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初中数学九年级下册 竞赛题奇数和偶数（含答案）
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这是一份初中数学九年级下册 竞赛题奇数和偶数（含答案），共11页。试卷主要包含了 选择题， 填空题， 解答题等内容，欢迎下载使用。
卷I（选择题）
一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ， ）
1. 我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以相互换算，如将000001012，000010112换算为十进制数应为：000001012=0×27+0×26+0×25+0×24+0×23+1×22+0×21+1×20=5；000010112=0×27+0×26+0×25+0×24+1×23+1×22+1×21+1×20=11. 按此方式，将二进制数001101012换算成十进制数和将十进制数18转化为二进制数的结果分别为( )
A.43， 000110012B.53， 000100102
C.53， 000100112D.43， 000101012
2. 我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以相互换算，如将000001012，000010112换算为十进制数应为：
000001012=0×27+0×26+0×25+0×24+0×23+1×22+0×21+1×20=5；000010112=0×27+0×26+0×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=11.
按此方式，将二进制数001101012换算成十进制数和将十进制数18转化为二进制数的结果分别为( )
A.43，000110012 B.53，000100102
C.53，000100112D.43，000101012
3. 将正整数依次按下表规律排列，则正整数208所在的位置是 （ ）
A.第69行第2列B.第69行第3列C.第70行第1列D.第70行第4列
4. 若三个连续奇数的和为51，则其中最小的一个奇数是（ ）
A.15B.17C.19D.−15或15
卷II（非选择题）
二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ， ）
5. 远古美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统，对于大于59的数，美索不达米亚人则采用六十进制的位值记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，例如：，左边的表示2×602；中间的表示3×60；右边的则表示1个单位，用十进制写出来是7381，若楔形文记数，表示十进制的数为________．
6. 把所有正偶数从小到大按如下方式排列：
第一行：2，4；
第二行：6，8，10，12；
第三行：14，16，18，20，22，24；
第四行：26，28，30，32，34，36，38，40；
…
则偶数2018在第________行．
7. 将一根绳子两端分别涂上红色和白色，再在中间随意画3个圆点，涂上白色或红色，然后在这三个圆点处把绳子剪断，这样所得到的各小段两端都有颜色．则两端颜色不同的小段数目一定是________（答奇数或偶数）．
8. 一个四位数具有这样的性质：用它的后两位数去除这个四位数得到一个完全平方数（如果它的十位数字是零，就只用个位数去除），且这个完全平方数正好是前两位数加1的平方．例如4802÷2=2401=492=(48+1)2．则具有上述性质的最小四位数是________．
9. 在12，22，32，…，952这95个数中十位数字为奇数的数共有________个．
10. 一次数学小测验共有十道选择题，每题答对得3分，答错或不答均扣1分，则这次小测验的成绩至多有________种可能的分数．
11. 整数11994+91994+81994+61994的奇偶性为________（填奇数或偶数）．
12. 1+2+3+4+...+1993的值是________（奇、偶）数．
三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，13--16每题 11 分 ，17—20每题10分，共计84分 ， ）
13. 如图是一个二次函数的图象，顶点是原点O，且过点A(2, 1)，
（1）求出二次函数的表达式；
（2）我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，请用整数n表示这条抛物线上所有的整点坐标．
（3）过y轴的正半轴上一点C(0, a)作AO的平行线交抛物线于点B，
①求出直线BC的函数表达式（用a表示）；
②如果点B是整点，求证：△OAB的面积是偶数．
14. 关于x的方程kx2−(k−1)x+1=0有有理根，求整数k的值．
15. 在数字1，2…，n(n≥2)的任意一个排列A:a1，a2，…，an中，如果对于正整数i，j有iaj，那么就称(ai>aj)为一个逆序对，记排列A中逆序对的个数为S(A)，如n＝4时，在排列B:3，2，4，1中，逆序对有(3, 2)，(3, 1)，(2, 1)，(4, 1)，则S(B)＝4
（1）设排列C:3，5，6，4，1，2和D:3，5，4，6，1，2，写出S(C)和S(D)的值；
（2）把排列A:a1，a2，…，an中两个数字ai，aj交换位置，其余数字的位置保持不变，得到一个新的排列A′，
①若数字ai，aj相邻，证明S(A)+S(A′)为奇数；
②若数字ai，aj相隔m个数字(m≥1)，证明：S(A)+S(A′)为奇数．
16. 观察下列等式：1=12−02，3=22−12，5=32−22，7=42−32，⋯
我们规定；像1，3，5，7，⋯这样能表示成两个连续自然数的平方差的正整数称为“美妙数”．
(1)判断15是否是“美妙数”，请说明理由；
(2)小奇说：“美妙数都是奇数．”他的说法对吗？请作出判断，并说明理由．
17. 如图是一个二次函数的图象，顶点是原点O，且过点A(2, 1).
(1)求出二次函数的表达式；
(2)我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，请用整数n表示这条抛物线上所有的整点坐标；
(3)过y轴的正半轴上一点C(0, c)作AO的平行线交抛物线于点B，如果点B是整点，求证：△OAB的面积是偶数．
18. 一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行．裁判先在黑板上写出下面的正整数2，3，4，…，2016，然后随意擦去一个数．接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去一个数，如此轮流下去），若最后剩下的两个数互质，则判甲胜；否则，判乙胜．按照这种游戏规则，求甲获胜的概率．
19. 给出如下n个平方数：12，22，…，n2，规定可以在其中的每个数前任意添上“+”号或“-”号，所得的代数和记为L．
（1）当n＝8时，试设计一种可行方案使得|L|最小；
（2）当n＝2005时，试设计一种可行方案使得|L|最小．
20. 设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2−(m−1)x+1=0有有理根，求m的值．
参考答案与试题解析
一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）
1.
【答案】
B
【考点】
有理数的乘方
数的十进制
2.
【答案】
B
【考点】
数的十进制
有理数的乘方
3.
【答案】
D
【考点】
奇数与偶数
4.
【答案】
【考点】
奇数与偶数
二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）
5.
【答案】
3723
【考点】
有理数的混合运算
数的十进制
6.
【答案】
32
【考点】
奇数与偶数
7.
【答案】
奇数
【考点】
奇数与偶数
8.
【答案】
1805
【考点】
完全平方数
奇数与偶数
9.
【答案】
19
【考点】
奇数与偶数
完全平方公式
10.
【答案】
11
【考点】
数的整除性
奇数与偶数
11.
【答案】
偶数
【考点】
奇数与偶数
12.
【答案】
奇
【考点】
奇数与偶数
三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，13--16每题 11 分 ，17—20每题10分，共计84分 ， ）
13.
【答案】
解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2，
把A(2, 1)代入y=ax2，得
1=4a，
解得a=14，
∴ 二次函数的表达式为y=14x2；
（2）抛物线上整点坐标可表示为(2n, n2)，其中n为整数；
（3）①设直线OA的解析式为y=kx，
把点A(2, 1)代入y=kx，得
1=2k，
解得k=12，
∴ 直线OA的解析式为y=12x，
则过点C(0, c)与直线OA平行的直线的解析式为y=12x+c；
②证明：∵ 点B是整点，
∴ 点B的坐标可表示为(2n, n2)，其中n为整数，
把B(2n, n2)代入y=12x+c，得
n2=n+c，
∴ c=n2−n=n(n−1)．
∵ BC // OA，
∴ S△OAB=S△OAC=12×c×2=c=n(n−1)．
∵ n为整数，∴ n与n−1一奇一偶，
∴ n(n−1)是偶数，
∴ △OAB的面积是偶数．
【考点】
二次函数综合题
奇数与偶数
待定系数法求一次函数解析式
两直线相交非垂直问题
14.
【答案】
解：(1)当k=0时，x=−1，方程有有理根．
(2)当k≠0时，因为方程有有理根，
所以若k为整数，则△=(k−1)2−4k=k2−6k+1必为完全平方数，
即存在非负整数m，使k2−6k+1=m2．
配方得：(k−3+m)(k−3−m)=8，
由k−3+m和k−3−m是奇偶性相同的整数，其积为8，
所以它们均是偶数．又k−3+m≥k−3−m．
从而k−3+m=4k−3−m=2或k−3+m=−2k−3−m=−4
解得k=6或k=0（舍去），综合(1)(2)，
所以方程kx2−(k−1)x+1=0有有理根，整数k的值为0或6．
【考点】
根的判别式
奇数与偶数
代入消元法解二元一次方程组
15.
【答案】
在排列C:3，5，3，4，1，8中，1)，2)，2)，1)，2)，4)，1)，2)，2)，2)，
S(C)＝10；
在排列D:3，4，4，6，2，2中，1)，7)，4)，1)，7)，1)，2)，6)，2)，
S(D)＝9；
证明：①当j＝i+8时，ai，aj相邻，不妨设ai②当j≠i+1，即ai，aj不相邻时，假设ai，aj之间有m个数字，记排列A为a6，a2，…，ai，k1，k2，…，km，aj，…，an，先将ai向右移动一个位置，得到排列A1:a1，a3，…，ai−1，k1，ai，k5，…，km，aj，…，an，由（1）知S(A1)与S(A)的奇偶性不同，再将ai向右移动一个位置，得到排列A2:a8，a2，…，ai−1，k6，k2，ai，k3，…，km，aj，…，an，由（1）知S(A8)与S(A1)的奇偶性不同，以此类推，由
①知，仅有相邻两数的位置发生变化时，而排列A经过2m+3次的前后两数交换位置，所以排列A与排列A′的逆序数的奇偶性不同．
【考点】
奇数与偶数
16.
【答案】
解：(1)15是“美妙数”．
理由如下：∵ 15=82−72，
∴ 15是“美妙数”．
(2)小奇说的对．
理由：设两个连续的自然数为n和n+1（n是自然数），
则“美妙数”=n+12−n2
=n2+2n+1−n2
=2n+1，
∵ n是自然数，∴ 2n+1是奇数，
∴ 美妙数都是奇数．
【考点】
规律型：数字的变化类
平方差公式
奇数与偶数
17.
【答案】
(1)解：设抛物线的解析式为y=ax2，
把A(2, 1)代入y=ax2，得1=4a，
解得a=14，
∴ 二次函数的表达式为y=14x2；
(2)解：抛物线上整点坐标可表示为(2n, n2)，其中n为整数；
(3)证明：设直线OA的解析式为y=kx，
把点A(2, 1)代入y=kx，得1=2k，
解得k=12，
∴ 直线OA的解析式为y=12x，
则过点C(0, c)与直线OA平行的直线的解析式为y=12x+c.
∵ 点B是整点，
∴ 点B的坐标可表示为(2n, n2)，其中n为整数，
把B(2n, n2)代入y=12x+c，得n2=n+c，
∴ c=n2−n=n(n−1)．
∵ BC // OA，
∴ S△OAB=S△OAC=12×c×2=c=n(n−1)．
∵ n为整数，∴ n与(n−1)一奇一偶，
∴ n(n−1)是偶数，
∴ △OAB的面积是偶数．
【考点】
两直线平行问题
奇数与偶数
待定系数法求一次函数解析式
二次函数综合题
二次函数图象上点的坐标特征
18.
【答案】
由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是看裁判擦去哪个数．注意到2，3，4，…，2016中有1007个奇数，有1008个偶数．
①若裁判擦去的是奇数，不管甲取什么数，只要还有奇数，乙就擦去奇数，这样最后两个数一定都是偶数，从而所剩两数不互质，乙获胜．
②若裁判擦去的数是2m，不妨设裁判擦去的数是2016，则所剩的数配成1007对：(3, 4)，…，(2m−1, 2m)，(2m+1, 2m+2)，…，(2015, 2016)，不管乙取哪一个数，甲就去所配数对中的另一个数，这样最后剩下的两数必然互质，甲一定获胜．
所以甲获胜的概率为．
【考点】
奇数与偶数
19.
【答案】
当L＝12−22−32+42−52+62+72−82＝0
或L＝−12+22+32−42+52−62−72+82＝0时，|L|最小且最小值为0；
当n＝2005时，
①∵ 给定的2005个数中有1003个奇数，
∴ 不管如何添置“+”和“-”号，其代数和总为奇数，
∴ 所求的最终代数和大于等于1．
于是我们寻求最终代数和等于1的可行方案．
②∵ k2−(k+1)2−(k+2)2+(k+3)3＝4，−k2+(k+1)2+(k+2)2−(k+3)3＝−4，
∴ 对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；
③若对62，72，…，20052，根据①每连续8个一组适当添加“+”和“-”号，使每组的代数和为0，然后对12，22，…，52进而设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1．
④在对12，22，…，52的设计过程中，有一种方案：−12+22−32+42−52＝−15，
又由①知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，
∴ 16个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为16．
综上，可行方案为：
首先对222，232，…，20052，根据①每连续8个一组适当添加“+”和“-”号，使每组的代数和为0；其次对62，72，…，212，根据③适当添加“+”和“-”号，使每组的代数和为16；最后对12，22，…，52作−12+22−32+42−52＝−15设置，便可以使得给定的2005个数的代数和为1，即|L|最小．
【考点】
奇数与偶数
20.
【答案】
解：一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令
△=(m−1)2−4m=n2，
其中n是非负整数，于是
m2−6m+1=n2，
所以(m−3)2−n2=8，
(m−3+n)(m−3−n)=8．
由于m−3+n≥m−3−n，并且
(m−3+n)+(m−3−n)=2(m−3)
是偶数，所以m−3+n与m−3−n同奇偶，所以
m−3+n=4m−3−n=2m−3+n=−2m−3−n=−4
∴ m=6n=1；m=0n=1（舍去）
∴ m=6，这时方程的两根为12，13．
∴ 二次方程mx2−(m−1)x+1=0有有理根m的值为6．
【考点】
一元二次方程的整数根与有理根
奇数与偶数
完全平方数
根的判别式
卷I（选择题）
一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ， ）
1. 我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以相互换算，如将000001012，000010112换算为十进制数应为：000001012=0×27+0×26+0×25+0×24+0×23+1×22+0×21+1×20=5；000010112=0×27+0×26+0×25+0×24+1×23+1×22+1×21+1×20=11. 按此方式，将二进制数001101012换算成十进制数和将十进制数18转化为二进制数的结果分别为( )
A.43， 000110012B.53， 000100102
C.53， 000100112D.43， 000101012
2. 我们常用的数是十进制数，计算机程序使用的是二进制数（只有数码0和1），它们两者之间可以相互换算，如将000001012，000010112换算为十进制数应为：
000001012=0×27+0×26+0×25+0×24+0×23+1×22+0×21+1×20=5；000010112=0×27+0×26+0×25+0×24+1×23+0×22+1×21+1×20=11.
按此方式，将二进制数001101012换算成十进制数和将十进制数18转化为二进制数的结果分别为( )
A.43，000110012 B.53，000100102
C.53，000100112D.43，000101012
3. 将正整数依次按下表规律排列，则正整数208所在的位置是 （ ）
A.第69行第2列B.第69行第3列C.第70行第1列D.第70行第4列
4. 若三个连续奇数的和为51，则其中最小的一个奇数是（ ）
A.15B.17C.19D.−15或15
卷II（非选择题）
二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ， ）
5. 远古美索不达米亚人创造了一套以60进制为主的楔形文记数系统，对于大于59的数，美索不达米亚人则采用六十进制的位值记法，位置的区分是靠在不同楔形记号组之间留空，例如：，左边的表示2×602；中间的表示3×60；右边的则表示1个单位，用十进制写出来是7381，若楔形文记数，表示十进制的数为________．
6. 把所有正偶数从小到大按如下方式排列：
第一行：2，4；
第二行：6，8，10，12；
第三行：14，16，18，20，22，24；
第四行：26，28，30，32，34，36，38，40；
…
则偶数2018在第________行．
7. 将一根绳子两端分别涂上红色和白色，再在中间随意画3个圆点，涂上白色或红色，然后在这三个圆点处把绳子剪断，这样所得到的各小段两端都有颜色．则两端颜色不同的小段数目一定是________（答奇数或偶数）．
8. 一个四位数具有这样的性质：用它的后两位数去除这个四位数得到一个完全平方数（如果它的十位数字是零，就只用个位数去除），且这个完全平方数正好是前两位数加1的平方．例如4802÷2=2401=492=(48+1)2．则具有上述性质的最小四位数是________．
9. 在12，22，32，…，952这95个数中十位数字为奇数的数共有________个．
10. 一次数学小测验共有十道选择题，每题答对得3分，答错或不答均扣1分，则这次小测验的成绩至多有________种可能的分数．
11. 整数11994+91994+81994+61994的奇偶性为________（填奇数或偶数）．
12. 1+2+3+4+...+1993的值是________（奇、偶）数．
三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，13--16每题 11 分 ，17—20每题10分，共计84分 ， ）
13. 如图是一个二次函数的图象，顶点是原点O，且过点A(2, 1)，
（1）求出二次函数的表达式；
（2）我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，请用整数n表示这条抛物线上所有的整点坐标．
（3）过y轴的正半轴上一点C(0, a)作AO的平行线交抛物线于点B，
①求出直线BC的函数表达式（用a表示）；
②如果点B是整点，求证：△OAB的面积是偶数．
14. 关于x的方程kx2−(k−1)x+1=0有有理根，求整数k的值．
15. 在数字1，2…，n(n≥2)的任意一个排列A:a1，a2，…，an中，如果对于正整数i，j有i
（1）设排列C:3，5，6，4，1，2和D:3，5，4，6，1，2，写出S(C)和S(D)的值；
（2）把排列A:a1，a2，…，an中两个数字ai，aj交换位置，其余数字的位置保持不变，得到一个新的排列A′，
①若数字ai，aj相邻，证明S(A)+S(A′)为奇数；
②若数字ai，aj相隔m个数字(m≥1)，证明：S(A)+S(A′)为奇数．
16. 观察下列等式：1=12−02，3=22−12，5=32−22，7=42−32，⋯
我们规定；像1，3，5，7，⋯这样能表示成两个连续自然数的平方差的正整数称为“美妙数”．
(1)判断15是否是“美妙数”，请说明理由；
(2)小奇说：“美妙数都是奇数．”他的说法对吗？请作出判断，并说明理由．
17. 如图是一个二次函数的图象，顶点是原点O，且过点A(2, 1).
(1)求出二次函数的表达式；
(2)我们把横、纵坐标都为整数的点称为整点，请用整数n表示这条抛物线上所有的整点坐标；
(3)过y轴的正半轴上一点C(0, c)作AO的平行线交抛物线于点B，如果点B是整点，求证：△OAB的面积是偶数．
18. 一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行．裁判先在黑板上写出下面的正整数2，3，4，…，2016，然后随意擦去一个数．接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去一个数，如此轮流下去），若最后剩下的两个数互质，则判甲胜；否则，判乙胜．按照这种游戏规则，求甲获胜的概率．
19. 给出如下n个平方数：12，22，…，n2，规定可以在其中的每个数前任意添上“+”号或“-”号，所得的代数和记为L．
（1）当n＝8时，试设计一种可行方案使得|L|最小；
（2）当n＝2005时，试设计一种可行方案使得|L|最小．
20. 设m是不为零的整数，关于x的二次方程mx2−(m−1)x+1=0有有理根，求m的值．
参考答案与试题解析
一、 选择题 （本题共计 4 小题 ，每题 3 分 ，共计12分 ）
1.
【答案】
B
【考点】
有理数的乘方
数的十进制
2.
【答案】
B
【考点】
数的十进制
有理数的乘方
3.
【答案】
D
【考点】
奇数与偶数
4.
【答案】
【考点】
奇数与偶数
二、 填空题 （本题共计 8 小题 ，每题 3 分 ，共计24分 ）
5.
【答案】
3723
【考点】
有理数的混合运算
数的十进制
6.
【答案】
32
【考点】
奇数与偶数
7.
【答案】
奇数
【考点】
奇数与偶数
8.
【答案】
1805
【考点】
完全平方数
奇数与偶数
9.
【答案】
19
【考点】
奇数与偶数
完全平方公式
10.
【答案】
11
【考点】
数的整除性
奇数与偶数
11.
【答案】
偶数
【考点】
奇数与偶数
12.
【答案】
奇
【考点】
奇数与偶数
三、 解答题 （本题共计 8 小题 ，13--16每题 11 分 ，17—20每题10分，共计84分 ， ）
13.
【答案】
解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2，
把A(2, 1)代入y=ax2，得
1=4a，
解得a=14，
∴ 二次函数的表达式为y=14x2；
（2）抛物线上整点坐标可表示为(2n, n2)，其中n为整数；
（3）①设直线OA的解析式为y=kx，
把点A(2, 1)代入y=kx，得
1=2k，
解得k=12，
∴ 直线OA的解析式为y=12x，
则过点C(0, c)与直线OA平行的直线的解析式为y=12x+c；
②证明：∵ 点B是整点，
∴ 点B的坐标可表示为(2n, n2)，其中n为整数，
把B(2n, n2)代入y=12x+c，得
n2=n+c，
∴ c=n2−n=n(n−1)．
∵ BC // OA，
∴ S△OAB=S△OAC=12×c×2=c=n(n−1)．
∵ n为整数，∴ n与n−1一奇一偶，
∴ n(n−1)是偶数，
∴ △OAB的面积是偶数．
【考点】
二次函数综合题
奇数与偶数
待定系数法求一次函数解析式
两直线相交非垂直问题
14.
【答案】
解：(1)当k=0时，x=−1，方程有有理根．
(2)当k≠0时，因为方程有有理根，
所以若k为整数，则△=(k−1)2−4k=k2−6k+1必为完全平方数，
即存在非负整数m，使k2−6k+1=m2．
配方得：(k−3+m)(k−3−m)=8，
由k−3+m和k−3−m是奇偶性相同的整数，其积为8，
所以它们均是偶数．又k−3+m≥k−3−m．
从而k−3+m=4k−3−m=2或k−3+m=−2k−3−m=−4
解得k=6或k=0（舍去），综合(1)(2)，
所以方程kx2−(k−1)x+1=0有有理根，整数k的值为0或6．
【考点】
根的判别式
奇数与偶数
代入消元法解二元一次方程组
15.
【答案】
在排列C:3，5，3，4，1，8中，1)，2)，2)，1)，2)，4)，1)，2)，2)，2)，
S(C)＝10；
在排列D:3，4，4，6，2，2中，1)，7)，4)，1)，7)，1)，2)，6)，2)，
S(D)＝9；
证明：①当j＝i+8时，ai，aj相邻，不妨设ai
①知，仅有相邻两数的位置发生变化时，而排列A经过2m+3次的前后两数交换位置，所以排列A与排列A′的逆序数的奇偶性不同．
【考点】
奇数与偶数
16.
【答案】
解：(1)15是“美妙数”．
理由如下：∵ 15=82−72，
∴ 15是“美妙数”．
(2)小奇说的对．
理由：设两个连续的自然数为n和n+1（n是自然数），
则“美妙数”=n+12−n2
=n2+2n+1−n2
=2n+1，
∵ n是自然数，∴ 2n+1是奇数，
∴ 美妙数都是奇数．
【考点】
规律型：数字的变化类
平方差公式
奇数与偶数
17.
【答案】
(1)解：设抛物线的解析式为y=ax2，
把A(2, 1)代入y=ax2，得1=4a，
解得a=14，
∴ 二次函数的表达式为y=14x2；
(2)解：抛物线上整点坐标可表示为(2n, n2)，其中n为整数；
(3)证明：设直线OA的解析式为y=kx，
把点A(2, 1)代入y=kx，得1=2k，
解得k=12，
∴ 直线OA的解析式为y=12x，
则过点C(0, c)与直线OA平行的直线的解析式为y=12x+c.
∵ 点B是整点，
∴ 点B的坐标可表示为(2n, n2)，其中n为整数，
把B(2n, n2)代入y=12x+c，得n2=n+c，
∴ c=n2−n=n(n−1)．
∵ BC // OA，
∴ S△OAB=S△OAC=12×c×2=c=n(n−1)．
∵ n为整数，∴ n与(n−1)一奇一偶，
∴ n(n−1)是偶数，
∴ △OAB的面积是偶数．
【考点】
两直线平行问题
奇数与偶数
待定系数法求一次函数解析式
二次函数综合题
二次函数图象上点的坐标特征
18.
【答案】
由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是看裁判擦去哪个数．注意到2，3，4，…，2016中有1007个奇数，有1008个偶数．
①若裁判擦去的是奇数，不管甲取什么数，只要还有奇数，乙就擦去奇数，这样最后两个数一定都是偶数，从而所剩两数不互质，乙获胜．
②若裁判擦去的数是2m，不妨设裁判擦去的数是2016，则所剩的数配成1007对：(3, 4)，…，(2m−1, 2m)，(2m+1, 2m+2)，…，(2015, 2016)，不管乙取哪一个数，甲就去所配数对中的另一个数，这样最后剩下的两数必然互质，甲一定获胜．
所以甲获胜的概率为．
【考点】
奇数与偶数
19.
【答案】
当L＝12−22−32+42−52+62+72−82＝0
或L＝−12+22+32−42+52−62−72+82＝0时，|L|最小且最小值为0；
当n＝2005时，
①∵ 给定的2005个数中有1003个奇数，
∴ 不管如何添置“+”和“-”号，其代数和总为奇数，
∴ 所求的最终代数和大于等于1．
于是我们寻求最终代数和等于1的可行方案．
②∵ k2−(k+1)2−(k+2)2+(k+3)3＝4，−k2+(k+1)2+(k+2)2−(k+3)3＝−4，
∴ 对于8个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为0；
③若对62，72，…，20052，根据①每连续8个一组适当添加“+”和“-”号，使每组的代数和为0，然后对12，22，…，52进而设计，但无论如何设计，均无法使它们的代数和为1．
④在对12，22，…，52的设计过程中，有一种方案：−12+22−32+42−52＝−15，
又由①知4个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为4，
∴ 16个连续正整数的平方数总可以使得它们的代数和为16．
综上，可行方案为：
首先对222，232，…，20052，根据①每连续8个一组适当添加“+”和“-”号，使每组的代数和为0；其次对62，72，…，212，根据③适当添加“+”和“-”号，使每组的代数和为16；最后对12，22，…，52作−12+22−32+42−52＝−15设置，便可以使得给定的2005个数的代数和为1，即|L|最小．
【考点】
奇数与偶数
20.
【答案】
解：一个整系数的一元二次方程有有理根，那么它的判别式一定是完全平方数．令
△=(m−1)2−4m=n2，
其中n是非负整数，于是
m2−6m+1=n2，
所以(m−3)2−n2=8，
(m−3+n)(m−3−n)=8．
由于m−3+n≥m−3−n，并且
(m−3+n)+(m−3−n)=2(m−3)
是偶数，所以m−3+n与m−3−n同奇偶，所以
m−3+n=4m−3−n=2m−3+n=−2m−3−n=−4
∴ m=6n=1；m=0n=1（舍去）
∴ m=6，这时方程的两根为12，13．
∴ 二次方程mx2−(m−1)x+1=0有有理根m的值为6．
【考点】
一元二次方程的整数根与有理根
奇数与偶数
完全平方数
根的判别式
相关试卷
美国AMC九年级数学竞赛题： 这是一份美国AMC九年级数学竞赛题，共34页。
九年级数学竞赛题及详细参考答案： 这是一份九年级数学竞赛题及详细参考答案，共9页。
八年级数学竞赛题： 这是一份八年级数学竞赛题，共5页。试卷主要包含了填空题，选择题等内容，欢迎下载使用。
