2024年安徽省蚌埠市高考数学第三次质检试卷（含详细答案解析）

这是一份2024年安徽省蚌埠市高考数学第三次质检试卷（含详细答案解析），共16页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={1,3,5,7,9}，B={3,6,9,12}，则A∩B=( )
A. {3,9}B. {1,3,5,6,7,9,12}
C. {1,5,7}D. {6,12}
2.已知平面向量a=(1,m),b=(−2,4)，且a//b，则m=( )
A. 2B. 12C. −12D. −2
3.已知曲线C：x24+y2m=1(m≠0)，则“m∈(0,4)”是“曲线C的焦点在x轴上”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c已知a=acsB+bcsA=1，sinC= 22，则( )
A. b=1B. b= 2C. c= 2D. c= 3
5.记数列{an}的前n项和为Sn，若{Snn}是等差数列，S2=−8，S6=0，则a3+a4=( )
A. −8B. −4C. 0D. 4
6.(1−x+x2)2⋅(1+x)3的展开式中，x4的系数为( )
A. 1B. 2C. 4D. 5
7.在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为p1，p2，p3，p4，且i=14pi=1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最小的一组是( )
A. p1=0.1，p2=0.2，p3=0.3，p4=0.4
B. p1=0.4，p2=0.3，p3=0.2，p4=0.1
C. p1=p4=0.1，p2=p3=0.4
D. p1=p4=0.4，p2=p3=0.1
8.已知抛物线C：y2=4x，过其焦点F的直线交C于A，B两点，M为AB中点，过M作准线的垂线，垂足为N，若|AF|=4，则|NF|=( )
A. 43B. 4 33C. 83D. 8 33
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)在区间(π6,π2)上单调递增，则ω的值可以是( )
A. 23B. 1C. 43D. 32
10.科学研究表明，物体在空气中冷却的温度变化是有规律的.如果物体的初始温度为θ1℃，空气温度θ0℃保持不变，则t分钟后物体的温度θ(单位： ℃)满足：θ=θ0+(θ1−θ0)e−0.05t.若空气温度为10℃，该物体温度从θ1℃(90⩽θ1⩽100)下降到30℃，大约所需的时间为t1，若该物体温度从70℃，50℃下降到30℃，大约所需的时间分别为t2，t3，则(参考数据：ln2≈0.7，ln3≈1.1)( )
A. t2=20B. 28≤t1≤30C. t1≥2t3D. t1−t2≤6
11.已知正方体ABCD−A1B1C1D1棱长为4，点N是底面正方形ABCD内及边界上的动点，点M是棱DD1上的动点(包括点D，D1)，已知MN=4，P为MN中点，则下列结论正确的是( )
A. 无论M，N在何位置，AP，CC1为异面直线
B. 若M是棱DD1中点，则点P的轨迹长度为 32π
C. M，N存在唯一的位置，使A1P//平面AB1C
D. AP与平面A1BCD1所成角的正弦最大值为12
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数f(x)= 1−xlgx的定义域为______.
13.已知曲线C：x2+(y−m)2=2和C1：y=x+2，C2：y=|x|+2，若C与C1恰有一个公共点，则实数m=______；若 C与C2恰有两个公共点，则实数m的取值范围是______.
14.已知△ABC的角A，B，C满足tanAtanBtanC≤[tanA]+[tanB]+[tanC]，其中符号[x]表示不大于x的最大整数，若A≤B≤C，则tanC−tanB=______.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知双曲线E:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左顶点是A(−1,0)，一条渐近线的方程为y=x.
(1)求双曲线E的离心率；
(2)设直线y=12x−12与双曲线E交于点P，Q，求线段PQ的长.
16.(本小题15分)
寒假期间小明每天坚持在“跑步3000米”和“跳绳2000个”中选择一项进行锻炼，在不下雪的时候，他跑步的概率为60%，跳绳的概率为40%，在下雪天，他跑步的概率为20%，跳绳的概率为80%.若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为50%，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为40%.已知寒假第一天不下雪，跑步3000米大约消耗能量330卡路里，跳绳2000个大约消耗能量220卡路里.记寒假第n天不下雪的概率为Pn.
(1)求p1，p2，p3的值，并证明{pn−611}是等比数列；
(2)求小明寒假第n天通过运动锻炼消耗能量的期望.
17.(本小题15分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是平行四边形，侧面PAD是以PD为底的等腰三角形，AB=PB=2PA=4，AC=2 7，E在PD上，AE⊥BD.
(1)证明：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)求二面角P−BC−A的余弦值.
18.(本小题17分)
已知函数f(x)=asinxx,a∈R.
(1)当a=1,x∈(0,π2)时，证明：tanx>x>xf(x)；
(2)若∀x∈(−π2,0)∪(0,π2),xtanx19.(本小题17分)
对于无穷数列a0，a1，a2，…，an，…，我们称f(x)=n=0∞ann!xn=a0+a1x+a22!x2+⋯+ann!xn+⋯(规定0!=1)为无穷数列{an}的指数型母函数.无穷数列1，1，…，1，…的指数型母函数记为e(x)=n=0∞1n!xn=1+x+x22!+⋯+xnn!+⋯，它具有性质e(x)e(y)=e(x+y).
(1)证明：e(−x)=1e(x)；
(2)记c(x)=k=0∞(−1)k(2k)!x2k=1−x22!+x44!+⋯+(−1)kx2k(2k)!+⋯.
证明：c(x)=e(ix)+e(−ix)2(其中i为虚数单位)；
(3)以函数xe(x)−1为指数型母函数生成数列{Bn}，xe(x)−1=n=0∞Bnn!xn=B0+B1x+B22!x2+⋯+Bnn!xn+⋯.其中Bn称为伯努利数.
证明：B1=−12.且B2k+1=0(k=1,2,3,…).
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：集合A={1,3,5,7,9}，B={3,6,9,12}，
则A∩B={3,9}.
故选：A.
利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：平面向量a=(1,m),b=(−2,4)，且a//b，
则−2m=4，解得m=−2.
故选：D.
根据已知条件，结合向量平行的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
3.【答案】A
【解析】解：对于曲线C：x24+y2m=1(m≠0)，
当m∈(0,4)时，曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，充分性成立；
若曲线C的焦点在x轴上，则m<4且m≠0，不能推出m∈(0,4)，必要性不成立．
因此，“m∈(0,4)”是“曲线C的焦点在x轴上”的充分不必要条件．
故选：A.
根据圆锥曲线的标准方程，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
本题主要考查圆锥曲线的标准方程、充要条件的定义与判断等知识，考查逻辑推理能力，属于基础题．
4.【答案】B
【解析】解：因为a=acsB+bcsA，
所以由正弦定理可得sinA=sinAcsB+sinBcsA=sin(A+B)=sinC= 22，
又a=1，
所以由正弦定理asinA=csinC，可得c=1，C为锐角，
又sinC= 22，
所以csC= 1−sin2C= 22，
所以由余弦定理c2=a2+b2−2abcsC，可得1=1+b2−2×1×b× 22，
所以解得b= 2.
故选：B.
由已知利用正弦定理，两角和的正弦公式可求得sinA=sinC= 22，可得c=1，C为锐角，利用同角三角函数基本关系式可求csC的值，进而利用余弦定理即可求解b的值．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及三角函数恒等变换在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：设等差数列{Snn}的公差为d，
由S66=S22+4d，得0=−4+4d，解得d=1，
所以Snn=S22+(n−2)d=−4+n−2=n−6，
所以Sn=n2−6n，
所以a3+a4=S4−S2=(16−24)−(4−12)=0.
故选：C.
设等差数列{Snn}的公差为d，利用S66=S22+4d可求出d值，从而利用Snn=S22+(n−2)d可得Sn，最后利用a3+a4=S4−S2进行求解即可．
本题主要考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查学生归纳推理与数学运算的能力，属于基础题．
6.【答案】B
【解析】解：(1−x+x2)2⋅(1+x)3=[(1−x+x2)(1+x)]2⋅(1+x)=(x3+1)2(1+x)=(x6+2x3+1)(1+x)，
则展开式中，x4项为：2x4，系数为2.
故选：B.
理解立方和公式可化简即可得x4的系数．
本题考查二项式定理，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：对于A：E(X)=1×0.1+2×0.2+3×0.3+4×0.4=3，D(x)=(1−3)2×0.1+(2−3)2×0.2+(3−3)2×0.3+(4−3)2×0.4=1；
对于B：E(X)=1×0.4+2×0.3+3×0.2+4×0.1=2，D(X)=(1−2)2×0.4+(2−2)2×0.3+(3−2)2×0.2+(4−2)2×0.1=1；
对于C：E(X)=1×0.1+2×0.4+3×0.4+4×0.1=2.5，D(x)=(1−2.5)2×0.1+(2−2.5)2×0.4+(3−2.5)2×0.4+(4−2.5)2×0.1=0.65；
对于D：E(X)=1×0.4+2×0.1+3×0.1+4×0.4=2.5，D(x)=(1−2.5)2×0.4+(2−2.5)2×0.1+(3−2.5)2×0.1+(4−2.5)2×0.4=1.85，
因此方差最小的一组是C.
故选：C.
利用方差公式分别计算出每一个选项的方差，即可作出判断．
本题主要考查了方差公式，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：根据对称性不妨设A在第一象限，
∴|AF|=p2+xA=1+xA=4，∴xA=3，∴yA=2 3，
∴A(3,2 3)，又F(1,0)，∴kAF=kAB=2 3−03−1= 3，
∴AB直线方程为y= 3(x−1)，
联立y= 3(x−1)y2=4x，可得 3y2−4y−4 3=0，
解得y=2 3或−2 33，
∴yN=2 3−2 332=2 33，又xN=−p2=−1，
∴N(−1,2 33)，又F(1,0)，
∴|NF|= 4+43=4 33.
故选：B.
根据抛物线的焦半径公式建立方程求出A点坐标，从而可得AB直线方程，再联立抛物线方程从而可求出N点坐标，最后根据两点间距离公式即可求解．
本题考查抛物线的几何性质，方程思想，属中档题．
9.【答案】ABC
【解析】解：因为x∈(π6,π2)，ω>0，可得ωx−π6∈(π6ω−π6,π2ω−π6)，
函数f(x)=sin(ωx−π6)(ω>0)在区间(π6,π2)上单调递增，
A选项中，ω=23时，ωx−π6∈(−π18,−π12)单调递增，所以A正确；
B中，ω=1时，ωx−π6∈(0,π3)单调递增，所以B正确；
C中，ω=43时，ωx−π6∈(π18,π2)单调递增，所以C正确；
D中，ω=32时，ωx−π6∈(π12,7π12)不单调，所以D不正确．
故选：ABC.
分别由ω的值，可得ωx−π6的范围，由题意判断出所给命题的真假．
本题考查三角函数的性质的应用，属于基础题．
10.【答案】BC
【解析】解：有题意可知，θ=10+(θ1−10)e−0.05t，
当θ=30，则30=10+(θ1−10)e−0.05t1，
即e−0.05t1=20θ1−10,−0.05t1=ln20θ1−10，
则t1=20lnθ1−1020，
其是关于θ1的单调递增函数，
当θ1=70时，t2=20ln70−1020=20ln3≈22，故A错误；
当θ1=90时，t1=20ln90−1020=20ln4=40ln2≈28，
当θ1=100时，t1=20ln100−1020=20ln92=20(2ln3−ln2)≈30，则28≤t1≤30，故B正确；
当θ1=50时，t3=20ln50−1020=20ln2≈14，此时满足t1≥2t3，t1−t2≥6，故C正确，D错误．
故选：BC.
当θ=30时，可求得t1=20lnθ1−1020，继而求得t2，t3，逐项判定即可．
本题考查了指数式与对数式的互化，指数函数模型的应用，属于中档题．
11.【答案】ABD
【解析】解：由于AP，AA1相交，而AA1//CC1，因此AP，CC1为异面直线，A正确，
当M是棱DD1中点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设P(x,y,z)，M(0,0,2)，A(4,0,0)，C(0,4,0)，C1(0,4,4)，B1(4,4,4)，
故N(2x,2y,2z−2)，0≤2x≤4，0≤2y≤4且2z−2=0，
由于MN=4，故(2x)2+(2y)2+(2z−2−2)2=16，
化简得x2+y2=3，由于0≤2x≤4，0≤2y≤4，
所以点P的轨迹长度为半径为 3的圆的14，故长度为 32π，B正确，
设M(0,0,a)，A1(4,0,4)，则N(2x,2y,2z−a)，0≤2x≤4，0≤2y≤4且2z−a=0，
A1P=(x−4,y,z−4)，AB1=(0,4,4)，AC=(−4,4,0)，设平面AB1C的法向量为m=(m,n,k)，
则AB1⋅m=4n+4k=0AC⋅m=−4m+4n=0，令m=1，则m=(1,1,−1)，
A1P⋅m=(x−4)+y−(z−4)=0，故x+y−z=0，
由于MN=4，故(2x)2+(2y)2+(2z−2a)2=16，
化简得x2+y2+z2=4，联立x+y−z=0x2+y2+z2=4⇒x2+y2+xy=2，故解不唯一，比如取x=0.y= 2，则或取y=0.x= 2，故C错；
由于A1D1⊥平面ABB1A1，AB1⊂平面ABB1A1，故A1D1⊥AB1，
又四边形ABB1A1为正方形，所以A1B⊥AB1，A1B∩A1D1=A1，
A1D1，A1B，A1D1⊂平面A1BCD1，所以AB1⊥平面A1BCD1，
故平面A1BCD1的法向量为AB1=(0,4,4)，
AP=(x−4,y,z)，
设AP与平面A1BCD1所成角为θ，
则sinθ=|cs|=|AP⋅AB1||AP||AB1|=y+z 2 (x−4)2+y2+z2，
则sin2θ=12y2+z2+2yz(x−4)2+y2+z2≤122(y2+z)2(x−4)2+y2+z2，当且仅当y=z时取等号，sin2θ≤y2+z2(x−4)2+y2+z2=4−x2(x−4)2+4−x2=4−x220−8x，
x∈[0,2]时，令20−8x=t>0，则x=20−t8，
故4−x220−8x=4−(20−t8)2t=−(144t+t)+4064，
由于144t+t≥2 144tt=24，当且仅当144t=t，即t=12时等号成立，此时x=1，
由x2+y2+z2=4且y=z可得y=z= 62，
因此sin2θ≤−(144t+t)+4064≤−24+4064=14，
由于θ∈[0,π2]，sinθ>0，
故sinθ的最大值为12，故D正确．
故选：ABD.
根据AP，AA1相交，而AA1//CC1即可判断A，建立空间直角坐标系，利用坐标运算可判断P的轨迹长度为半径为 3的圆的14，即可判断B，根据法向量与方向向量垂直即可判断C，根据线面角的向量法，结合基本不等式即可求解．
本题考查空间向量的应用，涉及与正方体相关的轨迹问题，属于中档题．
12.【答案】(0,1)
【解析】解：由题意可得，1−x≥0x>0x≠1，解得0即函数的定义域为(0,1).
故答案为：(0,1).
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
13.【答案】0或4(2− 2,2+ 2)∪{4}
【解析】解：第一空，∵曲线C：x2+(y−m)2=2表示圆心为C(0,m)，半径r= 2的圆，
又C1：y=x+2，若C与C1恰有一个公共点，
则圆心C到直线C1：y=x+2的距离d=|−m+2| 2=r= 2，
∴m=0或4；
第二空，如图，作出C2：y=|x|+2的图形，
由第一空解析可知：①当m=4时，C与C2恰有两个切点，满足题意；
②当m≠4时，如图，当圆C：x2+(y−m)2=2过A(0,2)时(图中红色与蓝色圆)，为m的两临界值，
此时满足：(2−m)2=2，解得m=2± 2，
∴C与C2恰有两个公共点时，2− 2综合①②可得实数m的取值范围是(2− 2,2+ 2)∪{4}.
故答案为：0或4；(2− 2,2+ 2)∪{4}.
根据直线与圆的位置关系，建立方程即可求出第一空；作出图形，求出临界值，数形结合，即可求出第二空．
本题考查直线与圆的位置关系，数形结合思想，属中档题．
14.【答案】1
【解析】解：由tanC=tan(π−(A+B))=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanAtanB，
得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.
记x=tanC，y=tanB，z=tanA，由条件得x+y+z≤[x]+[y]+[z]，
因为[t]≤t，所以x，y，z必为整数．
如果△ABC为钝角三角形，则∠C>90∘，则∠A、∠B均为锐角，
从而y、z为正整数(z≤y)，
于是x<0<1≤z≤y，
这时有1≤yz=x+y+zx=1+y+zx<1，矛盾．
于是△ABC只能是锐角三角形，则1≤z≤y≤x.
又yz=x+y+zx≤3xx=3.
若yz=1，则y=z=1，从而x+y+z=xyz不能成立；
若yz=2，则z=1，y=2，由x+y+z=xyz，得x=3；
若yz=3，则z=1，y=3，由x+y+z=xyz，得x=2，与y≤x矛盾．
所以x=3，y=2，z=1，即tanC=3，tanB=2，tanA=1，
所以tanC−tanB=1.
故答案为：1.
先证得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，结合条件得tanA，tanB，tanC必为整数，分△ABC为钝角三角形与锐角三角形讨论求得tanA，tanB，tanC的值．
本题主要考查两角和与差的三角函数，属于中档题．
15.【答案】解：(1)因为双曲线左顶点是A(−1,0)，所以a=1，
因为双曲线一条渐近线的方程为y=x，所以ba=1，
所以a=b=1，所以c= a2+b2= 2，
离心率e=ca= 2，
双曲线E的方程为x2−y2=1.
(2)联立直线与双曲线方程y=12x−12x2−y2=1，
消去y并整理得：3x2+2x−5=0，
Δ=4+60=64>0，
设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则x1+x2=−23，x1x2=−53，
PQ= 1+k2⋅ (x1+x2)2−4x1x2= 1+14⋅ 49+203=4 53，
即线段PQ的长为4 53.
【解析】(1)依题意求出a、b、c的值，即可求双曲线的离心率；
(2)联立直线与双曲线方程，由弦长公式结合韦达定理即可求解．
本题考查了双曲线的性质与方程，考查了直线与双曲线的综合，考查了方程思想，属于基础题．
16.【答案】解：(1)依题意，p1=1，p2=0.5，
p3=p2×0.5+(1−p2)×(1−0.4)=0.55，
依题意pn=pn−1×0.5+(1−pn−1)×(1−0.4)=0.6−0.1pn−1，
整理得pn−611=−110(pn−1−611)，p1−611=511≠0，
所以{pn−611}是首项为511，公比为−110的等比数列．
(2)由(1)，寒假第n天不下雪的概率pn=511×(−110)n−1+611，
从而小明寒假第n天跑步的概率为qn=pn×0.6+(1−pn)×0.2=0.2+0.4pn=2355+211×(−110)n−1，
则他第n天通过运动锻炼消耗能量为330qn+220(1−qn)=220+110qn=266+20×(−110)n−1.
【解析】(1)根据相互独立事件的乘法公式即可求解；
(2)根据期望公式求解即可．
本题考查离散型随机变量的期望，考查等比数列的应用，是中档题．
17.【答案】解：(1)证明：由题意知，AD=BC=PA=2，
则在△ABC中，cs∠ABC=AB2+BC2−AC22AB⋅BC=42+22−(2 7)22×4×2=−12，
因为∠ABC∈(0,π)，所以∠ABC=2π3，从而∠DAB=π3，
在△ABD中，BD2=AD2+AB2−2AD⋅AB⋅csπ3=22+42−2×2×4×12=12，
则BD2+AD2=12+4=16=AB2，所以BD⊥AD，
又因为BD⊥AE，AD∩AE=A，所以BD⊥平面PAD，
因为BD⊂平面ABCD，所以平面PAD⊥平面ABCD；
(2)由(1)知，BD⊥平面PAD，PD⊂平面PAD，所以BD⊥PD，
所以PD= PB2−BD2=2，所以△PAD为等边三角形，
如图，在平面PAD内作DH⊥AD，则DH⊥平面ABCD，
以DA，DB，DH所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系(如图所示)，
则D(0,0,0)，B(0,2 3,0)，C(−2,2 3,0)，P(1,0, 3)，
所以BP=(1,−2 3, 3)，BC=(−2,0,0)，
显然平面ABC的一个法向量为n=(0,0,1)，
设平面PBC的法向量为m=(x,y,z)，
则BP⋅m=x−2 3y+ 3z=0BC⋅m=−2x=0，
解得x=0，令y=1，则z=2，所以m=(0,1,2)，
记二面角P−BC−A的平面角为α，
则csα=|cs⟨m,n⟩|=|m⋅n||m|⋅|n|=1×21× 5=2 55，
所以二面角P−BC−A的余弦值为2 55.
【解析】(1)由余弦定理和勾股定理的逆定理可得BD⊥AD，再由线面垂直的判定定理和面面垂直的判定定理即可证明；
(2)建立空间直角坐标系，由向量法即可求得．
本题考查面面垂直的证明和二面角的求法，属于中档题．
18.【答案】解：(1)证明：记g(x)=tanx−x,x∈(0,π2)，则g′(x)=1cs2x−1，
因为x∈(0,π2)，所以csx∈(0,1)，所以g′(x)>0，
则g(x)在(0,π2)上单调递增，所以g(x)>g(0)=0，
所以tanx>x,x∈(0,π2)；
当a=1时，x>xf(x)等价于x>sinx，记h(x)=x−sinx,x∈(0,π2)，
则h′(x)=1−csx>0，可知h(x)在(0,π2)上单调递增，
则h(x)>h(0)=0，即x>sinx,x∈(0,π2)；
综上，当a=1,x∈(0,π2)时，tanx>x>xf(x).
(2)由题意，可知xtanx记F(x)=xtanx−asinxx，则F(x)的定义域为(−π2,0)∪(0,π2)，
则F(−x)=−xtan(−x)−asin(−x)−x=xtanx−asinxx=F(x)，
则F(x)为定义在(−π2,0)∪(0,π2)内为偶函数，
所以题设等价于当x∈(0,π2)时，F(x)=xtanx−asinxx<0，
(i)当a≤0时，F(x)>0，不合题意；
(ii)当a>0时，因为x∈(0,π2)，所以x2csx−asin2x<0，
①当0sinx>0,x∈(0,π2)，
则x2>sin2x>0，所以x2csx−asin2x>x2csx−ax2=x2(csx−a)，
又因为0因此当x∈(0,θ)，x2csx−asin2x>0，即F(x)<0不成立，不合题意；
②当a≥1时，x2csx−asin2x≤x2csx−sin2x，
记G(x)=x2csx−sin2x,x∈(0,π2)，
由(1)可知tanx>x,x∈(0,π2)，可得sinx>xcsx,x∈(0,π2)，
所以G(x)=2xcsx−x2sinx−2sinxcsx<2sinx−x2sinx−2sinxcsx
=−sinx[x2−2(1−csx)]=−sinx(x2−4sin2x2)=−4sinx[(x2)2−sin2x2]，
因为x∈(0,π2)，则x2∈(0,π4)⊆(0,π2),sinx>0，
由(1)可得x2>sinx2>0，则(x2)2>sin2x2>0，
所以G′(x)=−4sinx[(x2)2−sin2x2]<0，所以G(x)在(0,π2)单调递减，
则G(x)综上，实数a的取值范围是[1,+∞).
【解析】(1)构建函数g(x)=tanx−x,h(x)=x−sinx,x∈(0,π2)，利用导数判断函数单调性，结合函数单调性证明即可；
(2)构建函数F(x)=xtanx−asinxx，结合偶函数性质可知，当x∈(0,π2)时，F(x)=xtanx−asinxx<0，分情况讨论a的取值范围，根据恒成立问题结合函数单调性求解即可．
本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用综合法证明不等式，考查了转化思想和分类讨论思想，属难题．
19.【答案】解：(1)证明：令x=0，则e(0)=1，
由e(x)e(y)=e(x+y)，
令y=−x，则e(x)e(−x)=e(0)=1，
因为e(x)≠0，故e(−x)=1e(x)；
(2)证明：因为(ix)4n(4n)!+(−ix)4n(4n)!=x4n(4n)!+x4n(4n)!=2x4n(4n)!，
(ix)4n+1(4n+1)!+(−ix)4n+1(4n+1)!=ix4n+1(4n+1)!+−ix4n+1(4n+1)!=0，
(1x)4n+2(4n+2)!+(−1x)4n+2(4n+2)!=−x4n+2(4n+2)!+−x4n+2(4n+2)!=−2x4n+2(4n+2)!，
(ix)4n+3(4n+3)!+(−ix)4n+3(4n+3)!=−ix4n+3(4n+3)!+ix4n+3(4n+3)!=0，
e(ix)+e(−ix)=n=0∞[2x4n(4n)!−2x4n+2(4n+2)!]=k=0∞2(−1)k(2k)!x2k=2k=0∞(−1)k(2k)!x2k=2c(x)，
所以c(x)=e(ix)+e(−ix)2；
(3)证明：令g(x)=xe(x)−1，
则有g(−x)−g(x)=−xe(−x)−1−xe(x)−1=−x[1e(−x)−1+1e(x)−1]
=−x⋅[e(x)−1]+[e(−x)−1][e(−x)−1][e(x)−1]=−x⋅e(x)+e(−x)−22−e(x)−e(−x)=x，
因此x=g(−x)−g(x)=n=0∞Bnn!(−x)n−n=0∞Bnn!xn
=−2k=0∞B2k+1(2k+1)!!x2k+1=−2[B1x+k=1∞B2k+1(2k+1)!x2k+1]，
故B1=−12且k=1∞B2k+1(2k+1)!x2k+1=0，
即B2k+1=0(k=1,2,3,⋯).
【解析】(1)由e(x)e(y)=e(x+y)，通过赋值即可证得；
(2)根据i的周期性，经过多次推理，由求和可以证得；
(3)构造g(x)=xe(x)−1，可以推出g(−x)−g(x)=x，然后再伯努利数的定义证明即可．
主要考查了复数i的周期性，考查推理论证能力，对学生思维要求比较高，综合性很强，属于难题．