2024年四川省凉山彝族自治州会东县九年级二模数学试题

这是一份2024年四川省凉山彝族自治州会东县九年级二模数学试题，共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共6页，分为A卷（100分），B卷（50分），全卷满分150分，考试时间120分钟，A卷又分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷．
A卷（100分）
第Ⅰ卷（选择题共48分）
注意事项：请将第Ⅰ卷各小题答案答在第Ⅱ卷前的答题卷上，不能答在第Ⅰ卷试卷上．
一、选择题：（共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题给出的四个选项中只有一项是正确的，请把正确选项的字母填在答题卷上相应的位置．
1. 倒数是（ ）
A. B. 2024C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查绝对值与倒数，熟练掌握相关的知识点是解题的关键．
根据倒数的定义以及绝对值的性质进行解题即可．
【详解】解：∵，
∴的倒数为．
故选：C．
2. 我国的国土面积为万平方千来，用科学记数法表示为（ ）平方千米．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．
【详解】解：万，
故选：C．
3. 作为中国非物质文化遗产之一的紫砂壶，成型工艺特别，造型式样丰富，陶器色泽古朴典雅，从一个方面鲜明地反映了中华民族造型审美意识．如图是一把做工精湛的紫砂壶“景舟石瓢”，下面四幅图是从左面看到的图形的是（ ）试卷源自 每日更新，不到1元，欢迎访问。试卷源自 每日更新，不到1元，欢迎访问。
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了从三个方面看物体，准确把握从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形是解决问题的关键．从正面、左面和上面三个方向看立体图形得到的平面图形，注意所有的看到的或看不到的棱都应表现在视图中，看得见的用实线，看不见的用虚线，虚实重合用实线．
【详解】解：从左面看，得到的平面图形是，
故选：B．
4. 下列计算结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题主要考查整式的运算，根据合并同类项，单项式乘单项式法则、同底数幂的除法、积的乘方逐一计算即可判断．
【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；
B. ，故该选项正确，符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项不正确，不符合题意；
故选：B．
5. 在△ABC中，若=0，则∠C的度数是（ ）
A. 45°B. 60°C. 75°D. 105°
【答案】C
【解析】
【分析】根据非负数的性质可得出csA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C的度数．
【详解】解：由题意，得 csA=，tanB=1，
∴∠A=60°，∠B=45°，
∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．
故选C．
【点睛】此题主要考查了特殊角的三角函数值、非负数的性质，正确记忆特殊角的三角函数值是解题关键．
6. 学校举行投篮比赛，某班有7名同学参加了比赛，比赛结束后，老师统计了他们各自的投篮数，分别为3，5，5，6，6，4，6．下列关于这组数据描述不正确的是（ ）
A. 众数为6B. 平均数为5C. 中位数为5D. 方差为1
【答案】D
【解析】
【分析】此题考查了求众数，中位数，方差及平均数，根据定义求出对应数值分别判断，即可得到答案．
【详解】解：A、6出现3次，出现次数最多，故众数是6，该项描述正确，不符合题意；
B、 ，故该项描述正确，不符合题意；
C、这组数据按由小到大排列是：3，4，5，5，6，6，6．最中间的是第四个数5，中位数为5，故该项描述正确，不符合题意；
D、方差为，故该项描述错误；符合题意，
故选：D．
7. 如图，一次函数与抛物线相交于A、B两点，则关于x的不等式的解集为（ ）
A. 或B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，根据函数图象得出的取值范围．
【详解】解：观察函数图象可得：或时，抛物线在直线上方，
∴关于x的不等式的解集为或，
故选：A．
8. 关于x的一元二次方程x2+（a2﹣2a）x+a﹣1=0的两个实数根互为相反数，则a的值为（ ）
A. 2B. 0C. 1D. 2或0
【答案】B
【解析】
【详解】设方程的两根为x1，x2，
根据题意得x1+x2=0，
所以a2-2a=0，解得a=0或a=2，
当a=2时，方程化为x2+1=0，△=-4＜0，故a=2舍去，
所以a的值为0．
故选B．
9. 如图，矩形的对角线相交于点，过点作，交于点，连接．若，则的度数是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理的应用，根据矩形的性质可得对角线相等，进而根据已知可得垂直平分，根据等边对等角得出，进而可得，根据即可求解．
【详解】解：∵矩形的对角线相交于点，
∴，，
又∵
∴，
∴
∴
∵，
∴
∴
又∵
∴
∴
∴，
故选：C．
10. 若关于x的分式方程的解为负数，a的取值范围（ ）
A. 且B. 且
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了分式方程的解，分式方程去分母后转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，根据解为负数列出不等式，求出不等式的解集得到的范围，再根据，得到的取值，即可确定出的范围．
【详解】解：
去分母得：，
整理得：，
解得：，
根据题意得： ，
解得：，
又∵，
∴；
又∵
∴，
则的取值范围为且．
故选：A．
11. 如图，等腰的顶点在圆上，点A在圆外，于点，若，则圆的半径为（ ）

A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】过点A作于点E，连接、，根据等腰三角形性质得出垂直平分，根据，得出点O在上，根据三角函数求出，，，求出，根据勾股定理求出，即可得出答案．
【详解】解：过点A作于点E，连接、，如图所示：

∵，，
∴，，
∴垂直平分，
∵，
∴点O在上，
∵，
∴设，则，
根据勾股定理得：，
∵，
∴，
解得：，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，根据勾股定理得：，故C正确．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了垂直平分线的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，等腰三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握基本的性质和判断．
12. 二次函数（）的图象如图所示，下列说法：
①，
②当时，，
③若、在函数图象上，当时，，
④，
其中正确的是（ ）
A. ①②④B. ①④C. ①②③D. ③④
【答案】B
【解析】
【分析】①由抛物线与x轴的两交点坐标可求出抛物线的对称轴为直线x＝1，进而即可得出2a＋b＝0，符合题意；②结合图形即可得出当−1≤x≤时，y≤0，不符合题意；③根据二次函数的性质找出：当x≤1时，y值随x的增大而减小，进而即可得出③不符合题意；④由（3，0）在抛物线上，代入后即可得出9a＋3b＋c＝0，符合题意．
【详解】解：①∵二次函数图象的对称轴为：，
∴，即，故①正确；
②由函数图象可知，当时，，故②错误；
③∵抛物线的对称轴为x=1，开口方向向上，
∴当时，；当时，；故③错误；
④∵二次函数的图象过点（3，0），
∴当x=3时，y=0，即，故④正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析四条结论的正确性是解题的关键．
第Ⅱ卷 非选择题（72分）
二、填空题（共5小题，每小题4分，满分20分）
13. 函数中，自变量x的取值范围是_______．
【答案】且．
【解析】
【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负数和分式分母不为0的条件进行求解即可．
【详解】由题意得：，
解得：x≥-1且，
故答案为：x≥-1且．
【点睛】本题考查了求函数自变量取值范围；涉及了二次根式和分式有意义的条件，熟练掌握相关知识是解题的关键．
14. 因式分解为：______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了因式分解，直接根据平方差公式因式分解，即可求解．
【详解】解：
故答案为：．
15. 如图，在中，，轴，点在反比例函数的图象上．若点在反比例函数的图象上，则的值为______．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与面积，根据反比例函数的几何意义求解即可．
【详解】如图，交轴于，
∵轴，
∴轴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
∵，
∴，
∵点在反比例函数的图象上，
∴，
解得，
∵过第二象限，
∴，
∴，
故答案为：．
16. 如图，与，点为位似中心，位似比为2：3．若的周长和面积都是4，则的周长是______，面积是______．
【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】此题主要考查了位似图形的性质，根据位似变换的定义、相似三角形的性质计算即可．
【详解】解：∵和是位似图形，位似比为，
∴和的相似比为，
∴的周长的周长，的面积的面积，
故答案为：，．
17. 如图，在中，．利用尺规在、上分别截取、，使；分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；作射线交于点．若，则的长为_________．
【答案】
【解析】
【分析】如图所示，过点H作HM⊥BC于M，由作图方法可知，BH平分∠ABC，即可证明∠CBH=∠CHB，得到，从而求出HM，CM的长，进而求出BM的长，即可利用勾股定理求出BH的长．
【详解】解：如图所示，过点H作HM⊥BC于M，
由作图方法可知，BH平分∠ABC，
∴∠ABH=∠CBH，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠CHB=∠ABH，∠C=180°-∠ABC=30°，
∴∠CBH=∠CHB，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了角平分线的尺规作图，平行四边形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质与判定等等，正确求出CH的长是解题的关键．
三、解答题（共5小题，共32分）
18. 计算：
【答案】
【解析】
【分析】先算负指数幂，特殊角的三角函数值，零指数幂，以及绝对值，再算乘法，最后算加减，由此顺序计算即可．
【详解】原式
．
【点睛】此题考查负指数幂，特殊角的三角函数值，0指数幂，以及绝对值，二次根式的混合运算，解题关键在于掌握运算顺序，正确判定符号计算即可．
19. 先化简：，然后从的范围内选取一个合适的整数作为的值代入求值．
【答案】，当x=2时，值为
【解析】
【分析】先根据分式的混合运算进行化简，再根据分式有意义及除数不为0求出x的取值，再代入计算即可．
【详解】解：原式
由题意得，，
∴，
又∵，
∴x可取-2，2
若x=2时，．
【点睛】本题考查分式化简求值，及分式有意义的条件及除数不为零，解题关键是熟练掌握分式的混合运算．
20. 为丰富校园文化生活，发展学生的兴趣与特长，促进学生全面发展．某中学团委组建了各种兴趣社团，为鼓励每个学生都参与到社团活动中，学生可以根据自己的爱好从美术、演讲、声乐、舞蹈、书法中选择其中1个社团．某班班主任对该班学生参加社团的情况进行调查统计，并绘制成如下两幅不完整的统计图．请根据统计图提供的信息完成下列各题：
（1）该班的总人数为 人，并补全条形图（注：在所补小矩形上方标出人数）；
（2）在该班团支部4人中，有1人参加美术社团，2人参加演讲社团，1人参加声乐社团如果该班班主任要从他们4人中任选2人作为学生会候选人，请利用树状图或列表法求选出的两人中恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率．
【答案】（1）50，图见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）用参加声乐社团人数除以声乐社团人数占的百分比，即可计算出全班总人数，再用全班总人数乘以参加演讲社团人数占的百分比，即可求出参加演讲社团人数，然后补全条形统计图即可；
（2）用画树状图法求解即可．
【小问1详解】
解：该班的总人数为：12÷24%=50（人），
参加演讲社团人数为：50×16%=8（人），
补全条形图为：
【小问2详解】
解：画树状图为：（用A表示参加美术社团、用B表示参加声乐社团，用C、C表示参加演讲社团）
共有12种等可能的结果数，其中所抽取两名学生恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的结果数为4，
抽取两名学生恰好有1人参加美术社团、1人参加演讲社团的概率=，
【点睛】本题考查条形统计图，扇形统计图，用画树状图法或列表法求概率，从统计图中获取到有用的信息和掌握用画树状图法或列表法求概率是解题的关键．
21. 如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°，从楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°.已知树高EF=6米，求塔CD的高度（结果保留根号）.
【答案】（6+2）米
【解析】
【分析】根据题意求出∠BAD=∠ADB=45°，进而根据等腰直角三角形的性质求得FD，在Rt△PEH中，利用特殊角的三角函数值分别求出BF，即可求得PG，在Rt△PCG中，继而可求出CG的长度．
【详解】由题意可知∠BAD=∠ADB=45°，
∴FD=EF=6米，
在Rt△PEH中，
∵tanβ==,
∴BF==5，
∴PG=BD=BF+FD=5+6，
∵tanβ= ,
∴CG=（5+6）·=5+2，
∴CD=（6+2）米.
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识求解相关线段的长度．
22. 如图，在矩形中，点是上一点，且，，垂足为点，．
（1）求证：
（2）若，点是上一动点，以的速度从点运动到点，问：点运动多少秒四边形是菱形？请说明理由．
【答案】（1）证明见解析
（2）秒，理由见解析
【解析】
【分析】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，全等三角形的性质与判定；
（1）根据矩形的性质，结合已知条件，证明，进而即可得证；
（2）设点运动秒，四边形是菱形，根据菱形的性质可得，根据，建立方程，解方程，即可求解．
【小问1详解】
证明：∵矩形
，
在中，，
，
，
又
，
，
【小问2详解】
设点运动秒，四边形是菱形，
四边形是菱形
，
，
，
，即
点运动秒，四边形是菱形
B卷（共50分）
四、填空题：（共2小题，每小题5分，共10分）
23. 已知关于x的不等式组仅有三个整数解，则a的取值范围是___________．
【答案】
【解析】
【详解】解：由4x+2＞3x+3a，
解得x＞3a﹣2，
由2x＞3（x﹣2）+5，
解得3a﹣2＜x＜1，
由关于x的不等式组仅有三个整数解，
得﹣3≤3a﹣2＜﹣2解得，
故答案为：.
【点睛】考点：一元一次不等式组的整数解
24. 如图，在等边△ABC中，，点P是边BC上的动点，将△ABP绕点A逆时针旋转得到△ACQ，点D是AC边的中点，连接DQ，则DQ的最小值是________．
【答案】
【解析】
【分析】根据旋转的性质，即可得到∠BCQ＝120°，当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，再根据勾股定理，即可得到DQ的最小值．
【详解】解：如图，由旋转可得∠ACQ＝∠B＝60°，
又∵∠ACB＝60°，
∴∠BCQ＝120°，
∵点D是AC边的中点，
∴CD＝3，
当DQ⊥CQ时，DQ的长最小，
此时，∠CDQ＝30°，
∴CQ＝CD＝，
∴DQ＝，
∴DQ的最小值是，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的性质、勾股定理、线段最小值问题等知识点，找到最短线段出现的点是解答本题的关键．
五、解答题（共4小题，共40分）
25 某校计划购买甲、乙两种树苗共1000株用以绿化校园，甲种树苗每株25元，乙种树苗每株30元，通过调查了解，甲，乙两种树苗成活率分别是90%和95%．
（1）若购买这种树苗共用去28000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？
（2）要使这批树苗的总成活率不低于92%，则甲种树苗最多购买多少株？
（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗的费用最低？并求出最低费用．
【答案】（1）购甲种树苗400株，乙种树苗600株；（2）甲种树苗最多购买600株；（3）购买家中树苗600株．乙种树苗400株时总费用最低，最低费用为27000元．
【解析】
【详解】试题分析：（1）方程组的应用解题关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程组求解．本题设购甲种树苗x株，乙种树苗y株，根据购买甲、乙两种树苗共1000株和购买两种树苗的总价为28000元建立方程组求出其解即可．
（2）不等式的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解．本题设购买甲种树苗a株，则购买乙种树苗（1000﹣a）株，由这批树苗的总成活率不低于92%建立不等式求出其解即可．
（3）设购买树苗的总费用为W元，根据总费用=两种树苗的费用之和建立解析式，由一次函数的性质求出结论．
试题解析：解：（1）设购甲种树苗x株，乙种树苗y株，由题意，得
，解得：．
答：购甲种树苗400株，乙种树苗600株．
（2）设购买甲种树苗a株，则购买乙种树苗（1000﹣a）株，由题意，得
90%a+95%（1000﹣a）≥92%×1000，解得：a≤600．
答：甲种树苗最多购买600株．
（3）设购买树苗的总费用为W元，由题意，得
W=25a+30（1000﹣a）=﹣5a+30000．
∵k=﹣5＜0，∴W随a的增大而减小，
∵0＜a≤600，∴a=600时，W最小=27000元．
∴购买家中树苗600株．乙种树苗400株时总费用最低，最低费用为27000元．
考点：1．二元一次方程组的应用；2．一元一次不等式的应用；3．一次函数的应用．
26. 阅读理解：
若一个整数能表示（a，b为整数）的形式，则称这个数为“平和数”，
例如：．因为，所以是“平和数”
（1）请你直接写出个“平和数”．并判断是否为“平和数”，并说明理由；
（2）无论，取何整数，代数式（k是常数）的值都是“平和数”，求k的值；
（3）如果数，都是“平和数”，试说明也是“平和数”．
【答案】（1）10、13是“平和数”；104是“平和数”；理由见解析
（2）10 （3）见解析
【解析】
【分析】本题考查了有理数的混合运算，因式分解、完全平方公式的应用；
（1）根据新定义进行验证，即可求解；
（2）根据完全平方公式因式分解，得，根据新定义可得；
（3）设，，进而计算的值，根据完全平方公式因式分解，即可求解．
【小问1详解】
如：10、13等，答案不唯一
104是“平和数”
【小问2详解】
∵无论x，y取何整数，该代数式的值都是“平和数”
【小问3详解】
∵数m，n都是“平和数”
设，（a，b，c，d为整数）
也是“平和数”
27. 如图，四边形是的内接四边形，是直径，是的中点，过点作交的延长线于点．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明见解析；
（2），．
【解析】
【分析】（1）根据“连半径，证垂直”即可，
（2）先由“直径所对的圆周角是直角”，证是直角三角形，用勾股定理求出长，再通过三角形相似即可求解．
【小问1详解】
连接

∵为的中点，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，为半径，
∴为的切线，
【小问2详解】
∵为直径，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
．
【点睛】此题考查切线的判定，圆周角定理，勾股定理定理的应用，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．
28. 如图①，直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线与轴交于点，与轴正半轴交于点，设是点，间抛物线上的点（包括端点）．其横坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当为何值时，面积取得最大值？请说明理由；
（3）如图②，连接，抛物线上是否存在点，使得是以为底的等腰三角形，如果存在，请求出点的坐标，不存在，请说明理由．
【答案】（1）
（2）当时，最大，理由见解析
（3）存在，或
【解析】
【分析】本题考查了二次函数综合问题；待定系数法求解析式，面积问题，特殊三角形问题；
（1）待定系数法求解析式，即可求解；
（2）连接，，过点作轴交于．过点作分别交直线，于、，求得直线的解析式为．得出点在运动过程中的长保持不变，要使的面积最大，则最大，即要使最大，进而根据二次函数的性质求得的最大值，即可求解；
（3）设，进而勾股定理求得，根据等腰三角形的定义，建立方程，解方程即可求解．
【小问1详解】
把，代入抛物线解析
式中得：，
抛物线解析式为；
【小问2详解】
如图所示，连接，，过点作轴交于．
过点作分别交直线，于、
设直线的解析式为，
直线过点，．
，
直线的解析式为．
直线与直线平行，
，
点在运动过程中的长保持不变，要使的面积最大，
则最大，即要使最大，
，
当最大时，最大，即此时的面积最大，
是点，间抛物线上的一点（包括端点）．其横坐标为．
，，
，
当时，最大，即此时的面积最大；
【小问3详解】
设
，
∵是以为底的等腰三角形
解得：，
或