2024年陕西省渭南市大荔县中考数学二模试卷（含解析）

这是一份2024年陕西省渭南市大荔县中考数学二模试卷（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）﹣5﹣1的值为（ ）
A．﹣4B．﹣6C．4D．6
2．（3分）已知∠A＝40°，那么∠A的补角的度数等于（ ）
A．50°B．60°C．140°D．150°
3．（3分）如图，已知AB∥CD，E为AB上方一点，连接DE，BE，若∠E＝40°，∠ABE＝140°，则∠D的度数为（ ）
A．150°B．120°C．100°D．95°
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a2﹣a＝a2B．2a﹣a＝1
C．（﹣2x2y）2＝﹣4x4y2D．6a3÷2a2＝3a
5．（3分）如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，再作AF⊥CD于点F，已知AD＝10，，则DF的值为（ ）
A．B．5C．6D．7
6．（3分）已知一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象与x轴交于点A，将点A绕原点逆时针旋转90°后得到点A′，且点A′也在函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象上，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知⊙O的半径为2，，则∠BAD的度数为（ ）
A．120°B．105°C．100°D．90°
8．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）的图象上，且AB∥x轴，当AB＝2时，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）用科学记数法表示一个数为1.5×103，则这个数原来是 ．
10．（3分）一个多边形的每个内角都是160°，这个多边形是 边形．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，以B为圆心，BA为半径，两弧交BC于点D，此时，点D为线段BC的黄金分割点，若BC＝2，则BD的长为 ．
12．（3分）如图，在反比例函数的第二象限图象上存在一点A．又在反比例函数的第三象限图象上存在一上点B，连接AB，OA和OB，已知AB⊥x轴，且△AOB的面积等于3，则k1﹣k2的值为 ．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，E为AB边中点，而点F在DC边上，P为对角线AC所在直线上一动点，已知AB＝8，DF＝2，且∠ABC＝60°，则|PF﹣PE|的最大值为 ．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）计算：．
15．（5分）解方程组：．
16．（5分）化简：．
17．（5分）已知：如图，点A和点B在直线l同一侧．求作：直线l上一点P，使PA+PB的值最小．
18．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接ED，DF，以及BE，BF．求证：四边形BEDF为菱形．
19．（5分）某校组织初三毕业班的全体师生参加中考百日誓师大会，要求每班选两名同学带领大家进行，已知该校九年级一班有五名候选人，其中女生两名，男生三名．
（1）若班主任老师在两名女生中任选一名女生，三名男生中任选一名男生，则具有 种等可能性的结果；
（2）若老师在五名候选人中任选两名同学，请用画树状图或列表的方法求出选中的两名学生中，刚好一男一女的概率为多少？
20．（5分）近年来我国一直倡导清明节文明祭祀，节日当天人们纷纷手捧鲜花祭奠已故的亲人，所以鲜花价格迅速增长，已知四月一捧鲜花的单价比三月份上涨了20%，而三月份花200元购买的鲜花捧数比四月份花300元购买的鲜花捧数少1捧，那么三月份时一捧鲜花的价格是多少？
21．（6分）如图，为了测量国旗台上旗杆DE的高度，小华在点A处利用测角仪测得旗杆底部D的仰角为27°，然后他沿着正对旗杆DE的方向前进0.5m到达点B处，此时利用测角仪测得旗杆顶部E的仰角为60°，已知点A，B，C在同一水平直线上，测角仪AF的高为1m，DE⊥AB于点C，旗杆底部D到地面的距离DC为3m，求旗杆DE的高度．（结果精确到0.1m．≈1.73，cs27°≈0.89，tan27°≈0.51，sin27°≈0.45）
22．（7分）某次班会前，班主任刘老师想购买A，B两种奖品奖励优秀学生，其中奖品A每件10元，奖品B每件15元．
（1）那么刘老师购买5个奖品A和10个奖品B应花费多少元？
（2）若刘老师计划购买A，B两种奖品共100个，且奖品A的数量不超过奖品B数量的2倍．设购买奖品A共x个，购买两种奖品的总费用为y元，请写出y与x的函数关系式，并确定费用y的最小值．
23．（7分）2024年春节假期全国各大影院再次迎来了观影的火爆，多部电影集中上映，其中A，B两部电影最受欢迎，小秦为了了解同学对这两部电影的评价，与数学小组的同学们在该校九年级中随机抽取了20名学生，对这两部作品分别进行打分（满分10分），其中电影A的得分情况为：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．并将同学们对两部电影评价的得分情况绘制成如下所示的统计表和扇形统计图
（1）表格和扇形统计图中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）你认为哪部电影的评价更高，请说明理由（写一条，合理即可）；
（3）若该校九年级共有1000名学生都观看了上述两部电影，试估计所打分数中满分的个数分别为多少？
24．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O直径，D为右半圆上一点，连接CD并延长，交⊙O的切线AM于点M，连接AD．
（1）求证：∠DAM＝∠DCA；
（2）若CD＝2DM＝4，求AM的长．
25．（8分）2024年我省中考体育科目的考试时间已进入倒计时，同学们也在紧锣密鼓的练习中．某次掷实心球项目的练习时，李强同学站在地面上点O的位置，P为实心球被掷出后脱手的点，如图，点O，P，M，N在同一平面，且OP⊥MN．已知李强扔出实心球后，实心球在空中的运动路线为抛物线，且实心球运动到距离李强4m处时，距地面达到最大高度3m，经测量实心球落地点距李强所站位置为10m，根据评分标准该次训练获得满分．
（1）求实心球被掷出后脱手时距地面的高度（精确到0.1m）；
（2）若在李强扔实心球的过程中，另一名同学在距离李强7m处横穿过实心球场地，已知该同学身高1.80m，请通过计算说明该名穿过实心球场地的同学是否有危险？
26．（10分）问题提出
（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，过点A作AE⊥BC于点E，已知AD＝4，BC＝10，且AE＝5，求梯形ABCD的面积．
问题探究
（2）如图2，在△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝10，求点C到AB的最大距离．
问题解决
（3）如图3，社区公园内有一梯形广场ABCD，广场内部空地一点P处计划修建一个监控摄像探头，时刻可以监控广场内的情况，并将广场分为四个三角形的监控区域，为了节约成本，给监控供电的电线AP与BP之间始终保持相互垂直，已知AD∥BC，AB＝CD＝100m，∠ABC＝60°，BC＝200m．请问广场内是否存在一个符合要求的点P，使得△PCD的面积最小，若存在，请求出△PCD的面积最小值，并找出此时点P的位置；若不存在，请说明理由．
2024年陕西省渭南市大荔县中考数学二模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）﹣5﹣1的值为（ ）
A．﹣4B．﹣6C．4D．6
【分析】直接计算即可．
【解答】解：﹣5﹣1＝﹣5+（﹣1）＝﹣6．
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的减法运算，熟练掌握有理数的运算法则是解题的关键．
2．（3分）已知∠A＝40°，那么∠A的补角的度数等于（ ）
A．50°B．60°C．140°D．150°
【分析】两个角的和为180°，则两个角互为补角．根据概念进行计算．
【解答】解：根据互为补角的概念，得
∠A的补角为：180°﹣40°＝140°．
故选：C．
【点评】此题考查了互为补角的概念：如果两个角的和等于180°（平角），就说这两个角互为补角．即其中一个角是另一个角的补角．
3．（3分）如图，已知AB∥CD，E为AB上方一点，连接DE，BE，若∠E＝40°，∠ABE＝140°，则∠D的度数为（ ）
A．150°B．120°C．100°D．95°
【分析】延长AB交DE于F，由三角形的外角性质可求出∠AFE，再根据平行线的性质得∠D即可．
【解答】解：如图，延长AB交DE于F，
∵∠E＝40°，∠ABE＝140°，
∴∠AFE＝140°﹣40°＝100°，
∵AB∥CD，
∴∠D＝∠AFE＝100°．
故选：C．
【点评】本题考查平行线的性质，关键是平行线性质的熟练应用．
4．（3分）下列计算正确的是（ ）
A．2a2﹣a＝a2B．2a﹣a＝1
C．（﹣2x2y）2＝﹣4x4y2D．6a3÷2a2＝3a
【分析】根据合并同类项、积的乘方，单项式除以单项式进行逐项分析，即可作答．
【解答】解：A、2a2，a不是同类项，不能合并，故该选项是错误的，不符合题意；
B、2a﹣a＝a≠1，故该选项是错误的，不符合题意；
C、（﹣2x2y）2＝4x4y2≠﹣4x4y2，故该选项是错误的，不符合题意；
D、6a3÷2a2＝3a，故该选项是正确的，符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查了合并同类项、积的乘方，单项式除以单项式，熟练掌握相关运算法则是关键．
5．（3分）如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC于点E，再作AF⊥CD于点F，已知AD＝10，，则DF的值为（ ）
A．B．5C．6D．7
【分析】先由平行四边形的性质得出∠D＝∠ABC，结合AE⊥BC，AF⊥CD，证明△AFD∽△AEB，得出，根据勾股定理列式计算，即可作答．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠D＝∠ABC，
∵AE⊥BC，AF⊥CD，
∴∠AFD＝∠AEB＝90°，
∴△AFD∽△AEB，
∴∠FAD＝∠BAE，
∵，
∴，
∵AD＝10，
∴AF＝8，
则．
故选：C．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、平行四边形的性质以及勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
6．（3分）已知一次函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象与x轴交于点A，将点A绕原点逆时针旋转90°后得到点A′，且点A′也在函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象上，则a的值为（ ）
A．1B．﹣1C．2D．﹣2
【分析】先得出A（1，0），结合旋转性质，得出A′（0，1），再代入y＝ax﹣a（a≠0），进行计算，即可作答．
【解答】解：依题意，如图所示：
当y＝0时，则0＝ax﹣a（a≠0），解得x＝1，
∴A（1，0），
∵将点A绕原点逆时针旋转90°后得到点A′，且点A′也在函数y＝ax﹣a（a≠0）的图象上，
∴OA＝OA′＝1，
∴A′（0，1），
把A′（0，1）代入y＝ax﹣a（a≠0），
∴1＝﹣a，
∴a＝﹣1，
故选：B．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与x轴、y轴的交点问题，以及旋转性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
7．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，已知⊙O的半径为2，，则∠BAD的度数为（ ）
A．120°B．105°C．100°D．90°
【分析】先证明OE是△DCB的中位线，结合垂径定理的推论得出OE⊥DC，结合平行线的性质，即∠C＝90°，根据内接四边形对角互补，即可作答．
【解答】解：连接OD，OC取DC的中点E，连接OE，如图：
∵点E是DC的中点，O是BD的中点，
∴OE是△DCB的中位线，
∵OD＝OC，
∴OE⊥DC，
∵OE∥BC，
∴∠C＝90°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠BAD＝180°﹣∠C＝90°，
故选：D．
【点评】本题考查了三角形中位线定理，垂径定理，内接四边形的性质，根据题意作出辅助线构造出三角形的中位线是解题的关键．
8．（3分）已知点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）的图象上，且AB∥x轴，当AB＝2时，则的值为（ ）
A．4B．3C．2D．1
【分析】由点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）的图象上和AB∥x得y1＝y2，即+2ax1+c＝+2ax2+c（a≠0），化简能得x1+x2＝﹣2，再结合AB＝2可解出x1，x2即可．
【解答】解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在函数y＝ax2+2ax+c（a≠0）的图象上，
∴y1＝+2ax1+c，y2＝+2ax2+c，
∵AB∥x，
∴y1＝y2即+2ax1+c＝+2ax2+c（a≠0），
∴+2x1＝+2x2，
∴﹣＝2x2﹣2x1，
∴（x1+x2）（x1﹣x2）＝2（x2﹣x1），
∵AB＝2，
∴x1≠x2，
∴x1+x2＝﹣2，
设x2＞x1，由得，
∴+＝4．
故选：A．
【点评】本题考查二次函数的性质，掌握根与系数的关系是解题的关键．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）用科学记数法表示一个数为1.5×103，则这个数原来是 1500 ．
【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．
【解答】解：1.5×103＝1.5×1000＝1500．
故答案为：1500．
【点评】本题考查科学记数法表示的数变回原数．科学记数法指把一个数写成a×10n（其中1≤|a|＜10，n为整数）的形式．
10．（3分）一个多边形的每个内角都是160°，这个多边形是 18 边形．
【分析】依据多边形的内角和公式列方程求解即可．
【解答】解：180（n﹣2）＝160n
解得：n＝18．
故答案为：18
【点评】本题主要考查了多边形的内角与外角以及多边形的外角和．这些是基础知识要熟练掌握．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝108°，以B为圆心，BA为半径，两弧交BC于点D，此时，点D为线段BC的黄金分割点，若BC＝2，则BD的长为 ．
【分析】本题中经分析，因为点D为线段BC的黄金分割点，所以把线段BC分成两条线段BD和DC（BC＞DC），且使BD是BC和CD的比例中项，即 ，把BC＝2代入计算，即可作答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，以B为圆心，BA为半径，两弧交BC于点D，
∴BD＞DC，
∵点D为线段BC的黄金分割点，
∴BD是BC和CD的比例中项，
∴，
∵BC＝2，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查的是黄金分割的概念，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
12．（3分）如图，在反比例函数的第二象限图象上存在一点A．又在反比例函数的第三象限图象上存在一上点B，连接AB，OA和OB，已知AB⊥x轴，且△AOB的面积等于3，则k1﹣k2的值为 ﹣6 ．
【分析】根据题意得到|k1|+|k2|＝6，利用反比例函数图象和性质，得到k1＜0，k2＞0，化简绝对值进行求解，即可解题．
【解答】解：∵AB⊥x轴，且△AOB的面积等于3，
∴，
即|k1|+|k2|＝6，
∵的图象在第二象限，
∴k1＜0，
∵的图象在第三象限，
∴k2＞0，
∴|k1|+|k2|＝﹣k1+k2＝6，
∴k1﹣k2＝﹣6，
故答案为：﹣6．
【点评】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义（在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变），以及反比例函数图象和性质，化简绝对值．
13．（3分）如图，在菱形ABCD中，E为AB边中点，而点F在DC边上，P为对角线AC所在直线上一动点，已知AB＝8，DF＝2，且∠ABC＝60°，则|PF﹣PE|的最大值为 ．
【分析】取AD的中点G，连接PG，易得PG＝PE，故|PF﹣PE|＝|PF﹣PG|≤FG，即当F，G，P共线时，|PF﹣PE|＝FG最大，作PH⊥AD于H，先后求出HD，HF，GH，最后用勾股定理求FG即可．
【解答】解：如图，取AD的中点G，连接PG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AG＝AE，∠GAP＝∠EAP，
在△APG和△APE中，
，
∴△APG≌△APE（SAS），
∴PG＝PE，
连接FG，
∴|PF﹣PE|＝|PF﹣PG|≤FG，
当F，G，P共线时，|PF﹣PE|＝FG最大，图中P′处，
作PH⊥AD于H，
∵∠D＝∠B＝60°，
∴∠DFH＝30°，
∴，
∴，
∵，
∴GH＝4﹣1＝3，
∴．
即|PF﹣PE|的最大值为．
【点评】本题考查菱形的性质，掌握轴对称中最值问题，勾股定理是解题的关键．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）计算：．
【分析】先化简零次幂、负整数指数幂以及运算正弦值，再运算乘法，最后运算减法，即可作答．
【解答】解：
＝
＝1﹣4﹣1
＝﹣4．
【点评】本题考查了含有特殊角的三角函数的混合运算，熟练掌握实数运算法则是关键．
15．（5分）解方程组：．
【分析】由①得y＝2x﹣3③，把③代入②求出x，把x的值代入③求出y即可．
【解答】解：
由①得y＝2x﹣3③，
把③代入②得 3x+2（2x﹣3）＝8，
7x＝14，
x＝2，
把x＝2代入③得：y＝2×2﹣3＝1，
所以这个方程组的解是．
【点评】本题考查了解二元一次方程组，能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键．
16．（5分）化简：．
【分析】把能分解的因式进行分解，除法转为乘法，再约分即可．
【解答】解：
＝
＝
＝．
【点评】本题考查了分式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
17．（5分）已知：如图，点A和点B在直线l同一侧．求作：直线l上一点P，使PA+PB的值最小．
【分析】过A作直线l的垂线，在垂线上取点A′，使直线l是AA′的垂直平分线，连接BA′即可．
【解答】作法：
作A点关于直线l的对称点A′，
连接A′B交l于点P，
则P点为所求．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题的应用，关键是正确画出图形，题型较好，难度适中．
18．（5分）如图，在正方形ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE＝CF，连接ED，DF，以及BE，BF．求证：四边形BEDF为菱形．
【分析】连接BD交AC于点O，由四边形ABCD是正方形得OB＝OD，OA＝OC，由AE＝CF得OE＝OF，故四边形BEDF是平行四边形，再由对角线互相垂直即可．
【解答】证明：如图，连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是正方形
∴OB＝OD，OA＝OC
∵AE＝CF
∴OE＝OF
∴四边形BEDF是平行四边形
∵四边形ABCD是正方形
∴AC⊥BD
∴平行四边形BEDF是菱形．
【点评】本题考查正方形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，掌握正方形的性质是关键．
19．（5分）某校组织初三毕业班的全体师生参加中考百日誓师大会，要求每班选两名同学带领大家进行，已知该校九年级一班有五名候选人，其中女生两名，男生三名．
（1）若班主任老师在两名女生中任选一名女生，三名男生中任选一名男生，则具有 6 种等可能性的结果；
（2）若老师在五名候选人中任选两名同学，请用画树状图或列表的方法求出选中的两名学生中，刚好一男一女的概率为多少？
【分析】（1）根据题意，分别列出所有等可能的结果，即可作答．
（2）画树状图表示出所有的结果，再运用概率公式代入数值进行计算，即可作答．
【解答】解：（1）两名女生记为女1和女2，三名男生分别记为男1、男2、男3，
则等可能性的结果分别为女1男1，女1男2，女1男3，女2男1，女2男2，女2男3，
即有6种等可能性的结果
∴若班主任老师在两名女生中任选一名女生，三名男生中任选一名男生，则具有6种等可能性的结果；
故答案为：6；
（2）画树状图得：
∵共有20种等可能的结果，选出同学是一男一女的有12种情况，
∴
∴选出学生是一男一女的概率为．
【点评】本题考查的是概率公式，用列表法或画树状图求随机事件的概率，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
20．（5分）近年来我国一直倡导清明节文明祭祀，节日当天人们纷纷手捧鲜花祭奠已故的亲人，所以鲜花价格迅速增长，已知四月一捧鲜花的单价比三月份上涨了20%，而三月份花200元购买的鲜花捧数比四月份花300元购买的鲜花捧数少1捧，那么三月份时一捧鲜花的价格是多少？
【分析】根据题意，设三月份一捧鲜花的价格是x元，则四月份一捧鲜花的价格是（1+20%）x元，然后列出分式方程求解即可．
【解答】，解：设三月份一捧鲜花的价格是x元，依题意得，
解得x＝50．
经检验，x＝50是原分式方程的解，且符合题意．
答：三月份一捧鲜花的价格是50元．
【点评】本题考查分式方程的应用，正确的理解题意是解题的关键．
21．（6分）如图，为了测量国旗台上旗杆DE的高度，小华在点A处利用测角仪测得旗杆底部D的仰角为27°，然后他沿着正对旗杆DE的方向前进0.5m到达点B处，此时利用测角仪测得旗杆顶部E的仰角为60°，已知点A，B，C在同一水平直线上，测角仪AF的高为1m，DE⊥AB于点C，旗杆底部D到地面的距离DC为3m，求旗杆DE的高度．（结果精确到0.1m．≈1.73，cs27°≈0.89，tan27°≈0.51，sin27°≈0.45）
【分析】延长FN交EC于点M，设DE＝x m，根据正切的定义用x表示出MN，再根据正切的定义求出MF，根据题意列方程，解方程得到答案．
【解答】解：如图，延长FN交EC于点M，
由题意得，AF＝BN＝CM＝1m，DC＝3m，AB＝FN＝0.5m，
则DM＝DC﹣CM＝2m，
设DE＝x m，则EM＝（x+2）m，
在Rt△EMN中，∠FNM＝60°，
∵tan∠FNM＝，
∴MN＝＝＝，
在Rt△FDM中，FM＝＝≈3.92（m），
由FN＝FM﹣MN，得3.92﹣＝0.5，
解得：x≈3.9，
答：旗杆DE的高度约为3.9m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
22．（7分）某次班会前，班主任刘老师想购买A，B两种奖品奖励优秀学生，其中奖品A每件10元，奖品B每件15元．
（1）那么刘老师购买5个奖品A和10个奖品B应花费多少元？
（2）若刘老师计划购买A，B两种奖品共100个，且奖品A的数量不超过奖品B数量的2倍．设购买奖品A共x个，购买两种奖品的总费用为y元，请写出y与x的函数关系式，并确定费用y的最小值．
【分析】（1）根据总价等于数量乘上单价，即可作答．
（2）先根据奖品A的数量不超过奖品B数量的2倍，得出，结合利润公式得到y＝﹣5x+1500，运用一次函数的性质，即可作答．
【解答】解：（1）依题意，5×10+10×15＝50+150＝200（元），
（2）设购买奖品A共x个，则奖品B共（100﹣x）个，
∵且奖品A的数量不超过奖品B数量的2倍．
∴0≤x≤2（100﹣x），
解得，
∵x为整数，
∴x的最大整数为66，
y＝10x+15（100﹣x）＝﹣5x+1500，
∵﹣5＜0，
∴y随x的增大而减小，
当x＝66时，y有最小值，且y＝﹣5×66+1500＝1170，
∴y与x的函数关系式y＝﹣5x+1500，并确定费用y的最小值为1170元．
【点评】本题考查了一次函数的应用，以及一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
23．（7分）2024年春节假期全国各大影院再次迎来了观影的火爆，多部电影集中上映，其中A，B两部电影最受欢迎，小秦为了了解同学对这两部电影的评价，与数学小组的同学们在该校九年级中随机抽取了20名学生，对这两部作品分别进行打分（满分10分），其中电影A的得分情况为：7，8，7，10，7，6，9，9，10，10，8，9，8，6，6，10，9，7，9，9．并将同学们对两部电影评价的得分情况绘制成如下所示的统计表和扇形统计图
（1）表格和扇形统计图中a＝ 15 ，b＝ 8.5 ，c＝ 8 ；
（2）你认为哪部电影的评价更高，请说明理由（写一条，合理即可）；
（3）若该校九年级共有1000名学生都观看了上述两部电影，试估计所打分数中满分的个数分别为多少？
【分析】（1）根据B电影调查得分为“8分”所占的百分比，即可求出“10分”所占的百分比，确定a的值；根据中位数、众数的意义可求出b，c的值；
（2）通过平均数、中位数、众数的比较即可求解；
（3）求出A、B电影满分人数所占的百分比即可求解．
【解答】解：（1）B电影得分为“10分”所占的百分比为：，
∴a＝15；
A电影调查得分从小到大排列得6，6，6，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，10，10，10，10，
∴处在中间位置的两个数的平均数为：，
∴b＝8.5；
B电影调查得分出现次数最多的是8分，因此众数是8，
∴c＝8，
故答案为：15，8.5，8；
（2）A电影，理由：A电影调查得分的平均数、中位数、众数均比B电影高；
（3）A电影的满分人数：，
B电影的满分人数：1000×15%＝150（人），
答：估计所打分数中A电影的满分人数为200人，B电影的满分人数为150人．
【点评】本题考查了统计中的扇形统计图、中位数、众数、样本估计总体，各统计数据的意义及求解．旨在考查学生的数据处理能力，熟练掌握中位数、众数的意义以及样本估计总体是解题的关键．
24．（8分）如图，已知△ABC内接于⊙O，AB为⊙O直径，D为右半圆上一点，连接CD并延长，交⊙O的切线AM于点M，连接AD．
（1）求证：∠DAM＝∠DCA；
（2）若CD＝2DM＝4，求AM的长．
【分析】（1）根据“直径所对的圆周角是直角”，得∠ACB＝90°，即可得∠DCA+∠DCB＝90°，再根据“圆的切线垂直于过切点的半径”，得AB⊥AM，即可得∠DAM+∠DAB＝90°，然后根据“同弧或等弧所对的圆周角相等”，得∠DCB＝∠DAB，即可证得结论，解题的关键是熟练掌握圆周角定理推论，切线的性质，利用余角的性质进行证明；
（2）由（1）得∠DAM＝∠DCA，由同角相等，得∠AMD＝∠CMA，根据相似三角形判定“两角分别相等的两个三角形相似”可得△AMD∽△CMA，即可得，进而得到AM2＝CM•DM，求解即可得出答案，解题关键是掌握似三角形的判定“两角分别相等的两个三角形相似”及相似三角形的性质“相似三角形对应线段的比等于相似比”．
【解答】（1）证明：∵△ABC内接于⊙O，AB为⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠DCA+∠DCB＝90°，
∵AM与⊙O相切，切点为A，
∴AB⊥AM，
∴∠BAM＝90°，
∴∠DAM+∠DAB＝90°，
又∵∠DCB＝∠DAB，
∴∠DAM＝∠DCA．
（2）解：∵∠DAM＝∠DCA，∠AMD＝∠CMA，
∴△AMD∽△CMA，
∴，
∵CD＝2DM＝4，
∴DM＝2，CM＝CD+DM＝6，
∴AM2＝CM•DM＝2×6＝12，
∴．
【点评】本题考查了圆周角定理推论，切线的性质定理，相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是作出适当的辅助线，构造相似三角形．
25．（8分）2024年我省中考体育科目的考试时间已进入倒计时，同学们也在紧锣密鼓的练习中．某次掷实心球项目的练习时，李强同学站在地面上点O的位置，P为实心球被掷出后脱手的点，如图，点O，P，M，N在同一平面，且OP⊥MN．已知李强扔出实心球后，实心球在空中的运动路线为抛物线，且实心球运动到距离李强4m处时，距地面达到最大高度3m，经测量实心球落地点距李强所站位置为10m，根据评分标准该次训练获得满分．
（1）求实心球被掷出后脱手时距地面的高度（精确到0.1m）；
（2）若在李强扔实心球的过程中，另一名同学在距离李强7m处横穿过实心球场地，已知该同学身高1.80m，请通过计算说明该名穿过实心球场地的同学是否有危险？
【分析】（1）以点O为原点，MN所在直线为x轴，OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），根据题意求得抛物线的解析式，然后令x＝0，即可求得OP的长度，即可解题．
（2）根据题意求出当x＝7时，y的值，再将y的值与1.80m比较，即可解题．
【解答】解：（1）以点O为原点，MN所在直线为x轴，OP所在直线为y轴，建立平面直角坐标系，如图，
设抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k（a≠0），
由题知，抛物线过点（10，0），以及顶点为（4，3），
∴a（10﹣4）2+3＝0，
解得，
∴抛物线解析式为，
当x＝0时，，
即，
∴实心球被掷出后脱手时距地面的高度为1.7m；
（2）当x＝7时，，
∵，
∴该名穿过实心球场地的同学没有危险．
【点评】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是根据题意建立合适的平面直角坐标系，找出所求问题需要的条件．
26．（10分）问题提出
（1）如图1，在梯形ABCD中，AD∥BC，过点A作AE⊥BC于点E，已知AD＝4，BC＝10，且AE＝5，求梯形ABCD的面积．
问题探究
（2）如图2，在△ABC中，已知∠C＝90°，AB＝10，求点C到AB的最大距离．
问题解决
（3）如图3，社区公园内有一梯形广场ABCD，广场内部空地一点P处计划修建一个监控摄像探头，时刻可以监控广场内的情况，并将广场分为四个三角形的监控区域，为了节约成本，给监控供电的电线AP与BP之间始终保持相互垂直，已知AD∥BC，AB＝CD＝100m，∠ABC＝60°，BC＝200m．请问广场内是否存在一个符合要求的点P，使得△PCD的面积最小，若存在，请求出△PCD的面积最小值，并找出此时点P的位置；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）直接用梯形面积公式计算即可；
（2）根据题意知，当△ABC为等腰直角三角形时，距离最大，然后不难求出最大距离；
（3）根据题意知，△PCD的面积最小时，△APB的面积最大，而△APB的面积最大时即P到AB的距离最大，此时△APB为等腰直角三角形，然后可求出BP即可．
【解答】解：（1）梯形ABCD中，AD＝4，BC＝10，AE＝5，
∴；
（2）由题意知，当CA＝CB，即△ABC是等腰直角三角形时，点C到AB的距离最大，
∵CA＝CB，∠ACB＝90°，
∴点C到AB的距离即为斜边上的中线，
又∵直角三角形斜边上的中线是斜边的一半，
∴最大距离为；
（3）存在；理由如下：
由题意知，S梯形ABCD＝S△APD+SBPC+S△APB+S△CPD，
∵S梯形ABCD是定值，S△APD+SBPC也是定值，
∴△PCD的面积最小时，△APB的面积最大，
∵AB＝100是定值，△APB的面积最大时即P到AB的距离最大，
∴△APB为等腰直角三角形，
∴，∠ABP＝45°，
∵∠ABC＝60°，
∴∠PBC＝60°﹣45°＝15°．
即P点的位置为：距离点B的距离为，且BP与BC的夹角为15°．
【点评】本题考查梯形的面积，勾股定理，等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与性质．
抽取学生对两部作品分别打分的统计表
平均数
众数
中位数
电影A
8.2
9分
b
电影B
7.8
c
8
电影B得分情况扇形统计图
抽取学生对两部作品分别打分的统计表
平均数
众数
中位数
电影A
8.2
9分
b
电影B
7.8
c
8
电影B得分情况扇形统计图