四川省宜宾市第四中学2022-2023学年高二理科数学上学期期末模拟试题（Word版附解析）

宜宾市四中2022-2023学年高二上期末模拟考试

理科数学

第I卷   选择题（60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 抛物线的焦点坐标为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】化抛物线方程为标准方程后可得焦点坐标．

【详解】可化为，故，

焦点为，即为，

故选：C．

2. 已知直线和，若，则（    ）

A. 3 B. 1 C. -1 D. 3或-1

【答案】C

【解析】

【分析】代入两直线平行的公式，即可求解.

【详解】若，则，解得：.

故选：C

3. 某市进行一次高三教学质量抽样检测,考试后统计的所有考生的数学成绩服从正态分布.已知数学成绩平均分为90分,60分以下的人数占10%,则数学成绩在90分至120分之间的考生人数所占百分比约为

A. 40% B. 30% C. 20% D. 10%

【答案】A

【解析】

【分析】根据考生的数学成绩服从正态分布，数学成绩的平均分为90分，得到正态曲线关于对称，根据60分以下的人数占，得到高于120分的人数所成的比例也为，根据正分布的对称性，即可得到90分至120分的人数，

【详解】根据考生的数学成绩服从正态分布，数学成绩的平均分为90分，

得到正态曲线关于对称，根据60分以下的人数占，

得到高于120分的人数所成的比例也为，

根据正分布的对称性，则90分至120分的人数所占的比例为，

故选A．

【点睛】本题主要考查了正态分布的应用，其中解答中是正态分布曲线的对称性和所表示的意义是解答此类问题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．

4. 新能源汽车的核心部件是动力电池，电池占了新能源整车成本的大头，而其中的原材料碳酸锂又是电池的主要成分.从2020年底开始，碳酸锂的价格一路水涨船高，下表是2021年我国江西某企业的前5个月碳酸锂价格与月份的统计数据：

由上表可知其线性回归方程为，则（    ）

A. 0.28 B. 0.29 C. 0.30 D. 0.31

【答案】A

【解析】

【详解】由表中数据可得，

代入线性回归方程，得.

故选：A．

5. 如图是把二进制的数化成十进制的数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（　　）

A. ? B. ? C. ? D. ?

【答案】D

【解析】

【分析】先计算出二进制数对应的十进制数，然后列举出前几次循环，根据的结果判断何时结束循环并分析判断框中满足的条件.

【详解】对应的十进制数为，

第一次循环：；

第二次循环：；

第三次循环：；

第四次循环：；

第四次循环后结束循环，所以判断框中应填写“?”，

故选：D.

6. 已知命题：；命题：若则．下列命题为真命题的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】先判断命题的真假，再逐个分析判断即可

【详解】解：因为，所以命题为真命题，则为假命题

因为当时，，所以命题为假命题，则为真命题，

所以为真命题，

故选：D

7. 直线3x+4y-13=0与圆的位置关系是：

A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法判定

【答案】C

【解析】

【详解】试题分析：圆心为（2,3），半径r=1，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相切

考点：直线与圆的位置关系的判定

8. 已知直线xy+4＝0与圆心为（2，0）的圆C相切，则圆C的方程为（    ）

A. （x﹣2）2+y2＝3 B. （x﹣2）2+y2＝9

C. （x+2）2+y2＝3 D. （x+2）2+y2＝9

【答案】B

【解析】

【分析】求出点(2,0)到直线xy+4＝0的距离，可得出圆C的半径，进而可求得圆C的方程.

【详解】由于直线xy+4＝0与圆C相切，则圆C的半径 ，

因此，圆C的方程为

故选：B

9. 设斜率为2直线l过抛物线（）的焦点F，且和y轴交于点A，若（O为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据抛物线的方程写出焦点坐标，求出直线的方程、点的坐标，最后根据三角形面积公式进行求解即可.

【详解】抛物线的焦点的坐标为，

所以直线的方程为：，

令，解得，因此点的坐标为：，

因为的面积为4，

所以有，即，，

因此抛物线的方程为.

故选：B.

10. 已知椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为6，且椭圆的离心率为，则椭圆方程为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据椭圆的定义可求得，根据离心率可求得，进而求，从而解得椭圆的方程．

【详解】解：由题意得：，则，

又离心率，

所以，

，

所以椭圆的方程为：，

故选：B．

【点睛】本题主要考查椭圆的定义、离心率，属于基础题．

11. 若关于x的不等式的解集中恰有3个整数，则实数m的取值范围为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由题设可得，讨论的大小关系求解集，并判断满足题设情况下m的范围即可.

【详解】不等式，即，

当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是4，5，6，故；

当时，不等式解集为，此时不符合题意；

当时，不等式解集为，此时要使解集中恰有3个整数，这3个整数只能是0，1，2，故；

故实数m的取值范围为．

故选：C

12. 若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】首先确定双曲线渐近线方程，结合圆的方程可确定两渐近线截圆所得弦长相等；利用垂径定理可构造方程求得的值，进而根据离心率可求得结果.

【详解】由双曲线方程得：渐近线方程为；

由圆的方程知：圆心为，半径；

与图象关于轴对称，圆的图象关于轴对称，

两条渐近线截圆所得弦长相等，

不妨取，即，则圆心到直线距离，

弦长为，解得：，

双曲线离心率.

故选：C.

第II卷  非选择题（90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 命题“”的否定是________

【答案】

【解析】

【分析】

全称命题的否定是特称命题.

【详解】解：全称命题的否定为特称命题，所以否定为，

故答案为:

14. 若变量x，y满足约束条件则z=3x–y的最大值是___________.

【答案】9.

【解析】

【分析】作出可行域，平移找到目标函数取到最大值的点，求出点的坐标，代入目标函数可得.

【详解】画出不等式组表示的可行域，如图所示，

阴影部分表示的三角形ABC区域，根据直线中的表示纵截距的相反数，当直线过点时，取最大值为9．

【点睛】本题考查线性规划中最大值问题，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．采取图解法，利用数形结合思想解题．搞不清楚线性目标函数的几何意义致误，从线性目标函数对应直线的截距观察可行域，平移直线进行判断取最大值还是最小值．

15. 函数的定义域为，则实数的取值范围为______．

【答案】

【解析】

【分析】函数的定义域为，等价于恒成立，然后分和两种情况讨论求解即可得答案

【详解】函数的定义域为，等价于恒成立，

当时，显然成立；

当时，由，得．

综上，实数的取值范围为．

故答案为：

16. 已知三棱锥的顶点都在球的球面上,,且平面，则三棱锥的体积等于_____________．

【答案】

【解析】

【分析】先确定，且为的中点，在计算三棱锥的体积，利用三棱锥的体积等于三棱锥的体积，即可求得答案．

【详解】三棱锥的顶点都在球的球面上，且，

所以，且为的中点，

因为，

所以的面积为，

因为平面，

所以三棱锥的体积为，

因为三棱锥的体积等于三棱锥的体积，

所以三棱锥的体积等于12.

【点睛】本题主要考查了三棱锥的体积的计算，其中解答中先确定，且为的中点，在计算三棱锥的体积，利用三棱锥的体积等于三棱锥的体积是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与计算能力，属于基础题．

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答

17. 下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据.

（1）请根据上表数据，用最小二乘法求出关于线性回归方程；

（2）已知该厂技改前生产100吨甲产品的生产能耗为90吨标准煤.试根据（1）求出的线性回归方程.预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？

参考公式：，.

【答案】（1）；（2）19.65（吨标准煤）.

【解析】

【分析】(1)根据表格数据，计算，，，，再利用最小二乘法求，，最后得线性回归方程；

(2)利用(1)中的线性回归方程求解.

【详解】(1)由表中数据，计算得：，，

，，

所以，由最小二乘法确定的回归方程的系数为：

，

.

因此，所求的线性回归方程为.

(2)由(1)的回归方程及技改前生产100吨甲产品的生产能耗，得降低的生产能耗为：

（吨标准煤）.

18. 设函数.

（1）若对于一切实数x，恒成立，求实数m的取值范围；

（2）若对于，恒成立，求实数m的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）根据函数解析式，讨论或，利用二次函数性质列不等式组即可求解.

（2）分离参数可得，由，即可求解.

【详解】（1），

  ，

恒成立

综上

(2)

∵

∴

∴

∴，

19. 已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.

（1）求圆M的方程；

（2）设P是直线3x+4y+8=0上动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点，求四边形PAMB面积的最小值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）设圆的方程为：，由已知列出方程组，解之可得圆的方程；

（2）由已知得四边形的面积为，即有，又有.因此要求的最小值，只需求的最小值即可，根据点到直线的距离公式可求得答案.

【详解】解：（1）设圆的方程为：，

根据题意得，

故所求圆M的方程为： ；

（2）如图，

四边形的面积为，即

又，所以，

而，即.

因此要求的最小值，只需求的最小值即可，

的最小值即为点到直线的距离

所以，

四边形面积的最小值为.

20. 如图，四棱锥的底面为矩形，是四棱锥的高，与平面PAD所成角为45º，是的中点，E是BC上的动点．

（1）证明：PE⊥AF；

（2）若BC=2AB，PE与AB所成角的余弦值为，求二面角D-PE-B的余弦值．

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

【分析】(1)建立空间坐标系得到两直线的方向向量，进而证得垂直关系；（2）建立坐标系通过题干的线线角得到，求两个面的法向量，进而得到二面角.

【详解】（1）建立如图所示空间直角坐标系．设，则，于，，

则，所以．

（2）设则,

若，则由得， 设平面的法向量为，

由，得：，于是，而设二面角D-PE-B为，则为钝角

所以，

【点睛】这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角．求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可．面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，也可以建系来做．

21. 已知点是抛物线：上一点，且到的焦点的距离为．

（1）求抛物线的方程；

（2）若是上一动点，且不在直线：上，交于，两点，过作直线垂直于轴且交于点，过作的垂线，垂足为．证明：．

【答案】(1)；(2)证明见解析.

【解析】

【详解】分析：（1）利用已知条件，布列关于与的方程组，从而得到A的坐标以及P，即可得到抛物线方程；

（2）由（1）知，联立得4x2﹣16x﹣9=0，求出E，F坐标，设出P的坐标，然后转化求解推出结果即可．

详解：（1）解：依题意得

∴，

∵，∴，故的方程为．

（2）证明：由（1）知，联立得，

解得，，

∴．

设（，且），则的横坐标为，易知在上，则．

由题可知：，与联立可得，

所以，

则，故．

点睛：圆锥曲线中定点、定值问题是高考中的常考题型，难度一般较大，常常把直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，注重数学思想方法的考查，尤其是函数思想、数形结合思想、分类讨论思想的考查．

22. 已知椭圆的离心率不大于．

（1）求的取值范围；

（2）若椭圆的离心率为，试问在椭圆上是否存在两个不同的点关于直线对称，且以为直径的圆恰好经过原点，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

【分析】(1)由椭圆的方程，求得椭圆的离心率为，得到，即的，

又由，即可求解的取值范围；

（2）由题意，求得椭圆方程为，当时，椭圆C上不存在两个不同的点A,B关于直线对称，当时，得到直线，联立方程组，利用根与系数的关系和向量的数量积的运算，即可求解．

【详解】(1)由椭圆的方程，可知，

又由，则椭圆的离心率为

又由椭圆的离心率大于，即，即的，

又由，所以的取值范围是．

（2）由得椭圆方程为

当时，椭圆C上不存在两个不同的点A,B关于直线对称

当时，假设在椭圆上存在两个不同的点A,B关于直线对称，此时设直线，联立消去y整理得

即：

设．则

，

设线段A,B的中点为K，则

又K在直线上,故整理得‚

将代入即整理得解得，

又因为以AB为直径的圆恰好过圆心，得

即，整理得，

将代入，得解得满足

所以或

【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目，通过联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等．