广东省惠州市惠城区河南岸中学2023-2024学年七年级下学期第二次月考数学试题（学生版+教师版）

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考试时间：120分钟；总分120分：命题人：万仕龙；校对人：闻子明
一、单选题（共十小题，每小题3分，共30分）
1. 下列四个数中，属于无理数的是（ ）
A. B. 0.2C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由于无理数，也称为无限不循环小数，它与有理数组成实数．根据此条件进行判断，即可选出答案．
【详解】A、，2是整数，属于有理数，不符合题意；
B、0.2是有限小数，属于有理数，不符合题意；
C、是开方开不尽的数，属于无理数，符合题意；
D、是分数，属于有理数，不符合题意．
故选C．
【点睛】本题考查知识点为：无理数．无理数也称为无限不循环小数，它与有理数组成实数．常见的三种类型为：（1）开方开不尽的实数（2）与有关的式子．掌握无理数的概念和常见类型，是解决本题的关键．
2. 4 的平方根是（ ）
A. 2B. -2C. ±2D. ±4
【答案】C
【解析】
【分析】根据平方根的定义，求数a的平方根，也就是求一个数x，使得x2=a，则x就是a的平方根，由此即可解决问题．
【详解】解：，则4的平方根是，
故选择：C.
【点睛】本题考查了平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.
3. 若，则下列各式一定正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】解：A．因为m＜n，所以，故本选项不符合题意；
B．因为m＜n，所以，故本选项不符合题意；
C．因为m＜n，所以 ，所以，故本选项符合题意；
D．因为m＜n，所以 ，故本选项不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质，能熟记不等式的性质是解此题的关键，①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变，②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．
4. 在平面直角坐标系xOy中，点在第二象限，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】在第二象限的点的特点为：横坐标0，然后根据横坐标的特点列不等式即可.
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，即，
故选：A．
【点睛】本题考查了平面直角坐标系中第二象限内点的特征．
5. 如图，在三角形ABC中，，把三角形ABC平移到三角形DEF的位置，点B、E、C、F在同一直线上，，，则下列结论中错误的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移的性质、平行线的性质判断即可．
【详解】A、由平移的性质可知，BE= CF= 3，
∴EC= BC- BE= 9- 3=6，故本选项结论错误，符合题意；
B、由平移的性质可知，AD// BE，本选项结论正确，不符合题意；
C、∵ AD//BE，
∴∠DEC=∠ADE= 60°，本选项结论正确，不符合题意；
D、由平移的性质可知，BE= CF=3，本选项结论正确，不符合题意；
故选： A．
【点睛】本题考查的是平移的性质，平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
6. 如图，直线AB，CD相交于点O，，垂足为O，若，则的度数为（ ）
A. 115°B. 120°C. 125°D. 130°
【答案】B
【解析】
【分析】根据图形求得∠COB=∠COE+∠BOE；然后根据对顶角相等即可求得∠AOD的度数．
【详解】解：∵EO⊥AB，
∴∠EOB=90°．
又∵∠EOC=30°，
∴∠COB=∠EOC+∠BOE=120°．
∵∠AOD=∠COB（对顶角相等），
∴∠AOD=120°．
故选B．
【点睛】本题主要考查了垂线、对顶角、邻补角等知识点．正确理解相关概念是解答本题的关键．
7. 在下列命题中，假命题是（ ）
A. 如果两个角是互为邻补角，那么这两个角互补
B. 如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行
【答案】B
【解析】
【分析】根据邻补角性质，平行线的性质，垂线的性质，平行公理推论的应用逐个分析选项即可找出假命题．
【详解】解：A. 如果两个角是互为邻补角，那么这两个角互补，根据邻补角的性质可知：互为邻补角的两个角相加等于，故该命题正确，不符合题意；
B. 如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等，根据平行线的性质可知：如果两条平行的直线被第三条直线所截，那么同位角相等，故该命题错误，符合题意；
C. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，根据垂线性质可知：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故该命题正确，不符合题意；
D. 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，根据平行公理推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故该命题正确，不符合题意；
故选：B
【点睛】本题考查真假命题的判定，解题的关键是掌握邻补角的性质，平行线的性质，垂线的性质，平行公理推论的应用．
8. 一服装厂用136米布料生产玩偶A与玩偶B（不考虑布料的损耗），已知每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，玩偶B数量是玩偶A数量的两倍．设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B，则下列方程组正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得：设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B．由于服装厂用136米布料生产玩偶A与玩偶B，可得．由于每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B，可得玩偶A的数量是x，玩偶B的数量是3y．结合玩偶B数量是玩偶A数量的两倍，所以可得．综上，方程组为．
【详解】解：设用x米布料做玩偶A，用y米布料做玩偶B
服装厂用136米布料生产玩偶A与玩偶B
每米布料可做1个玩偶A或3个玩偶B
玩偶A的数量是x，玩偶B的数量是3y
玩偶B数量是玩偶A数量的两倍
可列方程组为：
故选C．
【点睛】本题考查知识点为：二元一次方程组的实际应用．做此类题的时候，要认真审题，题里如果没有设未知数，要结合条件设好未知数．之后在根据题目里的数量关系，列出方程组，在求出结果．仔细审题，找好数量关系，是解决本题的关键．
9. 在平面直角坐标系xOy中，点，点，点C在y轴上，若三角形ABC的面积为3，则点C的坐标是（ ）
A. B. C. 或D. 或
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意作图得出C点的坐标即可．
【详解】解：根据题意作图如下：
∵点A（﹣1，0），点B（2，0），三角形ABC的面积为3，
∴AB＝OA+OB＝3，
∴C（0，2）或（0，﹣2）
故选：D．
【点睛】本题主要考查直角坐标系和三角形的面积，熟练掌握点的坐标和三角形的面积公式是解题的关键．
10. 二元一次方程2x+3y=15的正整数解的个数是（ ）
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【详解】解：2x+3y=15，
解得：x=，
当y=1时，x=6；当y=3时，x=3，
则方程的正整数解有2对．
故选：B
二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分）
11. 已知方程是关于x、y的二元一次方程，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据二元一次方程的定义求解即可．
【详解】解：∵方程是关于x、y的二元一次方程，
∴2n−1＝1，
解得：n＝1，
故答案为：1．
【点睛】本题考查了二元一次方程的定义，二元一次方程必须满足以下三个条件：方程中只含有2个未知数；含未知数项的最高次数为一次，方程是整式方程．
12. 一个正数的两个平方根分别是与，则a的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数求解即可．
【详解】解：一个正数的两个平方根分别是与，
所以，，
解得
故答案为：．
【点睛】本题考查了平方根的性质，解题关键是明确一个正数的两个平方根互为相反数．
13. 如图，已知，CE平分交AB于点E，，则的度数是______．
【答案】30°##30度
【解析】
【分析】由平行线的性质可得∠A+∠ACD=180°，∠1=∠DCE，则可求得∠ACD=60°，再由角平分线的定义得∠DCE=30°，即可求解．
【详解】解：∵AB∥CD，∠A=120°，
∴∠A+∠ACD=180°，∠1=∠DCE，
∴∠ACD=180°-∠A=60°，
∵CE平分∠ACD，
∴∠DCE=∠ACD=30°，
∴∠1=30°．
故答案为：30°．
【点睛】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
14. 在平面直角坐标系xOy中，点M的坐标是（1，2），轴，，则点N的坐标是______．
【答案】(4，2)或(-2， 2)
【解析】
【分析】根据线段MN//x轴确定点N的纵坐标，再分情况计算，得到答案．
【详解】∵线段MN//x轴，点M的坐标为(1，2)，
∴点N纵坐标为2，
∵MN= 3，
∴点N的横坐标为1+ 3= 4或1 - 3= -2
∴点N的坐标为(4， 2)或(-2， 2)，
故答案为：(4，2)或(-2， 2)．
【点睛】本题考查的是坐标与图形性质，正确理解平行x轴的坐标特点是解题的关键．
15. 如果关于的一元一次不等式组的解集为，则的立方根为______．
【答案】
【解析】
【分析】将不等式组移项整理并用字母，表示出不等式组的解集为，再根据不等式组的解集为，得到对应的等式关系，即关于，的二元一次方程组，利用加减消元法、代入消元法求出，的值，最后将，的值代入所要求的代数式中求解立方根．
【详解】整理得，
解得即．
不等式组的解集为，
整理得，
解得，．
，
的立方根为．
故答案为：．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的解的定义、解二元一次方程、立方根的计算问题．注意求一个数的立方根，应先找出所要求的这个数是哪一个数的立方．恰当利用字母，的值表示不等式组的解集，根据已知解集得到对应的等量关系并进行求值是解本题的关键．
三、计算题（共5题，共25分）
16. 求x的值：．
【答案】．
【解析】
【分析】本题考查利用平方根解方程．先移项，再系数化为1，然后根据平方根的定义求解即可．
【详解】解：，
∴，
∴．
17. 解二元一次方程组：.
【答案】
【解析】
【分析】方程组整理后，利用代入消元法求出解即可．
【详解】由得到，
由①得：x=5y③，
把③代入②得：3×5y+2y=17，
解得：y=1，
把y=1代入③，得：x=5，
则方程组解为.
【点睛】本题考查解二元一次方程组，解题的关键是掌握代入消元法.
18. 解下列不等式组，并把解集在数轴上表示出来：
【答案】，数轴表示见解析
【解析】
【分析】根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题，从而可以在数轴上表示出不等式组的解集．
【详解】解：
由不等式①，得
由不等式②，得
故原不等式组的解集是．
在数轴表示如下图所示：
【点睛】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．
19. 已知点，根据下列条件求点P的坐标．
（1）点P在x轴上；
（2）点P在y轴上．
【答案】（1）点P的坐标为
（2）点P的坐标为
【解析】
【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征是解题的关键．
（1）根据x轴上的点纵坐标为0可得：，然后进行计算即可解答；
（2）根据y轴上的点横坐标为0可得：，然后进行计算即可解答．
【小问1详解】
∵点P在x轴上，
∴，
解得：，
∴，
∴点P的坐标为；
【小问2详解】
∵点P在y轴上，
∴，
解得：，
∴，
∴点P的坐标为．
20. 已知：的立方根是的算术平方根是3，是的整数部分．
（1）求a，b，c的值；
（2）求的平方根．
【答案】（1），，
（2）
【解析】
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的定义，无理数的估算．
（1）由立方根的定义可求得a的值，由算术平方根的定义可求得b的值，根据无理数的估算可确定c的值；
（2）把a、b、c的值代入代数式中求得代数式的值，即可求得其平方根；
【小问1详解】
解：∵的立方根是，
∴，
解得，，
∵的算术平方根是3，
∴，
解得，，
∵，
∴，
∴的整数部分为6，
即，
因此，，，；
【小问2详解】
解：当，，时，
，
∴．
四、解答题（共五题，共50分）
21. 计算：，甲同学在做作业时，发现题中有一个数字被墨水污染了．
（1）如果被污染的数字是，请计算，
（2）如果计算结果等于4，求被污染的数字．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用乘法分配律进行乘法运算，最后算加减，即可得出结果．
（2）设被污染的数字为，根据计算结果等于4，列出方程求解即可．
【小问1详解】
解：原式
；
【小问2详解】
解：设被污染的数字为，由题意，得：，
解得：；
∴被污染的数字为．
【点睛】本题考查有理数的混合运算，一元一次方程的应用．熟练掌握有理数的运算法则，根据题意，正确的列出一元一次方程，是解题的关键．
22. 如图，已知直线BC、DE交于O点，OA、OF为射线，OA⊥BC，OF平分∠COE，∠COF=17°．求∠AOD的度数．
【答案】124°
【解析】
【详解】试题分析：根据∠COF=17°，OF平分∠COE及∠COE是∠BOD的对顶角可得出∠BOD的度数，又根据OA⊥BC得出∠AOB=90°，最后结合图形算出∠AOD为124°．
试题解析：∵OF平分∠COE，
∴∠EOF=∠FOC=17°，
∴∠EOC=34°，
∴∠BOD=34°，
∵OA⊥BC，
∴∠AOB=90°，
∴∠AOD=∠AOB+∠BOD=90°+34°=124°．
点睛：本题考查了垂线，角平分线的定义和对顶角，熟练掌握垂线，角平分线和对顶角的定义及角的计算方法是解题的关键．
23. 如图，一只蚂蚁从点沿数轴向右爬了2个单位长度到达点，点表示，设点所表示的数为．
（1）求的值；
（2）在数轴上还有、两点分别表示实数和，且有与互为相反数，求的平方根．
【答案】（1）2；（2）±4
【解析】
【分析】（1）先求出m＝2，进而化简|m＋1|＋|m−1|，即可；
（2）根据相反数和非负数的意义，列方程求出c、d的值，进而求出2c−3d的值，再求出2c−3d的平方根．
【详解】（1）由题意得：m＝2，则m＋1＞0，m−1＜0，
∴|m＋1|＋|m−1|＝m＋1＋1−m＝2；
（2）∵与互为相反数，
∴+=0，
∴|2c＋d|＝0且＝0，
解得：c＝2，d＝−4，
∴2c−3d＝16，
∴2c−3d的平方根为±4．
【点睛】本题主要考查数轴、相反数的定义，求绝对值，掌握求绝对值的法则以及绝对值与算术平方根的非负性，是解题的关键．
24. 2022年北京冬奥会、冬残奥会的纪念品得到广大民众的喜爱，某校想要购买A型、B型两种纪念品．已知购买2件A型纪念品和1件B型纪念品共需150元；购买3件A型纪念品和2件B型纪念品共需245元．
（1）求A型纪念品和B型纪念品的单价；
（2）学校现需一次性购买A型纪念品和B型纪念品共100个，要求购买的总费用不超过5000元，则最多可以购买多少个A型纪念品？
【答案】（1）A型纪念品和B型纪念品的单价分别是55元和40元
（2）最多可以购买66个A型纪念品
【解析】
【分析】（1）设A型纪念品的单价是x元，B型纪念品的单价是y元．结合条件购买2件A型纪念品和1件B型纪念品共需150元；购买3件A型纪念品和2件B型纪念品共需245元．可列出方程组为：，解方程组得：．所以A型纪念品和B型纪念品的单价分别是55元和40元．
（2）设购买a个A型纪念品，则购买个B型纪念品．结合条件购买的总费用不超过5000元．可列出不等式为：，解不等式得：．由于a是整数，所以a的最大值为66．即最多可以购买66个A型纪念品．
【小问1详解】
解：设A型纪念品的单价是x元，B型纪念品的单价是y元
由题意列方程组得：
解得：
答：A型纪念品和B型纪念品的单价分别是55元和40元．
【小问2详解】
解：设购买a个A型纪念品，则购买个B型纪念品
由题意列不等式得：
解得：
a是整数
a的最大值为66
答：最多可以购买66个A型纪念品．
【点睛】本题考查知识点：二元一次方程组的实际应用和一元一次不等式的实际应用．做应用题的时候，要认真审题，设出合适的未知数，在根据数量关系，列出方程（组）或不等式，解出结果，分式要记得检验，最后答题．掌握做应用题的步骤，是解决本题的关键．
25. 如图，在平面直角坐标系中，轴，垂足为A，轴，垂足为C，已知，，其中a，c满足关系式，点P从O点出发沿折线的方向运动到点C停止，运动的速度为每秒2个单位长度，设点P的运动时间为t秒．
（1）在运动过程中，当点P到的距离为2个单位长度时， _______；
（2）在点P的运动过程中，用含t的代数式表示P点的坐标；
（3）当点P在线段上的运动过程中，射线上一点E，射线上一点F（不与C重合），连接，，使得，求与的数量关系．
【答案】（1）2或8 （2）或或
（3）或或或
【解析】
【分析】（1）由非负数的性质得，，解得，，由此即可解决问题；
（2）分三种情形：①当时，②当时，③当时，分别求解即可；
（3）分四种情形分别画出四个图形，根据平行线的性质，三角形外角的性质和三角形内角和定理进行求解即可．
【小问1详解】
解：∵a，c满足关系式，
∴，，
∴，，
∴，，
当点P到的距离为2个单位长度时，运动路程或，
∴或，
故答案为：2或8；
【小问2详解】
解：①当时，点P在上，此时，；
②当时，点P在上，此时，由于点P在第四象限，纵坐标小于0，则；
③当时，点P在上，此时，，
∴；
【小问3详解】
解：当点P线段上时，分两种情况：
①如图3中，结论：，理由如下：
连接，
∵，，
∴
；
②如图4中，结论：，理由如下：
设交于G，
∵，，
∴，
∴；
③如图5中，结论：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
④如图6中，结论：，理由如下：
∵轴，
∴，
∵为的外角，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或或或．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了图形与坐标性质、非负数的性质、三角形的外角性质、直角三角形的性质等知识，综合性强，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属干中考常考题型．