内蒙古呼和浩特市土默特中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷

这是一份内蒙古呼和浩特市土默特中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试卷，共15页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知直线l的倾斜角为60°，且经过点（0，1），则直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）直线y＝x﹣1与圆x2+y2＝1的位置关系为（ ）
A．相切B．相离
C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心
3．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．（5分）在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，为平面α的一个法向量，且l∥α，则t＝（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
5．（5分）抛物线y2＝4x经过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ）
A．y2＝x﹣1B．y2＝2（x﹣1）C．D．y2＝2x﹣1
6．（5分）若，则a0+a1+a3+a5＝（ ）
A．122B．123C．243D．244
7．（5分）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
8．（5分）如图，杨辉三角出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中，它揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．由此可得图中第10行排在偶数位置的所有数字之和为（ ）
A．256B．512C．1024D．1023
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）在平面直角坐标系中，下列四个结论中正确的是（ ）
A．每一条直线都有点斜式和斜截式方程
B．倾斜角是钝角的直线，斜率为负数
C．方程与方程y+1＝k（x﹣2）表示同一条直线
D．直线过点P（x0，y0），倾斜角为90°，则其方程为x＝x0
（多选）10．（5分）对于方程，下列说法中正确的是（ ）
A．当0＜m＜4时，方程表示椭圆
B．当2＜m＜4时，方程表示焦点在x轴上的椭圆
C．存在实数m，使该方程表示双曲线
D．存在实数m，使该方程表示圆
（多选）11．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．用0，1，2，3，4能组成48个不同的3位数
B．将10个团员指标分到3个班，每班要求至少得2个，有15种分配方法
C．小明去书店看了4本不同的书，想借回去至少1本，有16种方法
D．甲、乙、丙、丁各写了一份贺卡，四人互送贺卡，每人各拿一张贺卡且每人不能拿到自己写的贺卡，有9种不同的方法
（多选）12．（5分）下列等式正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知M为椭圆上一点，F1，F2为椭圆C的焦点，则△MF1F2的周长为 ．
14．（5分）直线：x+y＝1与曲线（θ为参数）的公共点有 个．
15．（5分）在（1+2x）8的展开式的二项式系数的最大值为 ．（用数字作答）
16．（5分）如图，一花坛分成1，2，3，4，5五个区域，现有4种不同的花供选种，要求在每个区域里面种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）设圆的方程为x2+y2﹣4x﹣5＝0，
（1）求该圆的圆心坐标及半径；
（2）若此圆的一条弦AB的中点为P（3，1），求直线AB的方程．
18．（12分）抛物线的顶点在原点，准线过椭圆的一个焦点，且垂直于椭圆的长轴，抛物线与椭圆的一个交点为，求此抛物线的标准方程及椭圆的标准方程．
19．（12分）已知椭圆的离心率是，点A（﹣2，0）在C上．
（1）求C的方程；
（2）过点（﹣2，3）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
20．（12分）某大学组织学生无偿献血．在一个班级体检合格的学生中，O型血有11人，A型血有7人，B型血有6人，AB型血有5人．
（1）从中任选1名学生去献血，有多少种不同的选法？
（2）从四种血型的学生中各选1名学生去献血，有多少种不同的选法？
（3）从中任选2名具有不同血型的学生去献血，有多少种不同的选法？
21．（12分）已知的二项展开式中所有项的二项式系数之和为1024．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式的所有有理项，并指明是第几项．
22．（12分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．
（1）证明：B2C2∥A2D2；
（2）点P在棱BB1上，当二面角P﹣A2C2﹣D2为150°时，求B2P．
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知直线l的倾斜角为60°，且经过点（0，1），则直线l的方程为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：由题意知：直线l的斜率为，则直线l的方程为．
故选：C．
2．（5分）直线y＝x﹣1与圆x2+y2＝1的位置关系为（ ）
A．相切B．相离
C．直线过圆心D．相交但直线不过圆心
【解答】解：圆x2+y2＝1的圆心坐标为（0，0），半径为1，
圆心到直线y＝x﹣1即x﹣y﹣1＝0的距离为：＝＜1，
∴直线y＝x﹣1与圆x2+y2＝1的位置关系为相交，
又圆心不满足直线方程，
故选：D．
3．（5分）已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为y＝x，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：∵双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，
∴设双曲线的方程为，（a＞0，b＞0）
由此可得双曲线的渐近线方程为y＝±x，结合题意一条渐近线方程为y＝x，
得 ＝，设b＝4t，a＝3t，则c＝＝5t（t＞0）
∴该双曲线的离心率是e＝＝．
故选：A．
4．（5分）在空间直角坐标系中，为直线l的一个方向向量，为平面α的一个法向量，且l∥α，则t＝（ ）
A．3B．﹣3C．1D．﹣1
【解答】解：∵l∥α，
∴•＝0，即2+2t+4＝0，
解得：t＝﹣3，
故选：B．
5．（5分）抛物线y2＝4x经过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ）
A．y2＝x﹣1B．y2＝2（x﹣1）C．D．y2＝2x﹣1
【解答】解：由题知抛物线焦点为（1，0）
设焦点弦方程为y＝k（x﹣1）
代入抛物线方程得所以k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0
由韦达定理：
x1+x2＝
所以中点横坐标：x＝＝
代入直线方程
中点纵坐标：
y＝k（x﹣1）＝．即中点为（，）
消参数k，得其方程为
y2＝2x﹣2
故选：B．
6．（5分）若，则a0+a1+a3+a5＝（ ）
A．122B．123C．243D．244
【解答】解：，
当x＝1时，35＝a0+a1+a2+a3+a4+a5 ①，
当x＝﹣1时，﹣1＝a0﹣a1+a2﹣a3+a4﹣a5②，
可得，a1+a3+a5＝，
当x＝0时，a0＝1，
故a0+a1+a3+a5＝1+122＝123．
故选：B．
7．（5分）将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）
A．60种B．120种C．240种D．480种
【解答】解：5名志愿者选2个1组，有种方法，然后4组进行全排列，有种，
共有＝240种，
故选：C．
8．（5分）如图，杨辉三角出现于我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》中，它揭示了（a+b）n（n为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律．由此可得图中第10行排在偶数位置的所有数字之和为（ ）
A．256B．512C．1024D．1023
【解答】解：由杨辉三角得到第10行所有的数字之和为：
+＝210，
由二项式系数和的性质得第10行排在偶数位置的所有数字之和为：
＝512．
故选：B．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
（多选）9．（5分）在平面直角坐标系中，下列四个结论中正确的是（ ）
A．每一条直线都有点斜式和斜截式方程
B．倾斜角是钝角的直线，斜率为负数
C．方程与方程y+1＝k（x﹣2）表示同一条直线
D．直线过点P（x0，y0），倾斜角为90°，则其方程为x＝x0
【解答】解：对于A，斜率不存在的直线无点斜式和斜截式方程，故A选项错误；
对于B，倾斜角是钝角的直线，其倾斜角的正切值为负数，直线斜率为负数，故B选项正确；
对于C，方程表示直线y+1＝k（x﹣2）去掉点（2，﹣1），与方程y+1＝k（x﹣2）不表示同一直线，故C选项错误；
对于D，直线过点P（x0，y0），倾斜角为90°，则其方程为x＝x0，正确．
故选：BD．
（多选）10．（5分）对于方程，下列说法中正确的是（ ）
A．当0＜m＜4时，方程表示椭圆
B．当2＜m＜4时，方程表示焦点在x轴上的椭圆
C．存在实数m，使该方程表示双曲线
D．存在实数m，使该方程表示圆
【解答】解：当0＜m＜4且m≠2时，方程表示椭圆，故A错误；
当2＜m＜4时，m＞4﹣m＞0，可得方程表示焦点在x轴上的椭圆，故B正确；
当m＝5时，方程即为﹣y2＝1，表示焦点在x轴上的双曲线，故C正确；
当m＝2时，方程即为x2+y2＝2，表示圆，故D正确．
故选：BCD．
（多选）11．（5分）下列说法正确的是（ ）
A．用0，1，2，3，4能组成48个不同的3位数
B．将10个团员指标分到3个班，每班要求至少得2个，有15种分配方法
C．小明去书店看了4本不同的书，想借回去至少1本，有16种方法
D．甲、乙、丙、丁各写了一份贺卡，四人互送贺卡，每人各拿一张贺卡且每人不能拿到自己写的贺卡，有9种不同的方法
【解答】解：对于A，第一步先排百位数，有4种排法，第二步排十位数有5种排法，第三步排个位数有5种排法，由分步乘法计数原理可得共有4×52＝100个不同的三位数，A错误；
对于B，第一步，每个班先各分一个团员指标，有一种方法，第二步，再将余下7个团员指标排成一排，7个指标之间有6个空，用2块隔板插入其中的两个空，每种插空方法就是一种将7个指标分给3个班，每班至少一个指标的分配方法，故第二步有种方法，由分步乘法计数原理可得满足条件的分配方法有15种，B正确；
对于C，因为借回至少1本的反面为1本都不借，又小明所有的借书方法数为24种，所以借回至少1本的方法数为24﹣1＝15种，C错误；
对于D，第一步甲先拿贺卡，有3种方法，第二步安排甲拿到的贺卡的主人拿，有3种方法，第三步余下两人拿贺卡，由于其中一人不能拿自己的贺卡，故只有一种方法，由分步乘法计数原理可得共3×3＝9种方法，D正确；
故选：BD．
（多选）12．（5分）下列等式正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：∵+m＝n（n﹣1）（n﹣2）…（n﹣m+1）+m•n（n﹣1）（n﹣2）…（n﹣m+2）
＝n（n﹣1）（n﹣2）…（n﹣m+2）[（n﹣m+1）+m]＝（n+1）n（n﹣1）（n﹣2）…（n﹣m+2）＝，故A正确；
∵n＝n•，m＝m•，故B错误；
∵+++…+＝＝，故C正确；
∴+++…+＝＝22019，故D正确，
故选：ACD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．（5分）已知M为椭圆上一点，F1，F2为椭圆C的焦点，则△MF1F2的周长为 10 ．
【解答】解：椭圆，可得a＝3，b＝，c＝＝2，
由椭圆的定义可得|MF1|+|MF2|＝2a＝6，
又|F1F2|＝2c＝4，
则△MF1F2的周长是|MF1|+|MF2|+|F1F2|＝6+4＝10．
故答案为：10．
14．（5分）直线：x+y＝1与曲线（θ为参数）的公共点有 2 个．
【解答】解：曲线（θ为参数），消去参数可得，x2+y2＝4，表示以（0，0）为圆心，2为半径的圆，
圆心（0，0）到直线x+y﹣1＝0的距离d＝，
故直线与圆相交，即公共点为2个．
故答案为：2．
15．（5分）在（1+2x）8的展开式的二项式系数的最大值为 70 ．（用数字作答）
【解答】解：因为n＝8，则二项式系数最大值为C＝70，
故答案为：70．
16．（5分）如图，一花坛分成1，2，3，4，5五个区域，现有4种不同的花供选种，要求在每个区域里面种1种花，且相邻的两个区域种不同的花，则不同的种法总数为 72 ．
【解答】解：由题意知，分两种情况：
①2、4种不同花，有4×3×2×1×1＝24种，
②2、4种相同花，有4×3××2×1×2＝48种，
共有48+24＝72种，
故答案为：72．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）设圆的方程为x2+y2﹣4x﹣5＝0，
（1）求该圆的圆心坐标及半径；
（2）若此圆的一条弦AB的中点为P（3，1），求直线AB的方程．
【解答】解：（1）将x2+y2﹣4x﹣5＝0配方得：（x﹣2）2+y2＝9
∴圆心坐标为C（2.0），半经为r＝3．…（6分）
（2）设直线AB的斜率为k．
由圆的知识可知：CP⊥AB，∴kCP•k＝﹣1
又Kcp＝＝1，∴k＝﹣1．
∴直线AB的方程为y﹣1＝﹣1（x﹣3）
即：x+y﹣4＝0…（12分）
18．（12分）抛物线的顶点在原点，准线过椭圆的一个焦点，且垂直于椭圆的长轴，抛物线与椭圆的一个交点为，求此抛物线的标准方程及椭圆的标准方程．
【解答】解：由题意可设抛物线的方程为y2＝mx，
将点P（，）代入抛物线的方程可得：＝m，
解得m＝4，
所以抛物线的方程为：y2＝4x；
可得准线方程为x＝﹣1，
由题意可得c＝1，
则，解得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆的方程为：+＝1．
19．（12分）已知椭圆的离心率是，点A（﹣2，0）在C上．
（1）求C的方程；
（2）过点（﹣2，3）的直线交C于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N，证明：线段MN的中点为定点．
【解答】解：（1）因为椭圆的离心率是，
所以e＝＝，①
因为点A（﹣2，0）在C上，
所以＝1，②
又a＝，③
联立①②③，解得a＝3，b＝2，c＝，
所以椭圆方程为；
（2）证明：易知直线PQ的斜率存在，
不妨设直线PQ的方程为y＝k（x+2）+3，P（x1，y1），Q（x2，y2），
联立，消去y并整理得（4k2+9）x2+8k（2k+3）x+16（k2+3k）＝0，
此时Δ＝64k2（2k+3）2﹣64（4k2+9）（k2+3k）＝﹣1728k＞0，
解得k＜0，
由韦达定理得，，
因为A（﹣2，0），
此时直线，
令x＝0，
解得，
即，
同理得，
此时＝
＝
＝
＝＝3，
故线段MN的中点为定点，定点为（0，3）．
20．（12分）某大学组织学生无偿献血．在一个班级体检合格的学生中，O型血有11人，A型血有7人，B型血有6人，AB型血有5人．
（1）从中任选1名学生去献血，有多少种不同的选法？
（2）从四种血型的学生中各选1名学生去献血，有多少种不同的选法？
（3）从中任选2名具有不同血型的学生去献血，有多少种不同的选法？
【解答】解：（1）根据题意，一个班级体检合格的学生中，O型血有11人，A型血有7人，B型血有6人，AB型血有5人．
若从中任选1名学生去献血，有11+7+6+5＝29种不同的选法；
（2）若从四种血型的学生中各选1名学生去献血，有种不同的选法；
（3）任选2名具有不同血型的学生去献血，
有种不同的选法．
21．（12分）已知的二项展开式中所有项的二项式系数之和为1024．
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式的所有有理项，并指明是第几项．
【解答】解：（1）由题意可得2n＝1024，则n＝10，
所以展开式中二项式系数最大的项为第6项，
即为＝252；
（2）二项式的展开式的通项公式为＝，r＝0，1，…，10，
当r被6整除即为有理项，则r＝0，6，
所以有理项分别为，．
22．（12分）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．
（1）证明：B2C2∥A2D2；
（2）点P在棱BB1上，当二面角P﹣A2C2﹣D2为150°时，求B2P．
【解答】解：（1）证明：以C为坐标原点，CD，CB，CC1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图，
则C（0，0，0），C2（0，0，3），B2（0，2，2），D2（2，0，2），A2（2，2，1），
所以，，
所以＝，
所以∥，
又B2C2，A2D2不在同一条直线上，
所以B2C2∥A2D2．
（2）设平面A2C2D2的法向量，则，
设P（0，2，λ）（0≤λ≤4），
又，，，
设平面PA2C2的法向量，则，
令z＝2，得y＝3﹣λ，x＝λ﹣1，
所以，
所以，
化简可得，λ2﹣4λ+3＝0，解得λ＝1或λ＝3，
所以P（0，2，1）或P（0，2，3），
所以B2P＝1．