2023-2024学年安徽省淮南市高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析) (1)

这是一份2023-2024学年安徽省淮南市高一（上）期末数学试卷(含详细答案解析) (1)，共17页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.函数f(x)= 1−x+lg(2x−1)的定义域为( )
A. (0,12)B. (0,1]C. (−∞,12)D. (12,1]
2.函数f(x)=x3csxe|x|在[−3,3]上的大致图象为( )
A. B.
C. D.
3.函数f(x)=x3+3x−15的零点所在的区间为( )
A. (−1,0)B. (0,1)C. (1,2)D. (2,3)
4.已知x，y均为正实数，且1x+2+1y+2=16，则x+y的最小值为( )
A. 24B. 32C. 20D. 28
5.已知tanα=−2，则3sin(π−α)−2cs(π+α)cs(π2+α)的值为( )
A. −2B. −1C. 1D. 2
6.设a，b，c均为正数，且2a=lg12a，(12)b=lg12b，(12)c=lg2c.则a，b，c大小顺序为( )
A. a7.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则( )
A. ω=1，φ=π6B. ω=1，φ=−π6
C. ω=2，φ=π6D. ω=2，φ=−π6
8.若关于x的方程4x+a+4⋅2x+4=0在−1,2上有实数根，则实数a的取值范围是( )
A. −252,−8B. −∞,−252C. −25,−8D. −8,+∞
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列说法正确的是( )
A. 命题“∃x0∈R，x02+3x0+2≤0”的否定是“∀x∈R，x2+3x+2>0”
B. am2C. f(x)=1x的单调减区间为(−∞,0)∪(0,+∞)
D. 若命题“∃x∈R，ax2−ax+4≤0”是假命题，则a的取值范围为(0,16)
10.函数f(x)=cs(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图像如图所示，则下列结论正确的是( )
A. ω=2
B. φ=π3
C. x=34是函数f(x)的一条对称轴
D. 函数f(x)的对称中心是(k+14,0)，k∈Z
11.已知a>0，b>0，且a+b=1，则下列结论正确的是( )
A. 1a+1b的最小值是4B. ab+1ab的最小值是2
C. 2a+2b的最小值是2 2D. lg2a+lg2b的最小值是−2
12.设函数f(x)=x2,x≤1|lg2(x−1)|,x>1，若f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)，且x1A. 3B. 4C. 5D. 163
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知lg7[lg3(lg2x)]=0，那么x−12=__________.
14.已知f(x6)=lg2x，那么f(8)=______.
15.已知α∈(π,3π2)，2sin2α=cs2α+1，则csα=__________.
16.已知函数f(x)=2022x3+2x2+3x+6x2+3，且f(a)=14，则f(−a)的值为______.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题10分)
设m为实数，U=R，集合A={x|−2≤x≤4}，B={x|m≤x≤m+2}.
(1)若m=3，求A∪B，∁U(A∩B)；
(2)若A∩B=⌀，求实数m的取值范围．
18.(本小题12分)
已知函数f(α)=sin(π2+α)cs(3π2−α)tan(π−α)tan(π+α)sin(2π−α).
(1)化简f(α)
(2)若f(α)⋅f(α−3π2)=−38，且−3π4<α<−π2，求f(α)+f(α−3π2)的值.
19.(本小题12分)
已知函数fx=x2−mx−2.
(1)若m>0且fx的最小值为−3，求不等式fx<1的解集；
(2)若当x2≤1时，不等式fx−2x<0恒成立，求实数m的取值范围.
20.(本小题12分)
已知函数f(x)=sin(π−ωx)csωx+cs2ωx(ω>0)，y=f(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4.
(1)求ω的值；
(2)将函数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y=g(x)的图象，求函数y=g(x)在区间[0,π4]上的值域.
21.(本小题12分)
已知函数f(x)=ex−e−x2；g(x)=ex+e−x2.
(1)求[g(x)]2−[f(x)]2的值；
(2)解关于x的不等式f(sinx)+f( 3csx−1)>0；
(3)[f(x)]2+a⋅g(x)>0对∀x∈R恒成立，求实数a的取值范围.
22.(本小题12分)
已知函数f(x)=2 3sinxcsx+2sin2x−1.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)当时x∈[0,π2]求函数f(x)的最大值和最小值.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：由题意可得1−x≥02x−1>0，解得12所以函数的定义域为(12,1].
故选：D.
根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．
本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．
2.【答案】B
【解析】【分析】
先判断函数为奇函数，再根据函数值的特点即可判断．
本题考查了函数的图象，关键是掌握函数奇偶性，属于基础题．
【解答】
解：f(−x)=(−x)3cs(−x)e|−x|=−x3csxe|x|=−f(x)，
则函数f(x)为奇函数，故排除C；
又因为0故选：B.
3.【答案】D
【解析】【分析】
判断函数的连续性，由零点判定定理判断求解即可．
本题考查了函数零点的判定定理的应用，属于基础题．
【解答】
解：函数f(x)=x3+3x−15是连续函数，
∵f(1)=1+3−15=−11<0，
f(2)=8+6−15=−1<0
f(3)=27+9−15=21>0，
∴f(2)f(3)<0，
由零点判定定理可知函数的零点在(2,3).
故选：D.
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
变形x+y=(x+2+y+2)−4=6(1x+2+1y+2)(x+2+y+2)−4，利用基本不等式的性质即可得出．
【解答】
解：∵x，y均为正实数，且1x+2+1y+2=16，
则x+y=(x+2+y+2)−4
=6(1x+2+1y+2)(x+2+y+2)−4
=6(2+x+2y+2+y+2x+2)−4
≥6×(2+2 x+2y+2⋅y+2x+2)−4=20，
当且仅当x=y=10时取等号．
∴x+y的最小值为20.
故选C.
5.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了诱导公式和同角三角函数的基本关系，考查学生的数学运算能力，属于基础题．
利用诱导公式以及弦化切，即可解出．
【解答】
解：已知tanα=−2，则3sin(π−α)−2cs(π+α)cs(π2+α)=3sinα+2csα−sinα=−3−2tanα=−2.
故选A.
6.【答案】D
【解析】【分析】
利用指数函数和对数函数的单调性即可得出．
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，属于基础题．
【解答】
解：∵a>0，∴lg12a=2a>20=1=lg1212，∴0∵b>0，∴0<(12)b<(12)0=1，∴0∵c>0，∴0综上可知：a故选：D.
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查y=Asin(ωx+φ)中参数的几何意义，由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式，属于基础题．
通过图象求出函数的周期，即可求出ω，由图象过点(π3,1)确定φ，推出选项．
【解答】
解：由图象可知：T=4×(7π12−π3)=π，∴ω=2，
又(π3,1)在图象上，
所以2×π3+φ=π2，φ=−π6.
故选D.
8.【答案】A
【解析】【分析】
本题考查了函数的单调性与最值，属于较难题．
当x∈[−1,2]时，令t=2x∈[12,4]，可得出t2+(a+2)t+4=0，可得出−(a+2)=t+4t，利用函数的单调性求出函数g(t)=t+4t在区间[12,4]上的值域，可得出关于实数a的不等式，由此可解得实数a的取值范围．
【解答】
解：当x∈[−1,2]时，
令t=2x∈[12,4]，
则t2+(a+2)t+4=0，可得−(a+2)=t+4t，
设g(t)=t+4t，其中t∈[12,4]，
所以函数g(t)=t+4t在[12,2]上为减函数，在[2,4]上为增函数；
所以g(t)min=g(2)=4，
∵g(12)=172，g(4)=5，
则g(t)max=g(12)=172，
故函数g(t)=t+4t在[12,4]上的值域为[4,172]，
所以，4≤−(a+4)≤172，
解得−252≤a≤−8.
故选A.
9.【答案】AB
【解析】解：对于A，命题“∃x0∈R，x02+3x0+2≤0”的否定是“∀x∈R，x2+3x+2>0”，选项A正确；
对于B，由题意知，当am2当a所以am2对于C，由f(−1)=−1对于D，由命题“∃x∈R，ax2−ax+4≤0”是假命题可知，函数f(x)=ax2−ax+4的图像全部在x轴上方，
当a>0时，则Δ<0，即Δ=a2−16a<0，得0当a=0时，因为4≤0不成立，所以原命题是假命题成立，
综上所诉，a的取值范围是[0,16),选项D错误．
故选：AB.
根据存在量词命题的否定可以判断A；
根据充分条件和必要条件的定义即可判断B；
根据函数单调性定义可以判断C；
由命题是假命题可知，函数f(x)=ax2−ax+4的图像全部在x轴上方，则a>0且Δ<0，即可判断D.
本题考查了命题真假的判断问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
10.【答案】CD
【解析】解：由图可知，最小正周期T=2×(54−14)=2，
所以ω=2π2=π，即A错误；
因为f(14)=0，所以cs(π⋅14+φ)=0，所以π4+φ=π2+kπ，k∈Z，即φ=π4+kπ，k∈Z，
又|φ|<π2，所以φ=π4，此时f(x)=cs(πx+π4)，即B错误；
令πx+π4=kπ，k∈Z，则x=k−14，k∈Z，
当k=1时，x=34，即C正确；
令πx+π4=π2+kπ，k∈Z，则x=k+14，k∈Z，
所以函数f(x)的对称中心是(k+14,0)，k∈Z，即D正确．
故选：CD.
选项A，由图可知，最小正周期T=2，再由ω=2πT，可判断；
选项B，根据f(14)=0，推出φ=π4+kπ，k∈Z，得解；
选项C和D，根据余弦函数的对称性，即可得解．
本题考查三角函数的图象与性质，熟练掌握y=cs(ωx+φ)中ω，φ的几何意义，以及余弦函数的图象与性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
11.【答案】AC
【解析】【分析】
本题考查了基本不等式的应用，涉及到基本不等式的变形，考查了学生的转化能力，属于中档题．
利用基本不等式以及基本不等式的各种变形即可求解．
【解答】
解：A：∵a>0，b>0，a+b=1，
∴1a+1b=(1a+1b)(a+b)=ba+ab+2≥2 1+2=4，
当且仅当a=b=12时取等号，
∴1a+1b的最小值为4，∴A正确，
B：∵ab+1ab≥2 1=2，当且仅当ab=1a+b=1时取等号，
∵ab=1a+b=1无解，∴ab+1ab>2，∴B错误，
C：∵a+b=1，∴2a+2b≥2 2a⋅2b=2 2a+b=2 2，
当且仅当a=b=12时取等号，∴2a+2b的最小值为2 2，∴C正确，
D：∵a>0，b>0，∴1=a+b≥2 ab，
∴ab≤14，当且仅当a=b=12时取等号，
∴lg2a+lg2b=lg2(ab)≤lg214=−2，
∴lg2a+lg2b的最大值为−2，∴D错误，
故选AC.
12.【答案】BC
【解析】解：作出函数f(x)的图象，如图所示，
设f(x1)=f(x2)=f(x3)=f(x4)=t，
由图可知，当0交点的横坐标分别为x1，x2，x3，x4，且x1当x>1时，令f(x)=|lg2(x−1)|=1，解得x=32或x=3，
由图可知，x1+x2=0，32≤x3<2,2由f(x3)=f(x4)，可得−lg2(x3−1)=lg2(x4−1)，所以x3−1=1x4−1，
则有x3=1x4−1+1，
所以4x4+1+(x1+x2+2)x3=4x4+1+2x3=4x4+1+2x4−1+2.
令g(x)=4x+1+2x−1+2(2易知g(x)在(2,3]上为减函数，且g(2)=163,g(3)=4，
故4≤4x4+1+(x1+x2+2)x3<163，
且4∈[4,163),5∈[4,163).
故选：BC.
作出函数f(x)的图象，结合图象可得x1+x2=0，由f(x3)=f(x4)，得x3=1x4−1+1，从而得4x4+1+(x1+x2+2)x3=4x4+1+2x4−1+2，再根据2本题考查了二次函数、对数函数的性质，也考查了数形结合思想及转化思想，作出函数f(x)的图象是关键，属于中档题．
13.【答案】 24
【解析】【分析】
本题的考点是对数和指数的运算性质的应用．
根据对数的定义先求出lg3(lg2x)=1，再求出lg2x=3，进而求出x的值，再代入x−12根据指数的运算性质进行化简．
【解答】
解：由lg7[lg3(lg2x)]=0得，lg3(lg2x)=1，则lg2x=3，
解得x=23，
∴x−12=2−32=12 2= 24.
故答案为 24.
14.【答案】12
【解析】【分析】
本题考查对数的运算性质，属于基础题.
令x6=8，解出x值后，代入已知式，即可得到要求的值．
【解答】
解：∵f(x6)=lg2x，令x6=8，x=816=212，
∴f8=lg2212=12，
故答案为 12.
15.【答案】−2 55
【解析】解：因为2sin2α=cs2α+1，
所以4sinαcsα=2cs2α，
而α∈(π,3π2)，
故csα<0，sinα<0，
则2sinα=csα，
又sin2α+cs2α=1，得cs2α=45，
由csα<0，知csα=−2 55.
故答案为：−2 55.
先根据二倍角公式化简原方程，然后结合sin2α+cs2α=1求解出结果．
本题主要考查了二倍角公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
16.【答案】−10
【解析】解：根据题意，函数f(x)=2022x3+2x2+3x+6x2+3=2022x3+3xx2+3+2x2+6x2+3=2022x3+3xx2+3+2，
则有f(−x)=−2022x3+3xx2+3+2，
则f(x)+f(−x)=4，
若f(a)=14，则f(−a)=−10，
故答案为：−10.
根据题意，求出函数f(−x)的表达式，分析可得f(x)+f(−x)=4，由f(a)的值，计算可得答案．
本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题，
17.【答案】解：(1)当m=3时，B={x|3≤x≤5}，又A={x|−2≤x≤4}，
所以A∪B={x|−2≤x≤5}，A∩B={x|3≤x≤4}，
所以∁U(A∩B)={x|x<3或x>4}.
(2)由m则m>4或m+2<−2，
即m>4或m<−4，
当A∩B=⌀时，实数m的取值范围是{m|m<−4或m>4}.
【解析】(1)利用并集及交集和补集运算法则进行计算；
(2)根据交集结果比较端点值的大小求解实数m的取值范围．
本题主要考查并集及交集和补集运算法则，属于基础题．
18.【答案】解：(1)f(α)=sin(π2+α)cs(3π2−α)tan(π−α)tan(π+α)sin(2π−α)
=csα⋅(−sinα)⋅(−tanα)tanα⋅(−sinα)
=−csα.
(2)由(1)知f(α−3π2)=−cs(α−3π2)=−cs(α+π2)=sinα，
∴f(α)⋅f(α−3π2)=−csα⋅sinα，
∵f(α)⋅f(α−3π2)=−38，
∴csαsinα=38，
∴(sinα−csα)2=1−2csαsinα=14.
又−3π4<α<−π2，
∴csα>sinα，
∴sinα−csα=−12.
∴f(α)+f(α−3π2)=−csα+sinα=−12.
【解析】(1)根据诱导公式化简即可；
(2)由题意得f(α)+f(α−3π2)=−csα+sinα，又由题意得到csαsinα=38，根据sinα−csα与csα⋅sinα的关系求解．
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数关系式，三角恒等变换，是中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)f(x)的图象是对称轴为x=m2，开口向上的抛物线，
∴f(x)min=f(m2)=m24−m22−2=−m24−2=−3，
∴m=±2，又∵m>0，∴m=2.
由f(x)<1，得x2−2x−3<0，
即(x−3)(x+1)<0，得−1∴不等式f(x)<1的解集为(−1,3).
(Ⅱ)由x2≤1，得−1≤x≤1.
设函数g(x)=f(x)−2x=x2−(m+2)x−2，
∵g(x)的图象是开口向上的抛物线，
∴要使当x2≤1时，不等式f(x)−2x<0恒成立，
即g(x)<0在[−1,1]上恒成立，
则g(1)<0g(−1)<0，可得1−m−2−2<01+m<0，解得−3因此，m的取值范围是(−3,−1).
【解析】本题考查了不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想和方程思想，属中档题．(Ⅰ)利用二次函数的最值可求得正数m的值，再解不等式f(x)<1即可；
(Ⅱ)令g(x)=f(x)−2x=x2−(m+2)x−2，根据题意可得出关于实数m的不等式组，由此可解得实数m的取值范围．
20.【答案】解：(1)由于f(x)=sinωxcsωx+cs2ωx=12sin2ωx+1+cs2ωx2= 22sin(2ωx+π4)+12；
由题意可得T4=π4，即T=π.
又T=2π2ω=π，可得ω=1，
(2)由(1)知f(x)= 22sin(2x+π4)+12，
由平移规则可得g(x)= 22sin(4x+π4)+12，
当x∈[0,π4]时，4x+π4∈[π4,5π4]，
由正弦函数单调性可知− 22≤sin(4x+π4)≤1；
所以g(x)= 22sin(4x+π4)+12∈[0, 2+12]，
即函数y=g(x)在区间[0,π4]上的值域为[0, 2+12].
【解析】(1)根据题意利用二倍角公式和辅助角公式可得f(x)= 22sin(2ωx+π4)+12，又知周期为T=π即可得ω=1；
(2)根据三角函数平移规则可得g(x)= 22sin(4x+π4)+12，利用整体代换即可求得其在区间[0,π4]上的值域．
本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为函数f(x)=ex−e−x2，g(x)=ex+e−x2，
所以[g(x)]2−[f(x)]2=(ex+e−x2)2−(ex−e−x2)2=e2x+2e0+e−2x4−e2x−2e0+e−2x4=e2x+2+e−2x−e2x+2−e−2x4=44=1；
(2)因为f(x)=ex−e−x2,f(−x)=e−x−ex2=−(ex−e−x)2，
即f(−x)=f(x)，又因为函数f(x)定义域为R，
所以f(x)为奇函数，
任取x1，x2∈R，x1则f(x1)−f(x2)=12(ex1−e−x1)−12(ex2−e−x2)=12(ex1−ex2)(1+1ex1+x2)，
∵ex1+x2>0，∴1+1ex1+x2>0，
又因为x1∴ex1所以ex1−ex2<0，
所以f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)所以f(x)在R上为增函数；
因为f(sinx)+f( 3csx−1)>0，
所以f(sinx)>−f( 3csx−1)=f(1− 3csx)，
所以sinx>1− 3csx，
即sinx+ 3csx>1，
所以sin(x+π3)>12，
所以π6+2kπ即−π6+2kπ所以不等式的解集为(−π6+2kπ,π2+2kπ)，k∈Z.
(3))因为[f(x)]2+a⋅g(x)>0，
所以(ex−e−x2)2+a⋅ex+e−x2>0，
整理得e2x+e−2x+2aex+2ae−x>2，
即e2x+1e2x+2a⋅ex+2aex>2，对任意x∈R恒成立，
∵e2x>0,1e2x>0∴e2x+1e2x≥2，当且仅当x=0时等号成立，
∵ex>0,1ex>0，∴2a(ex+1ex)≥2a×2=4a，当且仅当x=0时等号成立，
所以当x=0时，e2x+1e2x+2a⋅ex+2aex取得最小值为2+4a，
所以[f(x)]2+a⋅g(x)>0对∀x∈R恒成立，
即(e2x+1e2x+2a⋅ex+2aex)min>2，
所以2+4a>2，解得a>0，
所以a的取值范围是(0,+∞).
【解析】(1)将函数f(x)和g(x)代入所求式子，化简可求得结果；
(2)首先判断函数f(x)的奇偶性和单调性，进而可得关于x的三角不等式，解不等式即可；
(3)将恒成立问题转化为最值问题求解即可．
本题考查了函数的性质，不等式的恒成立问题，属于难题．
22.【答案】解：(1)因为f(x)=2 3sinxcsx+2sin2x−1
= 3sin2x−cs2x
=2( 32sin2x−12cs2x)
=2sin(2x−π6)，
所以函数f(x)的最小正周期T=2π2=π，
令2kπ−π2≤2x−π6≤2kπ+π2，k∈Z，
解得kπ−π6≤x≤kπ+π3，k∈Z，
所以函数的单调递增区间为[kπ−π6,kπ+π3]，k∈Z；
(2)因为x∈[0,π2]，
所以2x−π6∈[−π6,5π6]，
所以sin(2x−π6)∈[−12,1]，
则f(x)∈[−1,2]，
所以当2x−π6=−π6，即x=0时f(x)min=−1，
当2x−π6=π2，即x=π3时f(x)max=2.
【解析】(1)利用二倍角公式、辅助角公式将函数化简，再结合正弦函数的性质计算可得；
(2)由x的取值范围，求出2x−π6的取值范围，再根据正弦函数的性质计算可得．
本题考查了三角函数恒等变换以及正弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．