2023-2024学年浙江省杭州市保俶塔实验学校教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年浙江省杭州市保俶塔实验学校教育集团七年级（下）期中数学试卷（含解析），共17页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.计算(π−2024)0的结果是( )
A. 1B. 0C. πD. −2024
2.石墨烯是现在世界上最薄的纳米材料，其理论厚度仅是0.00000000034m，这个数用科学记数法表示正确的是( )
A. 3.4×10−9B. 0.34×10−9C. 3.4×10−10D. 3.4×10−11
3.已知x=1y=−1是方程2x−ay=3的一个解，那么a的值是( )
A. 1B. 3C. −3D. −1
4.如图所示，在下列四组条件中，不能判定AD//BC的是( )
A. ∠1=∠2B. ∠3=∠4
C. ∠BAD+∠ABC=180°D. ∠BAC=∠ACD
5.下列计算正确的是( )
A. a2+a3=a2B. a3⋅a3=a9C. (a3)2=a6D. (ab)2=ab2
6.我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？若设大马有x匹，小马有y匹，那么可列方程组为( )
A. x+y=1003x+3y=300B. x+y=100x+3y=100
C. x+y=10012x+3y=300D. x+y=1003x+13y=100
7.如图，将四边形CDFE沿AB折叠一下，如果CD/​/EF，∠1=130°，那么∠2是( )
A. 110°
B. 115°
C. 120°
D. 130°
8.如图，将Rt△ABC沿着点B到C的方向平移到△DEF的位置，AB=9，DO=4，平移距离为6，则阴影部分面积为( )
A. 54
B. 42
C. 36
D. 24
9.有两个正方形A、B，现将B放在A的内部得图甲，将A、B并列放置后构造新的正方形得图乙.若图甲和图乙阴影部分的面积分别为1和10，则正方形A、B的面积之和为( )
A. 9
B. 10
C. 11
D. 12
10.已知关于x，y的方程组x+y=a+4x−2y=4a−2给出下列结论：
①当a=3时，方程组的解也是x+y=2a+1的解：
②无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数；
③x，y都为自然数的解有4对；
④若2x+y=9，则a=1.其中正确的有( )
A. ①②③B. ②③④C. ①③④D. ①②④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.计算：(a−2b)(a+2b)= ______．
12.已知二元一次方程2x+y=6，用含x的代数式表示y，则y= ______．
13.如图，∠B+∠DCB=180°，AC平分∠DAB，且∠D：∠DAC=5：2，则∠D的度数是______．
14.如图，现有A，B类两类正方形卡片和C类长方形卡片各若干张，如果要拼成一个长为(m+2n)，宽为(2m+n)的大长方形，那么需要C类卡片张数为______．
15.关于x，y的方程组ax+by=cmx+ny=d的解为x=1y=2，则方程组a(x−1)−3by=cm(x−1)−3ny=d的解是______．
16.如图，AB/​/CD，∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，∠E−∠F=63°，则∠E= ______．
三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：
(1)2x(x2−2x)；
(2)−a⋅a3+(−2a2)2．
18.(本小题6分)
下面是圆圆同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务．
(1)第______步开始出现错误，这一步正确的写法是______．
(2)求出该方程组正确的解．
19.(本小题8分)
(1)先化简，再求值：m(m−2n)+(m+n)2，其中m=−1，n=2．
(2)已知(2x−3)(x2+mx+n)的展开项不含x2和x项，求分别求出m，n的值．
20.(本小题8分)
定义：任意两个数a、b，按规则c=a+b+ab运算得到一个新数c，称所得的新数c为a、b的“加乘数”．
(1)若a=4，b=−3，求a，b的“加乘数”c；
(2)若ab=12，a2+b2=8，求a，b的“加乘数”c．
21.(本小题10分)
如图，已知∠1+∠2=180°，∠3=∠B，且∠AFE=50°．
(1)求证：FD//AB；
(2)求∠ACB的度数．
22.(本小题10分)
已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示(m为正整数)，面积分别为S1、S2．
(1)请比较S1与S2的大小：S1 ______S2；
(2)若一个正方形与甲的周长相等．
①求该正方形的边长(用含m的代数式表示)；
②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S1的差(即S3−S1)是否为常数？若为常数，求出这个常数；如果不是，请说明理由；
23.(本小题12分)
踏春时节，某班学生集体组织亲子游，沿着瓯江口樱花步道骑自行车，该班学生花了950元租了若干辆自行车，已知自行车的类型和租车价格如表：
(1)若同时租用B、C两种类型的车，且共有65个座位，则应租B、C类型车各多少辆？
(2)若B型车租4辆，余下的租用A型和C型，要求每种车至少租用1辆，请你帮他们设计A型车和C型车的租车方案．
(3)若同时租用这三类车，且每种车至少租用1辆，则最多能租到______个座位(直接写出答案)．
24.(本小题12分)
如图1，已知点A，B分别是直线MN，PQ上的点，∠BAN=45°，且PQ//MN．

(1)∠PBA的度数为______．
(2)如图2，射线AC以每秒3°的速度绕点A从AM开始顺时针旋转，射线BD以每秒1°的速度绕点B从BP开始顺时针旋转，当射线AC旋转到与AN重合时，两条射线同时停止旋转．
①当0②如图3，当t>45时，射线AC和射线BD交于点G，用含t的代数式表示∠AGB的度数．
③在②的条件上，过点G作GH⊥AG交PQ于点H，在转动过程中，∠BAG与∠BGH的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：(π−2024)0=1，
故选：A．
根据零指数幂法则进行解题即可．
本题主要考查了零指数幂运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂运算法则．
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10−n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，n由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】
解：科学记数法一般形式为a×10−n，其中1≤|a|<10，
所以0.00000000034=3.4×10−10.
故选：C．
3.【答案】A
【解析】解：∵x=1y=−1是方程2x−ay=3的一个解，
∴x=1y=−1满足方程2x−ay=3，
∴2×1−(−1)a=3，即2+a=3，
解得a=1．
故选：A．
把方程的解代入方程，把关于x和y的方程转化为关于a的方程，然后解方程即可．
本题主要考查了二元一次方程的解．解题关键是把方程的解代入原方程，使原方程转化为以系数a为未知数的方程．
4.【答案】D
【解析】解：A、当∠1=∠2时，AD//BC，本选项不符合题意；
B、当∠3=∠4时，AD//BC，本选项不符合题意；
C、当∠BAD+∠ABC=180°时，AD//BC，本选项不符合题意；
D、当∠BAC=∠ACD时，AB/​/CD，本选项符合题意．
故选：D．
根据平行线的判定方法分别对四个选项进行判断．
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
5.【答案】C
【解析】解：A.a2与a3不是同类项，不能合并，a2+a3不能再计算，因此选项A不正确；
B.因为a3⋅a3=a3+3=a6≠a9，所以选项B不正确；
C.因为(a3)2=a3×2=a6，所以选项C正确；
D.(ab)2=a2b2，因此选项D不正确；
故选：C．
根据合并同类项、积的乘方与幂的乘方以及同底数幂的乘法逐项进行判断即可．
本题考查合并同类项、积的乘方与幂的乘方以及同底数幂的乘法，掌握合并同类项、积的乘方与幂的乘方以及同底数幂的乘法的运算性质是正确计算的前提．
6.【答案】D
【解析】解：设大马有x匹，小马有y匹，
根据题意得：x+y=1003x+13y=100．
故选：D．
设大马有x匹，小马有y匹，根据大马与小马的总匹数是100，1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦共拉100匹瓦，列出方程组，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】解：
∵CD/​/EF，
∴∠DAG=∠1=130°，
由题意得：∠GAB=∠DAB，
∴∠DAB=12∠DAG=65°，
∵∠2+∠DAB=180°，
∴∠2=180°−65°=115°．
故选：B．
由CD/​/EF得到∠DAG=∠1=130°，由轴对称的性质得到∠GAB=∠DAB，即可求出∠DAB=12∠DAG=65°，而∠2+∠DAB=180°，即可得到答案．
本题考查角的计算，关键是掌握轴对称的性质．
8.【答案】B
【解析】解：由平移的性质知，BE=6，DE=AB=9，
∴OE=DE−DO=9−4=5，
∴S四边形ODFC=S梯形ABEO=12(AB+OE)⋅BE=12×(9+5)×6=42．
故选：B．
根据平移的性质得出BE=6，DE=AB=10，则OE=6，则阴影部分面积=S四边形ODFC=S梯形ABEO，根据梯形的面积公式即可求解．
本题主要考查了平移的性质及梯形的面积公式，得出阴影部分和梯形ABEO的面积相等是解题的关键．
9.【答案】C
【解析】解：设大正方形的边长为a，较小正方形的边长为b，
图甲中阴影部分的边长为(a−b)，所以有(a−b)2=1，即a2−2ab+b2=1①，
由于图乙中阴影部分的面积为10，即(a+b)2−a2−b2=10②，
由②得2ab=10，代入①得，a2−10+b2=1，
即a2+b2=11，
故选：C．
设大正方形的边长为a，较小正方形的边长为b，根据图甲和图乙阴影部分的面积分别为1和10，可得(a−b)2=1，(a+b)2−a2−b2=10，求出a2+b2的值即可．
本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
10.【答案】C
【解析】解：①当a=3时，原方程组的解为x=24y=−17，将它代入x+y=2a+1，
左边为x+y=24−17=7，右边为2a+1=2×3+1=7，
∴①正确；
②解原方程组，得x=2+2ay=2−a，
当x，y的值互为相反数时，得x+y=0，即2+2a+2−a=0，
解得a=−4，
∴当a=−4时，当x，y的值互为相反数，
∴②不正确；
③∵原方程组的解为x=2+2ay=2−a，且x，y都为自然数，
∴2+2a≥02−a≥0，其解集为−1≤a≤2，
∴a=−1，0，1，2，将它们分别代入x=2+2ay=2−a，得x=0y=3，x=2y=2，x=4y=1，x=6y=0．
∴③正确；
④原方程组的解为x=2+2ay=2−a，
若2x+y=9，得2(2+2a)+2−a=9，解得a=1，
∴④正确．
综上，①③④正确．
故选：C．
①当a=3时求出原方程组的解，将其解和a=3代入x+y=2a+1，若使方程成立，则正确，否则，则不正确；
②求出原方程组的解，当x+y=0时，求a的值即可；
③使x和y均不小于0，求出a的取值范围，从而得到a的所能可能整数值，分别将a的值代入原方程组的解求出具体解即可；
④将原方程组的解代入2x+y=9求出a的值即可．
本题考查二元一次方程及方程组的解，掌握其解法是本题的关键．
11.【答案】a2−4b2
【解析】解：(a−2b)(a+2b)=a2−4b2．
故答案为：a2−4b2．
本题符合平方差公式的特征：(1)两个二项式相乘；(2)有一项相同，另一项互为相反数，a是相同的项，互为相反项是2b与−2b.所以可利用平方差公式计算．
本题考查了平方差公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．
12.【答案】6−2x
【解析】解：∵2x+y=6，
∴y=6−2x，
故答案为：6−2x．
把x当做已知，移项求出y即可．
此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将一个未知数看作已知数求出另一个未知数．
13.【答案】100°
【解析】解：∵∠B+∠DCB=180°，
∴AB/​/CD．
∴∠D+∠DAB=180°．
设∠D=5x，则∠DAC=2x．
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAB=2∠DAC=2⋅2x=4x．
∵AB/​/CD，
∴∠D+∠DAB=180°．
∴5x+4x=180°．
∴x=20°．
∴∠D=5x=5×20=100°．
故答案为：100°．
由于∠B+∠DCB=180°，得AB/​/CD，故∠D+∠DAB=180°.根据角平分线的定义，∠DAB=2∠DAC.再根据∠D：∠DAC=5：2，可求得∠D．
本题主要考查平行线的性质与判定以及角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质与判定以及角平分线的定义是解决本题的关键．
14.【答案】5
【解析】解：∵(m+2n)(2m+n)
=m2+mn+4mn+2n2
=m2+5mn+2n2，
∴需要C类卡片张数是5，
故答案为：5．
先根据多项式乘多项式运算法则计算(m+2n)(2m+n)，进一步即可确定需要C类卡片的张数．
本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．
15.【答案】x=2y=−23
【解析】解：令x−1=X，−3y=Y，则方程组a(x−1)−3by=cm(x−1)−3ny=d可化为关于X，Y的方程组aX+bY=cmX+nY=d，
∵方程组ax+by=cmx+ny=d的解为x=1y=2，
∴方程组aX+bY=cmX+nY=d的解为X=1Y=2，即x−1=1−3y=2，
解得x=2y=−23．
故答案为：x=2y=−23．
令x−1=X，−3y=Y，则方程组a(x−1)−3by=cm(x−1)−3ny=d可化为关于X，Y的方程组，其解为X=1Y=2，从而得到关于x和y的二元一次方程组并求解即可．
本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组，令x−1=X，−3y=Y，得到关于X和Y的二元一次方程组的解并求出x和y是本题的关键．
16.【答案】102°
【解析】解：如图，过F作FH/​/AB，
∵AB/​/CD，
∴FH//AB//CD，
∵∠DCE的角平分线CG的反向延长线和∠ABE的角平分线BF交于点F，
∴可设∠ABF=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，
∴∠ECF=180°−β，∠BFC=∠BFH−∠CFH=α−β，
∴四边形BFCE中，∠E+∠BFC=360°−α−(180°−β)=180°−(α−β)=180°−∠BFC，
即∠E+2∠BFC=180°，①
又∵∠E−∠BFC=63°，
∴∠BFC=∠E−63°，②
∴由①②可得，∠E+2(∠E−63°)=180°，
解得∠E=102°，
故答案为：102°．
过F作FH/​/AB，依据平行线的性质，可设∠ABF=∠EBF=α=∠BFH，∠DCG=∠ECG=β=∠CFH，根据四边形内角和以及∠E−∠F=63°，即可得到∠E的度数．
本题主要考查平行线的性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键，即①两直线平行⇔同位角相等，②两直线平行⇔内错角相等，③两直线平行⇔同旁内角互补．
17.【答案】解：(1)2x(x2−2x)=2x3−4x2；
(2)−a⋅a3+(−2a2)2
=−a4+4a4
=3a4．
【解析】(1)根据单项式乘多项式的运算法则计算即可；
(2)根据同底数幂的乘法，积的乘方运算法则计算即可．
本题考查了单项式乘多项式，同底数幂的乘法，积的乘方，熟练掌握这些运算法则是解题的关键．
18.【答案】一 6x+3y=9
【解析】解：(1)将方程①两边都乘以3，得
6x+3y=9，
因此从第一步就出现了错误，正确的应为6x+3y=9，
故答案为：一，6x+3y=9；
(2)2x+y=3①6x+2y=5②，
①×3得，6x+3y=9③，
③−②得，y=4，
把y=4代入①得，2x+4=3，
解得x=−12，
所以原方程组的解为x=−12y=4．
(1)根据等式的性质进行判断即可；
(2)根据二元一次方程组的解法，利用加减消元法进行计算即可．
本题考查解二元一次方程组，掌握加减消元法是正确解答的关键．
19.【答案】解：(1)原式=m2−2mn+m2+2mn+n2
=2m2+n2，
当m=−1，n=2时，原式=2×(−1)2+22=2+4=6；
(2)(2x−3)(x2+mx+n)
=2x3+2mx2+2nx−3x2−3mx−3n
=2x3+(2m−3)x2+(2n−3m)x−3n，
由题意得：2m−3=0，2n−3m=0，
解得：m=32，n=94．
【解析】(1)根据单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项把原式化简，把m、n的值代入计算即可；
(2)根据多项式乘多项式的运算法则计算，根据题意列出方程，解方程得到答案．
本题考查的是整式的化简求值，掌握整式的混合运算法则是解题的关键．
20.【答案】解：(1)当a=4，b=−3时，
c=4+(−3)+2×(−3)=−18；
(2)当ab=12，a2+b2=8时，
∵(a+b)2
=a2+b2+2ab
=8+1
=9，
∴a+b=±3，
∴c=±3+12
∴c=72或−52．
【解析】(1)把a=4，b=−3代入c=a+b+ab中求值即可；
(2)利用完全平方公式求出(a+b)2，得到a+b=±2，进而得到c的值．
本题考查因数分解的应用，掌握(a±b)2=a2±2ab+b2是解题的关键．
21.【答案】解：(1)∵∠1+∠EDF=180°，∠1+∠2=180°，
∴∠EDF=∠2，
∴FD//AB；
(2)由(1)知：DF/​/AB，
∴∠3=∠AEF，
∵∠3=∠B，
∴∠B=∠AEF，
∴EF/​/BC，
∴∠ACB=∠AFE，
∵∠AFE=50°，
∴∠ACB=50°．
【解析】本题考查了平行线的性质和判定的应用，能综合运用性质和判定进行推理是解此题的关键，难度适中．
(1)根据平行线的判定定理即可得到结论；
(2)根据平行线的判定推出DF/​/AB，根据平行线的性质得出∠3=∠AEF，求出∠AEF=∠B，根据平行线的判定推出EF/​/BC，再根据平行线的性质推出即可．
22.【答案】<
【解析】解：(1)由题意：
S1=(m+2)(m+6)=m2+6m+2m+12=m2+8m+12，
S2=(m+5)(m+3)=m2+5m+3m+15=m2+8m+15，
∵S1−S2=(m2+8m+12)−(m2+8m+15)=m2+8m+12−m2−8m−15=−3<0，
∴S1故答案为：<，
(2)①甲的周长为2(m+2+m+6)=4m+16，
∵正方形的周长与甲的周长相等，
∴正方形的边长为4m+164=m+4，
②由①可得，正方形的面积S3=(m+4)2，
∴S3−S1=(m+4)2−(m2+8m+12)
=m2+8m+16−m2−8m−12
=4，
∴S3与S1的差(即S3−S1)是常数，这个常数是4．
(1)根据长方形的面积公式列式，然后根据整式的混合运算法则进行计算求解；
(2)①根据正方形和长方形的周长公式计算求解；
②根据正方形和长方形的面积公式列式，然后利用整式的混合运算法则进行计算求解．
本题考查整式混合运算的应用，能够准确理解题意并列出算式，掌握整式混合运算的运算法则是解题关键．
23.【答案】68
【解析】解：(1)设应租B型车x辆，C型车y辆，
依题意，得：3x+4y=6545x+55y=950，
解得：x=15y=5．
答：应租B型车15辆，C型车5辆．
(2)设租A型车a辆，C型车b辆，
依题意，得：30a+45×4+55b=950，
∴b=14−611a.
∵a，b均为正整数，
∴a为11的倍数，
∴a=11b=8，a=22b=2，
∴共有2种租车方案，方案1：租11辆A型车，8辆C型车；方案2：租22辆A型车，2辆C型车．
(3)30÷2=15(元)，45÷3=15(元)，55÷4=554(元)．
设租的A和B两种类型的车共m个座位，C型车共n个座位，
依题意，得：15m+554n=950．
∵m，n均为正整数，
∴n为4的倍数，
∴m=56n=8，m=45n=20，m=34n=32，m=23n=44，m=12n=56，m=1n=68．
又∵m≥2+3=5，
∴m=1n=68不合适，舍去，
∴(m+n)的最大值为68．
故答案为：68．
(1)设应租B型车x辆，C型车y辆，根据租用的两种类型的车共65个座位且共花费950元，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
(2)设租A型车a辆，C型车b辆，根据总租金=每辆车的租金×租车辆数，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案；
(3)分别求出租用三种类型车每个座位合到的钱数，设租的A和B两种类型的车共m个座位，C型车共n个座位，根据总钱数=租用每个座位所需钱数×租到的座位数，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出m，n的值，结合m≥5即可找出(m+n)的最大值．
本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)(3)找准等量关系，正确列出二元一次方程．
24.【答案】135°
【解析】(1)解：∵∠BAN=45°，且PQ//MN，
∴∠PBA=180°−∠BAN=135°，
故答案为：135°；
(2)解：①不存在t，使得AC/​/BD，理由如下：
由题意可得∠MAC=3t，∠PBD=t，
∵∠PBA=135°，
∴∠DBA=135°−t，
∵BAN=45°，
∴∠BAC=180°−∠MAC−∠BAN=135°−3t，
∵要使AC/​/BD，
∴∠BAC=∠ABD，即35°−3t=135°−t，
解得t=0，
∵0∴不存在t，使得AC/​/BD；
②过点G作GH//PQ，
∵∠MAC=3t，∠MAC+∠GAN=180°，
∴∠GAN=180°−3t，
∵PQ/​/MN，GH//PQ，
∴PQ//MN//GH，
∴∠HGB=∠PBD=t，∠HGA=∠NAC=180°−3t，
∴∠AGB=∠AGH+∠BGH=180°−3t+t=180°−2t；
③∠BAG=32∠BGH，保持不变，理由如下：
∵GH⊥AG，
∴∠AGH=90°，
∴∠BGH=90°−∠AGB=90°−(180°−2t)=2t−90°，
∵∠BAG=3t−135°，
∴∠BAG=32∠BGH．
(1)根据平行线的性质求解即可；
(2)①由题意可得∠MAC=3t，∠PBD=t，根据AC/​/BD，则∠BAC=∠ABD，即135°−3t=135°−t，解得t=0，再由0②过点G作GH//PQ，则PQ//MN//GH，进而得∠HGB=∠PBD=t，∠HGA=∠NAC=180°−3t，于是即可得解；
③由垂直定义得∠AGH=90°，从而得∠BGH=2t−90°，又∠BAG=3t−135°，即可得∠BAG=32∠BGH．
本题主要考查了平行线的性质、平行公理的推论、邻补角定义以及垂线定理，熟练掌握平行线的性质以及平行公理的推论是解题的关键．解方程组：2x+y=3①6x+2y=5②
解：由①×3，得6x+3y=3 ③……第一步
③−②，得y=−2.……第二步
将y=−2代入①，解得x=52.……第三步
所以，原方程组的解为x=52y=−2.……第四步
自行车类型
A型车
B型车
C型车
座位数(个)
2
3
4
租车价格(元/辆)
30
45
55