湖北省武汉市部分学校2023-2024学年八年级（上）12月月考数学试题（含解析）

这是一份湖北省武汉市部分学校2023-2024学年八年级（上）12月月考数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了计算的结果是等内容，欢迎下载使用。

一．选择题（10×3=30分）
1．现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性． 下列汉字是轴对称图形的是( )
A．B．C．D．
2．计算的结果是（ ）
A．B．C．D．
3．已知点，两点关于轴对称，则点的坐标是( )
A．B．C．D．
4．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是( )
A．B．
C．D．
5．如图，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）

A．∠A=∠DB．AB=DCC．∠ACB=∠DBCD．AC=BD
6．如图所示，在中，是的垂直平分线，的周长为，则的周长为（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在中，，D为边上的一点，点E在边上，，若，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
8．如图，在四边形中，，点在上，连接相交于点，，若，则的长为( )
A．7B．8C．9D．10
9．如图在边长为的正方形中挖掉一个边长为的小正方形（）．把余下的部分前拼成一个矩形，通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ）
A．B．
C．D．
10．如图，在等边中，于D，E是线段上一点，F是边上一点，且满足，G是的中点，连接，则下列四个结论：①；②；③；④；⑤当时，，其中正确的个数有（ ）

A．2B．3C．4D．5
二．填空题（6×3=18分）
11．如果一个正多边形的一个外角是，那么这个正多边形的边数为 ．
12．若是完全平方式，则的值是 ．
13．已知，，，为正整数，则的值是 （用含，的式子表示）．
14．已知实数 ，满足，则的值为 ．
15．已知三边长分别是4，，9，的三边长4，，若这两个三角形全等，则 ．
16．如图，在中，，是外角平分线上一点，连接，，已知，则 ．
三、解答题
17．计算：
(1)
(2)
18．分解因式
(1)；
(2)．
19．如图，点B、F、C、E在同一条直线上，，求证：．
20．（1）计算：
（2）已知，求的值．
21．如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点． 的三个顶点都是格点，其中． 仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示．

(1)在图1中，先画边上的中线；再画的平分线；
(2)在图2中上画点，使． 再在图3中过点画的平行线．
22．已知，在中，，，为边上一点，为射线上一点，连接、．
(1)如图1，若，平分，求的度数；
(2)如图2，若，求的度数；
(3)如图3，若，，在，之间，且，求的长．
23．（1）已知中，，以和为边向外作等边 和．
①连接，，如图1，求证：；
②若，延长交于点，求证：点为的中点；
（2）如图3，于点，，点在上运动，以为边作等边，当长最小时， ．
24．已知，在平面直角坐标系中，，两点的坐标分别为点，点，将线段绕点逆时针旋转得到，连接．
(1)若，
①如图1，若，直接写出点的坐标 ；
②如图1，若点为中点，点在轴负半轴上一点，连接，求证：平分；
(2)如图2，若为边上一点，为延长线上一点，，连接，将线段绕点顺时针旋转得到．
①连接，判断的形状，并证明．
②连接，当 ，线段最短．
答案与解析
1．D
【分析】本题考查的是轴对称图形的概念，根据轴对称图形的概念判断．
【详解】解：A、我，不是轴对称图形；
B、爱，不是轴对称图形；
C、实，不是轴对称图形；
D、中，是轴对称图形；
故选：D．
2．B
【分析】直接运用幂的乘方、积的乘方计算即可．
【详解】解：.
故答案为B．
【点睛】本题主要考查了幂的乘方、积的乘方的运算，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．
3．D
【分析】本题主要考查了关于轴对称点的坐标， 根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变可得答案．
【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是，
∴，
∴为
故选：D．
4．D
【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、等式从左到右变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
B、等式从左到右变形不属于因式分解，故本选项不符合题意；
C、等式从左到右变形因式分解出错，故本选项不符合题意；
D、等式从左到右变形属于因式分解，故本选项符合题意；
故选：D．
5．D
【详解】A．添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
B．添加AB=DC可利用SAS定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
C．添加∠ACB=∠DBC可利用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；
D．添加AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意．
故选D．
6．B
【分析】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，根据线段垂直平分线性质求出长和，根据三角形周长求出的长度，求出的周长，代入求出即可．
【详解】解：是的垂直平分线，，
，，
的周长为，
，
，
的周长为，
故选：B．
7．A
【分析】根据三角形的外角性质得到，，再根据题设条件得到即可求解．
【详解】解：∵是的一个外角，
∴，
∵是的一个外角，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题考查三角形的外角性质、角的运算，熟练掌握三角形的外角性质是解答的关键．
8．C
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，连接，先证明，根据全等三角形的性质可得，根据平行线的性质可得，进一步可得，根据，，可知是等边三角形，从而可知是等边三角形，可求得，根据求解即可．
【详解】解：连接，
，，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，
，，
是等边三角形，
∵，
设，
∴，
解得
∴
故选：C．
9．A
【分析】这个图形变换可以用来证明平方差公式：已知在左图中，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；因为拼成的长方形的长为，宽为，根据“长方形的面积长宽”代入为：，因为面积相等，进而得出结论．
【详解】解：由图可知，大正方形减小正方形剩下的部分面积为；
拼成的长方形的面积：，
所以得出：，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了平方差公式的几何背景，解题的关键是求出第一个图的阴影部分面积，进而根据长方形的面积计算公式求出拼成的长方形的面积，根据面积不变得出结论．
10．D
【分析】本题主要考查了等边三角形和等腰三角形的性质，有一角为的直角三角形的性质，根据题意逐一判断即可，熟练掌握等腰三角形和等边三角形的性质是解题的关键．
【详解】解：连接，如图

∵是等边三角形，
∴， ，
∵，
∴，故①符合题意；
∵， ，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴
∵，
∴， 故②符合题意；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴， 故③符合题意；
∵，是的中点，
故④符合题意；
，
∴，
又∵
∴，
∴，故⑤符合题意．
故选：．
11．12##十二
【分析】本题考查了多边形的内角与外角的关系，根据正多边形的每一个外角都相等，多边形的边数，计算即可求解．
【详解】解：这个正多边形的边数为：，
故答案为：12．
12．
【分析】本题考查完全平方公式，利用完全平方式的结构特征即可求出的值．
【详解】解：是完全平方式，
∴，
∴，
．
故答案为：．
13．##
【分析】根据同底数幂的乘法和幂的乘方运算法则进行计算即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴
故答案为：
【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法和幂的乘方运算，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．
14．
【分析】本题考查了完全平方公式的应用， 利用完全平方公式进行求解即可．
【详解】解：，
，
故答案为：．
15．或##或
【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得到，或，分别求出的值，代入计算即可．
【详解】解：∵两个三角形全等，
∴，或，
∴或，
∴或，
故答案为：或．
16．67°
【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，过点作于，于，根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质即可得到结论．
【详解】解：过点作于，于，
平分，
，
在上截取，连接，
在和中，
，
，
在四边形中，
∵，
∴在四边形为正方形，
，
，
平分，
，
，
平分．
∴
∴
故答案为：67°
17．(1)
(2)2mn
【分析】（1）直接根据单项式与多项式的乘法法则计算即可；
（2）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项．
【详解】（1）解：
=
=
（2）解：
=
=
【点睛】本题考查了单项式与多项式的乘法法、平方差公式和完全平方公式、以及整式的加减运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分解因式，熟知分解因式的方法是解题的关键．
（1）先提取公因式a，再利用完全平方公式分解因式即可；
（2）先提取公因式a，再利用平方差公式分解因式即可．
【详解】（1）解；
；
（2）解：
19．见详解
【分析】先推出，再根据证明，进而即可得到结论．
【详解】证明：∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握证明三角形全等是关键．
20．（1） （2）
【分析】本题考查了整式的混合运算
（1）原式利用平方差公式，以及完全平方公式化简即可得到结果；
（2）利用完全平方公式得到，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
∵，
∴
．
21．(1)见解析
(2)见解析
【分析】本题考查了格点作图，
（1）根据的竖直方向为四格，取上点上方两个为点，连接即可；根据易得的平分线，再将延长两格，可得一个等腰三角形，根据三线合一可得的平分线，取两条平分线的交点为，连接，即可解答；
（2）作点关于的对称点，利用轴对称的性质，即可解答；
熟练掌握三角形的角平分线，轴对称性质的变换，是解题的关键．
【详解】（1）解：如图，即为所作；

（2）解：如图所示，，，
；

22．(1)
(2)
(3)4
【分析】（1）证明得到，，根据等边对等角得到，，则，即可由三角形外角的性质得到；
（2）如图所示，在上找一点F，使得，连接，先证明，进而证明，得到，进一步证明，得到，即；
（3）作交延长线于，连接，证明，证明为含的直角三角形即可得出答案．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴,
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2）解：如图所示，在上找一点F，使得，连接，
∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴；
（3）解：如图所示，过点C作交延长线于，连接，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，,
∵，
∴，
∵，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理的应用，三角形外角的性质，含直角三角形的性质等知识点，根据题意作出辅助线证明三角形全等是解题的关键．
23．（1）①见解析；②见解析；（2）或
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，
（1）①利用等腰三角形的性质，证明，即可解答；
②过点作的平行线，交的延长线于点，证明，再证明，可得，最后证明，即可解答；
（2）当长最小时，即最小，则，此时分类讨论，可得的度数，
正确做出图形，进行分类讨论，是解题的关键．
【详解】（1）①证明：和是等边三角形，
，，
，
即，
在和中，
，
，
；
②证明：如图，过点作的平行线，交的延长线于点，
，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
在与中，
，
，
，
即点为的中点；
（2）当长最小时，即最小，则，
当以为边在左侧作等边时，如图所示：
可得，
为等边三角形，
，
；
当以为边在右侧作等边时，如图所示：
此时点在上，
，
综上所述，或．
24．(1)①②见解析
(2)①等腰三角形②
【分析】（1）①如图1中，过点作轴于点．证明，可得结论；
②如图2中，过点作于点，于点．利用全等三角形的性质证明，可得结论；
（2）作交于点，连接，，，过点作交的延长线于点．证明，推出，再证明，推出，推出，推出点在直线上运动，根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，由此即可解决问题．
【详解】（1）解；①解：如图1中，过点作轴于点．
，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，，
，，，
；
故答案为：
②证明：如图2中，过点作于点，于点．
，，，
，，，
，
，
∴，
在和中，
，
，
，
，，
平分；
（2）①为等腰三角形
证明：作交于点，连接，，过点作交的延长线于点．
，，
，
是等边三角形，
，
，
，，
是等边三角形，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故为等腰三角形．
②，
，，
，
，
，
，
，
点在直线上运动，
根据垂线段最短可知，当点与重合时，的值最小，此时．
故答案为：
【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，角平分线的判定定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．