2023-2024学年山西省大同市平城区两校联考八年级（下）月考数学试卷（含解析）

这是一份2023-2024学年山西省大同市平城区两校联考八年级（下）月考数学试卷（含解析），共12页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.下列各武中是最简二次根式的是( )
A. 8B. 13C. 12D. 0.5
2.下面计算正确的是( )
A. 3+ 3=3 3B. 27÷ 3=3C. 2+ 3= 5D. (−2)2=−2
3.使二次根式 2x−1有意义的x的取值范围是( )
A. x≠12B. x>12C. x≤12D. x≥12
4.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，若AB=15，则正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为( )
A. 225
B. 200
C. 150
D. 无法计算
5.已知直角三角形两边的长为3和4，则第三边的长为( )
A. 7B. 5C. 5或 7D. 以上都不对
6.△ABC中，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，由下列条件不能判断它是直角三角形的是( )
A. ∠A：∠B：∠C=3：4：5B. ∠A=∠B−∠C
C. a2=(b+c)(b−c)D. a：b：c=3：4：5
7.如图，在平面直角坐标系中，点P坐标为(−2,3)，以点O为圆心，以OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标介于( )
A. −4和−3之间
B. 3和4之间
C. −5和−4之间
D. 4和5之间
8.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40m/min，甲客轮用15min到达点A，乙客轮用20min到达点B，若A，B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是
( )
A. 北偏西30°B. 南偏西30°C. 南偏东60°D. 南偏西60°
二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。
9.①(−3 2)2= ______；
② (2− 5)2= ______．
10.如图，一根旗杆在离地面0.9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部1.2米处，则旗杆折断之前有______米.
11.公园有一片平行四边形的绿地，绿地上要修几条笔直的小路，如图，AB=15cm，AD=12cm，AC⊥BC，则绿地的面积为______．
12.《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”翻译成数学问题是：如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC+AB=10，BC=3，求AC的长，如果设AC=x，则可列方程为______．
13.等边△ABC的边长为6，AD为中线，点E在AD上运动，点F在边AB上运动，连接BE、EF，则BE+EF的最小值是______．
三、解答题：本题共6小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题10分)
计算：
(1) 20−( 5+1)2；
(2)( 6+2 3)÷ 3−4 12．
15.(本小题8分)
先化简，再求值：xx2−1÷(1+1x−1)，其中x= 3−1．
16.(本小题12分)
如图，已知某开发区有一块四边形空地ABCD，现计划在该空地上种植草皮，经测量∠ADC=90°，CD=6m，AD=8m，BC=24cm，AB=26m，若每平方米草皮需200元，则在该空地上种植草皮共需多少钱？
17.(本小题10分)
如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，你能求出CD的长吗？
18.(本小题10分)
网格中的小正方形边长均为1，△ABC的三个顶点均在格点上，完成下列问题：
(1)AB= ______；BC= ______；AC= ______；
(2)求△ABC的面积；
(3)求AB边上的高．
19.(本小题6分)
阅读并解答下列问题：
海伦——秦九韶公式
古希腊的几何学家海伦(约公元50年)，在数学史上以解决几何测量问题而闻名，在他的著作《度量》一书中，给出了如下公式：若一个三角形的三边分别为a，b，c，记p=a+b+c2，那么三角形的面积为：s= p(p−a)(p−b)(p−c)．
我国南宋时期数学家秦九韶(约1202—1261)，曾提出利用三角形三边求面积的秦九韶公式：s= 14[a2b2−(a2+b2−c22)2]．
海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式，所以我们一般也称此公式为海伦−秦九韶公式．
(1)若△ABC的三边长为7，8，9，求△ABC的面积；
(2)若△ABC的三边长为 5， 6， 7，求△ABC的面积．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、 8=2 2，不是最简二次根式，此选项不符合题意；
B、 13是最简二次根式，此选项符合题意；
C、 12=2 3，不是最简二次根式，此选项不符合题意；
D、 0.5= 22，不是最简二次根式，此选项不符合题意；
故选：B．
直接利用最简二次根式的定义逐项判断即可．
此题主要考查了最简二次根式的定义，解题的关键是判断最简二次根式得过程中要注意：(1)在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；(2)二次根式的被开方数不能含有开方开得尽的因数或因式．
2.【答案】B
【解析】解：∵3+ 3不能合并，故选项A错误；
∵ 27÷ 3= 9=3，故选项B正确；
∵ 2+ 3不能合并，故选项C错误；
∵ (−2)2=2，故选项D错误；
故选B．
根据各个选项中的式子可以得到正确的结果，然后对照即可得到哪个选项是正确的．
本题考查二次函数的混合运算，解题的关键是明确二次函数的混合运算的计算方法．
3.【答案】D
【解析】解：由题意得：2x−1≥0，
解得：x≥12，
故选：D．
根据二次根式的被开方数是非负数，解不等式得到答案．
本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
4.【答案】A
【解析】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
由勾股定理得，AC2+BC2=AB2=152=225，
∴正方形ADEC和正方形BCFG的面积和为225，
故选：A．
根据勾股定理得AC2+BC2=AB2=152=225，从而得出答案．
本题主要考查了勾股定理，正方形的面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：设第三边为x，
(1)若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：
32+42=x2，所以x=5；
(2)若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：
32+x2=42，所以x= 7；
所以第三边的长为5或 7，
故选C．
已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，因此两条边中的较长边4既可以是直角边，也可以是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解．
本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，当已知条件中没有明确哪是斜边时，要注意讨论，一些学生往往忽略这一点，造成丢解．
6.【答案】A
【解析】解：A、∵∠A：∠B：∠C=3：4：5，
∴∠C=53+4+5×180°=75°，故不能判定△ABC是直角三角形，符合题意；
B、∵∠A=∠B−∠C，∠A+∠B+∠C=∠B−∠C+∠B+∠C=2∠B=180°，
∴∠B=90°，故△ABC为直角三角形，不符合题意；
C、∵a2=(b+c)(b−c)，
∴b2−c2=a2，故△ABC为直角三角形，不符合题意；
D、∵a：b：c=3：4：5，设a=3x，b=4x，c=5x，
∴a2+b2=c2，△ABC为直角三角形，不符合题意，
故选：A．
根据三角形内角和定理可得A、B、是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断出C、D是否是直角三角形．
本题考查勾股定理的逆定理及三角形内角和定理，熟知如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形是解题的关键．
7.【答案】A
【解析】解：因为点P坐标为(−2,3)，
所以OP= (−2)2+32= 13，
因为点A、P均在以点O为圆心，以OP为半径的圆上，
所以OA=OP= 13，
因为9<13<16，
所以3< 13<4．
因为点A在x轴的负半轴上，
所以点A的横坐标介于−4和−3之间．
故选：A．
先根据勾股定理求出OP的长，由于OP=OA，故估算出OP的长，再根据点A在x轴的负半轴上即可得出结论．
本题考查的是勾股定理及估算无理数的大小，根据题意利用勾股定理求出OP的长是解答此题的关键．
8.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了勾股定理逆定理的应用，关键是掌握如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
首先根据速度和时间计算出行驶路程，再根据勾股定理逆定理结合路程可判断出甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，进而可得答案．
【解答】
解：甲的路程：40×15=600(m)，
乙的路程：20×40=800(m)，
∵6002+8002=10002，
∴甲和乙两艘轮船的行驶路线呈垂直关系，
∵甲客轮沿着北偏东30°，
∴乙客轮的航行方向可能是南偏东60°，
故选：C．
9.【答案】18 5−2
【解析】解：根据二次根式的第二个性质：(−3 2)2=18
根据二次根式的第三个性质： (2− 5)2=|2− 5|= 5−2，
故答案为：18， 5−2．
根据二次根式的性质进行化简，即可作答．
本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的运算法则是关键．
10.【答案】2.4
【解析】解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为1.2米，一根旗杆在离地面0.9米处断裂，且旗杆与地面是垂直的，
所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形．
根据勾股定理，折断的旗杆为 (0.9)2+(1.2)2=1.5(米)，
所以旗杆折断之前大致有1.5+0.9=2.4(米)，
故答案为：2.4．
图中为一个直角三角形，根据勾股定理两条直角边的平方和等于斜边的平方．用勾股定理直接求解即可．
本题考查的是勾股定理的正确应用，找出可以运用勾股定理的直角三角形是关键．
11.【答案】108cm2
【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，
∴BC=AD=12cm，
∵AC⊥BC，
∴AC= AB2−BC2=9(cm)，
绿地的面积为：BC×AC=12×9=108(cm2).
故答案为：108cm2．
利用平行四边形对边相等的性质得出BC，根据勾股定理求出AC，绿地的面积为：BC×AC．
本题主要考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积求法等知识，根据勾股定理求出AC是解题关键．
12.【答案】x2+32=(10−x)2
【解析】解：设AC=x，
∵AC+AB=10，
∴AB=10−x．
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=(10−x)2．
故答案为：x2+32=(10−x)2．
设AC=x，可知AB=10−x，再根据勾股定理列方程即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型．
13.【答案】3 3
【解析】解：连接CE，
∵等边△ABC中，AD是BC边上的中线，
∴AD是BC边上的高线，即AD垂直平分BC，
∴CE=BE，
当点F是AB边的中点，即CF⊥AB时，且C、E、F三点共线时，BE+EF有最小值，即BE+EF=CE+EF=CF，
∵等边△ABC中，
∴直角三角形CBF中，CF= BC2−BF2= 62−32=3 3，
∴BE+EF的最小值为3 3，
故答案为：3 3．
先连接CE，再根据CE=BE，将BE+EF转化为CE+EF，最后根据点到直线，垂线段最短，求得CF的长，即为BE+EF的最小值．
本题考查了等边三角形的轴对称性质和勾股定理的应用等知识，解题的关键是熟练掌握和运用等边三角形的性质以及轴对称的性质．
14.【答案】解：(1) 20−( 5+1)2
=2 5−(5+2 5+1)
=2 5−2 5−6
=−6；
(2)( 6+2 3)÷ 3−4 12
=( 6+2 3)× 33−2 2
=( 6× 33+2 3× 33)−2 2
=( 2+2)−2 2
= 2+2−2 2
=2− 2．
【解析】(1)先根据完全平方公式展开，再进行合并同类二次根式，即可作答．
(2)先化简，再算除法，最后运算加减，即可作答．
本题考查了二次根式的混合运算以及完全平方公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
15.【答案】解：原式=x(x+1)(x−1)÷xx−1
=x(x+1)(x−1)⋅x−1x
=1x+1，
当x= 3−1时，原式=1 3−1+1= 33．
【解析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．
本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．
16.【答案】解：连接AC，
在Rt△ACD中，AC2=CD2+AD2=62+82=102，
在△ABC中，AB2=262，BC2=242，
而102+242=262，
即AC2+BC2=AB2，
∴∠ACB=90°，
S四边形ABCD=S△ACB−S△ACD=12⋅AC⋅BC−12AD⋅CD
=12×10×24−12×8×6=96(m²)．
所以需费用96×200=19200(元)．
【解析】仔细分析题目，需要求得四边形的面积才能求得结果．连接AC，在直角三角形ACD中可求得AC的长，由AC、AB、BC的长度关系可得三角形ABC为一直角三角形，AB为斜边；由此看，四边形ABCD的面积等于Rt△ABC面积减Rt△ACD的面积，解答即可．
本题考查了勾股定理的应用，通过勾股定理的逆定理，由边与边的关系也可证明直角三角形，这样解题较为简单．
17.【答案】解：在Rt三角形中，由勾股定理可知：AB= BC2+AC2= 82+62=10．
由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE，∠DEA=∠C．
∴BE=4，∠DEB=90°．
设DC=x，则BD=8−x．
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+ED2=BD2，即42+x2=(8−x)2．
解得：x=3．
∴CD=3．
【解析】首先由勾股定理求得AB=10，然后由翻折的性质求得BE=4，设DC=x，则BD=8−x，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可．
本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用，利用翻折的性质和勾股定理表示出△DBE的三边长是解题的关键．
18.【答案】 13 2 13
【解析】解：(1)AB= 22+32= 13,BC= 12+12= 2,AC= 22+32= 13，
故答案为： 13, 2, 13，
(2)△ABC的面积=3×3−12×2×3−12×2×3−12×1×1=2.5，
(3)△ABC的面积=2.5=12×AB×AB边上的高，
即AB边上的高=2.5×2 13=5 1313．
(1)运用勾股定理与网格的联系，列式作答即可；
(2)根据网格的特征，利用割补法列式作答；
(3)运用等面积法，进行列式作答即可．
本题考查了勾股定理与网格，等面积法，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
19.【答案】解：(1)若△ABC的三边长为7，8，9时，p=12(7+8+9)=12，
s△ABC= 12×(12−7)×(12−8)×(12−9)=12 5；
(2)△ABC的三边长为 5， 6， 7时，
S△ABC= 14×[( 5)2×( 6)2−(5+6−72)2]= 262．
【解析】(1)因为△ABC的三边长都是整数，所以代入海伦公式求面积，
(2)因为△ABC的三边长为无理数，它们的平方是整数，所以代入秦九韶公式求面积．
本题主要考查二次根式的应用，解题的关键是熟练掌握二次根式的性质并根据三边长度的特点选择合适的公式代入计算．