青海省海南州贵德高级中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)

这是一份青海省海南州贵德高级中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷(含答案)，共9页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，向量，若，则，下列命题中错误的是等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：选择性必修第一册。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知圆的一般方程为，其圆心坐标是（ ）
A．B．C．D．
2．过点的等轴双曲线的标准方程为（ ）
A．B．C．D．
3．已知椭圆的左顶点为，上顶点为，则（ ）
A．B．3C．4D．
4．已知平面的一个法向量为，直线的方向向量为，若，则实数（ ）
A．1B．2C．3D．4
5．两平行直线和之间的距离为（ ）
A．B．2C．D．3
6．已知点，且四边形是平行四边形，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
7．已知直线，点在圆上，则点到直线的距离的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．已知抛物线的焦点为，圆，点分别为抛物线和圆上的动点，设点到直线的距离为，则的最小值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．向量，若，则（ ）
A．B．C．D．
10．下列命题中错误的是（ ）
A．若直线的倾斜角为钝角，则其斜率一定为负数
B．任何直线都存在斜率和倾斜角
C．直线的一般式方程为
D．任何一条直线至少要经过两个象限
11．关于双曲线与双曲线，下列说法不正确的是（ ）
A．实轴长相等B．离心率相等
C．焦距相等D．焦点到渐近线的距离相等
12．设点分别为椭圆的左、右焦点，点是椭圆上任意一点，若使得成立的点恰好是4个，则实数的取值可以是（ ）
A．1B．3C．5D．4
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，则______．
14．已知圆与圆关于直线对称，则直线的方程为______．
15．已知点是的垂心．则点的坐标为______．
16．已知抛物线为坐标原点，直线与抛物线交于两点，且直线斜率之积为，则点到直线的最大距离为______．
17．（本小题满分10分）
已知直线经过直线与的交点．
（1）若直线与直线垂直，求直线的方程；
（2）若直线在坐标轴上的截距相等，求直线的方程．
18．（本小题满分12分）
已知圆的方程为．
（1）求实数的取值范围；
（2）若圆与直线交于两点，且，求的值．
19．（本小题满分12分）
已知抛物线过点．
（1）求抛物线的方程，并求其准线方程；
（2）过该抛物线的焦点，作倾斜角为60°的直线，交抛物线于两点，求线段的长度．
20．（本小题满分12分）
已知双曲线，直线与双曲线交于两点．
（1）若点是双曲线的一个焦点，求双曲线的渐近线方程；
（2）若点的坐标为，直线的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．
21．（本小题满分12分）
如图，在长方体中，．
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
22．（本小题满分12分）
已知椭圆上任意一点到两个焦点的距离之和为8，且离心率为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点作直线交椭圆于两点，点为线段的中点，求直线的方程．
海南州贵德高级中学2023~2024高二年级第一学期期末考试，数学
参考答案、提示及评分细则
1．B 已知圆的圆心为，则圆的圆心坐标是，故选B．
2．A 设双曲线的方程为，代人点的坐标，有，故所求双曲线的方程为，标准方程为．故选A．
3．D 由，可得．
4．C 因为，所以，所以，解得．故选C．
5．A 两平行直线之间的距离为，故选A．
6．C 由线段和共中点，的中点为，可得点的坐标为，故选C．
7．D 直线即为，所以直线过定点，所以点到直线的距离的最大值为．
8．C ．故选C．
9．BC 因为，所以，由题意可得所以，即．
10．BCD 对于A选项，由正切函数的图象，可知选项A正确；
对于B选项，与轴平行的直线不存在斜率，可知B选项错误；
对于C选项，要求不同时为零，可知C选项错误；
对于D选项，轴，轴不经过任何象限，可知D选项错误．故选BCD．
11．ABD 双曲线的每个量都是确定的，双曲线的实轴长、离心率、虚轴长都与有关，它们的焦距相同，都为．
12．BD 设，由可得，又点在椭圆上，即，要使得成立的点恰好是4个，则，解得．
13． 由，有．
14． 设圆，圆，由题意可知为的垂直平分线，的中点为，则的方程为即．
15． 设点坐标为，
不存在，即，
，
，
，
点的坐标为．
16．1 设直线，则，．
则直线，直线恒过点，则点到直线的最大距离为1．
17．解：（1）由解得即．
因为直线与直线垂直，所以直线的斜率为，
所以直线的方程为，即；
（2）显然，直线的斜率存在，设直线的方程为，令，解得，
令，解得，
所以，
解得或，所以直线的方程为或．
18．解：（1）方程可化为，
此方程表示圆，，即；
（2）由（1）可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
由于，则有，
，解得．
19．解：（1）过点，解得，
抛物线，准线方程为；
（2）由（1）知，抛物线焦点为，
设直线，
由得，则，
则．
20．解：（1）点是双曲线的一个焦点，，
又且，解得双曲线的方程为，
双曲线的渐近线方程为；
（2）设直线的方程为，且，
联立可得，
则，即，
，
解得，即由可得，
故双曲线的离心率．
21．解：由长方体可知两两垂直，以为坐标原点，向量分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，有，．
（1）证明：因为，
所以，
所以，
又因为平面，所以平面；
（2）设平面的法向量为，
由，有取，可得平面的一个法向量为，
设直线与平面所成的角为，
因为，所以，
所以，
所以直线与平面所成的角的正弦值为．
22．解：（1）由题意可知，
又因为，
则椭圆的标准方程为；
（2）设直线与椭圆的交点为，
为的中点，
，
又两点在椭圆上，则，
两式相减得，
于是，
，即，
故所求直线的方程为，即．