2024年中考数学模拟试卷临考安心卷（湖北专用）

这是一份2024年中考数学模拟试卷临考安心卷（湖北专用），共29页。试卷主要包含了9的平方根是，下列运算正确的是，下列说法中，正确的是等内容，欢迎下载使用。
1．9的平方根是（ ）
A．±3B．3C．±3D．3
2．如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE，若∠C＝20°，∠CED＝120°，则∠A的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
3．下列运算正确的是（ ）
A．（3a）2＝6a2B．a3•a3＝2a3C．（a3）2＝a6D．a4÷a4＝a
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．“顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形”是必然事件
B．“在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是必然事件
C．“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A”是不可能事件
D．可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生
5．已知m是方程x2﹣2x﹣2022＝0的一个根，则2m2﹣4m的值是（ ）
A．﹣4044B．4044C．﹣202D．2022
6．“争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（ ）
A．文B．明C．典D．范
7．如图，圆内接正三角形ABC的半径是5，则它的边长是（ ）
A．5B．52C．7.5D．53
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C．有下列说法：
①abc＞0；②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；③当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；④当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；⑤am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）．其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
9．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，D是OB的中点，F是⊙O上一点，连接DF，AC⊥DF于点E，若BC=43，OD＝ED，则DF的长是（ ）
A．235+1B．25+13C．273+1D．27+13
10．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD=32，则S△BCDS△OAD的值为（ ）
A．53B．32C．52D．3
二．填空题（共6小题，每小题3分，共18分）
11．随着中国科技的发展，自主探索月球已经不是难题．已知地球到月球的平均距离约为380000千米．数据380000用科学记数法表示为 ．
12．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点上，则∠ACB的正切值是 ．
13．计算：-12024+(-22)0-2cs60°+|5-3|= ．
14．如图，P为正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝4，PC＝6，则∠APB＝ ．
15．如图，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为6的圆上，顶点C、D在圆内，将正方形ABCD沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为 ．
16．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE的中点，如果BD∥CF，BC＝25，则线段CD的长为 ．
三．解答题（共9小题，共72分）
17．计算：（π﹣1）0-12+2tan60°+(-12)-1-|1-2|．
18．已知W＝（1a-2+1a+2）÷2aa2-4a+4
（1）化简W；
（2）若a，2，3恰好是△ABC的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）+3+2k＝0．
（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根为x1，x2．若x1＞0，x2＜0，求k的取值范围．
20．人类活动对地球的环境产生影响，如“极端气候加剧、物种灭绝加速、海平面上升”等引发人们关注．为了了解市民对“环境破坏成因”的认识，随机调查了部分市民，共有5个选项：A．滥伐森林；B．过度开矿；C．洞泽而“渔”；D．废物排弃；E．其它．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：
问题解决：
（1）本次调查活动中，调查的人数有 人，采取的调查方式是 （填上“普查”或“抽样调查”）；
（2）在扇形统计图中，求“C”组所在扇形的圆心角的度数；
（3）若该市人口约有100万人，则可以估计其中持“D”组观点的市民人数约有 人；
（4）“保护生存环境建设美好家园”是实验学校开展环保类社团活动之宗旨，学校利用假期开设了四个如图所示的环保类社团项目，每人只能从这四个项目中随机选择一个项目，每一个项目被选择的可能性相同．小华和小聪分别从这四个项目中选择一个，请用列表或画树状图的方法，求小华和小聪选择同一个项目的概率．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF＝ED，连接BE、BF、CF、AD．
（1）求证：四边形BFCE是菱形；
（2）若EF＝2，tan∠ACB=12，求AD的长．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，点E是边AC的中点，直线ED、BC交于点F．
（1）求证：直线DE是圆O的切线；
（2）若BC＝6，sin∠A=35，求线段BF的长度．
23．知识链接：弹道导弹飞行轨迹可以分为三个阶段．第一阶段：导弹点火后，垂直向上飞行阶段，此阶段飞行时间3至5分钟不等；第二阶段：导弹进入安全预定高度，以抛物线路线飞行阶段（最高点称为轨道的远地点）；第三阶段：发动机熄火后，导弹箭头与弹体分离，以惯性飞向目标阶段．某洲际导弹发射后，计算机隔一段时间（单位：分）对导弹离地高度（单位：千米）进行数据采集，对这些数据进行列表统计后得到如表格：
已知导弹在第n分钟（n为整数）开始进入飞行第二阶段，在下落过程中距离地面120千米时进入第三阶段．
（1）该导弹在发射时间x＝ 分达到轨道的远地点，此时距离地面的高度是 千米．
（2）求出第二阶段曲线的解析式，并求出n的值．
（3）求导弹发射多少时间后发动机熄火？（结果保留根号）
24．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：线段PM与PN的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到题图2的位置，连接MN、BD、CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）如图3：在（2）的条件下，当点M恰好落在边AC上时，已知AD=2，AB＝3，求△PMN的面积．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n的图象与x轴交于A，B两点，且点B的坐标是（3，0），与y轴交于点D，且点D的坐标是（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）BD与抛物线的对称轴交于点E，点P在抛物线上，且坐标为（m，n）（0＜m＜3），求△PDE面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，点F是PD的中点，直接写出BF的值．
2024年中考数学模拟试卷临考安心卷（湖北专用）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．9的平方根是（ ）
A．±3B．3C．±3D．3
【分析】根据平方根的定义计算即可得出结论．
【解答】∵（±3）2＝9，
∴9的平方根是±3，故选：A．
【点评】本题考查了平方根，熟练掌握平方根的运算是求平方根的关键．
2．如图，已知AB∥CD，点E在线段AD上（不与点A，点D重合），连接CE，若∠C＝20°，∠CED＝120°，则∠A的度数为（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
【分析】由三角形内角和定理求出∠D＝40°，由平行线的性质推出∠A＝∠D＝40°．
【解答】解：∵∠C＝20°，∠CED＝120°，
∴∠D＝180°﹣20°﹣120°＝40°，
∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D＝40°．
故选：D．
【点评】本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是由三角形内角和定理求出∠D的度数，由平行线的性质推出∠A＝∠D＝40°．
3．下列运算正确的是（ ）
A．（3a）2＝6a2B．a3•a3＝2a3C．（a3）2＝a6D．a4÷a4＝a
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂相除，底数不变，指数相减，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【解答】解：A、（3a）2＝9a2，故此选项不符合题意；
B、a3•a3＝a6，故此选项不符合题意；
C、（a3）2＝a6，故此选项符合题意；
D、a4÷a4＝1，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
4．下列说法中，正确的是（ ）
A．“顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形”是必然事件
B．“在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是必然事件
C．“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A”是不可能事件
D．可能性是50%的事件，是指在两次试验中一定有一次会发生
【分析】根据中点四边形，随机事件，平行四边形的判定，数轴，概率的意义，逐一判断即可解答．
【解答】解：A、“顺次连接任意四边形各边中点的四边形是平行四边形”是必然事件，故A符合题意；
B、“在数轴上任取一点，则这点表示的数是有理数”是随机事件，故B不符合题意；
C、“从一副扑克牌（含大小王）中抽一张，恰好是红心A”是随机事件，故C不符合题意；
D、可能性是50%的事件，是指这个事件发生的可能性是50%，故D不符合题意；
故选：A．
【点评】本题考查了中点四边形，随机事件，平行四边形的判定，数轴，概率的意义，熟练掌握这些数学概念是解题的关键．
5．已知m是方程x2﹣2x﹣2022＝0的一个根，则2m2﹣4m的值是（ ）
A．﹣4044B．4044C．﹣202D．2022
【分析】直接把x＝m代入方程中，进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
把x＝m代入方程x2﹣2x﹣2022＝0中，
则m2﹣2m﹣2022＝0，
∴m2﹣2m＝2022，
∴2m2﹣4m＝4044，
故选：B．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．
6．“争创全国文明典范城市，让文明成为宜昌人民的内在气质和城市的亮丽名片”．如图，是一个正方体的平面展开图，把展开图折叠成正方体后，“城”字对面的字是（ ）
A．文B．明C．典D．范
【分析】根据正方体的平面展开图的特点，相对的两个面中间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，即“对面无临点”，依此来找相对面．
【解答】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定隔着一个小正方形，且没有公共边和公共顶点，
∴“城”字对面的字是“明”．
故选：B．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，熟练掌握正方体的表面展开图的特点是解题的关键．
7．如图，圆内接正三角形ABC的半径是5，则它的边长是（ ）
A．5B．52C．7.5D．53
【分析】作辅助线，构建直角三角形，根据垂径定理得：AD＝CD，利用30°的直角三角形的性质求AD的长，即可求得答案．
【解答】解：过O作OD⊥AC于D，连接OA，OC，
∴AD＝DC，OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵△ABC是正三角形，
∴∠ABC＝60°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝120°，
∴∠OAD=12×（180°﹣∠AOC）＝30°，
在Rt△AOD中，AO＝5，
∴OD=52，
由勾股定理得AD=OA2-OD2=523，
∴AC＝53，
故选：D．
【点评】本题考查了正三角形和外接圆，要知道圆心既是内心也是外心，．正确作出辅助线是解决问题的关键．
8．如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），与y轴交于点C．有下列说法：
①abc＞0；
②抛物线的对称轴为直线x＝﹣1；
③当﹣3＜x＜0时，ax2+bx+c＞0；
④当x＞1时，y的值随x值的增大而减小；
⑤am2+bm≥a﹣b（m为任意实数）．
其中正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】依据题意，由抛物线开口向上，从而a＞0，又A（﹣3，0），B（1，0），则抛物线的对称轴是直线x=-b2a=-3+12=-1，故可判断②；结合对称轴是直线x＝﹣1，可得b＝2a＞0，又抛物线与y轴交于负半轴，可得c＜0，进而可以判断①；由抛物线开口向上，且抛物线与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），则可判断当﹣3＜x＜0时，y＝ax2+bx+c＜0，故可判断③；又对称轴是直线x＝﹣1，且抛物线开口向上，从而当x＞﹣1时，y随x的增大而增大，从而当x＞1时，y随x的增大而增大，故可判断④；由对称轴是直线x＝﹣1，且抛物线开口向上，则当x＝﹣1时，y取最小值为a﹣b+c，进而可得对于抛物线上任意的x＝m时，y＝am2+bm+c≥a﹣b+c，故可判断⑤．
【解答】解：由题意，∵抛物线开口向上，
∴a＞0．
∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴抛物线的对称轴是直线x=-b2a=-3+12=-1，故②正确．
∴b＝2a＞0．
又抛物线与y轴交于负半轴，
∴c＜0．
∴abc＜0，故①正确．
∵抛物线开口向上，且抛物线与x轴交于点A（﹣3，0），B（1，0），
∴当﹣3＜x＜0时，y＝ax2+bx+c＜0，故③错误．
∵对称轴是直线x＝﹣1，且抛物线开口向上，
∴当x＞﹣1时，y随x的增大而增大．故当x＞1时，y随x的增大而增大，故④错误．
∵对称轴是直线x＝﹣1，且抛物线开口向上，
∴当x＝﹣1时，y取最小值为a﹣b+c．
∴对于抛物线上任意的x＝m时，y＝am2+bm+c≥a﹣b+c．
∴am2+bm≥a﹣b，故⑤正确．
综上，正确的有①②⑤共3个．
故选：C．
【点评】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
9．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，D是OB的中点，F是⊙O上一点，连接DF，AC⊥DF于点E，若BC=43，OD＝ED，则DF的长是（ ）
A．235+1B．25+13C．273+1D．27+13
【分析】连接OF，过点O作OH⊥DF于H．设OD＝DB＝DE＝m，则AB＝4m，AD＝3m，利用平行线分线段成比例定理求出m，OH，DH，再利用勾股定理求出FH，可得结论．
【解答】解：连接OF，过点O作OH⊥DF于H．
设OD＝DB＝DE＝m，则AB＝4m，AD＝3m，
∵AB是直径，DE⊥AC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∴DE∥BC，
∴DEBC=ADAB，
∴m43=3m4m，
∴m＝1，
∴AD＝3，DE＝1，
∴AE=32-12=22，
∵OH⊥DE，AE⊥DE，
∴OH∥AE，
∴DHDE=ODAD=OHAE，
∴DH1=13=OH22，
∴DH=13，OH=223，
在Rt△OEH中，FH=OF2-OH2=22-(223)2=273，
∴DF＝DH+FH=27+13，
故选：D．
【点评】本题考查圆周角定理，平行线的判定和性质，平行线分线段成比例定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
10．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的边OA在x轴正半轴上，其中∠OAB＝90°，AO＝AB，点C为斜边OB的中点，反比例函数y=kx(k＞0，x＞0)的图象过点C且交线段AB于点D，连接CD，OD，若S△OCD=32，则S△BCDS△OAD的值为（ ）
A．53B．32C．52D．3
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，设A（m，0），B（m，m），且m＞0，得到C(m2，m2)，推出k=m24，再由D(m，m4)，求出S△OAD=12OA⋅AD=12×m×m4=m28，S△BCD=12×m2×34m=3m216，由此得到答案．
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于E，
∵∠OAB＝90°，AO＝AB，△OAB的边OA在x轴正半轴上，
∴设A（m，0），B（m，m），且m＞0，
∴AO＝AB＝m，
∵点C为斜边OB的中点，
∴C(m2，m2)，
∴OC=CE=m2，
∵反比例函数y=kx的图象过点C，
∴m2=km2，
∴k=m24，
∴y=m24x，
∵∠OAB＝90°，点D在线段AB上，
∴点D的横坐标为m，
∵反比例函数y=m24x的图象过点D，
∴当x＝m时，y=m24m=m4，
∴D(m，m4)，
∴AD=m4，AE=m-m2=m2，BD=m-m4=34m，
∴S△OAD=12OA⋅AD=12×m×m4=m28，S△BCD=12×m2×34m=3m216
∴S△BCDS△OAD=316m2m28=32．
故选：B．
【点评】此题考查待定系数法求反比例函数的解析式，各图形面积的计算公式，反比例函数图象上点的坐标特点，等腰直角三角形的性质，正确设出各点的坐标是解题的关键．
二．填空题（共6小题）
11．随着中国科技的发展，自主探索月球已经不是难题．已知地球到月球的平均距离约为380000千米．数据380000用科学记数法表示为 3.8×105 ．
【分析】科学记数法的表示方法：科学记数法的表示形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数．据此即可求解．
【解答】解：根据科学记数法的表示方法可得：380000＝3.8×105．
故答案为：3.8×105．
【点评】本题考查的知识点是用科学记数法表示数，掌握科学记数法是关键．
12．如图，网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在格点上，则∠ACB的正切值是 3 ．
【分析】过点A作BC的垂线，构造出直角三角形即可解决问题．
【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为M，
由勾股定理得，
AM=32+32=32，
CM=12+12=2．
在Rt△ACM中，
tan∠ACB=AMCM=322=3．
故答案为：3．
【点评】本题考查解直角三角形，过点A作BC的垂线，构造出合适的直角三角形是解题的关键．
13．计算：-12024+(-22)0-2cs60°+|5-3|= 2-5 ．
【分析】先计算乘方、零次幂、负整数指数幂、绝对值和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减．
【解答】解：-12024+(-22)0-2cs60°+|5-3|
＝﹣1+1﹣2×12+3-5
＝﹣1+1﹣1+3-5
＝2-5，
故答案为：2-5．
【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序，并能进行正确地计算．
14．如图，P为正方形ABCD内一点，PA＝2，PB＝4，PC＝6，则∠APB＝ 135° ．
【分析】将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE，得BE＝BP＝4，∠PBE＝90°，EC＝PA＝2，再求得PE2，进而得PE2+EC2＝32+22＝36＝62＝PC2，即可得∠PEC＝90°，从而∠APB＝∠BEC＝45°+90°＝135°．
【解答】解：将△ABP绕B顺时针旋转90°到△CBE，
得BE＝BP＝4，∠PBE＝90°，EC＝PA＝2，
得PE2＝42+42＝32，
得PE2+EC2＝32+22＝36＝62＝PC2，
得∠PEC＝90°，
则∠APB＝∠BEC＝45°+90°＝135°．
故答案为：135°．
【点评】本题主要考查了正方形的计算，解题关键是勾股定理的应用．
15．如图，边长为6的正方形ABCD的顶点A、B在一个半径为6的圆上，顶点C、D在圆内，将正方形ABCD沿圆的内壁逆时针方向作无滑动的滚动．当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为 6+236π ．
【分析】设圆心为O，连接AO，BO，AC，AE，易证三角形AOB是等边三角形，确定∠GFE＝∠EAC＝30°，再利用弧长公式计算即可．
【解答】解：如图所示：设圆心为O，连接AO，BO，AC，AE，
∵AB=6，AO＝BO=6，
∴AB＝AO＝BO，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB＝∠OAB＝60°．
同理：△FAO是等边三角形，∠FAB＝2∠OAB＝120°，
∴∠EAC＝120°﹣90°＝30，∠GFE＝∠FAD＝120°﹣90°＝30°，
∵AD＝AB=6，
∴AC=(6)2+(6)2=23，
当点C第一次落在圆上时，点C运动的路径长为30π⋅23180+30π⋅6180=6+236π，
故答案为：6+236π，
【点评】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及弧长公式的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确的求出旋转角的度数．
16．如图，△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE的中点，如果BD∥CF，BC＝25，则线段CD的长为 6 ．
【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理求解．
【解答】解：连接BF，
∵BD∥CF，
∴∠FCB＝∠DBC．
∵AB＝AC，
∴AB=AC，BD=CD，
∴∠BCD＝∠DBC，AD是BC的垂直平分线，
∴四边形DCFB是菱形，
∴∠FCB＝∠DCB，CE为等腰三角形FCD的顶角平分线．
设ED＝x，则AE＝5x，故x•5x＝（5）2，
解得x＝1，x＝﹣1（舍去）．
根据勾股定理得：CD=12+(5)2=6．
【点评】此题是一道综合性题目，考查了等腰三角形三线合一，相交弦定理，等弧所对的弦相等的知识．
三．解答题（共9小题）
17．计算：（π﹣1）0-12+2tan60°+(-12)-1-|1-2|．
【分析】根据零指数幂、算术平方根、负整数指数幂、绝对值性质运算即可．
【解答】解：（π﹣1）0-12+2tan60°+(-12)-1-|1-2|
＝1﹣23+23-2-2+1
=-2．
【点评】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握实数混合运算法则是关键．
18．已知W＝（1a-2+1a+2）÷2aa2-4a+4
（1）化简W；
（2）若a，2，3恰好是△ABC的三边长，请选取合适的整数a代入W，求出W的值．
【分析】（1）先通分括号内的式子，再算括号外的除法即可；
（2）根据a，2，3恰好是△ABC的三边长，求出a的取值范围，再选择使得W有意义的整数a的值代入（1）中的结果计算即可．
【解答】解：（1）W＝（1a-2+1a+2）÷2aa2-4a+4
=a+2+a-2(a-2)(a+2)•(a-2)22a
=2a(a+2)(a-2)•(a-2)22a
=a-2a+2；
（2）∵a，2，3恰好是△ABC的三边长，
∴3﹣2＜a＜3+2，
∴1＜a＜5，
又∵（a+2）（a﹣2）≠0，a≠0，
∴a≠±2，a≠0，
∴a可以取得整数为3或4，
当a＝3时，W=3-23+2=15；
当a＝4时，W=4-24+2=13．
【点评】本题考查整式的化简求值、三角形三边关系，解答本题的关键是明确三边关系和分式化简求值的方法．
19．已知关于x的一元二次方程x2﹣（k+4）+3+2k＝0．
（1）求证：此方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两个实数根为x1，x2．若x1＞0，x2＜0，求k的取值范围．
【分析】（1）先计算根的判别式的值得到Δ＝k2+4＞0，然后根据根的判别式的意义得到结论；
（2）根据根与系数的关系得x1•x2＝3+2k，则3+2k＜0，然后解不等式即可．
【解答】（1）证明：∵Δ＝（k+4）2﹣4（3+2k）
＝k2+8k+16﹣12﹣8k
＝k2+4＞0，
∴此方程总有两个不相等的实数根；
（2）解：根据根与系数的关系得x1•x2＝3+2k，
∵x1＞0，x2＜0，
∴3+2k＜0，
解得k＜-32，
即k的范围为k＜-32．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．也考查了根与系数的关系．
20．人类活动对地球的环境产生影响，如“极端气候加剧、物种灭绝加速、海平面上升”等引发人们关注．为了了解市民对“环境破坏成因”的认识，随机调查了部分市民，共有5个选项：A．滥伐森林；B．过度开矿；C．洞泽而“渔”；D．废物排弃；E．其它．根据调查结果绘制了两幅不完整的统计图：
问题解决：
（1）本次调查活动中，调查的人数有 400 人，采取的调查方式是 抽样调查 （填上“普查”或“抽样调查”）；
（2）在扇形统计图中，求“C”组所在扇形的圆心角的度数；
（3）若该市人口约有100万人，则可以估计其中持“D”组观点的市民人数约有 300000 人；
（4）“保护生存环境建设美好家园”是实验学校开展环保类社团活动之宗旨，学校利用假期开设了四个如图所示的环保类社团项目，每人只能从这四个项目中随机选择一个项目，每一个项目被选择的可能性相同．小华和小聪分别从这四个项目中选择一个，请用列表或画树状图的方法，求小华和小聪选择同一个项目的概率．
【分析】（1）用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得本次调查的人数；结合题意可知，采取的调查方式是抽样调查．
（2）求出“C”组的人数，用360°乘以“C”组的人数所占的百分比，即可得出答案．
（3）根据用样本估计总体，用1000000乘以样本中“D”组的人数所占的百分比，即可得出答案．
（4）画树状图可得出所有等可能的结果数以及小华和小聪选择同一个项目的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【解答】解：（1）本次调查活动中，调查的人数有80÷20%＝400（人）．
由题意知，采取的调查方式是抽样调查．
故答案为：400；抽样调查．
（2）由题意得，“B”组的人数为400×10%＝40（人），
∴“C”组的人数为400﹣80﹣40﹣120﹣60＝100（人），
∴在扇形统计图中，“C”组所在扇形的圆心角的度数为360°×100400=90°．
（3）1000000×120400=300000（人）．
∴估计其中持“D”组观点的市民人数约有300000人．
故答案为：300000．
（4）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，其中小华和小聪选择同一个项目的结果有4种，
∴小华和小聪选择同一个项目的概率为416=14．
【点评】本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、抽样调查，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法以及用样本估计总体是解答本题的关键．
21．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，D、E分别是边BC，AC的中点，连接ED并延长到点F，使DF＝ED，连接BE、BF、CF、AD．
（1）求证：四边形BFCE是菱形；
（2）若EF＝2，tan∠ACB=12，求AD的长．
【分析】（1）先证四边形BFCE是平行四边形，再根据直角三角形的性质得到BE＝CE，即可得出四边形BFCE是菱形；
（2）先证四边形ABFE是平行四边形，得AB＝EF＝2，再求出BD=12BC=2，由勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵D是边BC的中点，
∴BD＝CD，
∵DF＝ED，
∴四边形BFCE是平行四边形，
∵∠ABC＝90°，E是边AC的中点，
∴BE=12AC=CE，
∴四边形BFCE是菱形；
（2）解：由（1）得：BE=12AC=CE=AE，四边形BFCE是菱形，
∴AC∥BF，BF＝BE＝CE＝AE，
∴BF∥AE，
∴四边形ABFE是平行四边形，
∴AB＝EF＝2，
∵tan∠ACB=12，
∴ABBC=12，BC=4，
∴BD=12BC=2，∠ABC＝90°，
∴AD=AB2+BD2=22+22=22．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握菱形的判定和性质定理是解题的关键．
22．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以BC为直径作⊙O，交AB边于点D，点E是边AC的中点，直线ED、BC交于点F．
（1）求证：直线DE是圆O的切线；
（2）若BC＝6，sin∠A=35，求线段BF的长度．
【分析】（1）连接OD、CD，由BC为⊙O的直径，得∠BDC＝∠ADC＝90°，由点E是边AC的中点，得DE＝AE＝CE，则∠FDB＝∠EDA＝∠A，所以ODF＝∠ODB+∠FDB＝∠OBD+∠A＝90°，即可证明直线DE是⊙O的切线；
（2）先证明∠BCD＝∠A，则BDBC=sin∠BCD＝sinA=35，所以BD=35BC=185，由勾股定理得DC=BC2-BD2=245，则BDDC=34，再证明△FDB∽△FCD，得BFDF=DFCF=BDDC=34，则DF=43BF，DF2＝BF•CF，于是得（43BF）2＝BF（BF+6），即可求得BF=547．
【解答】（1）证明：连接OD、CD，则OD＝OB，
∴∠ODB＝∠OBD，
∵BC为⊙O的直径，
∴∠BDC＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠BDC＝90°，
∵点E是边AC的中点，
∴DE＝AE＝CE=12AC，
∴∠FDB＝∠EDA＝∠A，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODF＝∠ODB+∠FDB＝∠OBD+∠A＝90°，
∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD，
∴直线DE是⊙O的切线．
（2）解：∵∠BCD＝∠A＝90°﹣∠ABC，BC＝6，
∴BDBC=sin∠BCD＝sinA=35，
∴BD=35BC=35×6=185，
∴DC=BC2-BD2=62-(185)2=245，
∴BDDC=185245=34，
∵∠FDB＝∠EDA＝∠A，
∴∠FDB＝∠FCD，
∵∠F＝∠F，
∴△FDB∽△FCD，
∴BFDF=DFCF=BDDC=34，
∴DF=43BF，DF2＝BF•CF＝BF（BF+6），
∴（43BF）2＝BF（BF+6），
解得BF=547或BF＝0（不符合题意，舍去），
∴线段BF的长度是547．
【点评】此题重点考查等腰三角形的性质、切线的判定、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数与解直角三角形、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
23．知识链接：弹道导弹飞行轨迹可以分为三个阶段．第一阶段：导弹点火后，垂直向上飞行阶段，此阶段飞行时间3至5分钟不等；第二阶段：导弹进入安全预定高度，以抛物线路线飞行阶段（最高点称为轨道的远地点）；第三阶段：发动机熄火后，导弹箭头与弹体分离，以惯性飞向目标阶段．
某洲际导弹发射后，计算机隔一段时间（单位：分）对导弹离地高度（单位：千米）进行数据采集，对这些数据进行列表统计后得到如表格：
已知导弹在第n分钟（n为整数）开始进入飞行第二阶段，在下落过程中距离地面120千米时进入第三阶段．
（1）该导弹在发射时间x＝ 15 分达到轨道的远地点，此时距离地面的高度是 1200 千米．
（2）求出第二阶段曲线的解析式，并求出n的值．
（3）求导弹发射多少时间后发动机熄火？（结果保留根号）
【分析】（1）根据表中数据，在第15分钟时，离地高度y最大，从而得出结论；
（2）先设出二次函数解析式，根据表中数据对应的值，用待定系数法求出函数解析式，再把x＝1，3，4，5，9代入解析式验证，从而得出结论；
（3）把y＝120代入函数解析式，求出x的值即可．
【解答】解：（1）根据题中表可得在第15分钟时，离地高度y最大，为1200千米，即此时为轨道的远地点．
故答案为：15；1200；
（2）设第二阶段的曲线函数解析式为：y＝ax2+bx+c，
代入点（15，1200 ），（16，1194），（25，600），可得：
152a+15b+c=1200162a+16a+c=1194252a+25b+c=600，
解得：a=-6b=180c=-150，
所以第二阶段的曲线函数解析式为y＝﹣6x2+180x﹣150，
将x＝1，3，4，5，9分别代入函数式中求值，
当x值为4时，得到的值与表中给的值不符，且4之后的值都符合．
所以是在第4分钟进入第二阶段，
∴n的值为4；
（3）由题意得发动机熄火，即y的值为120，
把y＝120代入函数式中，即
120＝﹣6x2+180x﹣150，
解得：x＝15±65，舍去较小值，
即x＝15+65，
∴导弹在发射15+65分钟后发动机熄火．
【点评】本题考查二次函数的应用，关键是根据题意写出函数关系式．
24．如图1，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D、E分别在边AB，AC上，AD＝AE，连接DC，点M，P，N分别为DE，DC，BC的中点．
（1）观察猜想：线段PM与PN的数量关系是 PM＝PN ，位置关系是 PM⊥PN ；
（2）探究证明：把△ADE绕点A逆时针方向旋转到题图2的位置，连接MN、BD、CE，判断△PMN的形状，并说明理由；
（3）如图3：在（2）的条件下，当点M恰好落在边AC上时，已知AD=2，AB＝3，求△PMN的面积．
【分析】（1）利用三角形的中位线得出PM=12CE，PN=12BD，进而判断出BD＝CE，即可得出结论，再利用三角形的中位线得出PM∥CE得出∠DPM＝∠DCA，最后用互余即可得出结论；
（2）先判断出△ABD≌△ACE，得出BD＝CE，同（1）的方法得出PM=12BD，PN=12BD，即可得出PM＝PN，同（1）的方法即可得出结论；
（3）由勾股定理可求EC的长，即可求解．
【解答】解：（1）∵点P，N是BC，CD的中点，
∴PN∥BD，PN=12BD，
∵点P，M是CD，DE的中点，
∴PM∥CE，PM=12CE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BD＝CE，
∴PM＝PN，
∵PN∥BD，
∴∠DPN＝∠ADC，
∵PM∥CE，
∴∠DPM＝∠DCA，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ADC+∠ACD＝90°，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCA+∠ADC＝90°，
∴PM⊥PN，
故答案为：PM＝PN，PM⊥PN；
（2）△PMN是等腰直角三角形；
理由：由旋转知，∠BAD＝∠CAE，
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，BD＝CE，
同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN=12BD，PM=12CE，
∴PM＝PN，
∴△PMN是等腰三角形，同（1）的方法得，PM∥CE，∴∠DPM＝∠DCE，
同（1）的方法得，PN∥BD，∴∠PNC＝∠DBC，
∵∠DPN＝∠DCB+∠PNC＝∠DCB+∠DBC，
∴∠MPN＝∠DPM+∠DPN＝∠DCE+∠DCB+∠DBC＝∠BCE+∠DBC＝∠ACB+∠ACE+∠DBC＝∠ACB+∠ABD+∠DBC＝∠ACB+∠ABC，∵∠BAC＝90°，
∴∠ACB+∠ABC＝90°，∴∠MPN＝90°，∴△PMN是等腰直角三角形；
（3）∵AD＝AE=2，∠DAE＝90°，点M是DE的中点，
∴DE=2AD＝2，AM＝DM＝ME=12DE＝1，AM⊥DE，
∵AB＝AC＝3，∴MC＝2，
∴EC=EM2+MC2=1+4=5，
由（2）可得PM=12CE，△PMN是等腰直角三角形，
∴PM=52，∴△PMN的面积=12×PM2=58．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质，解（1）的关键是判断出PM=12CE，PN=12BD，解（2）的关键是判断出△ABD≌△ACE，解（3）的关键是求出EC的长．
25．如图，抛物线y＝﹣x2+mx+n的图象与x轴交于A，B两点，且点B的坐标是（3，0），与y轴交于点D，且点D的坐标是（0，﹣3）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）BD与抛物线的对称轴交于点E，点P在抛物线上，且坐标为（m，n）（0＜m＜3），求△PDE面积的最大值；
（3）在（2）的条件下，点F是PD的中点，直接写出BF的值．
【分析】（1）把点B（3，0），点D（0，﹣3）．代入y＝﹣x2+mx+n，待定系数法求解析式，即可求解；
（2）作PQ⊥x轴交BD于点Q，得出直线BD的解析式为：y＝x﹣3，进而得出E（1，﹣2），n＝﹣m2+4m﹣3，点Q（m，m﹣3），表示出PQ，进而根据三角形的面积公式，列出函数关系式，根据二次函数的性质，即可求解；
（3）先求得P(32，34)，进而根据中点坐标公式得出F(34，-98)，然后勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）把点B（3，0），点D（0，﹣3）．代入y＝﹣x2+mx+n，
得，-9+3m+n=0n=-3，解得：m=4n=-3，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+4x﹣3；
（2）如图所示，作PQ⊥x轴交BD于点Q，
设直线BD的解析式为：y＝kx+b，代入B（3，0），D（0，﹣3）．
∴3k+b=0b=-3，解得：k=1b=-3，
∴直线BD的解析式为：y＝x﹣3，
∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，对称轴为直线x＝2，
当x＝2时，y＝2﹣3＝﹣1，∴E（2，﹣1），
∵P（m，n）（0＜m＜3）在抛物线上，∴n＝﹣m2+4m﹣3，点Q（m，m﹣3），
∴PQ＝（﹣m2+4m﹣3）﹣（m﹣3）＝﹣m2+3m，
∴S△PDE=12×2×PQ=-m2+3m=-(m-32)2+94，
∴m=32时，△PDE的面积最大，最大值为94；
（3）由（2）可得m=32，则n=-m2+4m-3=-(m-2)2+1=-(32-2)2+1=34，
∴P(32，34)，∵F是PD的中点，D（0，﹣3）．∴F(32+02，34-32)，即F(34，-98)，∵B（3，0），
∴BF=(3-34)2+(98)2=958．
【点评】本题考查了二次函数综合应用，面积问题，线段长度问题，解答本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．
社团名称

A（环保义工）

B（绿植养护）

C（回收材料）

D（垃圾分类）
时间x
0
1
3
4
5
9
12
14
15
16
25
…
离地高度y
0
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218
386
600
984
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社团名称

A（环保义工）

B（绿植养护）

C（回收材料）

D（垃圾分类）
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