2022-2023学年天津市实验中学滨海学校高一下学期第二次质量调查数学试题含答案

2022-2023学年天津市实验中学滨海学校高一下学期第二次质量调查数学试题

一、单选题

1．复数的虚部为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】先利用复数的乘法化简，再利用复数的相关概念求解.

【详解】解：，

复数的虚部为．

故选：．

2．在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了560次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（    ）

A．0.56，0.56 B．0.56，0.5

C．0.5，0.5 D．0.5，0.56

【答案】B

【分析】根据频率和概率的定义求解.

【详解】某同学用一枚质地均匀的硬币做了1000次试验，发现正面朝上出现了560次，

那么出现正面朝上的频率为，

由于每次抛硬币时，正面朝上和反面朝上的机会相等，都是，

故出现正面朝上的概率为．

故选:B．

3．如图所示，观察四个几何体，其中判断正确的是（　　）

A．①是棱台 B．②是圆台 C．③是棱锥 D．④不是棱柱

【答案】C

【分析】利用几何体的结构特征进行分析判断．

【详解】对于A ，不是由棱锥截来的，所以①不是棱台，故A错误；

对于B，上、下两个面不平行，所以②不是圆台；故B错误；

对于C，底面是三角形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，所以③是棱锥，故C正确.

对于D，前、后两个面平行，其他面是平行四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以④是棱柱，故D错误.

故选：C．

4．数据7.0，8.2，8.3，8.4，8.6，8.7，9.0，9.1的30%分位数为（    ）

A．8.2 B．8.24 C．8.25 D．8.3

【答案】D

【分析】根据百分位数的知识求得正确答案.

【详解】一共个数，，

所以分位数为.

故选：D

5．已知互不重合的直线，，互不重合的平面，，，下列命题错误的是（    ）

A．若，则

B．若，则

C．若，则

D．若，则

【答案】C

【分析】利用面面平行具有传递性的性质，可判断A 选项；利用面面平行与垂直的性质，可判断B选项；利用面面平行的性质定理可判断C、D选项；

【详解】对于选项，，则，故A正确；

对于B选项，，则，故B正确；

对于选项，，则或，故C错误；

对于D选项，，根据面面平行，可证得线面平行，即，故正确.

故选：C.

6．如图，在平行四边形ABCD中，下列计算结果错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【分析】根据向量运算的几何意义，结合条件逐项分析即得.

【详解】因为四边形为平行四边形，

对A，，正确；

对B，，错误；

对C，，正确；

对D，，正确.

故选：B.

7．已知为实数，若复数为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（    ）

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

【答案】D

【分析】利用纯虚数的定义求出a，即可判断作答.

【详解】因为复数为纯虚数，则，解得，

所以复数在复平面内对应的点位于第四象限.

故选：D

8．一个圆锥的侧面展开的扇形面积是底面圆面积的2倍，若该圆锥的体积为，则该圆锥的母线长为（    ）

A．3 B． C．6 D．

【答案】C

【分析】设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，根据圆锥侧面积与圆的面积关系可得，由勾股定理可得，结合圆锥的体积公式计算即可求解.

【详解】设圆锥的底面圆半径为r，高为h，母线长为l，

则圆锥侧面展开的扇形面积为，底面圆面积为，

因为，所以，得，

所以圆锥的体积为，

解得，所以，即圆锥的母线长为6.

故选：C.

9．经过计算，某统计小组得到三组数据（每组数据均由10个数组成，每个数对应运动员一次百米短跑的时间，单位：s）对应的平均数与方差：第一组数据的平均数和方差分别为12，8，第二组数据的平均数和方差分别为15，10，第三组数据的平均数和方差分别为14，16．下列结论正确的是（    ）

A．从数据的波动情况看，第三组数据的波动最小

B．从数据的平均水平看，第二组数据的成绩最好

C．从数据的波动情况看，第一组数据的波动最大

D．从数据的平均水平看，第一组数据的成绩最好

【答案】D

【分析】由平均数与方差的实际意义判断即可．

【详解】因为百米短跑的时间越短，成绩越好，所以从数据的平均水平看，第一组数据的成绩最好故B错误，D正确；

方差越大，数据的波动越大，方差越小，数据的波动越小，所以从数据的波动情况看，第三组数据的波动最大，第一组数据的波动最小，故A和C错误，

故选：D．

10．某图书馆统计了某个月前8天纸质图书的借阅情况，整理数据得到如下折线图．根据折线图，下列结论正确的是（    ）

A．这8天里，每天图书借出数的极差大于50

B．这8天里，每天图书借出数的平均数大于105

C．这8天里，每天图书借出数的中位数大于101

D．前4天图书借出数的方差小于后4天图书借出数的方差

【答案】C

【分析】利用折线图求出极差、平均数、中位数判断A、B、C；应用方差的求法分别求出前4天、后4天图书借出数方差判断D.

【详解】A：每天图书借出数的极差为，错；

B：每天图书借出数的平均数，错；

C：由数据从小到大排序为，则中位数为，对；

D：前4天平均数，则方差为，

后4天平均数，则方差为，

所以前4天图书借出数的方差大于后4天图书借出数的方差，错.

故选：C

11．已知中，设角、B、C所对的边分别为a、b、c，的面积为，若，则的值为（    ）

A． B． C．1 D．2

【答案】B

【分析】首先根据正弦定理将等式中的角转化成边得：，通过余弦定理可将等式化简整理为，通过三角函数图像可知，同时通过基本不等式可知，即得，通过取等条件可知，，将其代入问题中即可求解答案.

【详解】已知

由正弦定理可知：，

，

整理得：，

两边同除得：，

根据余弦定理得：，即，

，，，当且仅当，即时等号成立.

又，当且仅当时，等号成立.

综上所述：且，

故得：，此时且，

，.

故选：B

12．在四棱锥中，底面ABCD是矩形，，，平面平面ABCD，点M在线段PC上运动（不含端点），则下列说法正确的个数为（    ）

①存在点M使得

②四棱锥外接球的表面积为

③直线PC与直线AD所成角为

④当动点M到直线BD的距离最小时，过点A，D，M作截面交PB于点N，则四棱锥的体积是

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】C

【分析】取的中点，证明平面，然后由线面垂直的性质定理判断①；把四棱锥补形成一个如图2的正方体，根据正方体的性质判断②，③；由平面，当动点到直线的距离最小时，从而得为的中点，为的中点，再由体积公式计算后判断④．

【详解】如图1，取的中点，连接，，，，则，

平面平面，平面平面，平面，

平面，平面，则．

又，，

又，，平面，平面．

平面，平面，不成立，①错误．

为等腰直角三角形，将四棱锥的侧面作为底面一部分，补成棱长为1的正方体．

如图2，则四棱锥的外接球即为正方体的外接球，其半径，即四棱锥外接球的表面积为，②正确．

如图2，直线与直线所成角即为直线与直线所成角，为，③正确．

如图1，平面，当动点到直线的距离最小时，

由上推导知，，，，，，，

因此为的中点．如图3，由为的中点，即为中点，

平面即平面与的交点也即为与的交点，可知为的中点，

故，④正确，

综上，说法正确的个数为个.

故选：C．

二、填空题

13．已知数（为虚数单位），且的共轭复数为，则          ．

【答案】

【分析】根据复数模长的性质求解

【详解】由得，所以，即，所以.

故答案为：

14．已知非零向量 满足，且向量在向量方向的投影向量是，则向量与的夹角是        .

【答案】

【分析】由垂直关系得出，由向量在向量方向的投影向量得出，由两式得出，进而得出夹角.

【详解】因为，所以，即①.

因为向量在向量方向的投影向量是，

所以.所以②，

将①代入②得，，又，所以.

故答案为：

15．甲、乙两人各进行一次投篮，两人投中的概率分别为，已知两人的投中互为独立事件，则两人中至少有一个人投中的概率为          ．

【答案】0.9/

【分析】由条件计算两人都没有投中的概率，再得两人至少有一人投中的概率.

【详解】由题，两人都没有投中的概率为，

所以两人中至少有一个人投中的概率.

故答案为：0.9.

16．在正三棱锥中，，则该三棱锥外接球的表面积为      .

【答案】

【分析】画出正三棱锥，设出球心，由勾股定理建立等量关系求得外接球半径，由球的表面积公式求解即可.

【详解】如图：在正三棱锥，.

在等边三角形中，为中点，，

所以，在直角三角形中，

，设三棱锥外接球半径为，

在直角三角形中，，.

由勾股定理得：，解得：，

所以该三棱锥外接球的表面积为：.

故答案为：.

17．如图，在中，已知，点D，E分别在边AB，AC上，且 ，点F为线段DE上的动点，则的取值范围是        ．

【答案】

【分析】设，以为基底，将分别用表示，再结合数量积的运算律把用表示，再结合二次函数的性质即可得解.

【详解】因为，

所以，

设，

则

，

，

则

，

对于，其开口向上，对称轴为，

所以在上单调递减，在上单调递增，

当时，取得最大值，

当时，取得最小值，

所以的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】关键点睛：本题考查了平面向量的线性运算及数量积的运算，以为基底，将分别用表示，是解决本题的关键.

三、双空题

18．某校为落实党的二十大精神，开展了形式灵活的学习活动，统计了全校教师在一周内学习的累计时长（单位：小时），根据时长数据得到下面的频率分布直方图，则          ；估计该校教师学习累计时长的平均值为          ．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．

【答案】     0.100     9.6

【分析】利用频率之和为1可解决，利用直方图平均数的计算方式即可求该校教师学习累计时长的平均值

【详解】由图可知，，所以．

该校教师学习累计时长的平均值的估计值为

故答案为：；

四、解答题

19．袋中有大小、形状相同的白球、黑球各一个，现有放回地随机摸取3次，每次摸取一个球.

（1）试问：一共有多少种不同的结果？请列出所有可能的结果；

（2）若摸到白球时得1分，摸到黑球时得2分，求3次摸球所得总分大于4分的概率.

【答案】（1）一共有8种不同的结果；结果见解析； （2）

【分析】（1）由分步计数原理知这个过程一共有8个结果，按照一定的顺序列举出所有的事件，顺序可以是按照白球的个数由多变少变化，这样可以做到不重不漏．

（2）本题是一个等可能事件的概率，由前面可知试验发生的所有事件数，而满足条件的事件包含的基本事件为:(黑、黑、黑)、(白、黑、黑)、(黑、白、黑)、(黑、黑、白)，根据古典概型公式得到结果．

【详解】（1）一共有8种不同的结果，列举如下:

(白、白、白)、(白、白、黑)、(白、黑、白)、(白、黑、黑)、(黑、白、白)、(黑、白、黑)、(黑、黑、白)、(黑、黑、黑)

（2）本题是一个等可能事件的概率

记"3次摸球所得总分大于4分"为事件A

事件A包含的基本事件为:(黑、黑、黑)、(白、黑、黑)、(黑、白、黑)、(黑、黑、白)事件A包含的基本事件数为4

由（1）可知，基本事件总数为8，

∴事件A的概率为.

【点睛】本题考查古典概型，属于基础题.

20．如图，正方体的棱长为1，点分别为中点．

（1）求证：平面;

（2）求证：平面．

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．

【分析】（1）利用线面平行的判定定理证明即可；

（2）利用线面垂直的判定定理证明即可．

【详解】（1）点分别为中点，

．

平面，

平面．

平面．

（2）连接，在正方体中，，

又平面，

．

，

平面．

在平面中，易得，

平面．

21．已知的角A，B，C所对的边分别为a，b，c且，．

（1）若，求、的值；

（2）若的面积，求b，c的值．

【答案】（1）；；（2），．

【解析】（1）由，且，可得．再利用正弦定理即可得出．

（2）由，解得，再利用余弦定理即可得出．

【详解】（1），且，．

由正弦定理得，．

（2），．

由余弦定理得，．

【点睛】本题考查了三角形面积计算公式、正弦定理余弦定理、同角三角函数基本关系式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

22．四棱锥的底面ABCD是边长为a的菱形，面ABCD，，分别是的中点．

（1）求证：平面PAB；

（2）是PB上的动点，EM与平面PAB所成的最大角为，求的值．

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】（1）由已知可得都是等边三角形，进而得到，然后结合平面，利用线面垂直的定义和判定定理即可证明；

（2）由（1）的结论，确定为直线EM与平面PAB所成的线面角，且易知当AM最小，即时，P取得最大值，然后在有关直角三角形计算可得.

【详解】解：如图，连接AC.

由题意，四边形ABCD是边长为a的菱形，，

都是等边三角形，

又为CD的中点，

故，

故．

又平面，面

故

又，

故EA平面PAB；

 连结AM，

则根据平面PAB可知为直线EM与平面PAB所成的线面角，

所以在中， ，

所以当AM最小，即时，P取得最大值，

此时，

设，则有，解得．

即，即．

【点睛】本题考查线面垂直的证明，线面所成的角的有关问题，属基础题.