为所求．
故AD＝＝＝，
故答案为45°，．
20．已知非零向量与满足，且，点D是△ABC的边AB上的动点，则的最小值为 ．
【解答】解：分别表示与方向的单位向量，故所在直线为∠BAC的平分线所在直线，
又，故∠BAC的平分线与BC垂直，
由三线合一得到AB＝AC，取BC的中点E，
因为，故，
以E为坐标原点，BC所在直线为x轴，EA所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，
则，
设，，
则，
当时，取得最小值，最小值为．
故答案为：．
四．解答题（共4小题）
21．已知向量＝（1，1），＝（﹣1，2），＝（2，﹣1）．
（Ⅰ）求|++|的值；
（Ⅱ）设向量＝+2，＝﹣2，求向量与夹角的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）∵＝（1，1），＝（﹣1，2），＝（2，﹣1）．
∴，∴
（Ⅱ）设向量与的夹角为θ，
∵，
，
∴，，
∴csθ＝＝
22．经调查某市三个地区存在严重的环境污染，严重影响本地区人员的生活．相关部门立即要求务必加强环境治理，通过三个地区所有人员的努力，在一年后，环境污染问题得到了明显改善．为了解市民对城市环保的满意程度，开展了一次问卷调查，并对三个地区进行分层抽样，共抽取40名市民进行询问打分，将最终得分按[60，65），[65，70），[70，75），[75，80），[80，85），[85，90]分段，并得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值，以及此次问卷调查分数的中位数；
（2）若分数在区间[60，70）的市民视为对环保不满意的市民，从不满意的市民中随机抽出两位市民做进一步调查，求抽出的两位市民来自不同打分区间的概率．
【解答】解：（1）由题意，5×（0.010+0.020+a+0.060+0.050+0.020）＝1，
解得a＝0.040，
由0.010×5+0.020×5+0.040×5＝0.35，0.35+0.060×5＝0.65，可得此次问卷调查分数的中位数在[75，80）上，
设中位数为x，则0.35+0.06（x﹣75）＝0.5，
解得x＝77.5，
所以此次问卷调查分数的中位数为77.5；
（2）[60，65）的市民人数为0.010×5×40＝2人，
[65，70）的市民人数为0.020×5×40＝4人，
则抽出的两位市民来自不同打分区间的概率为P＝＝．
23．如图，四边形ABCD是矩形，AD＝2，DC＝1，AB⊥平面BCE，BE⊥EC，EC＝1．点F为线段BE的中点．
（I）求证：CE⊥平面ABE；
（Ⅱ）求证：DE∥平面ACF；
（Ⅲ）求AC和平面ABE所成角的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：如图，
由AB⊥平面BCE，可得AB⊥CE，
又由BE⊥EC，而AB∩BE＝B，AB⊂平面ABE，BE⊂平面ABE，
故CE⊥平面ABE；
（Ⅱ）证明：连结BD交AC于M，连结FM，由点F为线段BE的中点，
可得FM∥DE，而FM⊂平面ACF，DE⊄平面ACF，故DE∥平面ACF；
（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知，CE⊥平面ABE，∠CAE即为AC和平面ABE所成的角．
由已知，AC＝，CE＝1，
在直角三角形ACE中，可得sin∠CAE＝．
即AC和平面ABE所成角的正弦值为．
24．如图，在△ABC中，AB＝2，3acsB﹣bcsC＝ccsB，点D在线段BC上．
（Ⅰ）若∠ADC＝，求AD的长；
（Ⅱ）若BD＝2DC，△ACD的面积为，求的值．
【解答】（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵3acsB﹣bcsC＝ccsB，
∴3sinAcsB＝sinCcsB+sinBcsC，3sinAcsB＝sin（B+C），
∵B+C＝π﹣A，
∴3sinAcsB＝sinA，
∵A∈（0，π），
∴sinA＞0，．…（2分）
∵B∈（0，π），
∴．…（3分）
∵，
∴，
在△ABD中，由正弦定理得，，
∴，．…（6分）
（Ⅱ）设DC＝a，则BD＝2a，
∵BD＝2DC，△ACD的面积为，
∴，
∴，
∴a＝2．…（8分）
∴，由正弦定理可得，
∴sin∠BAD＝2sin∠ADB，，
∴，
∵sin∠ADB＝sin∠ADC，
∴．…（12分）
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