数学：山东省淄博市张店区2023-2024学年九年级下学期期中试题（解析版）

这是一份数学：山东省淄博市张店区2023-2024学年九年级下学期期中试题（解析版），共23页。试卷主要包含了填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所给出的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项填涂在答题纸的相应位置上
1. 若收入3元记作元，则支出5元记作（ ）
A. 元B. 元C. 2元D. 5元
【答案】A
【解析】若收入3元记作元，则支出5元记作元，
故选：A．
2. 中国古代数学名著《九章算术注》中记载：“邪解立方，得两堑堵．”意即把一长方体沿对角面一分为二，这相同的两块叫做“堑堵”．如图是“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由题意得：它的左视图为一个三角形，如图：
，
故选：C．
3. 下列各式计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】A. ，故该选项错误；
B. ，故该选项正确；
C. ，故该选项错误；
D. ，故该选项错误．
故选：B．
4. 如图，直线，将三角尺的直角顶点放在直线上，如果，那么的度数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】如图：
，
，
，
故选：．
5. 某射击队要从四名运动员中选拔一名运动员参加比赛，选拔赛中每名队员的平均成绩与方差s2如下表所示，如果要选择一个成绩高且发挥稳定的人参赛，则应该选（ ）
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
【答案】C
【解析】观察图形可知甲、丙方差相等，都小于乙、丁，
∴只要比较甲、丙就可得出正确结果，
∵甲的平均数小于丙的平均数，
∴丙的成绩高且发挥稳定；
故选C．
6. 已知关于的一元二次方程的两根分别为、，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据根与系数的关系得：，，
∴．
故选：D．
7. 如图，半径为2的圆与正五边形的边相切于点A，D，则弧的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】设圆心为O，连接，，
∵与边相切，
∴，，
∵五边形正五边形，
∴，
∴，
∴弧的长为，
故选：C．
8. 某运输公司需要装运一批货物，由于机械设备没有及时到位，只好先用人工装运，12h完成了一半任务；后来机械装运和人工装运同时进行，2h完成了后一半任务．如果设单独采用机械装运可以完成后一半任务，那么下面所列方程正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根据题意，得，
化简得，
故选：D．
9. 如图，在中，将斜边的中点绕直角顶点C顺时针旋转得到点P，连接．若，，则的面积为（ ）
A. 12B. 9C. 8D. 6
【答案】B
【解析】找到斜边的中点D，作，连接，过点P作得延长线，如图，
∵斜边的中点绕直角顶点C顺时针旋转得到点P，
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，，是直角三角形，
∴，
∵，是直角三角形，
∴
∵点D为斜边的中点，
∴点E为边的中点，
∴，
∴的面积为：，
故选：B．
10. 我们定义：如果点在某一个函数的图象上，那么我们称点P为这个函数的“好点”．若关于x的二次函数对于任意的常数n，恒有两个“好点”，则常数a的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】令，
有，整理得：，
有两个“好点”可得方程有两个不相等的实数根，
有，
即，
∵对于任意常数，恒有两个好点，
∴关于的一元二次方程无解，
∴
解得：，
故选：D．
二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共计20分．不需写出解答过程，请把最后结果直接填写在答题卡相应位置上）
11. 若在实数范围内有意义，则a的取值范围是__________．
【答案】
【解析】根据题意得： ，
∴ ．
故答案为：
12. 因式分解：a3－a=______．
【答案】a（a－1）（a + 1）
【解析】a3-a=a（a2-1）=a（a+1）（a-1），
故答案为：a（a－1）（a + 1）．
13. 在平面直角坐标系中，点关于直线对称的点的坐标为______．
【答案】
【解析】过A作轴，交直线于B，过B作轴于C，
∵，
∴，
把代入，得，
∴，∴，
∴四边形是菱形，
又轴，∴菱形是正方形，
∴A、C关于对称，即A、C关于直线对称，
∴点关于直线对称的点的坐标为．
14. 如图，在中，，，，E，F分别为边上的点，M，N分别为的中点．若，则的长为______．
【答案】
【解析】连接，过A作交延长线于G，连接，
∴，
又，，
∴，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，即，
又，
∴，
∵M为中点，，
∴，
故答案为：．
15. 如图，分别经过点和点的动直线，交于点C，在线段上取点D，连接．若，且，则当的值最大时，点C的坐标为______．

【答案】或
【解析】作的外接圆，连接，，，在上取点，使，连接，，，过点N做于K， 过D作轴于G，过C作轴于H，

∵，
∴，
又，
∴是等边三角形，
∴，，
∵，，
∴，，
∴，，
∴M在y轴上，
在中，，，，
∴，，∴，
∴，
∵，∴，
又，∴，
∴，即，∴，
∴点D在以N为圆心，为半径的上运动，
当与相切时，最大，即的值最大
此时，
∴，
设，
∵轴，轴，
∴，
∴，
∴，即，
解得，，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
化简的，
①-②，得，
∴，即，
把代入①，得，
整理，得，
解得，，
当时，，
∴，，
∴点C坐标为；
当时，，
∴，，
∴点C坐标为；
综上，点C坐标为或．
故答案为：或．
三、解答题（本题共8小题，请把解答过程写在答题纸上）
16. 先化简，再求值：，其中．
解：，
当时，原式．
17. 如图，在中，，点E，F在边上，，延长至点D，使．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
（1）证明：∵，，
∴，，
∴，
∴
（2）解：∵，由（1）得：
∴，
∵，
∴
18. 如图，在中．
利用尺规作图，在BC边上求作一点P，使得点P到AB的距离的长等于PC的长；
利用尺规作图，作出中线段PD．
要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，并把作图痕迹用黑色签字笔描黑
解：如图，点P即为所求；
如图，线段PD即为所求．
19. 如图1，已知反比例函数的图象经过斜边的中点C，且与直角边相交于点D，另一直角边在x轴上．

（1）已知的面积为8，请求出k的值；
（2）如图2，直线经过C，D两点，在（1）的条件下，当时，请求出直线的表达式；
（3）根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集．
解：（1）过点C作轴于点E，
点C、D反比例函数上，
设点C的横坐标为a，
点C的纵坐标为，
斜边的中点C，
，
的面积为8，
，
．
（2）由（1）反比例函数的解析式为，，，
，的面积为8，
为等腰直角三角形，
，
点C的横坐标为2，点D的横坐标为4，
点C、D在反比例函数上，
，
将，代入中得，，
直线的表达式为；
（3）由图象可知，关于x的不等式的解集是反比例函数图象总在一次函数图象的上方对应的自变量的取值范围，即∶或．
20. 年月日是第三十二届“世界水日”，月日至日是第三十七届“中国水周”．某学校积极响应“世界水日•中国水周”，组织开展主题为“节约用水，珍惜水资源”的社会实践活动．小组在甲，乙两个小区各随机抽取户居民，统计其月份用水量，分别将两个小区居民的用水量分为组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，并对数据进行整理，描述和分析，得到如下信息．
信息一：
信息二：甲，乙两小区月份用水量数据的平均数和中位数如下：
信息三：乙小区月份用水量在第三组的数据为：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）______；
（2）在甲小区抽取的用户中，月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，在乙小区抽取的用户中，月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，比较的大小，并说明理由；
（3）若甲小区共有户居民，乙小区共有户居民，估计两个小区月份用水量不低于的总户数；
（4）因任务安排，需在小组和小组分别随机抽取1名同学加入小组，已知小组有名男生和名女生，小组有名男生和名女生，请用列表或画树状图的方法，求抽取的两名同学都是男生的概率．
解：（1）∵随机抽取了户居民，故中位数是数据从小到大排列的第个和第个的平均数，
根据频数分布直方图可知：用水量在的有户，用水量在的有户，用水量在的有户，用水量在的有户，用水量在的有户，
故中位数是在第三组中，且是第三组中第个和第个的平均数，
∵乙小区月份用水量在第三组的数据为：，
∴乙小区月份用水量的中位数是，
∴，
故答案为：；
（2），理由如下：
在甲小区抽取的用户中，月份用水量的平均数为，低于本小区平均用水量的户数户，
∴在甲小区抽取的用户中，月份用水量低于本小区平均用水量的户数所占百分比为，
在乙小区抽取的用户中，月份用水量的平均数为，低于本小区平均用水量的户数为户，
∴在乙小区抽取的用户中，3月份用水量低于本小区 平均用水量的户数所占百分比为，∵，∴；
（3）户，
答：估计两个小区月份用水量不低于的总户数为户；
（4）画树状图如图：
由树状图可知，共有种等可能的结果，其中抽取的两名同学都是男生的结果有种，
∴抽取的两名同学都是男生的概率为．
21. 2021年是脱贫攻坚的收官之年，老李在驻村干部的帮助下，利用网络平台进行“直播带货”，销售一批成本为每件30元的商品，按单价不低于成本价，且不高于60元销售，经调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示．
（1）求该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间的函数关系式．
（2）销售单价定为多少元时，每天的销售利润为800元？
（3）销售单价定为多少元时，才能使销售该商品每天获得的利润w（元）最大？最大利润是多少元？
解：（1）设销售量y与销售单价x之间的函数关系式为：
将点、代入一次函数表达式得：，
解得：，故函数的表达式为：；
（2）由题意得，，
解得：，，
销售单价不低于成本价，且不高于60元，不合题意，舍去，
答：销售单价定为40元时，每天的销售利润为800元；
（3）由题意得：，
∵，抛物线开口向下，当时，w有最大值，此时，，
故销售单价定为55元时，销售该商品每天的利润最大，最大利润1250元；
22. 如图1，在矩形中，，，点O在边上，以O为圆心为半径作，与射线的另一个交点为E，直线与射线交于点F．
（1）设，，求y与x之间的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
（2）如图2，连接，当时，请求出的半径；
（3）如果射线与的另一个交点为Q，连接，问是否存在为直角三角形，若存在，请直接写出的面积；若不存在，请说明理由．
解：（1）过点O作于点M，如图所示：
∵，∴，
∵四边形为矩形，
∴，，，
∴由勾股定理，，
∵，，
∴，∴，
即，解得：，
当直线恰好经过A点时，，
∴，解得：，∴．
（2）过点E作于点H，如图所示：
则，
，
设，则，
∴，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：或（舍去），
即此时的半径为．
（3）①若时，过点O作于点M，于点N，如图所示：
∵，点Q在上，
∴此时与相切，
∴E、Q重合，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，∴，∴，
即，∴，解得：，
∵，∴此时不符合题意；
②时，此时E与D重合，如图所示：
根据勾股定理得：，解得：，则，
∵，∴，∴；
③时，过点E作，交延长线于点F，
则，，
∵，∴，解得：，
∵，∴，
解得：，∴，，
∵，，∴，
∴，∴，
代入数据，，解得，
∴．
综上，的面积为或．
23. 如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，，与y轴交于点，点D为抛物线顶点．
（1）求该抛物线的表达式及顶点D的坐标；
（2）如图2，已知经过点A的直线与抛物线在第一象限交于点E，与y轴交于点F，连接．当时，求点E的坐标；
（3）如图3，在（2）的条件下，将直线与y轴的交点F向下平移个单位长度得到点P．
①连接，求的度数；
②将绕点O逆时针旋转一定的角度得到，直线与x轴交于点M．设点N为平面直角坐标系内的任意一点，问在旋转过程中是否存在某个位置，使得四边形为菱形？若存在，请直接写出所有满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（1）由题意得，设抛物线解析式为，
把代入得：，解得：，
∴抛物线解析式为，
∴顶点D的坐标为.
（2）连接，在上取一点G，使，连接，过点A作，交抛物线于点E，
∴，此时点D到直线的距离等于点B到直线距离的倍，即，
∵，，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
设，
∴，解得：或（舍）
∴，
设直线的解析式为，
∴，解得，
∴直线的解析式为，
∵，
∴设直线的解析式为，
代入得：，
∴直线的解析式为，
联立得：，解得或（舍）
当时，，
∴；
（3）①∵直线的解析式为，
令，得，∴，
∴将直线与y轴的交点F向下平移个单位长度得到点，
∵，
∴，
∴；
②由旋转的性质可得：，，
当为边时，
设，
当时，是等边三角形，
∴，解得：，
∴或，
∴，或，
∴，，即，或，，，，
解得：，或，，
∴或；
当为对角线时，
当时， ，
∴，
∴，
∴，
∴或；
综上所述：所有满足条件的点N的坐标为或或或．
选手
甲
乙
丙
丁
平均数
85
9
9
8.5
方差S2
1
1.2
1
1.3
甲小区月份用水量频数分布表
用水量
频数（户）
甲小区
乙小区
平均数
中位数
销售单价x（元）
30
40
45
销售数量y（件）
100
80
70