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    精品解析:江苏省苏州市2022-2023学年高一下学期期末学业质量阳光指标调研数学试题(解析版)

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    这是一份精品解析:江苏省苏州市2022-2023学年高一下学期期末学业质量阳光指标调研数学试题(解析版),共21页。

     

    苏州市20222023学年第二学期学业质量阳光指标调研卷

    高一数学

    注意事项:

    学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求:

    1.本卷共6页,包含单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第12题)、填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题),本卷满分150分,答题时间为120分钟,答题结束后,请将答题卡交回.

    2.答题前,请您务必将自己的姓名,调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置.

    3.请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效,作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔,请注意字体工整,笔迹清楚.

    一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

    1.    

    A.  B.  C.  D.

    【答案】A

    【解析】

    【分析】利用两角差的余弦公式及特殊角的三角函数值即可求解.

    【详解】.

    故选:A.

    2. 已知复数是一元二次方程的一个根,则   

    A. 0 B. 1 C.  D. 2

    【答案】C

    【解析】

    【分析】设出,代入方程,化简得到,求出,并求出模长.

    【详解】

    ,即

    ,解得

    ,所以.

    故选:C

    3. 抛掷三枚质地均匀的硬币,观察它们落地时朝上的面的情况,“既有正面向上,也有反面向上”的概率为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】D

    【解析】

    【分析】利用列举法,列举出所有不同结果以及符合条件的情况,结合古典概型概率公式即可求解.

    【详解】抛掷三枚质地均匀的硬币,观察它们落地时朝上的面的情况:

    (正,正,正),(正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),

    (反,反,正),(反,正,反),(正,反,反),(反,反,反),

    共有8种不同的结果,

    既有正面向上,也有反面向上情况:

    (正,正,反),(正,反,正),(反,正,正),

    (反,反,正),(反,正,反),(正,反,反),

    6种不同的结果,

    所以,既有正面向上,也有反面向上的概率为.

    故选:D.

    4. 已知,点在线段延长线上,且,则点的坐标为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    分析】根据已知条件及中点坐标公式即可求解.

    【详解】由题意得,点中点,设点,则

    ,解得

    所以点的坐标为.

    故选:B

    5. 中国南北朝时期数学家、天文学家祖冲之、祖暅父子总结魏晋时期著名数学家刘徽的有关工作,提出“幂势既同,则积不容异”的“祖暅原理”,其中“幂”是截面积,“势”是几何体的高.如图,已知正六棱台的上、下底面边长分别为12,高为,一个不规则的几何体与此棱台满足“幂势既同”,则该几何体的体积为(   

       

    A.  B.  C.  D. 21

    【答案】D

    【解析】

    【分析】首先求出正六棱台的上、下底面面积,再根据台体的体积公式求出正六棱台的体积,根据祖暅原理可得.

    【详解】因为正六棱台的上下底面为正六边形,

    所以

    所以

    由祖暅原理知该几何体的体积也为.

    故选:D

    6. 已知平面向量满足,则上的投影向量为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】直接利用上的投影向量公式计算即可得出结果.

    【详解】上的投影向量为

    故选:B

    7. 已知,则的大小关系为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】C

    【解析】

    【分析】利用正弦函数、余弦函数的单调性可得答案.

    【详解】因为

    所以

    所以,所以.

    故选:C.

    8. 用长度分别为23456(单位:)的5根细木棒围成一个三角形(允许连接,但不允许折断),能够得到的三角形的最大面积为(   

    A.  B.  C.  D.

    【答案】B

    【解析】

    【分析】根据三角形接近等边三角形时面积最大,或者利用海伦公式故排除,由于等号成立的条件为,故“”不成立,推测当三边长相等时面积最大,故考虑当三边长最接近时面积最大,进而得到答案.

    【详解】方法一:因为三角形的周长为20,所以三角形越接近等边三角形,面积越大,所以三边长为677时面积最大

    此时边长为6的边上的高为,面积为

    方法二:设三角形的三边分别为

    ,则.由海伦公式

    由于等号成立的条件为,故“”不成立,

    排除

    由以上不等式推测,当三边长相等时面积最大,故考虑当三边长最接近时面积最大,

    此时三边长为776,用25连接,34连接各为一边,第三边长为6组成三角形,此三角形面积最大,

    解法同一可知面积为

    故选:B

    二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.

    9. 已知一组数据42107的平均数为5,则此组数据的(   

    A. 众数为2 B. 中位数为4 C. 极差为3 D. 方差为

    【答案】ABD

    【解析】

    【分析】根据数据和平均数、中位数、众数、极差、方差的运算可得答案.

    【详解】由题意可得,所以A正确:

    22,4,7,10的中位数为4,故B正确,

    极差为,故C错误;

    对于DD正确.

    故选:ABD

    10. 下列条件中能推导出一定是锐角三角形的有(   

    A.  B.

    C.  D.

    【答案】BCD

    【解析】

    【分析】对于A,利用向量的数量积判断得角为锐角,但确定不了另两个角的范围,由此判断即可;对于B,利用正弦定理的边角变换与余弦定理即可判断;对于C,利用余弦函数的性质与三角形角的范围分析判断即可;对于D,利用正切函数的性质与和差公式,结合三角形角的范围分析判断即可.

    【详解】对于A,因为,即

    ,故角为锐角,

    但无法确定另两个角的范围,故不一定是锐角三角形,故A错误;

    对于B:因为,由正弦定理得

    ,则

    显然最大角为,且

    所以最大角为锐角,所以一定是锐角三角形,故B正确:

    对于C,因

    ,则

    ,则除了角为钝角外,还有一角为钝角,矛盾;

    同理都不可能,

    ,即三个角均为锐角,故C正确;

    对于D,因为,易知,则均为锐角,

    ,则也为锐角,

    所以一定为锐角三角形,故D正确.

    故选:BCD

    11. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子(如图1),打开后形成以为圆心的两个扇形(如图2),若,点上,,点上,),则(   

       

    A. 的取值范围为 B. 的取值范围为

    C. 时, D. 时,

    【答案】AD

    【解析】

    【分析】对于AB,利用向量减法的几何意义,结合数量积的定义式,化简,根据角的取值范围,可得答案;

    对于CD,由题意作图,根据几何性质,求得边长,结合向量加法与数乘,可得答案.

    【详解】对于A

    因为.所以,所以

    A正确;B错误;

    对于C,如图,当时,可判断中点,

    ,作,则四边形为平行四边形,

    ,所以

    所以.所以C错误,D正确.

    故选:AD

     

    12. 已知正方体的棱长为1,点在线段上运动,则下列说法正确的有(   

    A.

    B. 三棱锥的体积为定值

    C. 为棱上一动点,则的周长的最小值为

    D. 作平面,使得,则截正方体所得的截面可以是四边形

    【答案】ABC

    【解析】

    【分析】根据空间几何关系及正方体的性质,对选项逐个判断即可得到答案.

    【详解】对于A,在正方体中,平面,所以

    又因为平面平面

    所以平面,所以

    同理可证

    又因为平面平面

    所以平面,因为平面,所以A正确;

    因为在正方体中,,所以是平行四边形,

    所以,又平面平面,所以平面

    ,所以点到平面的距离为定值,

    面积为定值,所以三棱锥的体积为定值B正确;

    C,如图,将旋转,旋转,使得与和

    共面,如图点上,点上,若周长最小,即最小,

    四点共线时,最小,在中,由余弦定理得

    ,所以C正确;

    对于D,如图,在正方体中,与正方体体对角线垂直的截面只有两种图形,三角形与六边形,所以D错误.

    故选:ABC

    三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

    13. 已知事件相互独立,,则______

    【答案】0.88

    【解析】

    【分析】根据独立事件乘法公式求出,从而利用求出答案.

    【详解】因为事件相互独立,

    所以

    所以

    故答案为:0.88

    14. 已知三条不同的直线和两个不同的平面满足以下条件:①;②;③,则的位置关系是______.(填“相交”,“平行”或“异面”)

    【答案】平行

    【解析】

    【分析】由面面垂直的判定定理和性质定理得到结论.

    【详解】由题意可知,直线与直线不平行,过上一点作与直线,如图所示,

    确定一个平面

    ,则

    ,则,又,则

    ,得

    ,得,又,所以

    ,所以.

    故答案为:平行.

    15. 已知棱长为4的正四面体的四个顶点都在同一球面上,过棱的中点的一个平面截此球所得截面面积为),请写出一个符合条件的的值:______

    【答案】456(答案不唯一)

    【解析】

    【分析】将正四面体,置入到正方体中,正方体的外接球即为正四面体的外接球,从而得到过点的截面面积的最值,得到过点的截面圆面积取值范围为,得到答案.

    【详解】如图,棱长为4的正四面体,置入到正方体中,

     

    此正方体棱长为,四面体外接球即为此正方体外接球,球心即为正方体中心

    半径

    则过点的最大截面圆即为过球心时,此时截面圆半径即为球半径,截面面积为

    当点为截面圆圆心时,此时截面圆面积最小,其中

    最小截面圆半径为

    截面圆面积为,所以过点的截面圆面积取值范围为

    所以

    故答案为:456

    16. 已知为一个斜三角形的两个内角,若,则的最小值为______

    【答案】##

    【解析】

    【分析】利用同角三角函数的平方和商数关系及二倍角的余弦公式,结合二次函数的性质即可求解.

    【详解】由题意可知,

    所以

    ,得

    所以

    因为为一个斜三角形的两个内角,即

    因此,显然有,即角为一斜三角形的内角,

    所以当时,取最小值.

    故答案为:

    四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

    17. 已知为虚数单位,复数

    1若复数满足,求的虚部;

    2设复数),若复平面内表示复数的点位于第二象限,求的取值范围.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)设,根据复数相等可得答案;

    2)求出,根据复平面内表示复数的点位于第二象限可得答案.

    【小问1详解】

    ,则由可得

    整理得,所以,解得

    所以的虚部为

    【小问2详解】

    因为复平面内表示复数的点位于第二象限,

    所以

    的取值范围为

    18. 数字人民币在数字经济时代中体现的价值、交易媒介和支付手段职能,为各地数字经济建设提供了安全、便捷的支付方式,同时也为金融监管、金融产品设计提供更多选择性和可能性.苏州作为全国首批数字人民币试点城市之一,提出了2023年交易金额达2万亿元的目标.现从使用数字人民币的市民中随机选出200人,并将他们按年龄(单位:岁)进行分组:第1,第2,第3,第4,第5,得到如图所示的频率分布直方图.

       

    1求直方图中的值和第25百分位数;

    2在这200位市民中用分层随机抽样的方法从年䯍在内抽取6位市民做问卷调查,并从中随机抽取两名幸运市民,求两名幸运市民年龄都在内的概率.

    【答案】1,第25百分位数为30   

    2

    【解析】

    【分析】1)根据频率和为1可求的值,判断第25百分位数在第二组,设为,列方程可求解;

    2)用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人,年龄在的人数为人,利用列举法,根据古典概型概率公式求解即可.

    【小问1详解】

    ,

    因为第一组的频率为

    第二组的频率为

    所以第25百分位数在第二组,设为,则

    所以第25百分位数为30.

    【小问2详解】

    年龄在的市民人数为,年龄在的市民人数为

    用分层随机抽样的方法抽取年龄在的人数为人,年龄在的人数为人,

    设年龄在4人为,年龄在2人为

    从这6为市民中抽取两名的样本事件为15种,

    其中2名年龄都在内的样本事件有种,

    所以两名幸运市民年龄都在内的概率为

    19. 如图,在三棱柱中,侧面是菱形,平面平面分别是的中点.

     

    1求证:平面

    2求证:

    【答案】1证明见解析   

    2证明见解析

    【解析】

    【分析】1)取中点为,易证得四边形为平行四边形,得到,由线面平行的判定可证得结论;

    2)根据菱形的性质、面面垂直和线面垂直的性质可得,由线面垂直的判定和性质可证得结论.

    【小问1详解】

    中点为,连结

    分别为中点,

    ,又中点,

    四边形为平行四边形,

    平面平面平面.

    【小问2详解】

    连结

    四边形是菱形,

    平面平面,平面平面平面平面

    平面

    平面平面

    平面.

     

    20. 已知向量,函数

    1,且,求的值;

    2已知,将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.在的图象上是否存在一点,使得?若存在,求出所有符合条件的点的坐标;若不存在,说明理由.

    【答案】1   

    2存在,点坐标为

    【解析】

    【分析】1)利用向量数量积公式计算出,从而得到,结合角的范围得到,从而利用凑角法求出答案;

    2)求出,设,由垂直关系利用向量列出方程,令,结合,得到,求出点的坐标.

    【小问1详解】

    ,因为,所以

    ,所以

    所以

    所以

    【小问2详解】

    由题意得

    假设的图象上存在点使得

    因为

    因为

    所以

    因为

    所以

    当且仅当时取等,

    所以存唯一解,此时,点

    综上,符合条件的点坐标为

    21. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作一部传世巨著,该书以基本定义、公设和公理作为推理的出发点,第一次实现了几何学的系绕化、条理化,成为用公理化方法建立数学演绎体系的最早典范.书中第卷第47号命题是著名的毕达哥拉斯(勾股定理),证明过程中以直角三角形中的各边为边分别向外作了正方形(如图1).某校数学兴趣小组对上述图形结构作拓广探究,提出了如下问题,请帮忙解答.

    问题:如图2,已知满足,设),四边形、四边形、四边形都是正方形.

     

    1时,求的长度;

    2长度的最大值.

    【答案】16    26

    【解析】

    【分析】1)利用锐角三角函数的定义及诱导公式,结合余弦定理即可求解;

    2)利用余弦定理和正弦定理,结合三角函数的性质即可求解.

    【小问1详解】

    中,,则

    因为,所以

    中,

    由余弦定理所以的长度为.

    【小问2详解】

    中,由余弦定理得,所以

    ,在中,由余弦定理得

    所以 

    中,由正弦定理得

    所以

    代入①可得,

    因为,

    所以

    时,的最大值为

    所以长度的最大值为6

    22. 如图,在四棱锥中,

     

    1时,求直线与平面所成角的大小;

    2当二面角时,求平面与平面所成二面角的正弦值.

    【答案】1   

    2

    【解析】

    【分析】1)作出辅助线,由余弦定理求出,证明出线面垂直,得到即为直线与平面的所成角,求出,得到答案;

    2)作出辅助线,得到为二面角的平面角,即,设点到平面和边的距离分别为,由求出,由求出,从而利用求出答案.

    小问1详解】

    延长交于点,连接

     

    因为,所以,故为等边三角形,

    所以

    因为,所以

    中,由余弦定理得

    所以

    所以,所以由勾股定理逆定理得

    因为平面,所以平面

    因为平面,所以

    因为平面

    所以平面

    所以即为直线与平面的所成角,

    在直角三角形中,

    故直线与平面所成角的大小为

    【小问2详解】

    分别作的平行线交于点,连接,取的中点,连接

    则四边形为平行四边形,

    由(1)知,,故

    因为,所以

    又因为,所以为二面角的平面角,即

    中,因为,所以为等边三角形,

    所以,且

    由(1)知,所以

    因为平面,所以平面

    因为平面,所以

    因为平面,所以⊥平面

     

    因为,所以⊥平面

    因为平面,所以

    中,,所以

    中,

    所以

    ,所以

    易求得

    设点到平面和边的距离分别为

    因为,所以,即

    所以

    中,,故

    ,所以,所以

    设平面与平面所成二面角的大小为,则

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