数学：江苏省苏州市2022-2023学年高一下学期期末迎考试题（解析版）

这是一份数学：江苏省苏州市2022-2023学年高一下学期期末迎考试题（解析版），共19页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知复数，若，则的虚部是（ ）
A. B. C. 2D.
【答案】A
【解析】因为，所以可化为，
所以，所以，
所以，所以，所以的虚部是.
故选：A.
2. 从某班名同学中选出人参加户外活动，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学按、、、进行编号，然后从随机数表第行的第列和第列数字开始往右依次选取两个数字，则选出的第个同学的编号为（ ）
（注：表中的数据为随机数表第行和第行）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由随机数表法可知，样本前个同学的编号依次为、、、，
故选出的第个同学的编号为.
故选：C.
3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列结论不正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，，，与相交，则
【答案】C
【解析】对于A：若，，由面面垂直的判定定理可知，故A正确；
对于B：若，则平面内存在直线，使得，又，，
所以，所以，故B正确；
对于C：若，，则或与相交，故C错误；
对于D：若，，，，与相交，
根据面面平行的判定定理可知，故D正确.
故选：C.
4. 一组数据按从小到大的顺序排列为2，3，4，，7，8（其中），若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的60%分位数是（ ）
A 4B. 4.5C. 5D. 6
【答案】D
【解析】由题意知，中位数是，极差为，
由已知，解得，
又，则第60百分位数是6.
故选：D.
5. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为，所以，
所以.
故选：C.
6. 已知事件，，且，，如果与互斥，那么，如果与相互独立，那么，则，分别为（ ）
A. ，B. ，
C. ，D. ，
【答案】A
【解析】因为事件与互斥，所以，所以，
因为与相互独立，，，
所以，即.
故选：A.
7. 如图，在中，点，分别在边和边上，，分别为和的三等分点，点靠近点，点靠近点，交于点，设，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】设，，
所以，
又，
所以，
因为，
所以，
所以，解得，所以.
故选：B.
8. 蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠的表面上有四个点，，，恰好构成三棱锥，若，，且，，，，则该鞠的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在中，，，，
所以，
在中，，，，
所以，所以，
在中，，，，
所以，
在中，，，，
所以，所以，
所以，都是以为斜边的直角三角形，
取中点，则，
所以点为三棱锥的外接球的球心，半径为，
所以三棱锥的外接球的表面积，
即该鞠的表面积为.
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知向量，，下列结论中正确的是（ ）
A 若，则
B. 若，则
C. 当时，与的夹角为锐角
D. 若，则与的夹角的余弦值为
【答案】ABD
【解析】因为，，
对于A：若，则，解得，故A正确；
对于B：若，则，解得，故B正确；
对于C：当时，此时，所以与共线同向，故C错误；
对于D：若时，则，，，
所以，即与的夹角的余弦值为，故D正确.
故选：ABD.
10. 为了进一步培养全校学生的法律意识，强化学生自我保护能力，知法守法，某中学举行法规知识竞赛（满分分），对全校参赛的名学生的得分情况进行了统计，把得分数据按照、、、、分成组，绘制了如图所示的频率分布直方图，根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A.
B. 得分在区间内的学生人数为
C. 该校学生法规竞赛成绩的中位数大于
D. 估计该校学生法规竞赛成绩的平均数落在区间内
【答案】BC
【解析】对于A选项，在频率分布直方图中，所有矩形面积之和为，
则，解得，A错；
对于B选项，得分在区间内的学生人数为，B对；
对于C选项，设学生成绩的中位数为，
前个矩形的面积之和为，
前个矩形的面积之和为，所以，，C对；
对于D选项，该校学生法规竞赛成绩平均数为
，D错.
故选：BC.
11. 在中，，，分别为角，，的对边，下列叙述正确的是（ ）
A. 若，则为等腰三角形
B. 已知，，则
C. 若，则
D. 若，则为锐角三角形
【答案】BC
【解析】设的外接圆的半径为，
由正弦定理可得，
因为，所以，
所以，
所以，又，，
所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，A错误；
，B正确；
因为，所以，
所以，故，C正确；
因为，由正弦定理可得，
设，则，
因为中最大边为，最大角为角，
且，又，
所以角为钝角，D错误.
故选：BC.
12. 如图，在正方体中，点在线段上运动，下列判断中正确的是（ ）
A. 平面平面
B.
C.
D. 异面直线与所成角的取值范围是
【答案】ABC
【解析】因为，，，平面，
所以平面，平面，所以，
因为，，，平面，
所以平面，平面，所以，
，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面，A正确；
因为，平面，平面，所以平面，
因为，平面，平面，
所以平面，，平面，
所以平面平面，又平面，
所以平面，平面，
所以，B正确；
因为平面平面，点在直线上，
所以点到平面的距离等于到平面的距离
所以，C正确；
因为，所以异面直线与所成角为或中的锐角或直角，
又为等边三角形，所以当点为的中点时，，
故异面直线与所成角可能为，D错误.
故选：ABC.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 从，，，，这五个数中任选两个不同的数，则这两个数的和小于的概率为________.
【答案】
【解析】随机试验从，，，，这五个数中任选两个不同的数有下列结果：
，
其中事件两个数的和小于包含下列基本事件，
故事件两个数的和小于的概率.
故答案为：.
14. 如图，长方体的底面的斜二测直观图为平行四边形.已知，，高，，分别为，的中点，用平面截该长方体，则剩余的三棱台的体积为________.
【答案】
【解析】因为，，高，
所以长方体中，，，，
又，分别为，的中点，，，
由棱台体积公式.
故答案为：.
15. 自古以来，人们对于崇山峻岭都心存敬畏，同时感慨大自然的鬼斧神工，一代诗圣杜甫曾赋诗《望岳》：“贷宗夫如何？齐鲁青未了.造化钟神秀，阴阳割昏晓，.荡胸生层云，决眦入归鸟.会当凌绝顶，一览众山小.”然而，随着技术手段的发展，山高路远便 不再是人们出行的阻碍，伟大领袖毛主席曾作词：“一桥飞架南北，天堑变通途”.在科技腾飞的当下，路桥建设部门仍然潜心研究如何缩短空间距离方便出行，如港珠澳跨海大桥等.如图，某工程队将从到修建一条隧道，工程队从出发向正东行到达，然后从向南偏西方向行了一段距离到达，再从向北偏西方向行了到达，已知在南偏东方向上，则到修建隧道的距离为________.
【答案】
【解析】因为点在点的南偏西方向上，所以，
因为点在点的南偏东方向上，所以，
在中由正弦定理可得，
又，，
所以，所以，
又点在点北偏西方向上，点在点的北偏西方向上，
所以，
在中，，,，
由余弦定理可得，
所以，
所以(km).
故答案为：.
16. 已知我国某省二、三、四线城市数量之比为．年月份调查得知该省二、三、四线城市房产均价为万元/平方米，方差为．其中三、四线城市的房产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，三、四线城市房价的方差分别为，则二线城市房产均价为_________万元/平方米，二线城市房价的方差为________.
【答案】
【解析】设二线城市房产均价为，方差为，
因为二、三、四线城市数量之比为，二、三、四线城市房产均价为万元/平方米，
三、四线城市的房产均价分别为万元/平方米，万元/平方米，
所以，
解得（万元/平方米），
由题意可得，
解得.
故答案为：2 29.9.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知复数为纯虚数.
（1）求的值；
（2）若，求.
解：（1）因为为纯虚数，
所以，且，
解得.
（2）由（1），又，所以，
所以，
所以，
所以.
18. 已知甲的投篮命中率为0.6，乙的投篮命中率为0.7，丙的投篮命中率为0.5.
（1）甲、乙、丙各投篮一次，求甲和乙命中，丙不命中的概率；
（2）甲、乙、丙各投篮一次，求恰有一人命中的概率；
（3）甲、乙、丙各投篮一次，求至少有一人命中的概率.
解：（1）设事件：甲投篮命中；事件：乙投篮命中；事件：丙投篮命中，
，，
甲、乙、丙各投篮一次，则甲和乙命中，丙不命中的概率为
，
所以甲、乙、丙各投篮一次，甲和乙命中，丙不命中的概率为0.21．
（2）设事件：恰有一人命中，
所以
，
所以甲、乙、丙各投篮一次，恰有一人命中的概率为0.29．
（3）设事件：至少有一人命中，
所以，
所以甲、乙、丙各投篮一次，至少有一人命中的概率为0.94．
19. 在钝角三角形中，，，，.
（1）求的值；
（2）已知，，三点共线，若恒成立，求实数的取值范围.
解：（1）因为，，，
又，所以，
所以，所以或，
若，则，则，
为三角形最大内角，不合题意；
所以，则，，
则.
（2）由已知，设，
则，
所以，
，，
当时，取最小值，最小值为，
由恒成立可得，，
所以的取值范围为.
20. 如图，在直三棱柱中，，，，为棱的中点.
（1）求证：平面平面；
（2）若，求点到平面的距离.
解：（1）因为为直三棱柱，所以平面，
又平面，所以，
因为为棱的中点，，所以，
因为平面，平面，，
所以平面，
又平面，所以，
因为为棱的中点，所以，
又，所以，同理，所以，
因为平面，平面，，
所以平面，平面，
所以平面平面.
（2）因为，，，
所以，，
所以，
由（1）知平面，
所以
，
即三棱锥的体积为，
因为，
所以，又，
取的中点为，则，所以，
所以，
设点到平面的距离为，则，
所以.
21. 在中，内角，，的对边分别为，，，且.
（1）求角的大小；
（2）若，，求边上中线的长.
解：（1）因为，
所以，所以，
由余弦定理可得，又，所以.
（2）由，可得，
所以，，
所以或，所以或，
若，则，
又，所以，
设的中点为，所以边上中线的长为，
若，则，为等边三角形，
因，所以，
设的中点为，所以边上中线的长为.
22. 已知直角梯形中，，，，，，为的中点，，如图，将四边形沿向上翻折，使得平面平面.
（1）在上是否存在一点，使得平面？
（2）求二面角的余弦值.
解：（1）当点为的中点时，平面，证明如下：
由已知，
所以四边形为矩形，所以，，
已知，点为的中点，则，
又，，
所以四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面，所以在上存在一点，使得平面.
（2）因为平面平面，平面平面，
，平面，
所以平面，又，
以点为原点，分别以为轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，，
所以，故，
取，可得，
所以为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，，
所以，故，
取，可得，
所以为平面的一个法向量，
所以，
设二面角的平面角为，
则，观察图象可得，
所以，
所以二面角的余弦值为.
0347
4373
8636
9647
3661
4698
6371
6297
7424
6292
4281
1457
2042
5332
3732
1676