2024年广东省清远市英德市中考二模数学试题

这是一份2024年广东省清远市英德市中考二模数学试题，共22页。试卷主要包含了考生务必保持答题卡的整洁等内容，欢迎下载使用。

说明：
1．全卷共4页，满分为120分，考试用时为120分钟．
2．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡上填写自己的学校、班级、姓名、试室号、座位号，用2B铅笔把对应号码的标号涂黑．
3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂选其他答案，答案不能答在试卷上．
4．非选择题必须用黑色字迹签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．
5．考生务必保持答题卡的整洁．考试结束时，将试卷和答题卡分开交回．
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 德国数学家卡尔·魏尔斯特拉斯被誉为“现代分析学之父”，他于1841年提出绝对值概念，根据绝对值的概念，的绝对值是（ ）
A. B. 2C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了求一个数的绝对值，根据绝对值的概念即可求解．
【详解】解：的绝对值是
故选：B．
2. 北京时间2024年4月25日20时59分，神州十八号载人飞船在酒泉卫星发射中心点火升空，它的发射是中国航天科的一次重要里程碑．神州十八号飞船搭载的中国研制长征二号遥十八运载火箭，它的近地运载能力有千克，则千克用科学计数法表示为（ ）克．
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】试卷源自 每日更新，不到1元，欢迎访问。【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值大于与小数点移动的位数相同．
【详解】解：，
故选：A．
3. 下列图形为正方体展开图的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了正方体的展开图．熟练掌握正方体的展开图是解题的关键．
根据正方体展开图包括，，，型，进行判断作答即可．
【详解】解：由题意知，
是正方体的展开图，
故选：C．
4. 如图，一杆古秤在称物时的状态如图所示，已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了平行线的性质，平角定义，利用平行线的性质得出，利用平角定义求出，即可求解．
【详解】解：如图，
根据题意得，
∴，
∵，
∴，
故选：B．
5. 若，下列正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了幂的运算，根据同底数幂的乘除法，负整数指数幂，代数式求值进行计算即可求解．
【详解】解：∵，
∴，，，，
故选项C中计算正确，符合题意，选项A、B、C中计算错误，不符合题意，
故选：C．
6. “践行垃圾分类・助力双碳目标”主题班会结束后，米乐和琪琪一起收集了一些废电池，米乐说：“我比你多收集了7节废电池”琪琪说：“如果你给我8节废电池，我的废电池数量就是你的2倍．”如果他们说的都是真的，设米乐收集了节废电池，琪琪收集了节废电池，根据题意可列方程组为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据米乐及琪琪收集废电池数量间的关系，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解．找出等量关系是解题的关键．
【详解】设米乐收集了节废电池，琪琪收集了节废电池，
∵米乐比琪琪多收集了7节废电池，
∴，
∵若米乐给琪琪8节废电池，则琪琪的废电池数量就是米乐的2倍，
∴，
∴根据题意可列方程组为：
，
故选：A．
7. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给好朋友小乐，小文将它们背面朝上放在桌面上（邮票背面完全相同），让小乐从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取一张，则小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．理解和掌握树状图的画法和概率的公式是解题的关键．根据题意，可以画出相应的树状图，从而可以得到小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率．
【详解】解：设立春用表示，立夏用表示，秋分用表示，大寒用表示，树状图如下，
由上可得，一共有种可能性，其中小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的可能性种，
∴小乐抽到的两张邮票恰好是“立春”和“立夏”的概率是．
故选：A．
8. 已知一个正多边形的一个内角是，则这个正多边形的边数是（ ）
A. 8B. 9C. 10D. 11
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查正多边形的内角和问题．正多边形的内角度数为：，熟记此公式即可求解．
【详解】解：由题意得：，
解得：
故选：C．
9. 如图是小明实验小组成员在小孔成像实验中的影像，蜡烛在刻度尺处，遮光板在刻度尺处，光屏在刻度尺处，量得像高，则蜡烛的长为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】本题考查了相似三角形的应用，根据题意证明，得出比例式求出的长即可．
【详解】解：由题意可知，，，，，
，
，
解得，
即蜡烛的长为，
故选：D．
10. 如图，在中，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为（ ）．
A B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了等腰三角形三线合一性质，中位线定理，弧长公式，连接，，，根据等腰三角形三线合一性质，圆周角定理，中位线定理，弧长公式计算即可．
【详解】解：如图，连接，，，

∵为直径，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
∴弧的长为，
故选：C．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11. 计算：＝_____．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次根式的乘法法则计算即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了二次根式的乘法，解题的关键是掌握运算法则．
12. 写一个不等式使它的解集为图中表示的解集：_________．
【答案】（答案不唯一）
【解析】
【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，根据数轴得到不等式的解集即可求解．
【详解】解：根据数轴可得表示的解集为：，
故该不等式可以为：．
故答案为：．
13. 如图，一次函数的图像与轴交于点，则点的坐标是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，令，即可求解．
【详解】解：，当时，，
即点的坐标是，
故答案为：．
14. 如果是一元二次方程一个解，则的值是_________．
【答案】##
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入，即可求解．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个解，
∴
∴
故答案为：．
15. 如图为反比例函数的图像，点为反比例函数图像上一点，点坐标为，以为边作菱形，使得点在轴上，则的面积是_________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，菱形的性质，连接交轴于点，根据题意得出，，进而根据菱形的性质，即可求解．
【详解】解：如图所示，连接交轴于点，
∵反比例函数，点坐标为
∴
∵四边形是菱形，
∴
故答案为：．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16题10分，第17题7分，第18题7分，共24分．
16. （1）计算；
（2）化简．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的混合运算；
（1）根据零指数幂，化简二次根式，特殊角的三角函数值进行计算即可求解；
（2）根据分式的混合运算进行计算即可求解．
【详解】解：（1）
；
（2）
17. 2024年中央一号文件强调“强化农业科技支撑”，充分发挥科技生产力对企业和产业发展的作用，某镇计划引进无人机田间喷酒农药技术，无人机喷酒农药时，平均每亩地用药量比常规喷药壶用药量少，无人机用药喷酒的农田面积与常规喷药並用药喷酒的农田面积相同．求无人机喷酒农药时，平均每亩地的用药量．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解答的关键．设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为 ，则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，根据无人机用药喷洒的农田面积与常规喷药壶用药喷洒的农田面积相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论．
【详解】解：设无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为 ，则用常规喷药壶喷洒农药时，平均每亩地的用药量为，
根据题意得：
解得：，
经检验，是所列方程的解，且符合题意．
答：无人机喷洒农药时，平均每亩地的用药量为．
18. 某综合实践研究小组为了测量观察目标时的仰角和俯角，利用量角器和铅锤自制了一个简易测角仪，如图1所示．
（1）如图2，在点观察所测物体最高点，当量角器零刻度线上两点均在视线上时，测得视线与铅垂线所夹的锐角为，设仰角为，请直接用含的代数式示．
（2）如图3，为了测量广场上空气球离地面的高度，该小组利用自制简易测角仪在点分别测得气球的仰角为为，地面上点在同一水平直线上，，求气球离地面的高度．（参考数据：）
【答案】（1）
（2）气球离地面的高度为
【解析】
【分析】本题考查解直角三角形实际应用；
（1）如图所示，铅垂线与水平线相互垂直，从而利用直角三角形中两锐角互余即可得到答案；
（2）根据题意，作于点，在中，，由等腰直角三角形性质得到；在中，，由，解方程即可得到答案．
【小问1详解】
解：如图所示：

由题意知，
在中，，则，即，
；
【小问2详解】
解：如图所示：作于点

在中，，由等腰直角三角形性质得到，
在中，，
由，
即，
解得，
气球离地面的高度为．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19. （1）尺规作图：过直线外一点作直线的平行线．
（2）你在（1）作图依据是_________．
【答案】（1）见解析；（2）同位角相等两直线平行
【解析】
【分析】（1）本题考查了作一个角等于已知角，平行线的判定；
（1）过点引直线，交直线于，然后作即可得到；
（2）根据同位角相等两直线平行即可求解．
【详解】（1）如图（答案不唯一），直线即为所求．
（2）
作图依据是同位角相等两直线平行
20. 综合与实践
主题：检测雕塑(下图)底座正面的边和边是否分别垂直与底边．
素材：一个雕塑，一把卷尺．
步骤1：利用卷尺测量边，边和底边的长度，并测量出点之间的距离；
步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边．
解决问题：
（1）通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？
（2）如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有办法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明．
【答案】（1），理由见解析
（2）有，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用，
（1）由勾股定理逆定理求出，则可得出结论；
（2）在边上量一小段，在边上量一小段，这时只要量一下是否等于即可．
【小问1详解】
解：垂直，理由为：
在中，因为，，，
所以，
，
所以，
所以．
【小问2详解】
解：在边上量一小段，
在边上量一小段，，
这时只要量一下是否等于即可．
21. 【问题情境】数学活动课上，老师带领同学们开展“利用树叶的特征对树木进行分类”的实践活动．
【实践发现】同学们随机收集芒果树、荔枝树的树叶各10片，通过测量得到这些树叶的长（单位：），宽（单位：）的数据后，分别计算长宽比，整理数据如下：
【实践探究】分析数据如下：
【问题解决】
（1）_________，_________，_________；
（2）同学说：“从树叶的长宽比的方差来看，我认为芒果树叶的形状差别大．”同学说：“从树叶的长宽比的平均数、中位数和众数来看，我发现荔枝树叶的长约为宽的两倍．”以上两位同学的说法中，合理的是_________同学；
（3）现有一片长，宽的树叶，请判断这片树叶更可能来自于芒果、荔枝中的哪种树？并给出你的理由．
【答案】（1），，
（2）B （3）可能来自荔枝，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了众数，中位数，平均数和方差，
（1）根据算术平均数、中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据题目给出的数据判断即可；
（3）根据树叶的长宽比判断即可．
【小问1详解】
解：由题意得，，
把片芒果树叶的长宽比从小到大排列，排在中间的两个数分别为、，
故；
片荔枝树叶的长宽比中出现次数最多的是，故；
故答案为：；；；
【小问2详解】
解：∵，
∴芒果树叶的形状差别小，故A同学说法不合理；
∵荔枝树叶的长宽比的平均数，中位数是，众数是，
∴B同学说法合理．
故答案为：B；
【小问3详解】
解：这片树叶更可能来自荔枝，理由如下：
∵一片长，宽的树叶，长宽比接近，
∴这片树叶更可能来自荔枝．
五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分）
22. 综合与探究
问题情境：数学活动课上，老师将两个具有公共顶点的全等三角形按图1所示摆放，．老师让各小组在此基础上展开探究．
（1）勤奋小组将图1中的延长，分别交于点和点，试判断与的数量关系并说明理由；
（2）善思小组固定，将绕点逆时针旋转，如图2，当时，与相交于点，过点作于点，试判断与的数量关系并说明理由；
（3）创新小组将图1中的绕点逆时针旋转，如图3，当时，与相交于点，过点作于点．若，请直接写出的长．
【答案】（1），理由见解析
（2），理由见解析
（3）的长为
【解析】
【分析】（1）根据题意可知，得到，证明出四边形是矩形，得到，从而得出；
（2）过点B作的垂线，交的延长线于点H，先证明，进而证明四边形是矩形，得到，进而推出；
（3）过点M作于点G，利用勾股定理求出的长，再根据，得到，推出，设，则，证明，根据，求出x的值，求出的长，再证明，通过即可求出最后结果．
【小问1详解】
解： ，理由如下：
由题可知，
，
，
，
，
，即，
，
，
四边形是矩形，
，
，
；
【小问2详解】
，理由如下：
如图，过点B作的垂线，交的延长线于点H，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，
，
；
【小问3详解】
如图，过点M作于点G，
则，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
解得：，
，
，
，
，
，
，
，
，
即，
．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，准确作出辅助线是解答本题的关键．
23. 如图，已知抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C，连接．
（1）求抛物线的表达式；
（2）点P是直线上方抛物线上一动点（不与A、C重合），连接交线段于点D，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值；
（3）已知点E的坐标为，过点E的直线上有且只有三个点能够与点A，B构成直角三角形，请直接写出满足条件的所有直线的解析式．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）先求出，进而求出直线的解析式为，如图所示，分别过点B．P作直线的垂线，分别交直线于F、E，设，则，可得，证明，得到，则当时，有最大值，再证明，则的最大值为；
（3）由过点E的直线与以为直径的圆最多有两个交点，且过点A且与的直线垂直和过点B与的直线垂直与过点E的直线各有一个交点或都没有交点，则只有当过点E的直线与以为直径的圆相切时才能保证过点E的直线上有且只有三个点能够与点A，B构成直角三角形，如图所示，当经过点E的直线刚好与以为直径的圆在上方相切时，设切点为H，直线交y轴于F，取中点，连接，可得，解直角三角形得到，求出，同理可得直线解析式为；同理在x轴下方满足题意的解析式为．
【小问1详解】
解：把代入中得：，
∴，
∴抛物线解析式为；
【小问2详解】
解：在中，当，，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
如图所示，分别过点B．P作直线的垂线，分别交直线于F、E，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，
∵的面积为，的面积为，
∴，
∴的最大值为；
【小问3详解】
解：∵过点E的直线与以为直径的圆最多有两个交点，且过点A且与的直线垂直和过点B与的直线垂直与过点E的直线各有一个交点或都没有交点，
∴只有当过点E的直线与以为直径的圆相切时才能保证过点E的直线上有且只有三个点能够与点A，B构成直角三角形，
如图所示，当经过点E直线刚好与以为直径的圆在上方相切时，设切点为H，直线交y轴于F，取中点，连接，
∵，
∴，
∴，
由切线的性质可得，
在中，，
∴，
在中，，
∴，
同理可得直线解析式为；
同理在x轴下方满足题意的解析式为；
综上所述，满足题意的解析式为或．
【点睛】本题主要考出来二次函数综合，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，切线的性质等等，解（2）的关键在于推出，解（3）的关键在于推出过点E的直线与以为直径的圆相切时才能保证过点E的直线上有且只有三个点能够与点A，B构成直角三角形．实验序号
芒果树叶的长宽比
荔枝树叶的长宽比
平均数
中位数
众数
方差
芒果树叶的长宽比
荔枝树叶的长宽比