四川省达州市达川四中联盟2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试题

这是一份四川省达州市达川四中联盟2023-2024学年七年级下学期期中考试数学试题，共24页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1. 在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故本选项错误；
B、既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故本选项错误；
C、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项正确；
D、中心对称图形是但不是轴对称图形，故本选项错误；
故选C
2. 如果，那么下列各项中正确是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A、如果，则，故A错误；
B、如果，则，故B正确；
C、如果，则，故C错误；
D、如果，则，故D错误；
故选：B.
【点睛】本题考查了不等式的性质的应用，能熟记不等式的性质是解此题的关键．
3. 下列分解因式中，正确的是（ ）
A. B. 试卷源自 每日更新，不到1元，欢迎访问。C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据分解因式的定义，以及完全平方公式即可作出判断．
【详解】解：A、，故A错误；
B、，故B错误；
C、，故C错误；
D、，故D正确；
故选：D.
【点睛】本题考查了分解因式的定义，以及利用公式法分解因式，正确理解定义是关键．
4. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的顶点B与原点O重合，顶点A、C分别在y轴、x轴的正半轴上，将沿直线向上平移得到，点的纵坐标为4，若，则点的坐标为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查坐标与平移，一次函数与几何的综合应用，先求出的坐标，进而确定平移规则，再求出的坐标即可．
【详解】解：∵将沿直线向上平移得到，点的纵坐标为4，
∴，
解得，
∴，
∴点，先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点，
∴点先向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到点，
∵，
∴，
∴，即：；
故选B．
5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，表示在数轴上即可．
【详解】解：，
由①得：；
由②得：，
∴不等式组的解集为，
表示在数轴上，如图所示：
故选C．
【点睛】考核知识点：解不等式组.解不等式是关键.
6. 不等式组有4个整数解，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】首先解不等式组，利用表示出不等式组的解集，然后根据不等式组只有4个整数解即可求得的范围．
【详解】解∶∵，
∴，
不等式组有4个整数解，
不等式组的整数解是3，4，5，6，
．
故选：D．
【点睛】本题考查不等式组的整数解，求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小无解了．
7. 如图，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，使点B的对应点D恰好落在边BC上，点C的对应点为E，连接CE．下列结论，不正确的是（ ）
A. AC＝AEB. ∠BAD＝∠CAEC. ∠B＝∠ACED. BC⊥CE
【答案】D
【解析】
【分析】由旋转的性质可得AC=AE，∠BAD=∠CAE，∠B=∠ADE，AB=AD，由等腰三角形的性质可得∠B=∠ADB，∠ACE=∠AEC，由三角形内角和定理可求∠B=∠ACE，从而即可求解．
【详解】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△ADE，
∴AC＝AE，∠BAD＝∠CAE，∠B＝∠ADE，AB＝AD，
∴∠B＝∠ADB，∠ACE＝∠AEC，
∵∠BAD+∠B+∠ADB＝∠BAD+2∠B＝180°，∠CAE+∠ACE+∠AEC＝∠CAE+2∠ACE＝180°，
∴∠B＝∠ACE，
∵∠B+∠ACB+∠BAC＝180°，
∴∠ACE+∠BCA+∠BAC＝180°，
∵∠BAC不一定为90°，
∴∠BCA+∠ACE不一定为90°，
∴BC不一定垂直CE，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，题目不难，注意旋转的性质是关键．
8. 如图，在中，为的垂直平分线，点为直线上的任意一点，则周长的最小值是（ ）

A. 12B. 6C. 7D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，三角形周长计算，根据线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等得到，则由三角形周长公式可得的周长，则当A、P、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为，据此可得答案．
【详解】解：∵为的垂直平分线，点为直线上的任意一点，
∴，
∴的周长，
∴当A、P、C三点共线时，最小，即此时的周长最小，最小值为，
∴的周长最小值为，
故选C．
9. 一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（ ）
A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】C
【解析】
【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与x轴、y轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤．
【详解】解：∵一次函数经过第一、二、三象限，
∴，故①正确；
∵一次函数与y轴交于负半轴，与x轴交于，
∴，方程的解是，故②正确，③不正确；
由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确；
由函数图象可知，不等式的解集是，故⑤正确；
∴正确一共有3个，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象的性质，图象法解不等式；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
10. 如图，在平面直角坐标系中，动点P从原点O出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，…，按此作法进行下去，则点的坐标为（ ）
A. （1012，1012）B. （2011，2011）C. （2012，2012）D. （1011，1011）
【答案】A
【解析】
【解答】解：由题意得，偶数点在第一象限，
∵P1（﹣1，﹣4）水平向右平移2个单位长度2，
∴P7（1，1），
同理可得，P3（2，2），…，
∴P7n（n，n），
∴P2024（1012，1012），
故选：A．
二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）
11. 用不等式表示“x的2倍与5的和不大于10”是____________．
【答案】
【解析】
【分析】题目主要考查列不等式，根据题意列出不等式即可，理解题意是解题关键．
【详解】解：依题意得：．
故答案为：．
12. 利用因式分解计算：_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解简化计算问题，用因式分解的方法将式子变形，使计算简便．
提公因式，再进行计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
13. 将点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，Q与B关于原点对称，则点B的坐标是 __________
【答案】
【解析】
【分析】本题考查坐标与平移及关于点对称．根据点的平移规则：左减右加，上加下减确定，然后进行求解即可．
【详解】解：点向右平移3个长度单位，再向上平移2个长度单位得到点Q，
∴，即：；
∵Q与B关于原点对称，
∴点B的坐标是
故答案为：．
14. 若的解集为，则的取值范围是 _________．
【答案】
【解析】
【分析】根据不等式的性质解答即可．
【详解】解：的解集为，
，
解得，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了不等式的性质，不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变．
15. 如图，在中，，，，将边沿翻折，使点A落在边上的点D处；再将边沿翻折，使点B落在的延长线上的点B处，两条折痕与斜边分别交于点E、F，则的长为________．
【答案】
【解析】
【分析】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，由直角三角形的性质和勾股定理求出、是解决问题的关键．
首先证明是等腰直角三角形，利用面积法求出，可得，由勾股定理求出，即可求得的长．
【详解】解：根据折叠的性质可知：，，，，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，
根据勾股定理得：，
，
，，
，
故答案为：．
三、解答题（共计90分）
16 因式分解
（1）；
（2）
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）直接提取公因式3，再利用完全平方公式分解因式得出答案；
（2）直接提取公因式，再利用平方差公式分解因式得出答案．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：
．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，解题的关键是正确运用公式法分解因式．
17. 解不等式（组）：
（1）．
（2）
【答案】(1) x＞-4.5．(2)无解．
【解析】
【分析】（1）利用一元一次不等式的解法，先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，解不等式即可；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．
【详解】（1）去分母，得2（2x+1）-（2-x）＞3（x-1）-6，
去括号，得4x+2-2+x＞3x-3-6，
移项，得4x+x-3x＞-3-6-2+2，
合并同类项，得2x＞-9，
系数化为1，得x＞-4.5．
（2）解：
由①得y＞3，由②得y≤-1．
故原不等式组无解．
【点睛】本题考查的是解一元一次不等式（组），正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
18. 如图所示的正方形网格中（每个小正方形的边长是1，小正方形的顶点叫作格点），的顶点均在格点上，请在所给平面直角坐标系中按要求作图和解答下列问题：
（1）以点B为旋转中心，将绕点B顺时针旋转得，画出（其中点A、C的对应点分别为点D、E）；
（2）画出关于点O成中心对称的（其中点A、C的对应点分别为点F、H）；
（3）若连接则四边形的形状是______．
【答案】（1）见解析 （2）见解析
（3）矩形
【解析】
【分析】（1）根据旋转画图方法，先画出旋转后的对应点，再描点即可；
（2）根据中心对称的性质作图即可；
（3）根据矩形的判定方法求解即可．
【小问1详解】
如图所示，即为所求作三角形，
【小问2详解】
如图所示，即为所求作三角形，
【小问3详解】
∵由网格的特点可得，，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴平行四边形是矩形．
故答案为：矩形.
【点睛】此题考查作图能力：旋转作图和中心对称作图，考查了旋转的性质，中心对称的性质，矩形的判定，解题的关键是掌握以上内容．
19. 如图，在等边中，交于点于点．
（1）求证：；
（2）求证：
【答案】（1）见解析 （2）见解析
【解析】
【分析】本题主要考查全等三角形的判定及性质，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质，掌握全等三角形的判定及性质和含的直角三角形的性质是解题的关键．
（1）先根据是等边三角形，推出，，然后利用即可证明全等；
（2）由全等三角形的性质得，等量代换之后得，而，则，根据含的直角三角形的性质即可证明结论．
【小问1详解】
证明：∵是等边三角形，
∴，．
在与中，
∴．
【小问2详解】
∵，
，
，
．
．
，

．
．
20. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”光明中学为提升学生的阅读品味，决定购买第十届茅盾文学奖的获奖篇目《北上》（徐则臣著）和《牵风记》（徐怀中著）两种书共本．已知购买本《北上》和本《牵风记》需元；购买本《北上》与购买本《牵风记》的价格相同．
（1）《北上》和《牵风记》每本的价格分别为多少元？
（2）若学校购买《北上》的数量多于本，且购买两种书的总价不超过元，请问有几种购买方案？最低费用为多少元？
【答案】（1）《北上》和《牵风记》每本的价格分别为元和元
（2）共有种购买方案，最低费用为元
【解析】
【分析】本题考查了二元一次方程组和不等式的应用，弄清题意、确定等量关系和不等关系是解答本题的关键．
（1）设《北上》每本的价格为元，《牵风记》每本的价格为元，根据题意列方程组即可求解；
（2）设购买《北上》的数量为本，则购买《牵风记》的数量为本，根据购买两种书的总价不超过元，列不等式，求出的取值范围，即可求解．
【小问1详解】
解：设《北上》每本的价格为元，《牵风记》每本的价格为元．
根据题意，得，
解得：，
答：《北上》和《牵风记》每本的价格分别为元和元；
【小问2详解】
设购买《北上》的数量为本，则购买《牵风记》的数量为本，
根据题意，得，
解得，
学校购买《北上》的数量多于本，
，
为整数，
可以取，，，
有种购买方案，
方案一：当时，．此时购买费用为（元）；
方案二：当时，．此时购买费用为（元）；
方案三：当时，．此时购买费用为（元）．
，
最低费用为元．
答：共有种购买方案，最低费用为元．
21. 若a、b、c是的三边，且a、b满足关系式，c是不等式组的最大整数解，判断的形状，并说明理由．
【答案】是等腰直角三角形，理由见解析
【解析】
【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定，求不等组的最大整数解，非负数的性质，先根据非负数的性质求出，，再解不等式组求出，最后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，即可得到是等腰直角三角形．
【详解】解：，
，，
，，
，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：，
不等式组的最大整数解为5，即，
，
，，
，
为等腰直角三角形．
22. 如图，四边形ABCD中，，将绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到．
（1）请求出旋转角的度数；
（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）旋转角的度数为90°；（2）AE与BD互相垂直，理由见详解．
【解析】
【分析】（1）由题意易得BC=AC，则有∠CBA=∠CAB=45°，进而问题可求解；
（2）由（1）可得∠DBC=∠EAC，如图∠1=∠2，∠2+∠DBC=90°，进而问题可求解．
【详解】解：（1）由将绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到可得：，
∴BC=AC，
∵，
∴∠CBA=∠CAB=45°，
∴∠ACB=90°，
即旋转角度为对应边的夹角，故旋转角为∠ACB=90°；
（2）AE⊥BD，理由如下：如图所示，
由（1）可得：，
∴∠DBC=∠EAC，
∵∠ACB=90°，
∴∠2+∠DBC=90°，
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠EAC=90°，
∴BD⊥AE．
【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．
23. 阅读材料：利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解例如：
．
根据以上材料，解答下列问题．
（1）分解因式（利用公式法）：；
（2）求多项式的最小值；
（3）已知a，b，c是三边长，且满足，求的周长．
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】本题主要考查了因式分解的意义，完全平方公式和平方差公式：
（1）根据配方法配方，再运用平方差公式分解因式即可；
（2）根据配方法配方，再根据平方的非负性，可得答案；
（3）先因式分解已知等式，再根据平方的非负性，确定，，的值即可．
【小问1详解】
解：
；
【小问2详解】
解：，
∵，
∴，
∴多项式的最小值为；
【小问3详解】
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，，
∵，
∴的周长为．
24. （1）操作思考：如图1，在平面直角坐标系中，等腰的直角顶点C在原点，若顶点A恰好落在点处，则点B的坐标为 ；
（2）感悟应用：如图2，一次函数的图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，过点B作线段且，直线交x轴于点D．
①点A的坐标为 ，点B的坐标为 ；
②直接写出点C的坐标 ；
（3）拓展研究：如图3，在平面直角坐标系中，的顶点A、C分别在y轴、x轴上，且，．若点C的坐标为，点A的坐标为，点B在第四象限时，请求出点B的坐标．
【答案】（1）；（2）①，，②；（3）
【解析】
【分析】本题是一次函数综合题，考查了一次函数性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握一次函数的性质与三角形全等的判定是解题的关键．
（1）作轴于点E，轴于点F，由可得，，，易证，，，因此；
（2）①一次函数，分别令，，即可得点A，点B的坐标；
②过点C作轴于M，由，根据全等三角形的性质即可解决问题；
（3）过点B作轴于N，由，根据全等三角形的性质即可解决问题，即可求出点B的坐标．
【详解】解：（1）如图1，作轴于点E，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴．
（2）①令，则
∴，
令，则，解得：，
∴，
故答案为：，；
②如图2，由（1）知，，，
∴，，
过点C作轴于M，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴点C的坐标为，
故答案为：；
（3）如图3，过点B作轴于N，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
25. 在 中，，，点 D 是直线 上一点，点 C 关于射线 的对称点为点 E．作直线 交射线 于点 F．连接 ．
（1）如图 1，点 D 在线段 上，求 的大小（用含α 的代数式表示）；
（2）如果，
①如图 2，当点 D 在线段 上时，用等式表示线段 ，， 之间的数量关系，并证明；
②如图 3，当点 D 在线段 的延长线上时，补全图形，直接写出线段 、、之间的数量关系．
【答案】（1）
（2）①，证明过程见解析；②，补全图形见解析
【解析】
【分析】（1）连接、，由轴对称的性质可得，，，设，则，由等腰三角形的性质可得出结论；
（2）①延长至点G，使，连接，证明为等边三角形，由等边三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出，即可得出结论；
②在上取点G，使得，连接，证明，由全等三角形的性质得出，即可得出结论．
【小问1详解】
解：连接、，
∵点E为点C关于的对称点，
∴，，，
设，则，
∵，
∴,
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
【小问2详解】
解：①，
延长至点G，使，连接，
∵，
∴，
∴为等边三角形，，
由（1）知，，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
②，连接，
∵点E为点C关于的对称点，
∴，，，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
在上取点G，使得，连接，
∴为等边三角形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题是几何变换综合题，考查作图−轴对称变换、全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，添加常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键．