2022-2023学年江苏省苏州市高一上学期期末数学试题（解析版）

江苏省苏州市2022-2023学年高一上学期期末数学试题

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，，则下列结论错误的是（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】由交集、并集、补集的定义即可判断.

【详解】解：因为集合，，，

所以，，，，

故选：C.

2. 已知a，，那么“”是“”的（）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】

【分析】由对数函数和指数函数的单调性，结合充分必要条件的定义，可得结论．

【详解】，，

由可推得，但，不可推得，

所以“”是“”的必要不充分条件．

故选：B．

3. 毛主席的诗句“坐地日行八万里”描写的是赤道上的人即使坐在地上不动，也会因为地球自转而每天行八万里路程．已知我国四个南极科考站之一的昆仑站距离地球南极点约，把南极附近的地球表面看作平面，则地球每自转，昆仑站运动的路程约为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】利用弧长公式求解.

【详解】因昆仑站距离地球南极点约，地球每自转，

所以由弧长公式得：，

故选：C

4. 用二分法求函数在区间上的零点,要求精确度为时,所需二分区间的次数最少为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据题意，由二分法中区间长度的变化，分析可得经过次操作后，区间的长度为，据此可得，解可得的取值范围，即可得答案．

【详解】解：开区间的长度等于1 ,每经过一次操作,区间长度变为原来的一半，

经过此操作后,区间长度变为，

用二分法求函数在区间上近似解,

要求精确度为，

，解得，

故选：C.

5. 若实数满足，则的最小值为

A.  B. 2 C.  D. 4

【答案】C

【解析】

【详解】，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C.

考点：基本不等式

【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．

6. 设函数.若对任意的实数都成立，则的最小值为

A.  B.  C.  D. 1

【答案】C

【解析】

【分析】利用已知条件推出函数的最大值，然后列出关系式求解即可．

【详解】解：函数f（x）=cos（ωx﹣ ）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，可得： ，解得 ，

则ω的最小值为：．

故选：C.

【点睛】本题考查三角函数的最值的求法与应用，考查转化思想以及计算能力．

7. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】由条件知，，可得m＝1．再利用函数的单调性，分类讨论可解不等式.

【详解】幂函数在上单调递减，故，解得．又，故m＝1或2．

当m＝1时，的图象关于y轴对称，满足题意；

当m＝2时，的图象不关于y轴对称，舍去，故m＝1．

不等式化为，

函数在和上单调递减，

故或或，解得或．

故应选：D．

8. 定义:正割，余割.已知为正实数，且对任意的实数均成立，则的最小值为（　　）

A. 1 B. 4 C. 8 D. 9

【答案】D

【解析】

【分析】利用已知条件先化简，分离参数，转化恒成立求最值问题

【详解】由已知可得，

即.

因为，所以，

则
 

，

当且仅当时等号成立,故，

故选：D.

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.

9. 下列选项中，与的值相等的是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】

求出的值，进而利用二倍角的正弦求值判断A；利用两角和的余弦求值判断B；利用二倍角的余弦求值判断C；利用两角和的正切求值判断D.

【详解】.

对于A，；

对于B，

；

对于C，；

对于D，因为，可得.

∴与的值相等的是ABD.

故选：ABD.

10. 下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数有（）

A.  B.

C.  D.

【答案】AC

【解析】

【分析】根据指数函数，对数函数，二次函数和对勾函数的性质，逐一进行检验即可求解.

【详解】A．，定义域为，又．故函数为偶函数．

当时，单递增，故选项A正确；

B．要使函数有意义，则有，定义域不关于对称．故不为偶函数，故选项B错误；

C．，对称轴，函数在上单调递增，且为偶函数，故选项C正确；

D．，定义域关于原点对称，且，故不为偶函数，故选项D错误，

故选：AC.

11. 函数的部分图象如图所示，则下列选项中正确的有（）

A. 的最小正周期为

B. 是的最小值

C. 在区间上的值域为

D. 把函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用图像过点，求得函数解析式为，利用正弦型函数的周期判断A；利用可判断B；利用正弦型函数的值域可判断C；利用图像的平移可判断D.

【详解】函数的图像过点，可得，

即，则，即，

所以函数解析式为

对于A，函数的周期，故A正确；

对于B，，故B正确；

对于C，，，利用正弦函数的性质知，可得，故C错误；

对于D，函数的图象上所有点向右平移个单位长度，可得到函数的图象，故D正确；

故选：ABD

12. 若，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】ABD

【解析】

【分析】先求得，然后结合对数运算以及基本不等式判断出正确答案.

详解】依题意，，

所以，.

，A正确.

，B正确.

，C错误.

，，

,

所以，D正确.

故选：ABD

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 若对任意a＞0且a≠1，函数的图象都过定点P，且点P在角θ的终边上，则tanθ＝__.

【答案】-2

【解析】

【分析】利用指数函数的性质可得函数的图象经过定点的坐标，进而根据任意角的三角函数的定义即可求解.

【详解】令x＋1＝0，求得x＝－1，y＝2，

可得函数（a＞0，a≠1）的图象经过定点P(－1,2)，

所以点P在角θ的终边上，则tanθ＝＝－2.

故答案为：－2.

14. 已知，则的值为______．

【答案】

【解析】

【分析】

由诱导公式可得，，

且，代入可得到答案.

【详解】因为，，

所以，，

所以．

故答案为：．

【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式、凑角的应用，涉及到同角三角函数的基本关系，关键点是利用，转化求值，考查学生的基本计算能力，是一道容易题.

15. 设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，若，则_________.

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，结合奇、偶函数的性质，列方程组求出和，即可求解.

【详解】根据题意，由为奇函数，得关于对称，

故，即，

∵，∴，

又∵，

∴，即，

由，解得，，

∵，

∴.

故答案为：.

16. 设函数，则_______；若方程有且仅有1个实数根，则实数b的取值范围是_______．

【答案】    ①.     ②. 或

【解析】

【分析】（1）根据分段函数的解析式，代入x的值，可求得函数值；

（2）作出函数的图象，根据数形结合思想可求得实数b的取值范围.

【详解】（1），；

（2）方程有且仅有1个实数根，即与的图象有1个交点，

当时，，，

画出函数的图象，由图可知当与只有1个交点时，或

故答案为：；或.

【点睛】本题考查求分段函数的函数值，以及分段函数的图象，由分段函数的图象和方程的根的个数求参数的范围，属于中档题.

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知集合，.

（1）若，求；

（2）求实数的取值范围，使___________成立.

从①，②，③中选择一个填入横线处求解.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）；

（2）选，或
选，或；
选，.

【解析】

【分析】(1)根据对数函数的单调性求出集合A，根据一元二次不等式的解法求出集合B，结合并集的概念和运算即可得出结果；

(1)根据(1)和补集的概念和运算求出和，利用集合间的包含关系和交并补的运算即可求出对应条件的参数.

【小问1详解】

，

，

当时，，所以；

【小问2详解】

由(1)知，，，

所以或，或，

若选①，，则或，

解得或，所以的取值范围为或；

若选②，，则或，

解得或，所以的取值范围为或；

若选③，，则，

解得，所以的取值范围为.

18. 已知二次函数（，，均为常数，），若和3是函数的两个零点，且最大值为4.

（1）求函数的解析式；

（2）试确定一个区间，使得在区间内单调递减，且不等式在区间上恒成立.

【答案】（1）

（2）可取（答案不唯一）

【解析】

【分析】（1）根据题意，得到方程组，求得的值，即可求解；

（2）由（1）得到函数的单调区间，把不等式转化为在区间上恒成立，求得不等式的解集为，结合题意，得到答案.

小问1详解】

解：由函数，且和3是函数的两个零点，最大值为4，

可得，解得，

所以函数的解析式为.

【小问2详解】

解：由函数表示开口向下，对称轴为，

所以函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，

又由不等式在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

即在区间上恒成立，

又由不等式

因为，结合不等式的解法，可得，即不等式的解集为，

要使得在区间内单调递减，且不等式在区间上恒成立，

则满足，可取区间.

19. 已知为锐角，，．

（1）求的值；

（2）求的值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】

【分析】（1）由于，所以代值求解即可；

（2）由求出的值，从而可求出的值，而，进而可求得结果

【详解】（1）

（2）因为为锐角，所以，，

又，所以，

，

又，

所以

因为，所以.

20. 设，为实数，已知定义在上的函数为奇函数，且其图象经过点．

（1）求的解析式；

（2）用定义证明为上的增函数，并求在上的值域．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）根据为奇函数，可得，可得，又过点，代入，可求得a，b的值，经检验符合题意，即可得答案.

（2）利用定义法取值、作差、变形、定号，得结论，即可证明的单调性，根据单调性，代入数据，即可得值域.

【小问1详解】

因为为上的奇函数，所以，即．

又因为函数图象经过点，所以，即．

解得，故，

当时，，

即为奇函数，故符合条件．

【小问2详解】

任取，且，

则．

因为，所以，又因为，所以．

即，故为上的增函数．

因为在上也递增，

所以当时，，即，

所以在上的值域为

21. 为了研究某种微生物的生长规律，研究小组在实验室对该种微生物进行培育实验.前一天观测得到该微生物的群落单位数量分别为8，14，26.根据实验数据，用y表示第天的群落单位数量，某研究员提出了两种函数模型：①；②，其中且.

（1）根据实验数据，分别求出这两种函数模型的解析式；

（2）若第4天和第5天观测得到的群落单位数量分别为50和98，请从两个函数模型中选出更合适的一个，并预计从第几天开始该微生物的群落单位数量超过500.

【答案】（1）函数模型①，函数模型②

（2）函数模型②更合适，从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500

【解析】

【分析】（1）可通过已知条件给到的数据，分别带入函数模型①和函数模型②，列出方程组求解出参数即可完成求解；

（2）将第4天和第5天得到的数据与第（1）问计算出的函数模型①和函数模型②的表达式计算出的第4天和第5天的模拟数据对比，即可做出判断并计算.

【小问1详解】

对于函数模型①：把及相应y值代入得

解得，所以.

对于函数模型②：把及相应y值代入得

解得，所以.

【小问2详解】

对于模型①，当时，，当时，，故模型①不符合观测数据；

对于模型②，当时，，当时，，符合观测数据，

所以函数模型②更合适.

要使，则，

即从第8天开始该微生物的群落单位数量超过500.

22. 若函数在定义域内存在实数满足，，则称函数为定义域上的“阶局部奇函数”．

（1）若函数，判断是否为上“二阶局部奇函数”，并说明理由；

（2）若函数是上的“一阶局部奇函数”，求实数的取值范围；

（3）对于任意的实数，函数恒为上的“阶局部奇函数”，求的取值集合．

【答案】（1）是上的“二阶局部奇函数”，理由见解析；（2）；（3）．

【解析】

【分析】

（1）当时，解方程，即可得出结论；

（2）由可得出在上有解，再结合对数的真数恒为正数可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围；

（3）由可得出在上有解，然后分和两种情况讨论，在时验证即可，在时可得出，综合可解得实数的取值范围，再由可得出结果.

【详解】（1）由题意得，，即，

由，可得且，得，

，．

所以，是上的“二阶局部奇函数”；

（2）由题意得，，

所以，，可得在时有解，

当时，，即；

，，可得；

，，可得.

所以，，解得.

综上所述，实数的取值范围是；

（3）由题意得，在上有解，

可知有解，即有解，

当时，，满足题意；

当时，对于任意的实数，，

，

由，故．

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的新定义“阶局部奇函数”，解本题的关键就是利用新定义将问题转化为方程在对应区间上有解的问题来处理，解决本题的第（2）问时要注意对数的真数在所给区间上恒成立，第（3）问在求解时要注意对变系数的二次方程的首项系数进行分类讨论，结合进行求解.