内蒙古集宁新世纪中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份内蒙古集宁新世纪中学2023-2024学年高二上学期期末数学试卷(含答案)，共10页。试卷主要包含了本卷主要考查内容，已知向量，，则等内容，欢迎下载使用。

全卷满分150分，考试时间120分钟。
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚。
4．考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交。
5．本卷主要考查内容：必修第二册第九章、第十章，选择性必修第一册第一章~第三章3.1。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知椭圆的左顶点为A，上顶点为B，则（ ）
A．B．3C．4D．
2．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．不存在
3．已知，，，若平面ABC的一个法向量为，则（ ）
A．B C．D．
4．已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A．B．C．D．
5．下表记录了上海某个月连续8天的空气质量指数（AQI）：
则这些空气质量指数的75%分位数为（ ）
A．35B．35.5C．36D．37
6．如图所示，在平行六面体中，点E为上底面对角线的中点，若，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
7．已知直线，点P在圆上，则点P到直线l的距离的最大值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
8．设椭圆的左焦点为F，上下顶点分别为A、B，直线AF的斜率为，并交椭圆于另一点C，则直线BC的斜率为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线，直线，若，则实数a可能的取值为（ ）
A．B．0C．1D．2
10．已知向量，，则（ ）
A．
B．
C．向量，的夹角的余弦值为
D．若向量（x，y为实数），则
11．直线与曲线恰有两个交点，则实数m的值可能是（ ）
A．B．C．4D．5
12．先后抛掷两枚质地均匀的骰子，第一次和第二次出现的点数分别记为a，b，则下列结论正确的是（ ）
A．的概率为B．的概率为
C．的概率为D．是4的倍数的概率是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．某市场有四类食品，其中粮食类、蔬菜类、肉类和水果类分别有10种、20种、20种和50种，现在从中抽取一个容量为50的样本进行食品安全检测，若采用按比例分配的分层抽样的方法抽取样本，则抽取的粮食类和水果类的样本数之和为______．
14．已知在空间直角坐标系xOy中，点A的坐标为，点B的坐标为，点A与点C关于x轴对称，则______．
15．以为圆心的圆与圆相切，则圆C的方程为______．
16．已知椭圆的中心在坐标原点，一个焦点为，该椭圆被直线所截得弦的中点的横坐标为1，则该椭圆的标准方程为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．
17．（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知，，．
（1）在△ABC中，求AB边上的高所在的直线方程；
（2）若点P在直线BC上，且，求点P到直线AB的距离．
18．（本小题满分12分）
某市有300名初中生参加数学竞赛预赛，随机调阅了50名学生的答卷，成绩如下表：
（1）求样本的平均成绩和方差；
（2）若规定预赛成绩在7分或7分以上的学生参加复赛，试估计有多少名学生可以进入复赛？
19．（本小题满分12分）
如图，在直三棱柱中，，，，，点M在线段上，且．
（1）求CM的长；
（2）求二面角B-AM-C的大小．
20．（本小题满分12分）
已知圆与圆关于直线对称．
（1）求圆的标准方程；
（2）直线与圆相交于M，N两点，且的外接圆的圆心在内部，求m的取值范围．
21．（本小题满分12分）
某公司为了了解顾客对其旗下产品的满意程度，随机抽取n名顾客进行满意度问卷调查，按所得评分（满分100分）从低到高将满意度分为四个等级：
并绘制如图所示的频率分布直方图．已知调查评分在的顾客为80人．
（1）求n的值及频率分布直方图中t的值；
（2）若某段时间有10000名顾客购买该公司的产品，请估计这10000名顾客中对该公司产品满意度达到“满意”的人数；
（3）该公司设定的预案是：以抽取的样本作为参考，若顾客满意度评分的均值低于80分，则需要对该公司旗．下产品进行调整，否则不需要调整、根据你所学的统计知识，判断该公司是否需要对旗下产品进行调整，并说明理由．（每组数据以区间的中点值代替）
22．（本小题满分12分）
已知M，N是椭圆的上顶点和右顶点，且直线MN的斜率为．
（1）求椭圆E的离心率；
（2）设A为椭圆E的左顶点，B为椭圆E上一点，C为椭圆E上位于第--象限内的一点，O为坐标原点，且，求直线AB的斜率．
集宁新世纪中学2023~2024学年上学期高二年级数学试卷
参考答案、提示及评分细则
1．D 由，，可得．
2．C 的斜率不存在，倾斜角为．
3．C ，，所以，，
即，，解得，，所以，故选C．
4．B 因为直线与直线平行，
所以，解得，所以直线，
直线可变形为，所以两平行线之间的距离．故选B．
5．B 空气指数的8个数从小到大排列为：20，24，28，31，33，35，36，38，
又，所以75%分位数是．故选B．
6．A ，
，．
7．D 直线即为，
所以直线过定点，所以点P到直线l的距离的最大值为．
8．C ，则，，即椭圆方程为，
设，，，且，
即，，．
9．BC 若，有，解得或1．
10．BC 对于选项A，由，可得A选项不正确；
对于选项B，由，，可得B选项正确；
对于选项C，由，有，可得C选项正确；
对于D选项，由，可得，，有故D选项错误．
11．BC 曲线表示圆在x轴的上半部分，
当直线与圆相切时，，解得，
当点在直线上时，，可得．
12．AC 先后抛掷两枚质地均匀的骰子，共有36种不同的情形．
对于A选项，包含的样本点有，，，，共4个，所以，故正确；
对于B选项，包含的样本点有，，，，，共5个，所以，故错误；
对于C选项，包含的样本点有，，共2个，故，故正确；
对于D选项，是观点的倍数包含的样本点有，，，，，，，，共9个，故，故错误．故选AC．
13．30 设抽取的粮食类和水果类的样本数之和为x，由题意，得，，解得．
14． 点C的坐标为，．
15．或两圆的圆心之间的距离为．
当两圆外切时，圆C的半径为；当两圆内切时，圆C的半径为．
圆C的方程为或．
16． 椭圆被直线所截得弦AB的中点的坐标为，
，，所以，，故椭圆的标准方程为．
17．解：（1）直线，即，直线AB的斜率为，
所以边AB上的高所在的直线的斜率为1，
所以边AB上的高所在的直线方程为，整理得；
（2）直线，即，
AB的中点为，所以AB的垂直平分线所在的直线方程为，
因为P为AB垂直平分线与直线BC的交点，所以，
解得，
所以P到直线AB的距离为．
18．解：（1）平均成绩为：,
方差，
故样本的平均成绩为6分，方差为1.6；
（2）在50名选手中，有（名）学生预赛成绩在7分或7分以上，
所以估计300人中有（名）学生的预赛成绩在7分或7分以上，
故大约有96名学生可以进人复赛．
19．解：（1）以点C为坐标原点，CB，CA，所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系C-xyz，如图所示，
设，则，，，，
所以，．
因为，所以，
所以，解得．
所以CM的长为．
（2）因为是直三棱柱，
所以平面ABC．
又平面ABC，所以．
因为，即BC⊥AC，
又，，平面．
所以BC⊥平面，即BC⊥平面AMC．
所以是平面AMC的一个法向量，．
设是平面BAM的一个法向量，
，．
由得
令，得，，所以．
因为，．所以．
据题意可知，二面角B-AM-C为锐角，
所以二面角B-AM-C的大小为45°．
20．解：（1）设，则，解得，
所以圆的标准方程为；
（2）由题意可得，是锐角三角形，
又 是以，为腰的等腰三角形，
，，
令到MN的距离为d，则，，
，，
解得．
21．解：（1），，
所以，；
（2）估计的人数为人；
（3）由频率分布直方图得，顾客满意度评分的均值为：
，
由题意知不需要对该公司旗下产品进行调整．．．．．．．．．．．
22．解：本题考查直线与椭圆的综合．
根据题意得，上顶点、右顶点
（1），
由，
（2）由（1）可知，椭圆E的方程为，
即，点，设直线OC的方程为，，，
由解得，，．
，，于是设直线AB的方程为，
由，消去x整理得，
解得或（舍去），，又，
，，即，
，解得，，即直线AB的斜率为．
时间
1
2
3
4
5
6
7
8
空气质量指数（AQI）
20
28
24
33
31
35
36
38
成绩
1分
2分
3分
4分
5分
6分
7分
8分
9分
10分
人数
0
0
1
5
10
18
11
3
2
0
调查评分
满意度等级
不满意
一般
良好
满意