2023-2024学年苏科版八下数学提优专题 奇数、偶数（含答案）

这是一份2023-2024学年苏科版八下数学提优专题 奇数、偶数（含答案），共16页。试卷主要包含了 A，…（a9等内容，欢迎下载使用。


一．选择题（共 5 小题）
若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如 4＝22
﹣02，12＝42﹣22，20＝62﹣42）．下列关于“神秘数”的叙述，正确的个数为（）
①2008 是“神秘数”；
②任意两个正奇数的平方差是“神秘数”；
③任意两个正奇数的平方差不是“神秘数”；
④在 1～100 这 100 个数中，“神秘数”有 13 个．
A．1B．2C．3D．4
2．（2020•浙江自主招生）哥德巴赫猜想之一为：任何一个大于 2 的偶数均可以写成两个素数之和（例如 8＝3+5）．到目前为止还没有人证明这一猜想是正确的，也没有人能找到一个反例证明这一猜想是错误的．如若要找一个反例，则反例必须符合下面哪一项（） A．一个大于 2 的奇数可以写成两个素数之和
一个大于 2 的奇数不能写成两个素数之和
一个大于 2 的偶数可以写成两个非素数之和
一个大于 2 的偶数不能写成两个素数之和
3．（2021•宁波模拟）已知 a、b、c 三个数中有两个奇数，一个偶数，n 是整数，如果 S＝（a+n+1）
+（b+2n+2）+（c+3n+3），那么（）
A．S 是偶数
B．S 是奇数
C．S 的奇偶性与 n 的奇偶性相同
D．S 的奇偶不能确定
设 a，b 为整数，给出下列 4 个结论：
（1）若 a+5b 是偶数，则 a﹣3b 是偶数；（2）若 a+5b 是偶数，则 a﹣3b 是奇数；（3）若 a+5b 是奇数，则 a﹣3b 是偶数；（4）若 a+5b 是奇数，则 a﹣3b 是奇数，其中结论正确的个数是（ ）
A．0 个B．2 个C．4 个D．1 个或 3 个
姜文在其导演的电影《一步之遥》中饰演“马走日”，该名字取自中国象棋中“马”的走法．
中国象棋，“马”走“日”字，即马走一步可以从“日”字形长方格的一个顶点走到对角的另一个顶点，当 n 是自然数时，马从棋盘上的点 A 走到点 B，所走的步数不可能是
（）
A．2015n2+2013nB．2014n+2015
C．2014n3+2015D．2013n+2014
二．填空题（共 11 小题）
． 已知三个质数 a ， b ， c 满足 a+b+c+abc ＝ 99 ， 那么| |+| |+| | 的值等于 ．
若 a，b，c 都是质数，其中 a 最小，且 a+b+c＝44，ab+3＝c，则 ab+c＝ ．
8．（2021•宁波模拟）1，2，3，…，98 共 98 个自然数中，能够表示成两整数的平方差的个数是 ．
9．甲、乙、丙三位同学一起去买书，他们买书的本数都是两位数字，且甲买的书最多，丙买的书最少，又知这些书的总和是偶数，它们的积是 3960，那么乙最多买 本．
10．（2020•浙江自主招生）将 1，2，3，4，5 这五个数字排成一排，最后一个数是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个数整除，那么满足要求的排法有 种．
11．（2022 秋•宝山区校级期中）已知 p，p+2，p+6，p+8，p+14 都是质数，则这样的质数 p
共有 个．
12．（2022 春•雨花区校级月考）设 0.＝0.737373…＝（m，n 是互质自然数），则 m+n
＝ ．
13 ．（ 2020 秋• 徐汇区校级期中） 已知 p 、 q 是质数， 其中 p+q ＝ 9 ， 则
＝ ．
14．（2023•蓬江区校级开学）99 个连续自然数之和等于 abcd，若 a、b、c、d 皆为质数，则
a+b+c+d 的最小值等于 ．
15．（2012•徐汇区校级模拟）一个两位数的素数，如果它的两个数字之和是 8，那么这个素数是 ．
16．已知 a 是质数，b 是奇数，且 a2+b＝2001，则 a+b＝ ．
三．解答题（共 6 小题）
17．（1）设 1，2，3，…，9 的任一排列为 a1，a2，a3…，a9．求证：（a1﹣1）（a2﹣2）…（a9
﹣9）是一个偶数．
（2）在数 11，22，33，44，55，…20022002，20032003，这些数的前面任意放置“+”或“﹣” 号，并顺次完成所指出的运算，求出代数和，证明：这个代数和必定不等于 2003．
18．能否找到自然数 a 和 b，a2＝2002+b2．
19 ．（ 2021 • 宁 波 模 拟 ） 已 知 x1 、 x2 、 x3 、 … 、 xn 都 是 +1 或 ﹣ 1 ， 并 且
，求证：n 是 4 的倍数．
能够在图中的小圆圈中填入 0 到 9 的所有整数，使得有三个圆圈的六条线段上的数之和都等于同一个值吗？请说明理由．
甲、乙两人玩纸牌游戏，甲持有全部的红桃牌（A 作 1，J，Q，K 分别作 11，12，13， 不同），乙持有全部的黑桃牌，两人轮流出牌，每次出一张，得到一对牌，出完为止，共得到 13 对牌，每对牌彼此相减，问这 13 个差的乘积的奇偶性能否确定？
是否存在正整数 x，y 使得 x2+y2＝2018？若存在，请求出 x，y 的值，若不存在，请说明理由．
参考答案与试题解析
一．选择题（共 5 小题）
【解答】解：由题知，
连续偶数的平方差可表示为：（2n+2）2﹣（2n）2＝8n+4．所以“神秘数”减去 4 之后是 8 的倍数．
又 2008﹣4＝2004，且 2004 不能被 8 整除，
所以 2008 不是“神秘数”．故①错误．
令两个正奇数是 2m+1 和 2n+1， 则（2m+1）2﹣（2n+1）2
＝4m2+4m﹣4n2﹣4n
＝4（m+n）（m﹣n）+4（m﹣n）
＝4（m﹣n）（m+n+1）．
又 m﹣n+m+n+1＝2m+1 是一个奇数，
所以 m﹣n 和 m+n+1 中一个是奇数一个是偶数． 所以（2m+1）2﹣（2n+1）2 是 8 的倍数，
而“神秘数”减去 4 之后是 8 的倍数，
所以任意两个正奇数的平方差不是“神秘数”．故②错误．
故③正确．
因为“神秘数”可以表示成 8n+4，
所以 n＝0，1，2，3，…12 时，8n+4 的结果在 1 到 100 之间． 即在 1～100 这 100 个数中，“神秘数”有 13 个．
故④正确．
所以正确的有③④． 故选：B．
【解答】解：从四个选项中可知，符合条件，但结论相反的例子是：一个大于 2 的偶数不
能写成两个素数之和． 故选：D．
3．【解答】解：（a+n+1）+（b+2n+2）+（c+3n+3）＝a+b+c+6（n+1）．
∵a+b+c 为偶数，6（n+1）为偶数，
∴a+b+c+6（n+1）为偶数，
∴a+n+1，b+2n+2，c+3n+3 三数必有一数为偶数，
∴S 是偶数． 故选：A．
4．【解答】解：（1）∵（a+5b）+（a﹣3b）＝2（a+b）为偶，故 a+5b 与 a﹣3b 必是相同奇偶性
又∵a+5b 是偶数，
∴a﹣3b 是偶数， 故本结论正确．
（2）与（1）相反，故本结论错误．
（3）∵a﹣3b＝（a+5b）﹣8b
又∵a+5b 是奇数，8b 显然是偶数，
∴（a+5b）﹣8b 是奇数，即 a﹣3b 是奇数故本结论错误．
（4）与（3）相反，故本结论正确．
∴结论正确的个数是 2． 故选：B．
【解答】解：将棋盘上的格点（纵横线的交点）分别涂上黑、白色．规则是：①从点A开始，涂黑色；②黑白相间（与黑点相的是白点，与白点相邻的是黑点）．则最后点 B涂黑色．显然，日字格的对角线的两端点的颜色相异．
∴马走日字格从 A 点到 B 点，所走的步数必定是奇数步，不可能是偶数．
∴无论为奇数还是偶数，则 2015n2+2013n 总是偶数，2014n+2015 与 2014n3+2015 总是奇数；而 2013n+2014 与 n 同奇偶．
∴马走日字格从 A 点到 B 点，所走的步数不可能是偶数 2015n2+2013n， 故选：A．
二．填空题（共 11 小题）
【解答】解：由题意知，
若 a，b，c 全是奇数，则 a+b+c+abc 的值为偶数， 若 a，b，c 全是偶数，则 a+b+c+abc 的值为偶数，
若 a，b，c 中只有一个是偶数，则 a+b+c+abc 的值为偶数， 若 a，b，c 中只有一个是奇数，则 a+b+c+abc 的值为奇数，
∵三个质数 a，b，c 满足 a+b+c+abc＝99，
∴a，b，c 中只有一个奇数， 又∵偶质数只有 2，
故设 a＝b＝2，则 c＝19，
∴| |+| |+| |＝| |+| |+| |＝ ， 故答案为： ．
【解答】解：∵a，b，c 都是质数，且 a+b+c＝44，其中 a 最小，
∴a＝2，
依题意有，
解得，
∴ab+c＝2×13+29＝55． 故答案为：55．
【解答】解：对 x＝n2﹣m2＝（n+m）（n﹣m）
（1≤x≤98，m，n 为整数）
因为 n+m 与 n﹣m 同奇同偶，所以 x 是奇数或是 4 的倍数，
在 1 至 98 共 98 个自然数中，奇数有 49 个，能被 4 整除的数有 24 个， 所以满足条件的数有 49+24＝73 个．
9．【解答】解：3960＝2×2×2×3×3×5×11，
∵这些书的总和是偶数，
∴三人买书的本数都是偶数或只有一人买书的本数是偶数，
∵甲买的书最多，丙买的书最少，
∴甲买书的本数＞乙买书的本数＞丙买书的本数，
∵他们买书的本数都是两位数字，
∴都是偶数的情况：10、18、22， 只有一人偶数的情况：11、15、24，
∴乙最多买 18 本， 故答案为：18．
【解答】解：设 a1，a2，a3，a4，a5 是 1，2，3，4，5 的一个满足要求的排列．
首先，对于 a1，a2，a3，a4，a5 不能有连续的两个都是偶数，否则，这两个之后都是偶数，与已知条件矛盾．
又如果 ai（1≤i≤3）是偶数，ai+1 是奇数，则 ai+2 是奇数，这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数．
所以 a1，a2，a3，a4，a5 只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下 5 种情形满足条件：
2，1，3，4，5；
2，3，5，4，1；
2，5，1，4，3；
4，3，1，2，5；
4，5，3，2，1． 故答案为：5．
【解答】解：显然，p＝2 和 p＝3 不符合要求． p＝5 时，容易看出 5，7，11，13，19 都是质数， p＞5 时，按 p 除以 5 的余数分类：
p＝5n 时，p 不是质数；
p＝5n+1 时，p+14＝5（n+3）不是质数； p＝5n+2 时，p+8＝5（n+2）不是质数； p＝5n+3 时，p+2＝5（n+1）不是质数； p＝5n+4 时，p+6＝5（n+2）不是质数． 因此，只有 p＝5 一个．
故答案为：1．
12．【解答】解：设 a＝0.，则 100a＝73.，
∴100a﹣a＝73.﹣0.＝73，
∴a＝ ，
∵0.＝0.737373…＝（m，n 是互质自然数），
∴0. ＝0.737373…＝ ＝ ，
∴m＝99，n＝73，
∴m+n＝99+73＝172， 故答案为 172．
13．【解答】解：∵p、q 是质数，p+q＝9，
∴p＝2，q＝7 或 p＝7，q＝2．
∴ ＝ + ＝ ． 故答案为： ．
14．【解答】解：设 abcd＝n+（n+1）+（n+2）+…+（n+98），
＝99n+ ，
＝99（n+49），
＝3×3×11（n+49），
不妨取，a＝b＝3，c＝11，
当 n 取最小值 4 时，d 为质数，即 d＝n+49＝4+49＝53， 故当 d＝53 时，a+b+c+d＝3+3+11+53＝70．
故答案为：70．
15．【解答】解：∵8＝1+7，8＝3+5，
∴这个数是：17，71，53． 故答案为：17，71，53．
16．【解答】解：∵a2+b＝2001，
∴a、b 必然是一个奇数一个偶数，
∵b 是奇数，
∴a 是偶数，
∵a 是质数，
∴a＝2，
∴b＝2001﹣4＝1997，
∴a+b＝2+1997＝1999． 故答案为：1999．
三．解答题（共 6 小题）
17．【解答】解：（1）用反证法．
假设（a1﹣1）（a2﹣2）…（a9﹣9）为奇数，则 a1﹣1，a2﹣2，…，a9﹣9 都为奇数，则 a1，a3，a5，a7，a9 为偶数，a2，a4，a6，a8 为奇数，
而 1﹣9 是 5 个奇数、4 个偶数， 奇偶数矛盾，因此假设不成立；
（2）∵11，22，33，44，55，…20022002，20032003，与 1，2，3，4，5，…2002，2003
的奇偶性相同，
∴在 11，22，33，44，55，…20022002，20032003 的任意数前加“+”或“﹣”的奇偶性 与在 1，2，3，4，5，…2002，2003 的任意数前加“+”或“﹣”的奇偶性相同，
∵两个整数的和与差的奇偶性相同，且 1+2+3+4+5+…+2003＝2003×（2003+1）÷2＝2003
×1002 是偶数，
∴这个代数式的和应为偶数，
即这个代数式的和必定不等于 2003． 18．【解答】解：∵a2＝2002+b2，
∴a2﹣b2＝2002，
（a+b）（a﹣b）＝2×1001，分以下情况讨论：
①当 a，b 同为奇数或偶数，则（a+b）（a﹣b）一定是偶数×偶数；
②当 a，b 为一奇数一偶数，则（a+b）（a﹣b）一定是奇数×奇数；这与（a+b）（a﹣b）＝2×1001 相矛盾，
∴找不到自然数 a 和 b，使 a2＝2002+b2．
【解答】证明：，，…不是 1 就是﹣1，设这 n 个数中有 a 个 1，b 个﹣1， 则 a+b＝n，a×1+b×（﹣1）＝a﹣b＝0，
所以得：n＝2b，
又因为（•…）＝1，
即 1a•（﹣1）b＝1， 由此得 b 为偶数， 又∵b＝2m，
∴n＝2b＝4m， 故 n 是 4 的倍数．
【解答】解：假设能够在图中的小圆圈中填入 0 到 9 的所有整数，使得有三个圆圈的六条线段上的数之和都等于同一个值．
每个圆圈中所填的数字如下图所示：
设 a+c+e+h＝A，b+d+f+g+m+n＝B， 则 A+B＝0+1+2+3+4+5+6+7+8+9＝45，
设每一条线段的三个数之和为 S，
则：a+b+c＝S，c+d+e＝S，e+f+a＝S，a+g+h＝S，h+m+c＝S，h+n+e＝S，
∴6S＝3a+3c+3e+3h+b+d+f+g+m+n，
即：6S＝3（a+c+e+h）+（b+d+f+g+m+n），
∴6S＝3A+B，
∴6S＝A+B+2B，
将 A+B＝45 代入上式，得：6S＝45+2B，
∴2B＝6S﹣45，
∵A，B，S 均为正整数，
∴2B 为偶数，6S 为偶数，
∴6S﹣45 为奇数，
∴2B＝6S﹣45 不成立，
∴假设不成立，
∴不能够在图中的小圆圈中填入 0 到 9 的所有整数，使得有三个圆圈的六条线段上的数之和都等于同一个值．
【解答】解：设甲的出牌顺序是 a1，a2，…a13，乙的出牌顺序是 b1，b2，…b13，得差 a1﹣b1，a2﹣b2，…a13﹣b13，
这 13 个差的和为 0，∴必至少有一个差是偶数，故它们的乘积是偶数， 即这 13 个差的乘积的奇偶性能确定．
【解答】解：存在正整数 x，y 使得 x2+y2＝2018；理由如下：
∵2018 被 4 除余 2，奇数的平方被 4 除余 1，偶数的平方是 4 的倍数，
∴x，y 必同时为奇数．
又∵奇数的平方的个位数必为 1，5，9 之一，若两个奇数的平方和的个位数为 8，则这两个奇数的平方的个位数都应是 9，
∴这两个奇数的个位数为 3 或 7． 又∵x≤y，
∴ ，即 1009≤y2＜2018，
∵312＝961，322＝1024，442＝1936，452＝2025，
∴32≤y≤44，
∴y 的可能值只有 33，37，43，列表如下：
∵169＝132，
∴符合条件的（x，y）仅有（13，43）这一组．
∴x＝13，y＝43．y
y2
2018﹣y2
是否为平方数
33
1089
929
否
37
1369
649
否
43
1849
169
是