人教版高中数学选择性必修第二册 导数的四则运算法则 分层作业(含解析)

这是一份人教版高中数学选择性必修第二册 导数的四则运算法则 分层作业(含解析)，共8页。试卷主要包含了已知f＝x3－3x，则f′＝，函数y＝eq \f的导数是，下列运算正确的是等内容，欢迎下载使用。

eq \f(基础对点练,基础考点 分组训练)
知识点1 利用导数的加法与减法法则求导
1．(5分)已知f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝( )
A．3x2－3x
B．3x2－3xln 3＋eq \f(1,3)
C．3x2＋3xln 3
D．3x2－3xln 3
2．(5分)已知f(x)＝sinx－csx，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝( )
A．0 B．eq \f(\r(3)－1,2)
C．eq \f(\r(3)＋1,2) D．1
3．(5分)曲线f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(3π,4)
C．eq \f(π,4) D．eq \f(π,3)
4．(5分)曲线y＝2sinx＋csx在点(π，－1)处的切线方程为( )
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
5．(5分)函数y＝eq \f(1,2)(ex＋e－x)的导数是( )
A．eq \f(1,2)(ex－e－x) B．eq \f(1,2)(ex＋e－x)
C．ex－e－x D．ex＋e－x
知识点2 利用导数的乘法与除法法则求导
6．(5分)下列运算正确的是( )
A．(ax2－bx＋c)′＝a(x2)′＋b(－x)′
B．(sinx＋2x2)′＝(sinx)′＋2′(x2)′
C．(csx·sinx)′＝(sinx)′csx＋(csx)′csx
D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,x2)))′＝eq \f(cs x′－x2′,x2)
7．(5分)函数y＝eq \f(cs x,1－x)的导数是( )
A．eq \f(－sin x＋xsin x,1－x2)
B．eq \f(xsin x－sin x－cs x,1－x2)
C．eq \f(cs x－sin x＋xsin x,1－x2)
D．eq \f(cs x－sin x＋xsin x,1－x)
8．(5分)函数y＝eq \f(x2＋a2,x)(a>0)的导数为0，那么x等于( )
A．a B．±a
C．－a D．a2
9.(5分)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．
eq \f(能力提升练,能力考点 适度提升)
10.(5分)若函数f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为( )

A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
11．(5分)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
12．(5分)曲线y＝xsinx在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为 ( )
A．eq \f(π2,2) B．π2
C．2π2 D．eq \f(1,2)(2＋π)2
13.(5分)曲线f(x)＝eq \f(x,2x－1)在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．
14.(5分)已知曲线y1＝2－eq \f(1,x)与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.
15.(5分)已知函数f(x)＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))csx＋sinx，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值为________．
16.(5分)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
17.(10分)求下列函数的导数：
(1)y＝3eq \r(x)－x3；
(2)y＝sinx－2x2；
(3)y＝csx·ln x；
(4)y＝eq \f(ex,sin x).
18.(10分)已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求g(4)．
人教版高中数学选择性必修第二册 导数的四则运算法则 分层作业(解析版)
(60分钟 100分)
eq \f(基础对点练,基础考点 分组训练)
知识点1 利用导数的加法与减法法则求导
1．(5分)已知f(x)＝x3－3x，则f′(x)＝( )
A．3x2－3x
B．3x2－3xln 3＋eq \f(1,3)
C．3x2＋3xln 3
D．3x2－3xln 3
D 解析：∵f(x)＝x3－3x，∴f′(x)＝3x2－3xln 3.
2．(5分)已知f(x)＝sinx－csx，则f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝( )
A．0 B．eq \f(\r(3)－1,2)
C．eq \f(\r(3)＋1,2) D．1
C 解析：∵f′(x)＝csx＋sinx，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)))＝cseq \f(π,3)＋sineq \f(π,3)＝eq \f(1,2)＋eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3)＋1,2).
3．(5分)曲线f(x)＝eq \f(1,3)x3－x2＋5在x＝1处的切线的倾斜角为( )
A．eq \f(π,6) B．eq \f(3π,4)
C．eq \f(π,4) D．eq \f(π,3)
B 解析：f′(x)＝x2－2x，k＝f′(1)＝－1，故切线的倾斜角为eq \f(3π,4).
4．(5分)曲线y＝2sinx＋csx在点(π，－1)处的切线方程为( )
A．x－y－π－1＝0 B．2x－y－2π－1＝0
C．2x＋y－2π＋1＝0 D．x＋y－π＋1＝0
C 解析：由y＝2sinx＋csx可得y′＝2csx－sinx，当x＝π时，y′＝－2，即切线的斜率为－2，所以切线方程为2x＋y－2π＋1＝0.
5．(5分)函数y＝eq \f(1,2)(ex＋e－x)的导数是( )
A．eq \f(1,2)(ex－e－x) B．eq \f(1,2)(ex＋e－x)
C．ex－e－x D．ex＋e－x
A 解析：y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)ex))′＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)e－x))′＝eq \f(1,2)ex－eq \f(1,2)e－x＝eq \f(1,2)(ex－e－x)．
知识点2 利用导数的乘法与除法法则求导
6．(5分)下列运算正确的是( )
A．(ax2－bx＋c)′＝a(x2)′＋b(－x)′
B．(sinx＋2x2)′＝(sinx)′＋2′(x2)′
C．(csx·sinx)′＝(sinx)′csx＋(csx)′csx
D．eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(cs x,x2)))′＝eq \f(cs x′－x2′,x2)
A 解析：根据导数的四则运算法则易知A正确．
7．(5分)函数y＝eq \f(cs x,1－x)的导数是( )
A．eq \f(－sin x＋xsin x,1－x2)
B．eq \f(xsin x－sin x－cs x,1－x2)
C．eq \f(cs x－sin x＋xsin x,1－x2)
D．eq \f(cs x－sin x＋xsin x,1－x)
C 解析：y′＝eq \f(cs x′1－x－cs x1－x′,1－x2)
＝eq \f(－sin x·1－x－cs x·－1,1－x2)
＝eq \f(cs x－sin x＋xsin x,1－x2).
8．(5分)函数y＝eq \f(x2＋a2,x)(a>0)的导数为0，那么x等于( )
A．a B．±a
C．－a D．a2
B 解析：y′＝eq \f(2x·x－x2＋a2·1,x2)＝eq \f(x2－a2,x2).由x2－a2＝0得x＝±a.
9.(5分)已知函数f(x)＝axln x，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．
3 解析：f′(x)＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ln x＋x·\f(1,x)))＝a(1＋ln x)．由于f′(1)＝a(1＋ln 1)＝a，又f′(1)＝3, 所以a＝3.
eq \f(能力提升练,能力考点 适度提升)
10.(5分)若函数f(x)＝x2－2x－4ln x，则f′(x)>0的解集为( )

A．(0，＋∞) B．(－1,0)∪(2，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－1,0)
C 解析：由题意知x>0，且f′(x)＝2x－2－eq \f(4,x)，
若f′(x)＝eq \f(2x2－2x－4,x)>0，则x2－x－2>0，
解得x<－1或x>2.又x>0，∴x>2.
11．(5分)已知曲线y＝aex＋xln x在点(1，ae)处的切线方程为y＝2x＋b，则( )
A．a＝e，b＝－1 B．a＝e，b＝1
C．a＝e－1，b＝1 D．a＝e－1，b＝－1
D 解析：令f(x)＝aex＋xln x，
则f′(x)＝aex＋ln x＋1，f′(1)＝ae＋1＝2，得a＝eq \f(1,e)＝e－1.f(1)＝ae＝2＋b, 可得b＝－1.
12．(5分)曲线y＝xsinx在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))处的切线与x轴、直线x＝π所围成的三角形的面积为 ( )
A．eq \f(π2,2) B．π2
C．2π2 D．eq \f(1,2)(2＋π)2
A 解析：曲线y＝xsinx在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(π,2)，\f(π,2)))处的切线方程为y＝－x，所围成的三角形的顶点为O(0,0)，A(π，0)，C(π，－π)，所以三角形面积为eq \f(π2,2).
13.(5分)曲线f(x)＝eq \f(x,2x－1)在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的最近距离是________．
2eq \r(2)－1 解析：f′(x)＝eq \f(－1,2x－12)，则f′(1)＝－1，
∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0，圆心(－2，0)到直线的距离d＝2eq \r(2)，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为2eq \r(2)－1.
14.(5分)已知曲线y1＝2－eq \f(1,x)与y2＝x3－x2＋2x在x＝x0处切线的斜率的乘积为3，则x0＝________.
1 解析：由题知y′1＝eq \f(1,x2)，y′2＝3x2－2x＋2，所以两曲线在x＝x0处切线的斜率分别为eq \f(1,x\\al(2,0))，3xeq \\al(2,0)－2x0＋2，所以eq \f(3x\\al(2,0)－2x0＋2,x\\al(2,0))＝3，所以x0＝1.
15.(5分)已知函数f(x)＝f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))csx＋sinx，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))的值为________．
1 解析：∵f′(x)＝－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))sinx＋csx，
∴f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝－f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))×eq \f(\r(2),2)＋eq \f(\r(2),2)，
得f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝eq \r(2)－1.
∴f(x)＝(eq \r(2)－1)cs x＋sinx.
∴feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))＝1.
16.(5分)若曲线y＝ax2－ln x在点(1，a)处的切线平行于x轴，则a＝________.
eq \f(1,2) 解析：∵点(1，a)在曲线y＝ax2－ln x上，
∴切线与曲线在点(1，a)处相切．
又∵f′(x)＝y′＝2ax－eq \f(1,x)，
∴f′(1)＝2a－1.
∴切线的斜率为2a－1.又切线平行于x轴，
∴2a－1＝0，∴a＝eq \f(1,2).
17.(10分)求下列函数的导数：
(1)y＝3eq \r(x)－x3；
(2)y＝sinx－2x2；
(3)y＝csx·ln x；
(4)y＝eq \f(ex,sin x).
解：(1)y＝3eq \r(x)－x3，
则y′＝(3eq \r(x))′－(x3)′＝eq \f(3,2\r(x))－3x2.
(2)y′＝(sinx－2x2)′＝(sinx)′－(2x2)′＝csx－4x.
(3)y′＝(csx·ln x)′＝(csx)′·ln x＋csx·(ln x)′＝－sinx·ln x＋eq \f(cs x,x).
(4)y′＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(ex,sin x)))′＝eq \f(ex′·sin x－ex·sin x′,sin2x)＝eq \f(ex·sin x－ex·cs x,sin2x)＝eq \f(exsin x－cs x,sin2x).
18.(10分)已知f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝x2＋cx＋d，又f(2x＋1)＝4g(x)，且f′(x)＝g′(x)，f(5)＝30，求g(4)．
解：由f(2x＋1)＝4g(x)得
4x2＋2(a＋2)x＋(a＋b＋1)＝4x2＋4cx＋4d.
于是有a＋2＝2c，①
a＋b＋1＝4d.②
由f′(x)＝g′(x)得2x＋a＝2x＋c，
于是a＝c.③
由①与③有a＝c＝2.
此时f(x)＝x2＋2x＋b，
由f(5)＝30得25＋10＋b＝30，④
于是b＝－5，再由②得d＝－eq \f(1,2).
从而g(x)＝x2＋2x－eq \f(1,2)，
故g(4)＝16＋8－eq \f(1,2)＝eq \f(47,2).