2023-2024学年天津市滨海新区田家炳中学高二上学期第二次月考数学试题含答案

这是一份2023-2024学年天津市滨海新区田家炳中学高二上学期第二次月考数学试题含答案，共13页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知向量，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用平面向量的坐标计算可得答案．
【详解】
故选：B
2．若平面α，β的法向量分别为＝(－1，2，4)，＝(x，－1，－2)，且α⊥β，则x的值为（ ）
A．10B．－10
C．D．－
【答案】B
【分析】由α⊥β，可得它们的法向量也互相垂直，从而可求出x的值
【详解】解：因为α⊥β，所以它们的法向量也互相垂直，
所以＝(－1，2，4)·(x，－1，－2)＝0，
解得x＝－10．
故选：B
3．若直线与直线互相垂直，则的值为（ ）
A．B．1C．D．2
【答案】D
【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可；
【详解】因为直线与直线互相垂直，
所以，解得；
故选：D
4．双曲线的渐近线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出、的值，即可求得双曲线的渐近线方程.
【详解】在双曲线中，，，因此，该双曲线的渐近线方程为.
故选：C.
5．圆在点处的切线方程为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】容易知道点为切点，圆心，设切线斜率为k，从而，由此即可得解.
【详解】将圆的方程化为标准方程得，
∵点在圆上，∴点P为切点．
从而圆心与点P的连线应与切线垂直．
又∵圆心为，设切线斜率为k，
∴，解得．
∴切线方程为．
故选：D.
6．直线：与圆：的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】A
【分析】根据圆心到直线的距离判断即可.
【详解】圆：的圆心，半径，
故圆心到直线的距离，
所以直线与圆相交，
故选：A
7．若抛物线上一点到焦点的距离为5，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】设，由抛物线的方程 可得准线方程为，由抛物线的性质到焦点的距离等于到准线的距离，求出，解出纵坐标，进而求出．
【详解】由题意可得 ，
解得，
代入抛物线的方程，解得 ，
所以的坐标 ，
故选：C.
8．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
【答案】B
【分析】根据渐近线方程可得，再由可求得结果.
【详解】因为双曲线的一条渐近线方程为，
所以，
所以双曲线的离心率为，
故选：B
9．设直线与直线的交点为P，则P到直线的距离为（ ）．
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先联立直线方程求出点P坐标，再利用点到直线的距离公式计算即可.
【详解】联立两直线方程，即，
由点到直线的距离公式可得P到直线的距离为.
故选：D
10．已知椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，且，则的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由已知结合椭圆定义求得，再由隐含条件求得，利用勾股定理可得是以为斜边的直角三角形，则的面积可求．
【详解】在椭圆中，，，，则，
，，，
在中，，则是以为斜边的直角三角形，
则的面积为：．
故选：A．
【点睛】方法点睛：椭圆中的焦点三角形：
椭圆上一点与椭圆的两个焦点、构成的称为焦点三角形，在处理椭圆中的焦点三角形问题时，可结合椭圆的定义以及三角形中的有关定理和公式（如正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式等）来求解.
二、填空题
11．抛物线：的焦点坐标为 ；准线方程为 .
【答案】
【分析】直接根据抛物线方程求出求焦点坐标和准线方程即可.
【详解】抛物线：开口向上，，
所以焦点坐标为，准线方程为，
故答案为：，.
12．双曲线的焦点坐标为 ；顶点坐标为 ；实轴长为 ；虚轴长为 ；渐近线方程为 .
【答案】
【分析】由双曲线的几何性质求解.
【详解】可知双曲线的焦点在轴上，，
所以焦点坐标为，顶点坐标为，
实轴长为，虚轴长为，
渐近线方程为.
故答案为：；；；；
13．若圆与直线x＋y＋1＝0相交于A、B两点，则弦的长为 .
【答案】
【分析】确定圆心和半径，计算圆心到直线的距离为，再根据弦长公式计算得到答案.
【详解】圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，
故.
故答案为：
14．已知圆：，圆：，圆与圆的位置关系是 .
【答案】外切
【分析】求出两圆的圆心和半径，根据圆心距等于两半径之和得到答案.
【详解】圆：的圆心为，半径为2，
圆：变形为，
圆心为，半径为3，
故，
故圆与圆相外切.
故答案为：外切
15．双曲线离心率为，其中一个焦点与抛物线的焦点重合，则的值为 .
【答案】
【分析】根据抛物线焦点确定双曲线焦点得出双曲线的半焦距，利用离心率即可得解.
【详解】因为抛物线的焦点为，
所以为双曲线的一个焦点，
所以，又双曲线的离心率为，
所以，解得，
故答案为：
16．椭圆上一点到左焦点的距离为2，是的中点，则等于
【答案】
【详解】试题分析：根据椭圆的定义：,所以,是中点，是的中点，所以．
【解析】1．椭圆的定义；2．椭圆的几何意义．
17．已知直线：和圆：.求与直线垂直且经过圆心的直线方程 .
【答案】
【分析】根据直线垂直设所求直线，再由直线过圆心即可得解.
【详解】由所求直线与直线：垂直，
故设所求直线方程为，
又圆：的圆心为，
故，
解得.
故所求直线方程为，
故答案为：
18．如图，在三棱锥中，D是的中点，若，，，则等于 .
【答案】
【分析】直接利用向量的几何运算结合平行四边形法则可得答案.
【详解】由图可得.
故答案为：.
三、解答题
19．在四棱锥中，底面，且，四边形是直角梯形，且，，，，为中点，在线段上，且.
(1)求证：平面；
(2)求直线与直线所夹角的余弦值；
(3)求点到平面的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【分析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量为，得到，进而证得平面；
（2）由（1）中的空间直角坐标，求得，，结合向量的夹角公式，即可求解；
（3）求得平面的法向量和向量，结合向量的距离公式，即可求解.
【详解】（1）以为坐标原点，以所在的直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
则，
因为底面，底面，所以，
又因为，，且平面，所以平面，
所以平面的一个法向量为，
可得，所以，
又因为平面，所以平面.
（2）由（1）中的空间直角坐标，可得，，
设异面直线与直线所夹角为，则，
所以直线与直线所夹角的余弦值为.
（3）因为向量，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
设点到平面的距离为，可得，
即点到平面的距离为.
20．直三棱柱中，，，，为的中点，为的中点，为的中点.
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求平面与平面所成夹角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）以点为原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解；
（2）由（1）中坐标系，求得平面的一个法向量，结合向量的夹角公式，即可求解.
【详解】（1）在直三棱柱中，平面,且，，
以点为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，
如图所示，则，
可得，
设平面的一个法向量为，则，
取，可得，所以
设直线与平面所成角为，可得，
即直线与平面所成角的正弦值为.
（2）由（1）中坐标系，
设平面的法向量为，则，
取，可得，所以，
则，
由图象可得，平面与平面所成夹角为锐二面角，
所以平面与平面所成夹角的余弦值.
21．椭圆的左右焦点分别为，，其中，为原点.椭圆上任意一点到，距离之和为.
(1)求椭圆的标准方程及离心率；
(2)过点的斜率为2的直线交椭圆于A、B两点.求面积.
【答案】(1)椭圆方程为，离心率为
(2)
【分析】（1）根据椭圆定义得到，，进而求出，得到椭圆方程和离心率；
（2）直线方程为，联立椭圆方程，得到，求出，并求出点到直线的距离，计算出三角形面积.
【详解】（1）由题意得，，解得，
故，
故椭圆的标准方程为，
离心率为；
（2）直线方程为，联立得，
，解得，
故，
不妨设，
故，
点到直线的距离为，
故.
22．已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），或．
【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助，即可求出椭圆的方程；
（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点坐标，进而求出点坐标，再根据，求出直线的斜率，从而得解.
【详解】（Ⅰ）椭圆的一个顶点为，
，
由，得，
又由，得，
所以，椭圆的方程为；
（Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以，
根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，
设直线的斜率为，则直线的方程为，即，
，消去，可得，解得或.
将代入，得，
所以，点的坐标为，
因为为线段的中点，点的坐标为，
所以点的坐标为，
由，得点的坐标为，
所以，直线的斜率为，
又因为，所以，
整理得，解得或.
所以，直线的方程为或.
【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.