微专题17 圆锥曲线压轴小题 -2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分

这是一份微专题17 圆锥曲线压轴小题 -2024年新高考数学二轮复习微专题提分突破140分，共33页。

1、求的离心率(或离心率的取值范围)，常见有以下方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
③几何法：寻找几何关系，将问题转化
④坐标法：一般套路将坐标代入曲线求解
2、解析几何中与动点有关的最值问题一般的求解思路：
①几何法：利用图形作出对应的线段，利用几何法求最值；
②代数法：把待求量的函数表示出来，利用函数求最值.
【典型例题】
例1．（2024·辽宁·一模）已知双曲线的下焦点和上焦点分别为，直线与C交于A，B两点，若面积是面积的4倍，则（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【解析】由可知，，
联立，消元得：，
则，即，
由面积是面积的4倍可知，到直线的距离是到直线距离的4倍，即，
化简可得，即，
解得或（舍去），
故选：D
例2．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）焦点为的抛物线的对称轴与准线交于点，点在抛物线上且在第一象限，在中，，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】过点作准线的垂线，垂足为，作轴的垂线，垂足为，
则由抛物线的定义可得，由，
在 中，由正弦定理可知：，即，
则，，
，，
所以
故选：C.
例3．（2024·江苏盐城·模拟预测）在平面直角坐标系xy中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．动点的轨迹是一个圆B．动点的轨迹所围成的面积为6
C．动点的轨迹跟坐标轴不相交D．动点离原点最短距离为1
【答案】B
【解析】设P点坐标为，则由已知条件可得，整理得．
又因为，所以P点坐标对应轨迹方程为．
，且时，方程为；，且时，方程为；
，且时，方程为；，且时，方程为．
P点对应的轨迹如图所示：
，且，所以P点的轨迹为菱形，故A、C错误；
原点到：的距离为，D错误；
轨迹图形是平行四边形，面积为，B正确．
故选：B．
例4．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）已知抛物线的方程为，为其焦点，点坐标为，过点作直线交抛物线于、两点，是轴上一点，且满足，则直线的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，，，直线方程为，
联立直线与抛物线方程，可得，
显然，所以．
又，即，
即，，
故，是方程的解，
将代入方程，
整理得，显然，
，
，即．
故选：B．
例5．（2024·黑龙江·二模）双曲线的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，过作直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点．若，且，则直线与的斜率之积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由双曲线定义可知，，
设，则有，，，
由余弦定理可得，
整理可得：，故，，
则有，整理可得：，
设，则有，即，
故.
故选：C.
例6．（2024·安徽合肥·一模）已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】即，则圆心为，半径，
直线，令，解得，即直线恒过定点，
又，所以点在圆内，
设，，，由，
消去整理得，显然，则，
则，
所以，，
则，
则，
又直线的斜率不为，所以不过点，
所以动点的轨迹方程为（除点外），
圆的圆心为，半径，
又，所以，
即，即的取值范围为.
故选：D
例7．（多选题）（2024·新疆乌鲁木齐·二模）已知点，直线相交于点，且它们的斜率之和是2．设动点的轨迹为曲线，则（ ）
A．曲线关于原点对称
B．的范围是的范围是
C．曲线与直线无限接近，但永不相交
D．曲线上两动点，其中，则
【答案】ACD
【解析】设，由题意，
即，化简得，
即且，
对于A，将代入得，即，
所以曲线关于原点对称，故A正确；
对于B，由A选项知，的范围是且，故B错误；
对于C，由，得，
当时，，即，
当时，，即，
所以曲线与直线无限接近，但永不相交，故C正确；
对于D，要使最小，则曲线在两点的切线平行，
由，得，则，所以，
因为，所以，
则，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以，故D正确.
故选：ACD
例8．（多选题）（2024·高二·河南驻马店·期末）法国著名数学家蒙日首先发现椭圆两条互相垂直的切线的交点轨迹是以椭圆的中心为圆心的圆，后来这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆，其蒙日圆为圆，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，，则下列选项正确的是（ ）
A．圆的方程为B．四边形面积的最小值为4
C．的最小值为D．当点为时，直线的方程为
【答案】BD
【解析】当切线的切点分别为椭圆上顶点和右顶点时，可以得到两切线的交点为，所以蒙日圆的方程为，故A不正确；
四边形面积为：，只需求出的最小值，而的最小值为点到直线的距离，所以的最小值为，故B正确；
设,则，故，
所以，
又，当且仅当取等号，
而的最小值，故的最小值8，故等号取不到，故C不正确；
当点为时，点，，，四点共以为直径圆上，
所以这个圆的方程为，与圆方程联立，可得直的方程为，故D正确.
故选：BD.
例9．（多选题）（2024·云南昆明·模拟预测）设O为坐标原点，直线l过抛物线C：的焦点F且与C交于A，B两点（点A在第一象限），，l为C的准线，，垂足为M，，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．的最小值为
C．若，则
D．x轴上存在一点N，使为定值
【答案】ABD
【解析】
如图，对于A项，因直线经过点,故当且仅当为通径时，最短，即，即，故A项正确；
对于B项，由抛物线定义知，故，由图知，当且仅当三点共线时，取得最小值，
即,故B项正确；
对于C项，因,在中，由可得：,即得点，
于是代入中，整理得：，解得：，即得，
故,即C项错误；
对于D项，设直线，代入中，整理得：，设，则得：，
设在x轴上存在一点，则
，
故当时，，即存在点使得为定值0.故D项正确.
故选：ABD.
例10．（多选题）（2024·河北·一模）已知，是双曲线C：的左、右焦点，，为C右支上一点，，的内切圆的圆心为，半径为r，直线PE与x轴交于点，则下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．
D．若的内切圆与y轴相切，则双曲线C的离心率为
【答案】ACD
【解析】A.如图，作，，，
根据切线长定理，，，，
又，所以，，
所以，即，故A正确；
B.因为，，
所以，解得：，，
所以，故B错误；
C.由内切圆的性质可知，为角平分线，则，
即，整理为，即，
所以，由A选项的证明可知，，即，故C正确；
D.若的内切圆与轴相切，则，
则由选项AB知，，即，
则，即，或（舍），
所以双曲线C的离心率为，故D正确.
故选：ACD
例11．（多选题）（2024·高三·河南濮阳·开学考试）费马原理是几何光学中的一条重要定理，由此定理可以推导出圆锥曲线的一些性质，例如，若点是双曲线（为的两个焦点）上的一点，则在点处的切线平分.已知双曲线的左､右焦点分别为，直线为在其上一点处的切线，则下列结论中正确的是（ ）
A．的一条渐近线与直线相互垂直
B．若点在直线上，且，则（为坐标原点）
C．直线的方程为
D．延长交于点，则的内切圆圆心在直线上
【答案】ABD
【解析】选项A：双曲线的一条渐近线方程为与相互垂直，故A正确；
选项BC：因为，所以，，
所以，，
又，所以，所以，
直线：，即，故C错误，
设，则，化简得：，
所以，则，故B正确；
选项D：，直线，
联立，化简得：，解得，
所以，，
所以直线，
因为的内切圆圆心在直线直线：上，若又在直线上，
则内切圆圆心为，圆心到直线的距离为：
，
圆心到直线的距离为：
，即，
所以点也在的角平分线上，即点为的内切圆
圆心，圆心在直线上，故D正确；
故选：ABD.
【过关测试】
1．（2024·辽宁·一模）已知为椭圆的右焦点，过原点的直线与相交于两点，且轴，若，则的长轴长为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】设，如图，记为的左焦点，连接，
则由椭圆的对称性可知，由，设，则.
又轴，所以，即，
所以，解得.
所以的长轴长为.
故选：B
2．（2024·辽宁·一模）过圆上的两点分别作圆的切线，若两切线的交点恰好在直线上，则的最小值为（ ）
A．B．3C．D．
【答案】D
【解析】因为圆的方程为，所以圆心，半径.
因为是圆的两条切线，所以，
由圆的知识可知四点共圆，且，
所以，
又，所以当最小，即时，取得最小值，
此时，
所以.
故选：D.
3．（2024·高三·河南·期末）已知抛物线的焦点为，过点的直线与拋物线交于A，B两点，点在轴上方，且的横坐标为5，则（ ）
A．B．．C．D．
【答案】C
【解析】如图，设点A，B在抛物线的准线上的投影分别是，作，垂足为D，BD与轴交于点，
由题意可知．设，则，
易证，则，即，整理得，
解得，故．
故选：C
4．（2024·广东·模拟预测）抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于A，B两点．则的最小值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【答案】D
【解析】由题意可知，设，，
联立直线与抛物线方程，
所以，
而.
当且仅当时取得等号.
故选：D
5．（2024·山东烟台·一模）在平面直角坐标系中，点，向量，且.若为椭圆上一点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】设点，由及，得，
即，而，消去得：，
设椭圆上的点，
则点到直线的距离，其中锐角由确定，
当时，，而，所以的最小值为.
故选：A
6．（2024·北京·模拟预测）已知直线，圆，若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】若直线上存在两点，圆上存在点，使得，且，
则条件等价于圆心（设为D）在直线上且半径为的动圆与圆有交点，
圆的圆心为
到直线的距离，
当圆与直线相离时，即时，
则圆上的动点到直线的最小距离为，
此时只需满足即可，所以；
当时，圆与直线有交点，此时圆和直线上一定分别存在点，使得，符合题意.
综上，.
故选：C.
7．（2024·天津·一模）过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，直线交直线于点．若，则双曲线的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】取右焦点，连接、，作于点，
由为圆的切线，故，又，
为中点，故为中点，又，故为中点，
，则，
，则，
，由直线为双曲线的渐近线，
故有，则，
在中，由余弦定理可得，
则，即，
即，化简得，即，
故.
故选：D.
8．（2024·天津南开·一模）已知O为坐标原点，双曲线C：的左、右焦点分别是，离心率为，点P是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，则点P到C的两条渐近线距离之积为（ ）
A．B．C．2D．4
【答案】B
【解析】如图，延长，交于点,由已知是的平分线，且，
所以,且点是中点.
由原点是中点，可得，又，
所以，又离心率为，，.
设点，所以，即，
所以点P到两条渐近线距离之积为： .
故选：B.
9．（2024·青海·一模）已知过抛物线C：焦点F的直线l与C交于A，B两点，以线段AB为直径的圆与y轴交于D，E两点，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】如图：
抛物线C：，所以焦点，
所以当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为，，，
由，得，
所以，由于圆心为的中点，则，
根据抛物线的定义可知，
所以圆的半径，
过作，垂足为，则，根据垂径定理，
得，所以
，令，，
则，
又知在上单调递增，
所以，所以，
当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为，
此时，，
所以，
综上，的取值范围为，
故选：B.
10．（多选题）（2024·江苏·一模）已知抛物线E：的焦点为F，过F的直线交E于点，，E在B处的切线为，过A作与平行的直线，交E于另一点，记与y轴的交点为D，则（ ）
A．B．
C．D．面积的最小值为16
【答案】ACD
【解析】A选项，由题意得，准线方程为，
直线的斜率存在，故设直线的方程为，
联立，得，，故，A正确；
B选项，，直线的斜率为，故直线的方程为，
即，联立，得，故，
所以B错误；
C选项，由直线的方程，令得，
又，所以，
故，故，
又由焦半径公式得，所以C正确；
D选项，不妨设，过B向作平行于y轴的直线交于M，
根据B选项知，，
故，
根据直线的方程，
当时，，
故，
故，
故
，
当且仅当，即时，等号成立，
故的面积最小值为16，D正确.
故选：ACD
11．（多选题）（2024·云南·一模）已知是直线上的动点，为坐标原点，过作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A．当点为直线与轴的交点时，直线经过点
B．当为等边三角形时，点的坐标为
C．的取值范围是
D．的最小值为
【答案】ABC
【解析】设点，则，，
以为直径的圆的圆心为，半径为，
以为直径的圆的方程为，
化简得，
联立，得，
所以直线的方程为：，
对于A，令，则，所以直线的方程为：，
则直线经过点，故A正确；
对于B，设点，则，
当为等边三角形时，可知，
又平分，所以，
在直角三角形中，由于,
所以，即，所以，
又点，所以，
化简得，解得，所以，
则，故B正确；
对于D，圆心到直线的距离为，
所以的最小值为，故D错误；
对于C，在中，因为，
当最小时，有最大值为，
又因为，所以，
此时的最大值为，的取值范围是，故C正确.
故选：ABC.
12．（多选题）（2024·山东菏泽·一模）如图，过点的直线交抛物线于A，B两点，连接、，并延长，分别交直线于M，N两点，则下列结论中一定成立的有（ ）

A．B．以为直径的圆与直线相切
C．D．
【答案】ACD
【解析】对于A，令，
联立，消可得，
则，，
，
则
故，
同理，故A正确；
对于C，设与轴交于，，
则，，故C正确；
对于D，
则
，
而，
所以，故D正确；
对于B，中点，即
则到直线的距离，
以为直径的圆的半径，
所以，
当时相切，当时不相切，故B错误.
故选：ACD.
13．（2024·广东湛江·一模）已知，分别为椭圆C：的左、右焦点，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，若，，则椭圆C的离心率为 ．
【答案】
【解析】由，得为线段的中点，且点在椭圆外，所以，
则，又，所以为线段的中点，所以，
设，则，又，所以，
由椭圆的定义可知：，得，
如图，延长交椭圆C于点，连接，则由椭圆的对称性可知，
，又，故，
由余弦定理可得：，
在中，，由余弦定理可得，
即，
所以椭圆C的离心率为.
故答案为：
14．（2024·高三·河南·阶段练习）已知为抛物线上两点，为焦点，为坐标原点，在第一象限，且点的纵坐标大于点的纵坐标，若，则点的坐标为 .
【答案】
【解析】设，，，则，，
结合抛物线定义，，
当位于轴的不同侧时，，
由，
整理可得，所以，，
所以，解得(负值舍)，此时的坐标为；
当位于轴同侧时，，此时无解.
故答案为：
15．（2024·内蒙古呼和浩特·一模）已知，若直线与有个交点，则 .
【答案】
【解析】当时，，即，，
当时，，所以可得函数周期为2，
画出函数图象，如图所示：
若直线与有个交点，
根据图象知，直线与第个半圆相切其圆心为
不妨设切点为，连接，
所以在中，，
，故，
所以.
故答案为：.
16．（2024·高三·安徽·阶段练习）过双曲线的右焦点的直线分别在第一､第二象限交的两条渐近线于两点，且.若，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【解析】由题意可知该双曲线的渐近线方程为，如图所示：
令，于是有，
由双曲线和两条渐近线的对称性可得：，
因为，所以，
即，
在直角三角形中，设，
根据勾股定理可得：，或舍去，
即，
在直角三角形中，
，
由勾股定理可知：，
因为，所以
，或舍去，
由，
故答案为：
17．（2024·高二·山东青岛·期末）古希腊数学家阿波罗尼斯在《圆锥曲线论》中记载了用平面截圆锥得到圆锥曲线的方法，如图，将两个完全相同的圆锥对顶放置（两圆锥的顶点和轴都重合），已知两个圆锥的底面直径均为2，侧面积均为，记过两个圆锥轴的截面为平面，平面与两个圆锥侧面的交线为．已知平面平行于平面，平面与两个圆锥侧面的交线为双曲线的一部分，且的两条渐近线分别平行于，则该双曲线的离心率为 ．
【答案】
【解析】以矩形的中心为原点，圆锥的轴为x轴建立平面直角坐标系，设双曲线的标准方程为，
由圆锥的底面直径为2，侧面积为，得，
显然，即，
所以双曲线的离心率.
故答案为：
18．（2024·高三·山东菏泽·阶段练习）1675年，卡西尼在矿究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹．已知点，动点满足，则面积的最大值为 ．
【答案】3
【解析】已知定点为，，
因为动点满足，
所以点的轨迹方程为，
两边同时平方可得，
整理得，
所以，
此时，当且仅当，时，取得最大值，
故答案为：3
19．（2024·河北唐山·一模）已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，过的直线交E于A，B两点，是线段的中点，且，则E的方程为 ．
【答案】
【解析】由于是线段的中点，是线段的中点，
所以,故,
设椭圆焦距为，则，将代入椭圆方程可得，
故，因此,
是线段的中点，所以，故，
，
由得，
故，解得，
又，故，，
故椭圆方程为，
故答案为：
20．（2024·广东湛江·一模）已知点P为直线上的动点，过P作圆的两条切线，切点分别为A，B，若点M为圆上的动点，则点M到直线AB的距离的最大值为 ．
【答案】
【解析】设，则满足；
易知圆的圆心为，半径；
圆的圆心为，半径，如下图所示：
易知，所以，即，整理可得；
同理可得，
即是方程的两组解，
可得直线的方程为，联立，即；
令，可得，即时等式与无关，
所以直线恒过定点，可得；
又在圆内，当，且点为的延长线与圆的交点时，点到直线的距离最大；
最大值为；
故答案为：
21．（2024·高二·全国·课后作业）已知圆系，圆过轴上的定点，线段是圆在轴上截得的弦，设，．对于下列命题：
①不论取何实数，圆心始终落在曲线上；
②不论取何实数，弦的长为定值1；
③不论取何实数，圆系的所有圆都与直线相切；
④式子的取值范围是．
其中真命题的序号是 （把所有真命题的序号都填上）
【答案】②④
【解析】对于①，由圆的方程知，圆心在曲线上，故①不正确．
对于②，由弦长公式得：弦的长为，故②正确．
对于③，圆心到直线的距离等于，
而半径为，二者不一定相等，故③不正确．
对于④，在圆方程令，可得，
或，即，，，，
由圆方程知，，，
由基本不等式得（当且仅当，即时等号成立），
中，由余弦定理得，
，的面积为，
，，
，即，故④正确．
故答案为： ②④．
22．（2024·辽宁·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作斜率为的直线与的右支交于点，且点满足，且，则的离心率是 .
【答案】/
【解析】如图，直线的斜率为.
由，得点为的中点，
又，所以是线段的垂直平分线，所以，
过点作于点，由已知得，
所以，
所以，
所以，即，所以，
又，为的中点，所以，所以，
由双曲线的定义可得，即，
所以，可得，整理得，
即，解得或（舍去），
又题中直线与的右支有交点，所以，即，
所以，即，所以，即，
所以的离心率为.
故答案为：.
23．（2024·安徽合肥·一模）已知点，定义为的“镜像距离”.若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为 .
【答案】/
【解析】由函数可得，即；
所以的反函数为；
由点在曲线上可知点在其反函数上，
所以相当于上的点到曲线上点的距离，
即，
利用反函数性质可得与关于对称，
所以可得当与垂直时，取得最小值为2，
因此两点到的距离都为1，
过点的切线平行于直线，斜率为1，即，
可得，即；
点到的距离，解得；
当时，与相交，不合题意；
因此.
故答案为：
24．（2024·福建·模拟预测）已知双曲线的左焦点为F，过F的直线l交圆于A，B两点，交C的右支于点P.若，，则C的离心率为 .
【答案】/
【解析】设双曲线的右焦点为，连接，取的中点，连接，
则⊥，
因为，，
所以，
因为为的中点，所以⊥，且，
因为，所以，，
由勾股定理得，即①，
由垂径定理得，
即，即②，
联立①②得，
又由双曲线定义可得，即，
化简得，
方程两边同除以得，，
解得或1（舍去），
故离心率.
故答案为：
25．（2024·辽宁·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为记以为直径的圆与C的渐近线在第一象限交于点P，点Q为线段与C的交点，O为坐标原点，且，则C的离心率为 .
【答案】/
【解析】设双曲线的半焦距为c，则，
渐近线方程为，
以为直径的圆的方程为，联立，
可得，即，
又，所以Q为的中点，
故，将坐标代入中，
得，即，即，
则，即C的离心率为，
故答案为：