河北省沧州市献县第一中学2023-2024学年高一下学期第三次月考数学试题

这是一份河北省沧州市献县第一中学2023-2024学年高一下学期第三次月考数学试题，共12页。试卷主要包含了本试卷分选择题和非选择题两部分，答题前，考生务必用直径0，本卷命题范围，已知复数，则等内容，欢迎下载使用。
考生注意：
1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.
2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.
3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷､草稿纸上作答无效.
4.本卷命题范围：人教A版必修第二册第六章~第九章
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
2.已知向量，若，则实数（ ）
A. B.0 C.1 D.
3.在中，，则（ ）
A.1 B.2 C.1或2 D.2或3
4.若向量，则在上的投影向量的坐标是（ ）
A. B. C. D.
5.某城市有学校700所，其中大学20所，中学200所，小学480所.现用分层抽样方法从中抽取一个容量为70的样本进行某项调查，则应抽取中学数为（ ）
A.70 B.20 C.48 D.2
6.已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题错误的是（ ）
A.若，则或
B.若，则
C.若，则与平行或异面
D.若，则与相交或平行
7.已知圆锥的顶点为，母线长为2，轴截面为，若为底面圆周上异于的一点，且二面角的大小为，则的面积为（ ）
A.2 B.3 C. D.
8.在三棱锥中，和均为边长为2的等边三角形，，则该三棱锥的外接球的表面积是（ ）
A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知复数，则（ ）
A.的虚部为
B.是纯虚数
C.的模是
D.在复平面内对应的点位于第四象限
10.在中，角的对边分别为，则下列对解的个数的判断正确的是（ ）
A.当时，有两解
B.当时，有一解
C.当时，无解
D.当时，有两解
11.如图，在棱长为1的正方体中，已知是线段上的两个动点，且，则（ ）
A.的面积为定值
B.
C.点到直线的距离为定值
D.平面与平面所成角为
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.已知复数，则__________.
13.某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽测了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标），所得数据均在区间中，其频率分布直方图如图所示，则在抽测的100根中，有__________根棉花纤维的长度小于.
14.在中，已知向量与满足，且，则角__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（本小题满分13分）
已知一圆锥的底面半径为.
（1）若圆锥的高为，求圆锥的体积；
（2）若圆锥的母线长为，求圆锥的表面积.
16.（本小题满分15分）
在中，角的对边分别为，已知.
（1）求和的值；
（2）求的面积.
17.（本小题满分15分）
如图，在四棱锥中，侧棱底面，底面是直角梯形，，，且是的中点.
（1）求证：平面；
（2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
18.（本小题满分17分）
如图，在中，是边上的两点，平分.
（1）若，求的值；
（2）求证：.
19.（本小题满分17分）
如图，在三棱锥中，为等边三角形，，点分别是线段的中点.
（1）证明：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值；
（3）求点到平面的距离.
献县一中2023~2024学年第二学期第三次月考·高一数学试卷
参考答案､提示及评分细则
1.D 因为，所以复数在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选D.
2.C 向量，则，解得.故选C.
3.C 由余弦定理：，即，则，解得或.故选C.
4.B 在上的投影向量为.故选B.
5.B 由于，即每10所学校抽取1所，又因中学200所，所以抽取（所）.故选B.
6.D 在A中，若，则或，故A正确；在中，若，则由线面垂直的性质定理得，故B正确；在中，若，则与平行或异面，故C正确；在D中，若，则与相交､平行或异面，故D错误.故选D.
7.A 如图所示，记为的中点，则垂直于底面，所以，又，所以，取的中点，连接，显然有，即二面角的平面角为，则的面积为.故选A.
8.C 取中点，连接，在和上分别作点和点，使得，过点和点分别作垂直平面和平面的直线交于点，易得点是该三棱锥外接球的球心.因为，所以，在中，由余弦定理得，故，在中，，所以，在中，，故外接球的半径，外接球的表面积.故选C.
9.AC 对于A，由虚部定义知的虚部为，故A正确；对于B，纯虚数要求实部为0，故B错误；对于C，，故C正确；对于D，在复平面内对应的点为，位于第一象限，故D错误.故选AC.
10.AC 对于A，因为，所以，又因为，所以或，有两解，故A正确；对于，无解，故B错误；对于C
，无解，故C正确；对于D，又，所以为锐角，此三角形只有一解，故D错误.故选AC.
11.ABC 对于A，因为在中，高为到的距离，即的长度，为定值，底边为的长度，也为定值，所以的面积为定值，故A正确；
对于B，因为在上，，所以，即，故B正确；
对于C，到直线的距离等于到的距离，为定值，故C正确；
对于D，易知在该正方体中，平面，又平面，所以平面平面，即平面平面，故平面与平面所成角为，故D错误.故选ABC.
12. 因为，所以.
13.30 纤维长度小于的频率约为.
14. 设角的平分线交于，因为，故.设，（如图所示），，因为，故四边形为正方形，所以为角的平分线，故在上.因为，故，故.综上，为等腰直角三角形，所以.
15.解：（1）据题意知，圆锥的体积.
（2）圆锥的底面面积；
圆锥的侧面积.
故圆锥的表面积.
16.解：（1）在中，由，可得.
又由及，可得.
由余弦定理得，得，
因为，故解得.
所以.
（2）由（1）知，，
所以的面积.
17.（1）证明：取中点，连接.
分别为中点，
.
又
四边形为平行四边形，
.
又平面平面，
平面.
（2）解：取中点，连接.
则由题意可得四边形为正方形，
.
平面平面，
.
又，易得，
.
.
又平面，
平面.
.
假设线段上存在点，使平面，则.
可证平面.
又在中，.
在中，.
.
在线段上存在点，使平面，且.
18.（1）解：因为平分，
所以，
因为，
所以.
在中，，
，
所以.
（2）证明：因为，
由，得，
整理得，
因为，
所以，
所以.
19.（1）证明：，
又为等边三角形，，
在中，由余弦定理得，解得，
，即.
平面，
平面.
（2）由（1）易知，直线与平面所成角为，
.
（3）解：取中点，连接为等边三角形，，
又由（1）可知平面平面，
又，且平面平面.
为的中点，
点到平面的距离等于点到平面的距离.
在中，可知，
在中，可知，
是的中位线，
，
可得的面积.
设点到平面的距离为，则三棱锥的体积，
又的面积，
点到平面的距离为，
三棱锥的体积，
由，得，即点到平面的距离为.