广东省惠州市惠城区河南岸中学2023-2024学年九年级上学期开门考数学试卷（含答案）

2023-2024学年广东省惠州市惠城区河南岸中学九年级（上）开门考数学试卷

一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  要使式子有意义，则必须满足(    )

A.  B.  C.  D.

2.  下列四个图象中，不是的函数的是(    )

A.  B.
C.  D.

3.  为庆祝中国共产党建党周年，某校开展主题为党在我心中的绘画、书法、摄影等艺术作品征集活动，从八年级个班收集到的作品数量单位：件分别为、、、、，则这组数据的众数是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  下列二次根式中，是最简二次根式的是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  双减政策落地，各地学校大力提升学生核心素养，学生的综合评价分学习、体育和艺术三部分，学习成绩、体育成绩与艺术成绩按：：计入综合评价，若宸宸学习成绩为分，体育成绩为分，艺术成绩为分，则他的综合评价得分为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知中，、、分别是、、的对边，下列条件中不能判断是直角三角形的是(    )

A.  B.
C. ，， D. ：：：：

7.  平行四边形的周长为，相邻两边的差为，则平行四边形的各边长为(    )

A. ，，， B. ，，，
C. ，，， D. ，，，

8.  在函数的图象上有，两个点，则下列各式中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

9.  如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形、、的面积依次为、、，则正方形的面积为(    )
 

A.  B.  C.  D.

10.  如图，正方形的面积为，是等边三角形，点在正方形内，在对角线上有一点，使的和最小，则这个最小值为(    )

A.
B.
C.
D. 不能确定

二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）

11.  已知为正整数，且也为正整数，则的最小值为______ ．

12.  甲、乙两个芭蕾舞团的女学员身高的方差分别是、，则女学员身高更整齐的是芭蕾舞团          填“甲”或“乙”．

13.  在菱形中，对角线和相交于点，，，则这个菱形的面积是______．

14.  将直线上平移个单位，得到直线的解析式______．

15.  如图，在矩形中，，对角线，相交于点，动点由点出发，沿运动设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图所示，则边的长为______ ．

 

三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16.  本小题分
计算：

17.  本小题分
如图，在平行四边形中，点、分别在、上，且请判断与的数量关系，并说明理由．

18.  本小题分
已知：直线与直线相交于点，与轴、轴分别交于点、，点的坐标为求直线的函数解析式及点的坐标．

19.  本小题分
为切实做好校内“午托”工作，某学校食堂为参加“午托”的学生提供了四种价格的午餐供其选择，四种价格分别是：元；：元；：元；：元．为了解学生对四种午餐的购买情况，学校随机抽样调查了一部分学生某天四种午餐的购买情况，依统计数据绘制成了如下两幅尚不完整的统计图，根据图中信息解决下列问题：

求被抽查的学生人数及的值，并补全条形统计图；
被抽查学生购买午餐费用的平均价为______，众数为______，中位数为______；
若该校参加“午托”的学生有人，请估计购买元午餐的学生有多少人？

20.  本小题分
明朝数学家程大位在他的著作算法统宗中写了一首计算秋千绳索长度的词西江月：“平地秋千未起，踏板一尺离地送行二步恰竿齐，五尺板高离地”翻译成现代文为：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺尺，将它往前推进两步尺，此时踏板升高离地五尺尺，求秋千绳索或的长度．
 

21.  本小题分
为响应国家“全民阅读，建设学习型社会”的倡议，营造读书好，好读书，读好书的氛围，某校图书馆购进甲、乙两种图书，已知甲、乙两种图书的单价分别是元和元．
学校第一次购买甲、乙两种图书共本，且恰好支出元，求第一购买了甲、乙两种图书各多少本？
若学校准备再次购买甲、乙两种图书共本，且甲种图书的数量不低于乙种图书数量的一半，请问怎么购买费用最少？最少费用是多少元？

22.  本小题分
如图，在▱中，，相交于点，，，，，，连接，与相交于点，连接．
求的长；
求证：；
求的长．

23.  本小题分
如图，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点，直线与轴、轴分别交于点和点，且与直线交于点．
求直线的解析式；
若点为线段上一个动点，过点作轴，垂足为，且与直线交于点，当时，求点的坐标；
若在平面上存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】解：要使式子有意义，
即，
．
故选：．
根据二次根式有意义的条件，二次根式中的被开方数是非负数．进行计算即可得出答案．
本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练应用二次根式有意义的条件进行计算是解决本题的关键．

2.【答案】 

【解析】解：由函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，
选项A、、中的图象，是的函数，故A、、不符合题意；
选项D中的图象，不是的函数，故D符合题意．
故选：．
设在一个变化过程中有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一的值与其对应，那么就说是的函数，由此即可判断．
本题考查函数的概念，关键是掌握函数的定义．

3.【答案】 

【解析】解：出现了次，出现的次数最多，
这组数据的众数是．
故选：．
根据众数的定义：一组数据中出现次数最多的数，依此即可得出答案．
此题考查了众数，众数是一组数据中出现次数最多的数，注意众数不止一个．

4.【答案】 

【解析】解：、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
B、是最简二次根式，故此选项符合题意；
C、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；
D、，不是最简二次根式，故此选项不符合题意．
故选：．
根据最简二次根式的定义即可选出正确选项．
本题考查最简二次根式，解题的关键是掌握最简二次根式的定义：被开方数不含能开的尽的因数或因式，被开方数的因数数整数，因式是整式．

5.【答案】 

【解析】解：根据题意，他的综合评价得分为分．
故他的总成绩是分．
故选：．
根据加权平均数的计算方法即可求解．
本题考查加权平均数，解答本题的关键是明确题意，利用加权平均数的计算方法解答．

6.【答案】 

【解析】解：，
．
，
．
．
此时，是直角三角形．
B.，
．
是直角三角形．
C.，，，
．
是直角三角形．
D.：：：：，
设，，．
，，
．
不是直角三角形．
故选：．
根据三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定解决此题．
本题主要考查三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定，熟练掌握三角形内角和定理、勾股定理逆定理、直角三角形的判定是解决本题的关键．

7.【答案】 

【解析】解：设两邻边分别为，，
由题意可得，
解得，
所以平行四边形的各边长为，，，，
故选：．
利用平行四边形两组对边相等，进而再利用周长及两边的关系建立方程组即可求解．
主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题．平行四边形基本性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．

8.【答案】 

【解析】解：一次函数解析中的，
该函数图象上的点的值随的增大而减小．
又，
．
故选：．
根据一次函数图象的增减性即可得到结论．
本题考查了一次函数图象上点坐标特征．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．

9.【答案】 

【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
根据勾股定理的几何意义：，解得即可．
【解答】
解：由题意：，，


正方形、、的面积依次为、、，
，
．
故选：．

10.【答案】 

【解析】解：正方形中与关于对称，
，
，此时最小，
正方形的面积为，是等边三角形，
，
最小值是，
故选：．
由正方形的对称性可知，，当、、共线时最小，求出即可．
此题主要考查轴对称--最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．

11.【答案】 

【解析】解：，且开方的结果是正整数，
为某数的平方，
又，是满足题意最小的被开方数，
的最小值为．
故答案为：．
首先将被开方数化简，然后找到满足题意的最小被开方数即可．
本题考查了二次根式的定义，知道开方结果为正整数被开方数必为平方数．先化简再讨论是本题的关键．

12.【答案】甲 

【解析】【分析】
根据方差的意义求解即可．
本题主要考查方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
【解答】
解：、，
，
女学员身高更整齐的是芭蕾舞团甲，
故答案为：甲．

13.【答案】 

【解析】解：，，
菱形的面积
故答案为，．
根据菱形的面积等于对角线乘积的一半解答即可得到结论．
本题主要考查利用对角线求菱形面积的方法，熟记“菱形的面积等于对角线乘积的一半”是解决问题的关键．

14.【答案】 

【解析】解：直线上平移个单位，得到直线的解析式为，
故答案为：．
根据“上加下减”的原则进行解答即可．
本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键．

15.【答案】 

【解析】解：从图象看，当点到达点时，的面积为，此时的高为，
的面积，解得，
而从图看，，
联立并解得．
故答案为：．
当点到达点时，的面积为，此时的高为，则，解得，而，即可求解．
本题考查的是动点问题的函数图象，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．

16.【答案】解：原式

． 

【解析】根据二次根式的性质、二次根式的加减运算以及乘除运算法则即可求出答案．
本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算、乘除运算法则，本题属于基础题型．

17.【答案】解：，理由如下：
在平行四边形中，，．
，
，
四边形是平行四边形．
，． 

【解析】只要证明四边形是平行四边形，则可知线段与线段有怎样的数量关系和位置关系．
本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键．平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．

18.【答案】解：把代入得：，
，
把、分别代入得：，
解得：，
．
令得：，
解得：，
点的坐标为． 

【解析】先求出点坐标，再根据和点坐标求出直线的函数解析式即可．
本题考查了一次函数的解析式、交点坐标，明确一次函数的相关性质并数形结合，是解题的关键．

19.【答案】元  元  元 

【解析】解：被抽查的学生人数有：人，
，即；
元的人数有：人，
补全统计图如下：


被抽查学生购买午餐费用的平均价为：元，
出现了次，出现的次数最多，
众数是元；
共有个数，中位数是低、个数的平均数，
中位数是：元；
故答案为：元，元，元；

根据题意得：
人，
答：估计购买元午餐的学生有人．
根据元的人数和所占的百分比，求出调查的总人数，再用整体减去其它所占的百分比，求出的值，然后用总人数乘以元的人数所占的百分比，求出元的人数，从而补全统计图；
根据平均数的计算公式、众数和中位数的定义即可得出答案；
用该校的总人数乘以购买元午餐的学生所占的百分比即可．
此题主要考查了条形统计图与扇形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

20.【答案】解：设尺，
尺，尺，
尺，尺，
在中，尺，尺，尺，
根据勾股定理得：，
整理得：，即，
解得：．
则秋千绳索的长度额尺． 

【解析】此题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．设尺，表示出的长，在直角三角形中，利用勾股定理列出关于的方程，求出方程的解即可得到结果．

21.【答案】解：设购买甲种图书本，乙种图书本，根据题意，得：
，
解得，
答：购买甲种图书本，乙种图书本；
设购买费用为元，购买乙种图书本，则买甲种图书本，根据题意，得：

，
由甲种图书的数量不低于乙种图书数量的一半，得：
，
解得，
，，
随的增大而减小，
当时，元，
此时元，
答：当购买甲种图本，购买乙种图书本时，购买费用最少，最少费用是元． 

【解析】根据题意列方程组解答即可；
设购买费用为元，购买乙种图书本，数量根据题意与的关系式，并根据题意列不等式得出的取值范围，再根据一次函数的增减性解答即可．
本题考查二元一次方程组、一元一次不等式、一次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．

22.【答案】解：四边形是平行四边形，，，
，，
又，
，即，
在中，根据勾股定理可得：，
．
，，
四边形是平行四边形，
又，
平行四边形是矩形，
，
四边形是平行四边形，
，
．
如图所示，过点作交于点，

四边形是矩形，
，，．
，
又，
，
又，
是的中位线，
，
在，根据勾股定理可得：，
，
． 

【解析】证四边形是菱形，得，，，再由勾股定理即可求解；
证四边形是平行四边形，再由菱形的性质得，，则，即可得出结论；
过点作交于点，求出，由三角形中位线定理求出，然后由勾股定理求解即可．
本题考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质和勾股定理，证明平行四边形为菱形是解题的关键．

23.【答案】解：当时，，
．
设直线的解析式为，由题意得：
，
解得：．
直线的解析式为．
轴，
，的横坐标相同．
设，则．
为线段上一个动点，
，，
，．
．
解得：．
．
如下图，当四边形为平行四边形时，

令，则，
．
，
直线的解析式为：．
令，则，
．
，
直线的解析式为：．
．
解得：．
．
如下图，当四边形为平行四边形时，

，
直线的解析式为，
，
直线的解析式为，
当时，，
．
当四边形为平行四边形时，如下图，

，
直线的解析式为，
，
直线的解析式为：，
当时，，
．
综上，存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，点的坐标为：或或． 

【解析】先求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可；
利用两条直线的解析式表示出，两点的坐标，进而得出线段的长，列出方程即可解答；
分三种情形解答，先求得经过点的解析式，再联立，解方程组即可求解．
本题是一道一次函数的综合题，主要考查了一次函数的解析式的求法，待定系数法，平行四边形的性质，一次函数图象上点的坐标的特征．待定系数法是确定函数解析式的重要方法，也是解答本题的关键．