2022-2023学年河北省沧州市盐山中学、海兴中学、南皮中学等高一下学期6月月考数学试题含答案

2022-2023学年河北省沧州市盐山中学、海兴中学、南皮中学等高一下学期6月月考数学试题

一、单选题

1．已知复数z满足，则（    ）

A． B． C．2 D．5

【答案】B

【分析】根据共轭复数将复数z表示出来，再通过复数平面与复数的模的关系即可求出答案.

【详解】由题意，复数z满足，则

故选:B．

2．数据1，2，3，4，5，6，7，8，9的80%分位数为（    ）

A．7 B．6或7 C．8 D．7或8

【答案】C

【分析】根据百分位数的定义计算可得.

【详解】数据共有9个，9×80%＝7.2，所以80%分位数为第8个数8．

故选：C．

3．如图，是的直观图，则是（    ）

A．正三角形 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．以上都有可能

【答案】C

【分析】根据斜二测画法的规则，化简的直观图，结合图形，即可求解.

【详解】因为，则线段与轴必相交，令交点为，如图（1）所以，

在直角坐标系中，点在轴上，可得，点C在y轴上，可得，

如图（2）所示，因此点必在线段的延长线上，所以，

所以是钝角三角形．

故选：C．

4．如图所示的图形中，每一个小正方形的边长均为1，则（    ）

A． B． C．0 D．4

【答案】D

【分析】建立直角坐标系，根据坐标运算即可求解.

【详解】如图，建立平面直角坐标系，每一个小正方形的边长均为1，

故，，

则.

故选:D.

5．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，则下列是互斥事件但不是对立事件的是（    ）

A．“大于3点”与“不大于3点”

B．“大于3点”与“小于2点”

C．“大于3点”与“小于4点”

D．“大于3点”与“小于5点”

【答案】B

【分析】根据互斥事件和对立事件的定义逐项判断即可.

【详解】对于A，事件“大于3点”与事件“点数为4或点数为5或点数为6”相等，

事件“不大于3点”与事件“点数为1或点数为2或点数为3”相等，

所以事件“大于3点”与“不大于3点”不可能同时发生，且两事件的和事件为必然事件，

所以事件“大于3点”与事件“不大于3点”是互斥事件，且是对立事件，A错误；

对于B，事件“小于2点”与事件“点数为1”相等，

所以事件“大于3点”与“小于2点”不可能同时发生，但它们的和事件不是必然事件，

所以事件“大于3点”与事件“小于2点”为互斥事件，但不是对立事件；B正确；

对于C，事件“小于4点”与事件“点数为1或点数为2或点数为3”相等，

所以事件“大于3点”与“小于4点”不可能同时发生，且两事件的和事件为必然事件，

所以事件“大于3点”与事件“小于4点”是互斥事件，且是对立事件，C错误；

对于D，事件“小于5点”与事件“点数为1或点数为2或点数为3或点数为4”相等，

事件“大于3点”与“小于5点”可能同时发生，

所以事件“大于3点”与事件“小于5点”不是互斥事件，D错误；

故选：B.

6．如图，在正方体中，的中点为Q，过A，Q，三点的截面是（    ）

A．三角形 B．矩形 C．菱形 D．梯形

【答案】D

【分析】取的中点P，连接PQ、、、和，确定，，得到答案.

【详解】如图所示，取的中点P，连接PQ、、、和，

，分别是，的中点，故，且，

，故，，故四点共面，

故四边形是过A，Q，三点的截面，且四边形是梯形．

故选：D．

7．位于某港口A的小艇要将一件重要物品送到一艘正在航行的海轮上.在小艇出发时，海轮位于港口A北偏东30°且与该港口相距30海里的B处，并正以20海里/时的速度沿正西方向匀速行驶.假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与海轮相遇.若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇的航行速度（单位：海里/时）应为（    ）

A． B．20 C． D．

【答案】D

【分析】利用垂线段最短，结合三角函数值求出最小距离，即可求出答案.

【详解】如图所示，，，，

当时，即小艇往正北方向航行时航行的距离最小，

最小值为海里，

从而海轮航行的距离为海里，故航行时间为小时，

所以小艇的航行速度海里/时.

故选：D.

8．某车间生产一种圆锥型高脚杯，杯口直径为，高为R，将该高脚杯装满水（水面与杯口齐平），现将一直径为的小铁球缓慢放入杯中，待小铁球完全沉入（整个铁球在水面以下）水中并静止后，从杯口溢出水的体积为高脚杯容积的，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】求出圆锥型高脚杯的体积、小铁球的体积，由从杯口溢出水的体积为高脚杯容积的可得答案.

【详解】由题可得圆锥型高脚杯的体积，

小铁球的体积为，由题可得，即.

故选：B.

二、多选题

9．下列说法正确的是（    ）

A．复数的虚部为

B．方程的复数根为

C．若，则复平面内对应的点位于第二象限

D．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数

【答案】BD

【分析】化简即可判断A项；根据韦达定理，即可得出B项；化简得出，求出共轭复数，根据复数的几何意义，即可判断C项；根据复数的几何意义，即可得出D项.

【详解】对于A，，虚部为3，A错误；

对于B，，，B正确；

对于C，，则，复平面内对应的点在y轴负半轴上，C不正确；

对于D，复平面内，实轴上的点对应的复数是实数，D正确.

故选：BD.

10．设向量，则下列各选项正确的是（    ）

A． B．

C． D．∥

【答案】AC

【分析】对于A，通过计算两个向量的模判断，对于B，通过计算两向量的数量积判断，对于C，通过判断判断，对于D，利用向量共线的条件判断.

【详解】对于A，因为，所以，故正确；

对于B，因为，故B错误；

对于C，，则，所以，故C正确；

对于D，因为，所以不共线，故D错误.

故选：AC

11．有一组互不相等的数组成的样本数据、、、，其平均数为（，、、、），若插入一个数，得到一组新的数据，则（    ）

A．两组样本数据的平均数相同

B．两组样本数据的中位数相同

C．两组样本数据的方差相同

D．两组样本数据的极差相同

【答案】AD

【分析】利用平均数公式可判断A选项；利用中位数的定义可判断B选项；利用方差公式可判断C选项；利用极差的定义可判断D选项.

【详解】由已知可得.

对于A选项，新数据的平均数为，与原数据的平均数相等，A对；

对于B选项，不妨设，则原数据的中位数为，

若，则中位数为，

若，则中位数为，B错；

对于C选项，新数据的方差为

，C错；

对于D选项，不妨设，则，故新数据的极差仍为，D对.

故选：AD.

12．如图，正四棱柱中，，E，F分别为，的中点，则下列结论错误的是（    ）

A．平面BEF

B．直线与直线BF所成的角为

C．平面BEF与平面ABCD的夹角为

D．直线与平面ABCD所成的角为

【答案】ABC

【分析】对于A，若平面BEF，则，与矛盾；对于B，假设直线与直线BF所成的角为，可得平面，所以，显然这是不可能的；对于C，可证得即为平面BEF与平面ABCD的夹角，求判断即可；对于D：直线与平面ABCD所成的角即为直线与平面ABCD所成的角.

【详解】对于A，如图，连接，由题意，又E，F分别为，的中点，可得，若平面BEF，则，进而．这显然不成立，故与平面BEF不垂直，A错误；

对于B，假设直线与直线BF所成的角为，即，由正四棱柱的性质可知平面，而平面，所以，又与相交，、面，所以平面，而由正四棱柱的性质可知平面，所以，显然这是不可能的，所以假设不成立，因此B错误；

对于C，分别延长，DA交于点P，连接PB，则直线PB即为平面与平面ABCD的交线．连接BD，，因为且，所以，所以，又平面，面，所以，又面，所以平面，又面，所以，所以即为平面BEF与平面ABCD的夹角，易知，故，C错误；

对于D，可证，则直线与平面ABCD所成的角为，又根据题意易知，D正确．

故选：ABC．

三、填空题

13．已知向量，，且，则      ．

【答案】10

【分析】根据求得值，再计算.

【详解】因为向量，，且，所以，解得．

所以．故，

所以．

故答案为：10

14．2022年，比亚迪超越特斯拉成为全球销量最大的新能源车企，比亚迪自主研发的刀片电池通过高温､低温､针刺等一系列测试，安全性能优异.某厂有两条生产线制造同一型号可充电电池.现采用分层随机抽样，从某天两条生产线上的成品中随机抽取20件成品，测试产品可充电次数的均值及方差，结果如下表：

则20个产品组成的总样本的方差为          .

【答案】25

【分析】首先计算出样本平均数，再利用方差公式即可求解.

【详解】依题意得，总样本平均数

∴.

故答案为:25.

15．若三个元件、、按照如图的方式连接成一个系统，每个元件是否正常工作不受其他元件的影响，当元件正常工作且、中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若元件、正常工作的概率依次为、，且这个系统正常工作的概率为，则元件正常工作的概率为      .

【答案】/

【分析】设元件正常工作的概率为，当系统正常工作时，当且仅当正常工作，、中至少有一个正常工作，利用独立事件的概率乘法公式以及对立事件的概率公式可得出关于的等式，即可解得的值.

【详解】设元件正常工作的概率为，系统正常工作，当且仅当正常工作，、中至少有一个正常工作，

由题意可得，系统正常工作的概率为，解得.

故答案为：.

16．已知a，b，c分别为锐角的三个内角A，B，C的对边，且，则的取值范围为      .

【答案】．

【分析】由正弦定理化角为边，再由余弦定理求得，由锐角三角形得出角范围，从而得的范围，由正弦定理得，再化为的三角函数，由的范围得出结论．

【详解】由已知，由正弦定理得，

所以，，则，

是锐角三角形，

所以，，所以，，

所以．

故答案为：．

四、解答题

17．某果园试种了两个品种的桃树各10棵，并在桃树成熟挂果后统计了这20棵桃树的产量如下表，记两个品种各10棵产量的平均数分别为和，方差分别为和．

(1)求，，，；

(2)果园要大面积种植这两种桃树中的一种，依据以上计算结果分析选种哪个品种更合适?并说明理由．

【答案】(1)，，，

(2)选择品种，理由见解析

【分析】（1）根据平均数和方差公式求解即可；

（2）比较平均值和方差的大小可得答案.

【详解】（1），

，    

，

．

（2）由可得两个品种平均产量相等，

又，，则品种产量较稳定，故选择品种.

18．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.

(1)求角A；

(2)若的面积为，求a的最小值.

【答案】(1)

(2)3

【分析】（1）根据正弦定理边化角可得.然后根据两角和的正弦公式化简整理可得，根据的范围，即可得出答案；

（2）根据已知可求得.进而根据余弦定理，结合基本不等式，即可得出的范围.

【详解】（1）由，得.

又，所以，

所以，

整理得，

因为，所以，故，

又，所以.

（2）因为的面积，所以.

由余弦定理可得，

当且仅当时等号成立.

即，.

故的最小值为3.

19．如图，在中，点D为的中点，点E在线段上，与交于点O.

(1)若，求证：；

(2)若，，求实数的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）由点D为的中点可得，再结合已知条件即可证明；

（2）设，，，利用向量加减法法则可得，，从而可得，即可求解.

【详解】（1）因为点D为的中点，所以，

因为，，

两式相加得，

所以，

即.

（2）由，得，

设，，，

则，

又.

所以，

因为，不共线，所以，解得.

20．如图，在直三棱柱中，，，D，E分别是棱，AC的中点．

(1)判断多面体是否为棱柱并说明理由；

(2)求多面体的体积；

(3)求证：平面平面AB1D．

【答案】(1)多面体不是棱柱，理由见解析

(2)

(3)证明见解析

【分析】（1）根据棱柱的特征判断即可；

（2）利用三棱锥体积减两个三棱锥体积可得；

（3）根据面面平行判定定理，将问题转化为两个线面平行问题，再将线面平行转化为线线平行，结合条件即可证明.

【详解】（1）多面体不是棱柱．理由如下：

因为棱柱的侧面必为平行四边形，故棱柱的面至少有3个平行四边形，而多面体只有1个面是平行四边形，故不是棱柱.

（2）易知三棱柱的体积，

三棱锥的体积，

易知三棱锥的体积等于三棱锥的体积，

故多面体的体积．

（3）因为D，E分别是，AC的中点，所以，

所以四边形为平行四边形

所以．又平面，平面，所以平面．

易知，得四边形为平行四边形．

所以，又平面，平面，所以平面．

而，BE，平面，

所以平面平面．

21．某网络营销部门随机抽查了某市名网友在年月日的网购金额，所得数据如下表：

  已知网购金额不超过千元与超过千元的人数之比恰为.

(1)求、、、的值，并补全频率分布直方图（如图）；

(2)估计网购金额的平均数；

(3)在一次网购中，金金和钟钟每人随机从“微信，支付宝，银行卡，货到付款”种支付方式中任选种方式进行支付，求两人均未选择货到付款方式进行支付的概率.

【答案】(1)，，，，作图见解析

(2)平均数为千元

(3)

【分析】（1）根据题中信息可出关于、的方程组，可解出这两个未知数的值，再根据频率、频数与总容量的关系可求得、的值，根据表格信息可作出频率分布直方图；

（2）在频率分布直方图中，将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所有乘积相加可得出网购金额的平均数；

（3）设“两人均末选择货到付款的支付方式”，分别用、表示金金和钟钟的支付方式，则一次网购中，金金和钟钟的支付方式可用表示，用、、、分别表示微信、支付宝、银行卡、货到付款四种支付方式，列举出所有的基本事件，并确定事件所包含的基本事件，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】（1）解：由题意得，解得，

所以，，，

补全频率分布直方图如图所示：

（2）解：网购金额平均数

（千元）.

故估计网购金额的平均数为千元.

（3）解：设“两人均末选择货到付款的支付方式”，

分别用、表示金金和钟钟的支付方式，则一次网购中，金金和钟钟的支付方式可用表示，

用、、、分别表示微信、支付宝、银行卡、货到付款四种支付方式，

则样本空间，

所以.

，所以.

从而，故金金和钟钟均末选择货到付款的支付方式的概率为.

22．如图，在正四棱柱中，，，为的中点，为下底面正方形的中心.

(1)求二面角的余弦值；

(2)求点到平面的距离.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）连接、，则为的中点，分别取、的中点、，连接、、，分析可知二面角的平面角为，计算出、的长度，求出的余弦值，即可得解；

（2）取的中点，设点到平面的距离为，分析可知点到平面的距离也为，利用等体积法可求得结果.

【详解】（1）解：连接、，则为的中点，分别取、的中点、，

连接、、，

因为且，则四边形为平行四边形，所以，且，

因为、分别为、的中点，则且，

所以，四边形为平行四边形，所以，且，

因为平面，则平面，

因为平面，所以，，

因为、分别为、的中点，所以，且，

因为，则，

因为，、平面，所以，平面，

因为平面，所以，，

所以，二面角的平面角为，

因为平面，平面，所以，，

所以，，

所以，，

因此，二面角的余弦值为.

（2）解：取的中点，设点到平面的距离为.

因为、分别为、的中点，所以，，

又因为，所以，，

因为平面，平面，所以平面，

所以点到平面的距离也为.

，

因为平面，平面，则，

因为，所以，

即，所以.

所以点到平面的距离为.